Calcul de l'induction et de ses dérivées sur l'axe d'une lentille électronique magnétique de révolution

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Calcul de l’induction et de ses dérivées sur l’axe d’une

lentille électronique magnétique de révolution

M. Laudet

To cite this version:

CALCUL DE L’INDUCTION ET DE SES DÉRIVÉES

SUR L’AXE D’UNE LENTILLE

ÉLECTRONIQUE

MAGNÉTIQUE

DE RÉVOLUTION

Par M.

_LAUDET,

Faculté des Sciences de Toulouse.

LE JOURNAL PHYSIQUE LE RADIUM _SUPPLÉMENT AU N° 7

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 18, JUILLET _1957, PAGE 73 A.

T. Introduction. ~- Différentes méthodes

peuvent

être _{utilisées pour étudier la}

_topographie

de l’induc-tion B sur l’axe d’une lentille

_{électronique}

magné-tique

de révolution. La

_plupart

d’entre elles se

ramènent en définitive à déduire de la mesure du

flux d’induction

_{1> (a, z)}

_qui

traverse un cercle de

rayon a de même axe _que la lentille étudiée.

_

FIG, i.

z

Deux

_dispositifs

sont couramment _{utilisés pour}

effectuer cette mesure.

10 SYSTÈME PENDULAIRE. - M. V. Ments et

Le Poole

_[1]

déterminent la force F

_qui

s’exerce sur une

_longue

bobine parcourue par un courant i et

dont l’axe coïncide avec celui de la lentille

(fige 2).

FIG. 2.

Lorsque

l’extrémité M’ de la sonde est située

dans une

région

où l’induction est

pratiquement

nulle,

la force .~ a _{pour intensité}

F = ni _{4l(a, z)}

~c étant le nombre de

_spires

_par unité de

_longueur

du

_{solénoïde, a}

son _rayon.

La force .~ est

_{proportionnelle}

au flux

_0(~

_z).

2~ SYSTÈME VIBRANT. - Ch. FERT

et

P. Gautier

_[2]

font vibrer

_{sinusoïdalement,}

paral-lèlement à son axe une

_longue

bobine dont l’axe coïncide avec celui de la lentille

_{(fig. 2).}

Lorsque

l’extrémité M’ de la sonde est située dans une

région

d’induction

nulle,

la f. é. m.

induite ë a _{pour valeur}

v étant à

_{l’instant t,}

la vitesse de translation de la sonde.

Fis. 3.

Posons :

et le terme fondamental de la f. é. m. induite

e = E cos 2nvt a _pour

_{amplitude :}

E est

_{proportionnelle}

au flux

_{1>( a, zo).}

On est

_donc,

dans les deux _{cas, ramené à} déduire l’induction

_B(z)

de la mesure du flux

_1>(a,

_z).

Différents artifices

_{expérimentaux}

ou

_graphiques

ont été _{utilisés pour} cette détermination. Nous allons montrer comment on

_peut

effectuer aisément

ce calcul par les méthodes

_numériques.

II.

_Principe

de calcul de

Br

z)

à

partir

de

_{(D (a, z).}

- La fonction flux

(D(p,

z)

dont on connaît les valeurs aux limites

(D(a,

z)

et

qui

obéit à

l’équation

peut

être _{calculée par la} méthode des itérations successives dans tout le

_cylindre

d’axe oz et de

rayon a

[3].

L’induction sur l’axe se calcule ensuite

sans difficulté à

_partir

de la relation

74 A

Si l’on

_opérait

_ainsi,

on serait

obligé

de

recom-mencer les itérations successives et les

diféren-tiations

_numériques

_pour

_chaque

lentille

_étudiée,

FIG. 4.

nous allons montrer

_qu’il

est

_possible

d’effectuer ces calculs une fois pour toutes et d’obtenir direc-tement à

_partir

de

_z)

l’induction sur _{l’axe par} un

_simple

produit

matriciel.

Supposons

en effet connue la solution du pro-blème dans le cas

_particulier

où

z)

est nul pour

toutes les valeurs de z _{sauf pour} z = 0 où l’on a

_{I>(a, 0)}

= 1. Cette

répartition

étant

symétrique

par

rapport

au

plan z

=

0,

il suffit de considérer

seulement le domaine

_{correspondant}

à z > 0.

Soit bi

la valeur de l’induction sur l’axe au noeud

_Mi

du réseau

_ayant

_permis

la détermination par itérations successives de

z)

(fig.

4a).

