Évaluation d'une Méthode de Synthèse Spectrale 2D+T pour la Transparence de Parois sous Champ Acoustique Diffus

(1)

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Évaluation d’une Méthode de Synthèse Spectrale 2D+T pour la Transparence de Parois sous Champ Acoustique

Diffus

O Robin, Marc Pachebat, N Totaro, Alain Berry

To cite this version:

O Robin, Marc Pachebat, N Totaro, Alain Berry. Évaluation d’une Méthode de Synthèse Spectrale

2D+T pour la Transparence de Parois sous Champ Acoustique Diffus. C F A / VISHNO 2016, Société

Française d’Acoustique, Apr 2016, Le Mans, France. �hal-01304991�

(2)

transparence de parois sous champ acoustique diffus

O.Robin

^∗

, M.Pachebat

^†

, N.Totaro

^‡

, A.Berry

^§

21 avril 2016

∗GAUS - Groupe d’Acoustique de l’Universit´e de Sherbrooke, 2500 Bd de l’Universit´e, Sherbrooke, Canada J1K 2R1

†LMA CNRS UPR 7051 Ecole Centrale Marseille, Aix Marseille Univ F-13402 Marseille Cedex 20 France, pachebat@lma.cnrs-mrs.fr.

‡LVA, INSA-Lyon, 25 bis Av. J.Capelle, 69621 Villeurbanne, France

§GAUS - Groupe d’Acoustique de l’Universit´e de Sherbrooke, 2500 Bd de l’Universit´e, Sherbrooke, Canada J1K 2R1

(3)

Version Auteur

Dans le domaine de l’acoustique des transports ou du bˆ atiment, la transparence de paroi met en jeu un grand nombre de degr´ es de libert´ es qu’il s’av` ere coˆ uteux de mod´ eliser ; soit par le caract` ere spatialement

´

etendu du champ excitateur et/ou de la structure isolante, soit par l’´ etendue spectrale n´ ecessaire ` a la prise en compte de l’ensemble du spectre audible dans la pression rayonn´ ee vers l’auditeur.

Ce travail pr´ esente une m´ ethode de synth` ese spectrale en espace et temps (2D+T) approch´ ee, num´ eriquement apte ` a synth´ etiser dans le temps la pression acoustique rayonn´ ee par une paroi plane sous une excitation al´ eatoire (ici un champ acoustique diffus). Un des int´ erˆ ets de cette m´ ethode est de permettre une ´ ecoute des signaux de pression acoustique rayonn´ ee et l’ajout d’indicateurs psychoacoustiques en compl´ ement des indicateurs vibroacoustiques classiquement utilis´ es, comme la perte par transmission.

Pour cette communication, l’objectif est de montrer la pertinence, les avantages et les limites d’une telle m´ ethode num´ erique pour permettre un design virtuel des structures soumises ` a des excitations al´ eatoires.

Le cas de deux panneaux minces et isotropes, l’un en aluminium et l’autre en acier, avec des conditions aux limites simplement support´ ees sera ´ etudi´ e. Une comparaison syst´ ematique entre r´ esultats num´ eriques et r´ esultats obtenus dans le cas de mesures en laboratoire (test normalis´ e en salles coupl´ ees r´ everb´ erante - an´ echo¨ıque, compl´ et´ e par des mesures de pression acoustique rayonn´ ee) sera pr´ esent´ ee. En particulier, la pr´ ecision avec laquelle la m´ ethode permet de pr´ edire la perte par transmission et la pression acoustique rayonn´ ee sera ´ evalu´ ee. Cette derni` ere fera id´ ealement l’objet d’une ´ ecoute comparative mesure vs mod` ele lors de la pr´ esentation.

