0 y 1) -(e x équations d' droites les et C courbe la par limité partie la de aire l' déduire en 2)a) ) ( ' ) h( ) h( ) ( 1 -h que déduire 2 I ) ; ( soit (x) ' xh x de I sur une est Hoh que demontrer h(I) 1 -h de primitive une h Soit b) h(I) sur primitive une admet 1 -h que Montrer a) I intervalle un sur monotone t strictemen et et dérivable reélle variable a mérique fonctionnu une h soit 1) B PARTIE g(x) précede qui ce de déduire et ; g réciproque fonction une IR sur admet f que ) 2 x e : en x équation l' IR dans résoudre 0 y soit a) 2) ) ; I (O; R.ON un dans C tive representa courbe sa Tracer c) f de s variation les Etudier b) IR DF que Montrer 1)a) : A PARTIE 2 4 2 x 2 x Log f(x) Soit 1 numéro le porte tires jetons trois des seulements deux que pour é probabilit la calculer b) nlancs jetons s avoir troi d' é probabilit la calculer a) sac le dans pasremis est n' il non si sac le dans remis et il 2 numéro le porte jeton tiré le si -suivante maniere la de ment succéssive jetons ois nouveau tr de on tire et sac le dans jetons les remet tous On 2) 1 numéro le portent qui seulement deux et deux ait en y il tirés jetons trois les parmis que é probabilit la calculer b) blancs jetons s avoir troi d' é probabilit la calculer a) sac du jetons trois remise avec et ment sucssesive on tire 1) 1;1;2 numérotés noirs jetons trois -1;2;2;2 numérotés blancs jetons quatres -suit comme réparties et au toucher bles indiscerna jetons 7 contient sac Un ' C sur opposé ments diamétrale sont ' M' et ) ' )( 3 2 R(D; ' M' et C sur A à opposé ment diamétrale point le D soit 3) ensemble cet construire ; ' C décrit M' quand H points des ensemble l' déterminer ) (AM' sur M de orthogonal projeté le est H 2) a déterminer on l' que fixe point un par passe ] [MM' de diatrice & m la que bMontrer ) 2 ( 3 ) ' ; BM ( que tel ' ' C de point le ' M et C' de point le M Soit 1) autre l' a un l' ments extérieure s et tangent C et B centre de et rayon meme de ' ' C et ' C cercles les construit on t circonscri cercle son (C) et ) 2 ( 3 ) ; AB ( que tel l équilatéra e un triangl est ABC 2
PROBLEME
EXERCICE2
EXERCICE1
BAC1991(P)
= = ∫ = ∫ ∈ + = − − + + > + = + + + = ≡ ≡ et e dt t th dt t sur Montrer b y x e J x M Montrerque M CM AC β α β α β α π π π π π ֏6 7 7 2 3 4 6 6 7 2 4 3 5 6 7 4 2 3 P(D) triplet le dans 2 le permute on (1;2;1)et donc 1 numéro jetons deux avoir D ) 3 ) 7 3 ( 7 1 7 3 7 3 6 3 7 1 7 3 2 ) 6 3 )( 7 1 ( P(C) évenement l' C soit 2 numéro de blancs 3 puis 1 B de n permutatio par puis ) 2 ; 2 ; 1 (B avoir peut on ) ) 2 1 7 1 4 2 ) 1 7 C 1 3 C 3x( P(B) ou d' t léévenemen B soit 2 numéro de 4 et 1 numero de 3jetons ya il 2;1;1) (1;2;1)ou( (1;1;2)ou avoir peut on donc 1 numéro le portes qui deux exactement avoir on veut tires jetons 3 les parmis ) 3 ) 1 7 1 4 ( favorables de nombre P(A) alors uniforme é probabilit une