Chapitre 1 – Fonctions de référence (résumé)
I- La fonction racine carrée
Définition : La fonction racine carrée est la fonction définie sur 0; ∞ par :
√
Propriété: La fonction racine carrée est strictement croissante sur 0; ∞ Représentation graphique :
II- La fonction trinôme
Définition :
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur de la forme : où a0 ; b et c sont des réel donnée et une variable.
Une transformation de cette expression nous permet d’obtenir la forme canonique :
2 2
2 2
2
2 4
2 2 4
b c b b ac
ax bx c a x x a x
a a a a
Pour la dernière étape on voit 2 2
2
x b x
a comme le début du carré
2
2 x b
a
Donc
2 2
2
2 2
2 2 4
b b b
x x x
a a a
.
On obtient donc la forme canonique :
2 2 2
2 2
4
2 4 2 4
b b ac b
a x a x
a a a a
On notera b2 4ac.que l’on appellera discriminant du polynôme.
Si 0 alors on peut utiliser l’identité remarquable : 22
:
2 2
0 1
2 4 2 2 2
b b b
ax bx c a x a x x a x x x x
a a a a
On obtient ainsi la forme factorisée.
Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré :
a0 a0
0
O J
I
O J
I
0
O J
I
O J
I
0
O J
I
O J
I
Remarque :
Formule reliant coefficient et racine : x x0 1 c
a et x0 x1 b a
Forme
développée Forme canonique. Discriminant Signe
de Racines (si elles existent) Forme factorisée Signe du polynôme.
ax2bxc
+ avec
et 2
4 4
2 4
b ac
0
a x b
a et x b
2
2 1
0
a x
x1
xx0
Signe de a à l’extérieur des racnes x x0 x1
Signe de a
Signe
de a Signe de a
0 Une racine double : 0 2 x b
a
(valeur ou l’on atteint l’extremum dans les trois cas)
0
2a xx
Du signe de a (s’annule une fois en
2 b a
)
0 Pas de racine Pas de factorisation Du signe de a
Niveau :1S
III- La fonction Valeur absolue
A- Valeur absolue d’un nombre
Définition : Soient A et B les points d’abscisses a et b sur la droite réelle. On appelle distance entre les réels a et b la distance entre les deux points A et B.
On la note | | (lire « valeur absolue de »)
Pour ,
Pour ,
Exemple :
|3 1| |1 3| 2 la distance de 1 à 3 est la même que la distance de 3 à 1 à savoir 2.
| 1| |1 | la distance de 1 à un réel quelconque x est la même que la distance de x à 1 à savoir 1 si 1 et 1 si 1
Propriété : La valeur absolue d’un nombre réel est positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si 0
Exemple :
| | 0 : la distance de x à 0 est nulle donc 0
| 2| 0 : la distance de x à 2 est nulle donc 2
Propriété : La valeur absolue d’un nombre réel positif est lui-même, La valeur absolue d’un réel négatif est son opposé.
Exemple :
|2|=2 (distance de 2 à 0 ou de 0 à 2)
|-2|=2 (distance de 0 à -2 ou de -2 à 0.
Propriété : Soit a, b deux nombres réels. | | |a| |b|
Exemple :
|3 2| |3| |2|
|3 2| |3| |2|
B- La fonction valeur absolue
Définition : La fonction valeur absolue est la fonction définie sur par :
∀ ∈ , 0
0 Propriété : tableau de variation
O B A
O b a
|b-a|=a-b
O A B
O a b
|b-a|=b-a
Niveau :1S
Représentation graphique :
IV- Croissances comparées des fonctions :
somme de fonctions
Propriété 1 : Soit un réel k et u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et u+k ont le même sens de variation sur I
produit par une constante
Propriété 2 : Soit un réel et une fonction définie sur un intervalle I.
Si 0 alors . ont le même sens de variation sur I
Si 0 alors . ont des sens de variation contraires sur I
racine carrée
Propriété 3 : Soit une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x de I, . La fonction √ est la fonction définie sur I par :
Les fonction u et √ ont le même sens de variation sur I.
fonction inverse
Propriété 4 : Soit une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x de I, a un signe constant et ne s’annule pas. La fonction est la fonction définie sur I par : Les fonctions u et ont des sens de variation contraires sur I.
-∞ 0 +∞
0