1 Introduction

La perte par transmission a´ erienne de parois sous un Champ Acoustique Diffus (CAD) est mesur´ ee selon des tests normalis´ es [?, ?] et utilis´ ee pour qualifier de nombreuses structures, des ´ el´ ements de construction (cloison, fenˆ etre) jusqu’aux parois a´ eronautiques. ` A partir de cette mesure

¹

, sujette ` a de nombreuses variabilit´ es surtout en basses fr´ equences [?], la performance d’isolation acoustique d’une structure est simplement d´ ecrite ` a l’aide d’indices uniques (comme le Sound Transmission Class [?] ou l’indice d’affaiblissement acoustique pond´ er´ e R

_w

[?]). La validit´ e de ces indicateurs par rapport ` a des ´ evaluations subjectives est souvent remise en cause [?, ?, ?] et deux points faibles sont r´ eguli` erement ´ evoqu´ es concernant les m´ ethodes avec lesquelles la qualit´ e globale de l’isolation acoustique est estim´ ee : l’utilisation de calculs simplifi´ es dans le domaine fr´ equentiel et le besoin de descripteurs temporels. ` A titre d’exemple, la pertinence d’indicateurs psychoacoustiques appliqu´ es dans le domaine fr´ equentiel a ´ et´ e ´ etudi´ ee [?, ?] ou des tests d’´ ecoute sp´ ecifiques ont ´ et´ e d´ evelopp´ es [?, ?].

La probl´ ematique concernant l’acoustique des parois a´ eronautiques revˆ et un caract` ere plus sp´ ecifique car ces derni` eres sont soumises en vol ` a une excitation de type

’Couche Limite Turbulente’ (CLT), encore difficilement reproduite en conditions de laboratoire [?]

²

. Les performances acoustiques de ces structures restent donc encore majoritairement ´ evalu´ ees sous excitation CAD.

Des ´ ecarts en termes de perte par transmission entre ces deux excitations al´ eatoires sont av´ er´ es, mais mal identifi´ es que ce soit en termes de diff´ erence de niveau ou de perception.

Le d´ eveloppement d’approches num´ eriques qui

1. Procurant des valeurs de perte par transmission par bandes de tiers d’octave, généralement de 100 à 5000 Hz selon la norme considérée.

2. Une difficulté importante réside dans le fait que ces excitations diffèrent en termes de contenu dans le domaine fréquentiel mais aussi dans celui des nombres d’onde, une CLT subsonique comprenant des composantes acoustiques et convectives dont la longueur d’onde est inférieure à la longueur d’onde acoustique.

permettent l’obtention conjointe de donn´ ees objectives et subjectives pr´ esente plusieurs int´ erˆ ets pratiques, soit pour mieux ´ evaluer la performance d’isolation globale sous excitation CAD dans le domaine du bˆ atiment, soit pour pouvoir comparer le comportement d’une paroi a´ eronautique sous des excitations CAD et CLT. La transparence acoustique sous une excitation de type CAD est ´ etudi´ ee pour deux panneaux diff´ erents.

Une approche vibroacoustique modale combin´ ee ` a une pression pari´ etale excitatrice obtenue par synth` ese spectrale en espace et temps (2D+T) est pr´ esent´ ee. La formulation en espace et temps (2D+T) utilis´ ee dans cette communication a d´ ej` a ´ et´ e investigu´ ee pour le cas d’un panneau plan excit´ e par une CLT, du point de vue de la simulation uniquement [?]. Cette approche est compar´ ee d’une part ` a des mesures et d’autre part ` a une simulation par ´ el´ ements finis en termes d’estimation de la perte par transmission. Par souci de concision, la possibilit´ e de synth´ etiser des signaux repr´ esentatifs de pression acoustique rayonn´ ee (r´ esultats de pression rayonn´ ee par la plaque pour le cas exp´ erimental et celui de la simulation 2D+T) sera illustr´ ee et discut´ ee lors de la pr´ esentation orale.

2 Synth` ese spectrale de la pression pari´ etale excitatrice

La m´ ethode pr´ esent´ ee en r´ ef´ erence [?] est bri` evement rappel´ ee. Une plaque en flexion dans le plan (Oxy), simplement appuy´ ee, est soumise sur une face ` a une pression pari´ etale p

w

(x, y, t)(tableau ??). Une repr´ esentation discr` ete p

lmn

de la pression pari´ etale p

w

(x, y, t)dans le domaine spatio-temporel L

x

× L

y

× T est obtenue par une r´ ealisation d’un processus stochastique gaussien ` a l’aide d’une m´ ethode de synth` ese spectrale. En pratique, le domaine physique L

_x

× L

_y

× T est maill´ e de fa¸ con cart´ esienne par N

_x

× N

_y

× N

_t

points, et on r´ ealise un tirage al´ eatoire g

_lmn

de N

_x

× N

_y

× N

_t

variables r´ eelles suivant une loi de distribution gaussienne de moyenne nulle. La transform´ ee de Fourier 2D+T du tirage g

lmn

, not´ ee G

l⁰m⁰n⁰

, est ensuite centr´ ee et r´ eduite. G

l⁰m⁰n⁰

est alors

CFA2016. LeMans France 2 Page 2/??