d' cas le dans ait on qu' signifie au toucher ble indiscerna mot remise avec et successif etant tirage Le blanc jetons 3 avoir évenement l' A soit a) 1) ' C de diametre ] ' [MM' donc ) ' ' ;' ( ) ' ; BM ( ) ' ' ; BM ( Balors (C) R' meme de ' M' ) (M' R' et D (D) R' : a on ) 3 2 R(D; R' pose on 3) (cercle) S(C) H S(M) donc C M or ) )( 2 1 ; 3 S(A; 2 1 et ) 2 ( 3 ) ; AM ( l équilatéra est AMM' triangle le que montre ' ) )( 3 R(A; 1) vu 2) fixe point seul le est A ou d' ] ' [ ' A R(A) M' R(M) ' ) ( ) 2 ( 3 ) ' ; BM ( et CM' BM meme ) )( 3 ; ( 3 ) ; ( AC AB ou d' quilatéral & etant ABC 1) en limu deduire En c) 2 1 5 2 2 1 u : ona IN n pour que Montrer b) ] 2 ; 1 [ u : a on IN n pour que Montrer a) ) 2 ( 1 u IN n ; ) (u suite la considere on 2) ]1;4[ dans solution une admet 2 1 f(x) équation l' que déduire en et [ [1; sur te décroissan stricement est que montrer 0 pour x 2 1 -f(x) (x) soit b) x) Log(2 (x) ' f x) Log(1 : a on 0 pour x que Montrr 1)a)
EXERCICE2
EXERCICE1
BAKER)
GUESMI.BOU
PAR
(PROPOSEE
CORRECTION
n 1 n n 1 0 n x x x x x x x x x x x x b x x x x B B a C C b C C possible cas de nombre le BM CM CM BM H M montreque AM AH AH M M MM méd A AM AM M M R CM de C B A R AC AB u u f u x x C PARTIE n n n + + = >> << + + + = = = = >> << = + = = = = = Γ = ∈ = ∈ = = ≡ ⇒ = ∈ ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇔ ≡ = = ⇒ ≡ = ∞ + − ≤ − ∈ ∈ ∈ = = ∈ = +∞ ≥ = + ≤ ≤ + > + + π π π π π π π π π π γ γ γ θ θ(
)
dx 2 1) -(e 0 ) ( estA 2 1) -(e et x 0 x 0; y équations d' droites les C courbe la par limité domaine du aire L' b) 1 2 1) -(e f et 0 f(0) 2)a) (t)dt th' ) (Hoh)( -) (Hoh)( )) H(h( -)) H(h( ) h( ) h( ) ( 1 -h ou d' H est 1 -h de primitive une qu' sait c)on (x) xh' x de primitive une est Hoh (x) xh' (x) (h(x)).h' 1 -h (x) .h' (h(x)) H' (x) (Hoh)' (x) 1 -h (x) H' 1 -h de primitive une est H (x) v' (v(x)). u' (x) (uov)' que sait on général en b) h(I) sur primitive une admet donc h(I) sur continue 1 -h ; 1 -h récproque fonctoin une admet donc h(I) sur crissabte t strictemen et continue 1)a)h ) ( ) ( 2 4 2 2 2 4) y(y 2 y Log x f(y) x ) ( f y que tel IR x ! ; IR y ; IR de bijection une réalise f donc en limf(x) ; 0 f(0) ; [ [0; sur croissante t strictemen et continue etant f ) 2 ) 4 ( 2 2 ) 4 ( 2 e ) 1 2 2 y puisque logique est (c' 2 4) y(y 2 y t donc rejeter à 0 y que vu 1 ) 4) y(y 2 2(y 4 ' t' : a on conjugué expression l par ur dénominate le et numérateur le t multiplian en ; 1 1 e 0 x a on 2 4) y(y -2 y ' ou t' 2 ) 4 ( 2 ' 0 4 2) (y ; 0 1 ) 2 ( 0 2 t 1 t à e équivalent est équation l' ; 0 e t pose on en x équation 0 y ; 2 e 2)a) en f lim et 0 f(0) IR sur croissante t strictemen est f 0 4) x(x 1 (x) ' f b) [ [0; Df conclusion impossible 4 0 ) 2 ( 4 x obtient on carré au elevant en 0 2) (x -alors ;-4[ -] x si ii) vrai toujours donc 0 4) x(x et 0 2) (x -donc [ [0; x si i) ) 2 ( 4) x(x 0 4) x(x 2 x ; ) 4 ( ) 4 ( 2 4 x 2 x 1 (x) ' k ; [ ]0; ;-4[ -] x 0 4) x(x 4 x 2 x k(x) soit 0 4 x 2 x que faut il 0 4) x(x avec ; 2 4 x 2 x Log f(x) 1)a) A) PARTIE PROBLEMEB
