PROBLEME RESTREINTDES TROIS CORPS

LE PROBLEME DES 3 CORPS

Equations

m₁

m₃ m₂

R₃-R₂

R3

R₂

r2

r₃ r₁

O

3 3 3 3 3

2 2 3 2

1 3

1 3 3 3

1 2

1 2 2 2

1 2

R m R R G m R r G

r r m r

r G r

r m r

dt G r

d r r

r r

r r r

r r r

r = +

− + −

−

= −

3 2 2 3 1

2 3

2 3 3 3

2 1

2 1 3 1

2 3

2 3 2 3

2 2

R m R G R R

R m R

r G r

r m r r G

r r m r

dt G r

d r

r r

r r r

r r r r

r r r

r −

−

= −

− + −

−

= −

3 2 2 2 3 1

3 3 3 2 3

2 3 3

2 2 2

)

( R

m R m R G

R R

R R m R

dt G R

d r r

r r

r r r

+

−















− −

= −

33 3 3 3 1

2 3 2 3 2

3 2 2

2 3

2 ( )

RR m m RR G

R R

R m R

dtR G

d r r

r r

r r

r − +















 −

−

= −

23 2 2 2 1

2 2

RR m m dt G

R

d r r

)

( +

−

=

L'équation du mouvement de la masse m₁s'écrit:

L'équation du mouvement de la masse m₂s'écrit:

En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient:

Si m3 est négligeable par rapport à m1 et m2, on retrouve Képler:

LE PROBLEME RESTREINT DES 3 CORPS

Equations: m3<<m2<m1

m₁

m₃ m₂

R₃-R₂

R3

R₂

r2

r₃ r₁

O

3 3 3 3 3 1

2 2 3 3 2

3 2 2

2 3 2

)

( R

m R m R G

R R R

R m R

dt G R

d r r

r r

r r r

+

−















− −

= −

3 2 2 2 1

2 2

RR m m dt G

R

d r r

)

( +

−

=

2

Mouvement Képlerien de m2 autour de m1 pris comme référence des axes

Mouvement du satellite m3

3 2 2 2 3 1

3 3 3 2 3

2 3 3

2 2 2

)

( R

m R m R G

R R

R R m R

dt G R

d r r

r r

r r r

+

−















− −

= − Perturbation du mouvement de m2 du fait de m3:

Sundman 1912 a trouvé une solution sous forme de séries trop lenetement convergentes Toutes le slois physiques sont à deux coprs

LE PROBLEME RESTREINT DES 3 CORPS

Forme canonique des équations

x

y Y

X

1

r₂

ωt

2 2

2 Y (x y)² (y x)

X& +& = &−ω ⁺ &+ω

2 1

1 r r

µ µ₋

− −

=

Vx dt x

dy dt

x d

∂∂

−

=

−

− ²

2

2 2ω ω

Vy dt y

dt dx y d

∂∂

−

=

−

− ²

2

2 2ω ω

V Y X V T

L= − = &²+&²− Equations de Lagrange

( )

^dx_dt ^dy_dt ^{− (x +y )=−V+constante}



 



 



 



+ ^{2 2}

2 2

21 21

2 2

12 x y

r =( +µ) +

2 2

22 x 1 y

r =( + −µ) +

(-µ,0)

µ=m2/(m1+m2) m1+m2=1

ωdonné par 3ème loi de Képler (on est donc bien dans un problème restreint à 3 corps)

23 13

1 1

r x r

x

Vx= −µ +µ+µ ^{− +}µ

∂∂ ( )

23 13

1 r

y r

y Vy= −µ +µ

∂∂ ( )

X=xcos(ωt)-ysin(ωt) Y=xsin(ωt)+ycos(ωt)

or V

r (1- ,0)µ

Intégrale de Jacobi:

Programme APOLLO Les orbites Shuttle

Satellite en orbite rétrograde autour de la Lune à 400 miles de la surface. On lui impose une accélaration pour le mettre en orbite autour du système Terre-

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

Lune

x

y Y

X r₁

r₂

ωt

2 2

12 x y

r =( +µ) +

2 2

22 x 1 y

r =( + −µ) +

(-µ,0)

(1-µ,0)

Objectif: Placer APOLLO sur une orbite shuttle qui voyage entre la Lune et

la Terre et qui visiterait cette dernière régulièrement dans l’attente d ’une

mission de sauvetage

Programme APOLLO Les orbites Shuttle

Orbites de [Hairer, Norsett, & Wanner] et orbites de [Shampine & Gordon]

) . (

. 2

2 1

3

m m G P a

= π +

Unité de masse = Masse de la Terre + Lune (m1+m2) Unité de distance = Distance Terre-Lune (a)

Unité de Temps = 4.3484 jours

Elle est choisie telle que G=1 d’après la 3ième loi de Képler

La précision de constante G est la plus faible de toute les constantes fondamentales ! D’où le choix de travailler dans un système G=1

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

(0.994,0)

Programme APOLLO Les orbites Shuttle

Choix de la méthode d’intégration….