(4)

Tableau 1 – Caract´ eristiques des deux panneaux test´ es num´ eriquement et exp´ erimentalement.

Longueur L

_x

(m) 0.48 0.48

Largeur L

_y

(m) 0.42 0.42

Epaisseur ´ h

p

(mm) 3.2 3

Module d’Young E

p

(Pa) 70 10

⁹

210 10

⁹

Masse volumique ρ

p

(kg.m

⁻³

) 2700 7800

Coeff. de Poisson ν

p

0.3 0.3

Coef. d’amortissement η

p

0.005 0.005 Tableau 2 – Param` etres de synth` ese de la pression

pari´ etale N

_x

× N

_y

× N

_t

= 128 × 128 × 8192

∆x 0.0101 m k

^max_x

620.6 rad.m

⁻¹

∆y 0.0097 m k

^max_y

647.5 rad.m

⁻¹

∆t 1.221 10

⁻⁴

s f

^max

4096 Hz L

x

1.296 m ∆k

x

4.848 rad.m

⁻¹

L

y

1.242 m ∆k

y

5.059 rad.m

⁻¹

T 1 s ∆f 1 Hz

un ensemble de N

_x

× N

_y

× N

_t

variables complexes

`

a sym´ etrie hermitienne, ´ egalement distribu´ e suivant une loi gaussienne [?]. En adaptant formellement l’algorithme 1D (en temps) propos´ e par Davies [?] au cas 2D+T, la repr´ esentation discr` ete de p

w

(x, y, t), not´ ee p

lmn

, est obtenue par transform´ ee de Fourier inverse 2D+T (FFT) du produit √

P ∆.G : p

lmn

=

N_x−1

X

l⁰=0 N_y−1

X

m⁰=0 N_t−1

X

n⁰=0

√ P

l⁰m⁰n⁰

∆ G

l⁰m⁰n⁰

N

_x

N

_y

N

_t

e

^−2jπ

n.n0 Nt −^l.l⁰

Nx−^m.m⁰

Ny

,

(1) o` u le spectre en fr´ equence-nombre d’onde P

_l⁰_m⁰_n⁰

contient les propri´ et´ es physiques du champ pari´ etal ` a repr´ esenter et ∆ = (∆k

x

∆k

y

∆f ) (cf. tableau ??). Afin d’´ eviter les effets de repliement, la taille de la synth` ese N

x

×N

y

×N

t

doit ˆ etre adapt´ ee afin de couvrir l’ensemble du domaine fr´ equence-nombre d’onde o` u l’amplitude de P

l⁰m⁰n⁰

est significative. La relation entre la taille de la simulation N

x

× N

y

× N

t

d’une part, et les intervalles couverts dans le domaine physique L

x

× L

y

× T et le domaine de Fourier (±k

_x^max

,±k

^max_y

,±f

^max

) d’autre part, est donn´ ee par les expressions suivantes (tableau

??) :



 

 

N

x

= k

^max_x

L

x

/π =2π(∆x∆k

x

)

⁻¹

, N

y

= k

^max_x

L

y

/π =2π(∆y∆k

y

)

⁻¹

,

N

_t

= 2f

^max

T =(∆t∆f )

⁻¹

.