PARTIE
BOUBAKER)
GUESMI
PAR
(PROPOSE
(P)
BAC
CORRECTION
1 2 1 -x x 2 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 ∫ = = = = = = ∫ = = = ∫ ⇔ = = = = ⇔ = = = − + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ = ⇔ = ∈ ∃ ∈ ∀ ∞ + +∞ = = +∞ + + + = ⇔ + + + = > + + + + = > < + + + = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ + + = + + + = > − + = ∆ = + + − ⇔ = − − + > = > = − + ∞ + +∞ = = > + = +∞ = > ⇔ + > + > + ∞ ∈ > + < + +∞ ∈ + − > + ⇔ > + + + + + + + = + + + = +∞ ∪ ∞ ∈ ⇔ > + + + + = > + + + > + + + + = − − + + + + − + e x f e e dt t x g x f e e y y y y e x dansIR b y y y Log x y y y t y y y t y t t y y e x x x x x x x x x x x x x x x x β α α β α β β α ֏[
]
[
]
{
}
γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ θ α θ θ θ θ θ θ θ θ 2 1 n u Lim donc 0 2 1 n u Lim aura on limite la à passant en ou D' n quand 0 5 2 5 2 puisque 2 1 1 5 2 2 1 n u obtient on mombre a mombre t multiplian en 2 1 0 u 5 2 2 1 1 u ; . . . 2 1 2 -n u 5 2 2 1 1 -n u 2 1 1 -n u 5 2 2 1 n u 2 1 n u 5 2 2 1 1 n u ou d' n 2u 5 1 n 2u . (c) ' f ) ( ) n f(2u que tel et n 2u entre c reél un existe il TAF le apprés d' ; 5 1 4 2 x 1 (x) ' f ; 5 4 2 x 1 pour x b) [1,2] 1 p u donc 1,31 f(2) ; 0,96 ) 2 5 3 Log( f(1) ; )] 2 ( ); 1 ( [ ) ( IR sur croissante etant f ] 2 ; 1 [ p u : a on 0 p pour que supposons ; [1;2] 1 ; 0 n pour ) 2 ( 1 n u ; 1 0 u 2) ]1;4[ dans 2 1 f(x) 0 (x) de solution ]1;4[ reél seul un existe il 0 (4) 0; (1) ; dérivable et intervalle meme le sur te decroissan est [ [1; sur 0 (x) ' alors en -N(x) lim et 0 5 -2 N(1) : a on et te décroissan est N(x) ; [ [1; sur 0) x que (puis 0 4) x(x 2) (x -(x) ' N ; 4) x(x -2 N(x) soit 4) x(x -2 que meme le est ' de signe le donc positif est ur dénominate le ) 4 ( 4) x(x -2 2 1 -(x) ' f (x) ' ; 2 1 -f(x) (x) 0 x b) x) Log(2 f(x) obtient on Log au passant en et 2 par divisant en 0) (x 2 ) 2 ( 2 4) x(x 2 x : ona meme de f(x) ) 1 ( 1 4) x(x 2 x x) 2(1 : a on 4) x(x 2 x x) 2(1 Log f(x) -x) Log(1 x) Log(2 f(x) x) Log(1 que montrons : 0 x 1)a) 2 ) 2 ( 1) -(e 2)a)) (vu ) ( tf(t) A écrire peut on c) aprés d' or ) ( ' ) ( ) ( A t v 1 et v' ; ' f u' f u partie par n intégratio une faisant enC
PARTIE
1 0 2 1 0 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 1) -(e 0 2 2 2 2 = ≤ − +∞ → → < − ≤ − − ≤ − ≤ ≤ − ≤ − − ≤ − − ≤ − + − ≤ − = − ≤ + = ≥ + ⇒ ≥ ∈ + ≈ ≈ + = ∈ ⇒ + ∈ > ∈ = = + = = ⇔ = ∈ ⇒ < > ⇒ +∞ < ∞ + ∞ = < = +∞ ≥ < + + = + = + + + = = = ≥ + ≤ > + + + ≤ + + + ≤ + ⇒ < + + + + + + + + = + + ≤ ≤ + > = − + − = − = − = = = ⇒ = = ⇒ =∫
∫
∫
∫
− − − − − n alors n f x x f f p u f n u f on eulesoluti xadmetunes x x x x x x Log e dt e e e dt t f dt t tf t tf dt t f t t e e e e e e e