[t,y]=ode45(‘oorbitode',[0 7],[0.994;0;0;-2.1245]); [t,y]=ode23('oorbitode',[0 7],[0.994;0;0;-2.1245]);

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

(0.994,0) (0.994,0)

Programme APOLLO

Choix de la méthode d’intégration….

(0.994,0)

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

[t,y]=ode113(‘oorbitode',[0 7],[0.994;0;0;-2.1245]);

Programme APOLLO

Choix de la méthode d’intégration….

Solver Problem Type

Order of

Accuracy When to Use

ode45 Nonstiff Medium

Most of the time. This should be the first solver you try.

ode23 Nonstiff Low

If using crude error tolerances or solving moderately stiff problems.

ode113 Nonstiff Low to high

If using stringent error tolerances or solving a computationally intensive ODE file.

ode15s Stiff Low to medium

If ode45 is slow (stiff systems) or there is a mass matrix.

ode23s Stiff Low

If using crude error tolerances to solve stiff systems or there is a constant mass matrix.

ode23tb Stiff Low

If using crude error tolerances to solve stiff systems or there is a mass matrix.

ode23t Low

If the problem is only moderately stiff and you need a solution without numerical damping.

Moderately Stiff

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

La dépendance en 1/r

²

rend le système raide

(fortes variations en magnitude du système d’équations différentielles)

Programme APOLLO

ODE23 semble la meilleure puisqu’elle fait tendre la solution vers une solution périodique (prouvé par des méthodes plus rigoureuses)

ODE15 S ODE23 S ODE23 T B

ODE23 T

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

(0.994,0) (0.994,0)

(0.994,0) (0.994,0)

Programme APOLLO

Autre exemple d’orbite shuttle (critère: passage régulier proche de la Terre)

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

Programme APOLLO

Autre exemples d’orbites…Remarquer la complexité qui augmente alors que seul varient la condition initiale sur la vitesse

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

MATLAB

Autre exemples d’orbites…Remarquer la complexité qui augmente alors que seul varient la condition initiale sur la vitesse

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

fig1=figure('NumberTitle','off','Name','Séminaire du 24 janvier 2003 - Le problème des 3 corps') figure(fig1)

options = odeset('RelTol',1e-15')

[t,y] = ode45('oorbitode',[0 0.18337451820715063383E+02],[0.12E+01 0 0 -0.71407169828407848921E+00],options);

plot(y(:,1),y(:,2),'r-',0,0,'bo',1,0,'ko');

xlabel('Unité = Distance Terre-Lune - temps de simulation=18.33 x 4.3484 jours') ylabel('Unité = Distance Terre-Lune - ODE45')

title('CI: (x,y)=(1.2,0) - (dx/dt,dy/dt)=(0,-0.71407169828407848921E+00) - Précision 1e-15') function dydt = oorbitode(t,y)

mu = 0.012277471;

mustar = 1 - mu;

r13 = ((y(1) + mu)^2 + y(2)^2) ^ 1.5;

r23 = ((y(1) - mustar)^2 + y(2)^2) ^ 1.5;

dydt = [ y(3) y(4)

(2*y(4) + y(1) - mustar*((y(1)+mu)/r13) - mu*((y(1)-mustar)/r23)) (-2*y(3) + y(2) - mustar*(y(2)/r13) - mu*(y(2)/r23)) ];

Références: A collection of restricted three-body test problems/P.W. Sharp Department of Mathematics, University of Auckland, Private Bag 92019,

Auckland, NEW ZEALAND. sharp@scitec.auckland.ac.nzMarch 27, 2001 WinZip File

ORBITES AUTOUR

DES POINTS DE LAGRANGE

Document Microsoft Word

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

ORBITES AUTOUR

DES POINTS DE LAGRANGE

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

LES POINTS DE LAGRANGE

Definition: solutions stationnaires du problème restreint à trois corps Même vitesse angulaire Ω des 3 masses autour du cdm (position relative de M

₁

, M

₂

et m reste inchangée)

Il y a 5 points où la force gravitionnelle exercée par M

₁

, M

₂

équilibre la force centrifuge ressentie par le satellite m

L1, L2 and L3 =instable ou quasi-stable L4 et L5 = conditionellement stable.