(2)

Pour v´ erifier les propri´ et´ es statistiques du champ p

lmn

obtenu par synth` ese spectrale, le spectre en nombre d’onde-fr´ equence d’un champ de pression p

_w

(x, y, t) est utilis´ e et d´ efini de fa¸con statistique par :

φ(k

_x

, k

_x

, ω) = (3)

1 N

P

N 1

h

lim

_L_x_,L_y_,T→∞_L ¹

xL_yT ˆ

pw(kxky,ω) ˆp^∗_w(kxky,ω)

∆k_x∆k_y∆f

i ,

o` u ˆ p

w

(k

x

k

y

, ω) est la transform´ ee de Fourier de p

_w

(x, y, t), ˆ p

^∗_w

son complexe conjugu´ e, et N le nombre

p(x,y,t) ; t

₀

=0.24988s

y (m)

0 0.5 1

x (m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

×10^-3

-5 0 5

Figure 1 – Exemple de pression pari´ etale (en Pa) instantan´ ee sur une paroi p

w

(x, y, t = t

0

) (eq.??)

obtenue par synth` ese spectrale

k

_x

(rad/m)

-400 -200 0 200 400

P(k

x

,0, ω

0

)

0 10 20 30 40 50 60

f

0

=4094(Hz)

Sinc Model

Figure 2 – Mod` ele de spectre en fr´ equence-nombre d’onde P(k

x

, 0, ω

0

), pour k

y

= 0 et f

0

= 4094 Hz.

Mod` ele choisi (en bleu) et transform´ ee de Fourier 2D d’un sinus cardinal (en noir).

ξ

x

(m)

-1 -0.5 0 0.5 1

R( ξ

x

,0, ω

0

)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f

₀

=4094(Hz)

Sinc Model

Figure 3 – Pression pari´ etale : intercorr´ elation spatiale R(ξ

_x

, 0, ω

₀

) ` a f

₀

= 4094 Hz. Mod` ele choisi (en

bleu) et sinus cardinal (en noir).

(5)

Version Auteur

f (Hz)

0 1000 2000 3000 4000 5000 R(0,0,w) (dB), ref. 2.10

-5

Pa

30 40 50 60 70 80 90 100

Figure 4 – Pression pari´ etale : spectre de pression R(0, 0, ω) en un point de la plaque du champ obtenu

par synth` ese spectrale (eq.??)

de moyennes. Par transform´ ees de Fourier (inverses) de φ sur (k

_x

, k

_y

) puis ω on obtient respectivement les intercorr´ elations fr´ equentielles R(ξ

_x

, ξ

_y

, ω) et large bande r(ξ

_x

, ξ

_y

, τ ). Dans le cas pr´ esent, φ(k

_x

, k

_x

, ω) doit converger vers le mod` ele choisi pour le champ P

Dif f us

(k

x

, k

y

, ω), qui est une fonction porte 2D proche de celle utilis´ ee dans [?] (avec S

pp

(ω) l’autospectre de pression pari´ etale) :

( P

Dif f us

(k

x

, k

y

, ω) =S

pp

(ω) | k |< ω/c

0

P

_{Dif f us}

(k

_x

, k

_y

, ω) =0 | k |> ω/c

0

(4) Les r´ esultats de simulation fournis dans cette section ont ´ et´ e obtenus pour S

pp

(ω) = 1 Pa

²

. Les figures ??

et ?? comparent les propri´ et´ es du mod` ele (eq.??) avec l’expression de l’intercorrelation spatiale d’un champ diffus en sin(kR)/R (voir par exemple [?]). La figure

?? montre le spectre R(0, 0, ω) du tirage al´ eatoire ` a comparer avec S

pp

(ω). L’expression (??) est choisie comme un compromis ayant l’avantage de donner les propri´ et´ es du champ diffus explicitement dans le domaine des nombres d’ondes. Une autre expression possible est donn´ ee dans [?].

En pratique, pour comparer P

_{Dif f us}

(k

_x

, k

_y

, ω) avec les propri´ et´ es d’une r´ ealisation particuli` ere du champ synth´ etis´ e p

lmn

nous utilisons simplement l’indicateur :

φ

l⁰m⁰n⁰

= 1 L

x

L

y

T

p

l⁰m⁰n⁰

p

^∗_l0m⁰n⁰

∆k

x

∆k

y

∆f , (5) qui correspond au terme figurant dans l’´ equation ??.