Les

_{équations (1)}

et

₍₂₎

étant

_linéaires,

aux condi-tions aux limites :

est associée la solution

_(Dbi

_(fig.

_4b)

et à la

distri-bution

_{indi quée}

sur la

figure

4c

correspondra

la solution :

obtenue _par «

_{superposition}

o de solutions

_{(Dk bz.}

ha

connaissance de la matrice élémentaire

_[b]

ramène donc la détermination de

_{la topographie}

de l’induc-tion sur l’axe à la mesure du flux

_z)

et au

produit

matriciel

_(3).

Dans le cas des

_systèmes

_symétriques

c’est-à-dire-des

_systèmes

_pour

_lesquels

et _par

suite la relation

₍₃₎

devient :

La méthode

_précédente

se

_généralise

immédia-tement au calcul des dérivées successives B’ =

dB/dz,

B" -

d 2 B Jdz2,

... de l’induction

sur l’axe des lentilles. En

_posant

la matrice élémentaire relative à

_{[ b~m?]}

a _pour

expression

avec

et dans le cas

_particulier

des

_{systèmes métriques}

75 A

III. Calcul

_numérique

des matrices élémen-taires

_[~~’~~].

---La

_répartition

du flux a été effectuée par la méthode des itérations successives à

_partir

de

_{l’équation}

aux diff éren ces finies

Fm. 5.

dans

_{laquelle G0,}

_{G1, ..., (D4}

_désignent

les valeurs

du flux aux noeuds d’indice

0, 1,

... 4 et I le

rapport

po/h

(fig.

5).

Nous avons utilisé un réseau

à mailles carrées _{de pas} h =

a/10

et les calculs

ont été conduits en

_prenant

_ponr

₀₎

la valeur 10g. Les résultats obtenues sont rassemblés dans le tableau 1. Pour ne _pas

_surcharger

la

_figure,

on a

_supprimé

les trois derniers chiffres

_{significatifs.}

Les valeurs

_{numériques indiquées}

dans le tableau

correspondent

à

_{(D(a, 0)}

= 105 . Les valeurs

de b,

b’,

b" obtenues à

_partir

de G _par les formules

clas-siques

de dérivation

_numérique

sont rassemblées dans le tableau 2.

IV.

_Application

au cas

_particulier

d’une

_spire

circulaire. - Pour donner

un

_exemple

d’appli-cation de cette méthode et avoir une idée

_précise

TABLEAU 1

76 A

des résultats

_auxquels

on est

_conduit,

nous calcu-lerons l’induction B et ses dérivées B’ et B" sur l’axe d’une

_spire

circulaire de _rayon c _parcourue

par un courant d’intensité

_{1. Bo}

étant l’induction au centre de la

_{spire, B(z), B’(z)}

et ont _pour

expression

analytique :

D’autre

_part

entre le

_potentiel

vecteur

_Acp

au

point

P(a, z)

et le flux

_z)

on a la relation

[4]

avec

’

77 A

Nous traiterons le cas

_particulier

où c = 2a et nous _{poserons z} = _at. Les formules

précédentes

s’écrivent alors :

Nous donnons dans le tableau

₍₃₎

les valeurs

exactes de

_B,

B’ et B" calculées à

_partir

des for-mules.

_{précédentes}

et celles résultant de

l’appli-cation de la méthode étudiée à

_partir

des valeurs

exactes

_{de O Ja2 Bo rassernblées}

dans le tableau

_(4).

Les erreurs relatives sur

_B,

B’ et B’ sont

respec-tivement inférieures à

_{0,002, 0,01}

et

_0,01.

V. Conclusion. - Tandis

que la

plupart

des

artifices

_proposés

_pour déterminer l’induction et

ses dérivées à

partir

de le mesure du flux font

appel

à des sondes différentes ou tout au moins

com-portant

différents

_{enroulements,}

la méthode

précé-dente utilise une sonde

unique

ne

_comportant

_qu’un

seul enroulement. De

_plus

elle

_permet

l’usage

de

solénoïde dont le diamètre soit sensiblement

_égal

à

celui du canal des

_{pièces polaires}

des lentilles étudiées.

Manuscrit reçu le 26 février 1957.

TABLEAU 4

BIBLIOGRAPHIE

[1] Appl. Research, 1947, vol. B.

[2] C. R. Acad. _{Sc., 2951, 233,} 148-150. [3]

DURAND _(E.),

_{Électrostatique}

et

_{magnétostatique.}

Masson et _{Cie, éditeur, Paris, 1953, p. 461.}