On obtient ensuite les inter-corr´ elations fr´ equentielle R

lmn⁰

et large bande r

lmn

par transform´ ees de Fourier (inverse) de φ

l⁰m⁰n⁰

(suivant l

⁰

, m

⁰

puis n

⁰

).

A noter qu’un tirage al´ eatoire du champ de pression pari´ etale issu de la synth` ese spectrale est obtenu apr` es quelques secondes de calcul sur un PC ordinaire et represente 1Go de volume de donn´ ees (pour les param` etres du tableau ??).

3 Mesures en laboratoire et mod` ele FEM

Les deux panneaux d´ ecrits dans le tableau ?? ont ´ et´ e successivement install´ es dans la niche existante entre les salles coupl´ ees (r´ everb´ erante - an´ echo¨ıque) du Groupe d’Acoustique de l’Universit´ e de Sherbrooke (montage affleurant du cˆ ot´ e r´ everb´ erant). Des conditions aux limites de type appui simple sont reproduites sur leurs quatre cˆ ot´ es grˆ ace ` a une construction d´ ecrite dans [?]. Une structure de type double paroi a

´ et´ e construite autour de chaque panneau avec un d´ ecouplage m´ ecanique, afin de pr´ evenir les fuites acoustiques par transmission directe ou indirecte. Une excitation acoustique a ´ et´ e g´ en´ er´ ee dans la chambre d’´ emission (r´ everb´ erante) ` a l’aide d’un haut-parleur aliment´ e par un bruit blanc, et la pression quadratique moyenne dans la salle a ´ et´ e mesur´ ee ` a l’aide d’un microphone tournant. L’intensit´ e acoustique moyenne rayonn´ ee dans la chambre de r´ eception (an´ echo¨ıque) a

´ et´ e mesur´ ee ` a l’aide d’une sonde intensim´ etrique par balayage manuel de la surface du panneau durant la mesure.

La perte par transmission, ou Transmission Loss (TL), est calcul´ ee ` a l’aide de la relation T L = L

p

−L

i

−6 dB selon la norme [?]

³

. La perte par transmission th´ eorique est obtenue par un calcul de type ´ el´ ements finis

⁴

. Les panneaux ont ´ et´ e mod´ elis´ es comme des parois isotropes avec des conditions aux limites de type appui simple, s´ eparant deux milieux fluides semi-infinis, et maill´ es sur 49 × 43 ´ el´ ements (procurant une taille d’´ el´ ement de 1 cm qui satisfait la r` egle usuelle de 6

´ el´ ements par longueur d’onde jusqu’` a une fr´ equence proche de 6000 Hz).

Dans la chambre d’´ emission, une antenne de 81 (9 × 9) microphones r´ eguli` erement espac´ es de 5 cm (selon la longueur et la largeur du panneau) est plac´ ee face au panneau et centr´ ee sur celui-ci (` a une distance de 1 cm), ce qui permet d’estimer les propri´ et´ es du champ de pression pari´ etal (autospectre, interspectres, homog´ en´ eit´ e du champ). La pression rayonn´ ee est mesur´ ee ` a l’aide d’un triplet de microphones plac´ es ` a 1 m de la surface du panneau du cˆ ot´ e rayonnant (chambre an´ echo¨ıque), un microphone centr´ e sur le panneau, et les deux autres plac´ es ` a 7.5 cm de part et d’autre du microphone central selon l’axe longitudinal du panneau (axe x). La figure ?? illustre de mani` ere sch´ ematique le placement de l’antenne et du triplet de microphones.

La figure ?? pr´ esente une comparaison entre r´ esultats de simulations et exp´ erimentaux pour les deux panneaux. Un rapport

q

ρ_ph_p

D

de valeur proche pour chaque cas (0.20 pour l’aluminium et 0.21 pour l’acier, D ´ etant la rigidit´ e en flexion) permet l’obtention d’une densit´ e modale n(ω), d’une r´ epartition modale et de fr´ equences de coincidence f

_c

similaires avec un simple d´ ecalage en fr´ equence pour les fr´ equences propres f

_mn⁵

.

3. Lp ´etant le niveau de pression quadratique mesur´e et Li

le niveau d’intensité acoustique rayonnée mesuré, tous les deux en dB. Le facteur −6 provient de la relation entre pression quadratique moyenne et intensité acoustique moyenne dans un champ acoustique diffus.

4. NovaFEM cMecanum Inc. - ESI-Group

5. Pour des plaques rectangulaires avec de telles conditions

CFA2016. LeMans France 4 Page 4/??

(6)

Figure 5 – Illustration du placement de l’antenne de microphones (mesure de la pression excitatrice) et du

triplet de microphones (mesure de la pression rayonn´ ee).

La comparaison entre fr´ equences propres th´ eoriques et exp´ erimentales sur la bande 0 − 600 Hz fournie en ??(a) valide ce point, et confirme un tr` es bon accord entre th´ eorie et exp´ erience. La masse surfacique diff´ erente (rapport de 2.7 entre acier et aluminium) se traduit par l’obtention d’un TL globalement plus ´ elev´ e (selon la loi de masse) dans le cas du panneau en acier.

Ainsi, les deux panneaux pr´ esentent des creux de TL (correspondant aux r´ esonances structurelles) de densit´ e similaire, mais sensiblement d´ ecal´ es en fr´ equence, et un ´ ecart moyen de TL d’environ 10 dB. Les r´ esultats de mesure de perte par transmission donn´ es dans les figures ??(b,c) illustrent bien ces points, et montrent un excellent accord entre simulation et exp´ erience entre 400 et 4000 Hz. Les ´ ecarts sont attribu´ es ` a des conditions non diffuses de l’excitation en-dessous de 400 Hz (approximativement la fr´ equence de Schroeder de la salle r´ everb´ erante utilis´ ee) et ` a des imperfections conjointes de mod´ elisation et de conditions aux limites au-dessus de 4000 Hz.

4 Calcul du TL ` a partir du champ 2D+T et d’une approche modale

Pour le calcul de la r´ eponse de la plaque au champ synth´ etis´ e 2D+T, la plaque est mod´ elis´ ee ` a l’aide des modes propres analytiques d’une plaque simplement appuy´ ee sur ses bords (hypoth` ese confirm´ ee dans le paragraphe pr´ ec´ edent). La r´ eponse en fr´ equence de la

aux limites, n(ω) ≈ _4π^S qρphp

D , avec S la surface du panneau, fc= ^c

2 0 2π

qρ_ph_p

D etfmn=_2π¹ q

D ρphp

hmπ Lx

2

+ nπ

Ly

2i

avecm, n entiers non-nuls strictement positifs [?].

0 100 200 300 400 500 600

Fréquence propre théorique (Hz)

Fréquence de résonance mesurée (Hz)

Panneau acier Panneau aluminium

(a)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0 10 20 30 40 50 60

Fréquence (Hz)

TL (dB)

Simulation Expérience (b) Panneau en acier

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0 10 20 30 40 50 60

Fréquence (Hz)

TL (dB)

Simulation Expérience (c) Panneau en aluminium

Figure 6 – Comparaison des r´ esultats de simulation et exp´ erimentaux pour les deux panneaux : (a) Fr´ equences propres th´ eoriques et exp´ erimentales - (b,c)

TL en bandes fines pour les deux panneaux consid´ er´ es (simulation : calcul ´ el´ ements finis).

plaque est donc obtenue par sommation modale W (x, y, ω) =

∞

X

n=1

a

n

(ω)ψ

n

(x, y) (6) o` u W (x, y, ω) est le d´ eplacement de la plaque, ψ

n

(x, y) sont les d´ eform´ ees propres de la plaque et a

_n

(ω) sont les amplitudes modales donn´ ees par la relation

a

n

(ω) = 1 M

_n

F

n

(ω)

(ω

_n²

− ω

²

+ jηωω

_n

) (7) o` u M

_n

, ω

_n

et F

_n

(ω) sont respectivement la masse g´ en´ eralis´ ee, la pulsation propre et la force g´ en´ eralis´ ee du mode n. Cette force g´ en´ eralis´ ee traduit l’interaction entre le champ de pression appliqu´ e et les modes propres de la structure

F

n

(ω) = Z

Ly

0

Z

Lx

0

ψ

n

(x, y) ˜ P(x, y, ω)dxdy (8)

o` u ˜ P(x, y, ω) est la transform´ ee de Fourier (en temps)

du champ de pression 2D+T. La pression rayonn´ ee

(7)

Version Auteur

en un point d’´ ecoute M

₀

est calcul´ ee ` a l’aide de la fonction de Green G(M

₀

, M

_ij

) entre le point d’´ ecoute et le centre M

_ij

d’une surface ´ el´ ementaire rectangulaire divisant de mani` ere r´ eguli` ere la surface de la plaque.

Ainsi, la pression au point d’´ ecoute est p

_ray

(M

₀

, ω) = ρ

₀

ω

²

N_x

X

i=1 N_y

X

j=1

W (M

_ij

, ω)G(M

₀

, M

_ij

)∆S (9) Finalement, la pression rayonn´ ee sur la paroi de la plaque est combin´ ee ` a la vitesse vibratoire de celle-ci pour calculer l’intensit´ e acoustique I et finalement la puissance acoustique Π

T

rayonn´ ee. Le TL est obtenu en faisant le ratio entre la puissance incidente Π

I

et la puissance rayonn´ ee

T L = 10 log

₁₀

Π

I

Π

_T

(10)

o` u la puissance incidente est donn´ ee par Π

I

= S < p

²_{RM S}

>

8ρ

0

c

0

(11) o` u < p

²_{RM S}

> est la pression quadratique moyenne g´ en´ er´ ee sur la plaque par le champ diffus synth´ etis´ e.

0 1000 2000 3000 4000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Fréquence (Hz)

TL (dB)

0 1000 2000 3000 4000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Fréquence (Hz)

TL (dB)

Figure 7 – Comparaison des r´ esultats exp´ erimentaux et issus de la simulation 2D+T pour le TL (mesure en trait gris, 2D+T en trait noir) - En haut : Panneau

acier - En bas : Panneau aluminium.

Le TL ainsi calcul´ e est compar´ e sur la figure ?? aux mesures exp´ erimentales. La comparaison est excellente,

et la synth` ese ` a l’aide d’un champ qui est alors variable spatialement permet de sensiblement mieux repr´ esenter le r´ esultat de mesure par rapport au calcul effectu´ e dans la section 3 (qui utilise une superposition d’ondes planes incoh´ erentes d’amplitudes ´ egales, et suppose un champ de pression homog` ene spatialement sur la plaque pour chaque fr´ equence de calcul). Il est pr´ ecis´ e qu’en dessous d’une fr´ equence de 267 Hz, la fonction ”porte” dans le domaine des nombres d’onde (eq.(4)) n’est plus d´ ecrite que par 1 point en k

x

, k

y

= 0 rad/m (nombre d’onde acoustique inf´ erieur ` a la r´ esolution dans le domaine des nombres d’onde), et sa transform´ ee de Fourier inverse fournit alors une valeur constante. La plaque est alors soumise ` a une pression de synth` ese uniforme sur toute sur sa surface pour f ≤ 267 Hz.

5 Conclusion

Les r´ esultats pr´ esent´ es montrent qu’en utilisant un indicateur ´ energ´ etique comme la perte par transmission, on obtient un bon accord entre, d’une part la m´ ethode utilisant une pression excitatrice obtenue par synth` ese spectrale, et d’autre part les mesures et la mod´ elisation par ´ el´ ements finis. Ce r´ esultat est ` a notre sens d’autant plus int´ eressant qu’il est obtenu pour un tirage al´ eatoire unique de la pression excitatrice, alors que la perte par transmission est un indicateur statistique. Cette m´ ethode pr´ esente en outre l’int´ erˆ et de permettre l’acc` es

`

a une repr´ esentation temporelle des signaux vibratoires et de pression rayonn´ ee. Notons enfin que la pression obtenue par synth` ese spectrale pourrait ˆ etre utilis´ ee comme une excitation d´ eterministe dans le mod` ele

´ el´ ements finis.

R´ ef´ erences

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[19] G. Xie, D.J. Thompson and C.J.C. Jones, “Mode count and modal density of structural systems : relationships with boundary conditions,” J. Sound Vib., 274, 621–651, 2004.