Lagrange Points dans système Terre/Soleil/Satellite

LES POINTS DE LAGRANGE

Forces extérieures ressenties par le satellite m dans le système d’axes en mouvement à Ω

3 2

2 2

3 1

1

1( ) ( )

r r

r r GM r

r

r r

F GM v v

v v v

v

v v

−

− −

−

− −

=

) (

) (

2 m r

dt r m d

F

F v v v v v

× Ω

× Ω

−

× Ω

−

Ω

=

x M R M x M R

r ˆ ˆ

2 1

2

1 =−α =− +

v Vecteur du cdm à M1 ^Coriolis Entrainement

x M R M x M R

r ˆ ˆ

2 1

1

2 =β = +

v Vecteur du cdm à M2

3 2

1 )

( R

M M

G +

= Ω

ω r

₁

r

₂

M

₁

M

₂

m

3ème loi de Képler

Le problème est restreint car on néglige l’effet du satellite sur M1 et M2 (utilisation de la 3ème loi de

Képler pour M1, M2)

LES POINTS DE LAGRANGE

) (

) (

2 m r

dt r m d

F

F v v v v v

× Ω

× Ω

−

× Ω

−

Ω

=

)

( X r

X m X

m m

F

v X m m

F m F

a m F

relatif dtr

d relatif

dtv d

relatif dtv

d dtv d

r r r

r r

r r r

r r r

r r

r r

Ω Ω

+ Ω

+

=

Ω +

=

=

=

relatif dt

r r d

relatif dt

v d

relatif dt

r d relatif dt

d relatif dt

v d

X a

r X

r r

r r

r r

r r Ω

+

=

 

  + Ω

=

) (

) (

r X X m X

m F a m

r X X m X

m a

m F

relatif dtr r d

relatif dt

r r d

r r r r

r r

r r r r r

r

r r

Ω Ω

− Ω

−

=

Ω Ω + Ω

+

=

2

2

CODE MATLAB

But: résoudre

^Ω

= − 2 ( Ω × ) − m Ω × ( Ω × r ) = 0 dt r

m d F

F v v v v v

avec = 0 dt r d v

clear all;

close all;

%Constants M1 = 1;

M2 = M1/10;

m = 2*M1; % Chosen large for numerical resolution - negligible in COM & omega calculations R = 10;

v = [0 0 0];

G = 1;

%G = 6.672E-11; % True value of the Universal Gravitational Constant in N m^2 kg^(-2) alpha = M2/(M1+M2);

beta = M1/(M1+M2);

r1 = [-alpha*R 0 0]; % Vector from center of system mass to M1 r2 = [beta*R 0 0]; % Vector from center of system mass to M2

Ohm_scalar = sqrt(G*(M1+M2)/R^3); % Value of omega, the angular velocity of the system Ohm = [0 0 Ohm_scalar]; % Omega vector

rx = linspace(-1.5*R,1.5*R,100); % Define values along x-axis ry = linspace(-1.5*R,1.5*R,100); % Define values along y-axis for i=1:100

for j=1:100

r = [rx(i) ry(j) 0]; % The vector r

F = -G*m*(M1*(r-r1)/norm(r-r1)^3 + M2*(r-r2)/norm(r-r2)^3); % Force on m

F_ohm_mag(i,j) = norm(F - m*cross(Ohm,cross(Ohm,r))); % Magnitude of F_omega end

end

% Create a vector defining the contour values I wish to plot v(1)=0;

for i=1:99

v(i+1)=v(i)+0.001;

end

figure % Plot contours contour(F_ohm_mag, v)

CODE MATLAB

Résultat

Stabilité ne peut être examinée sur base des extremas du potentiel car dépendance en v

Instable - période d’e-folding = 23 jours

Conditionnellement Stable (dépend des masses M1 et M2)

Instable - période d’e-folding = 150 ans

Instable - période d’e-folding = 23 jours

Conditionnellement Stable (dépend des masses M1 et M2)

) / (

2m v drv dt

× Ω

Dévie le satellite sur une orbie autour dupoint de Lagrange

PLACEMENT DE SONDES AUX POINTS DE LAGRANGE

Uniquement pour des missions scientifiques

SOHO

(étude de la structure interne du soleil, du vent solaire et de l’atmosphère soliare): en L1 ⇒vue ininterrompue du soleil

MAP-Microwave Anisotropy Probe

(étude des variations de température cosmiques): en L2 ⇒ pointage des instruments en dehors de Terre, Soleil

COBE:

était en orbite circulaire synchrone au soleil autour de la Terre; L2 est choisi car loin de la Terre et de ses radiations+emissions magnétiques et permet un refroidissement passif des instruments

MAIS nécessité de correction constante de position (efolding time= 23 jours)

L3 pas intéressant (malgré efolding de 150 ans) car comment faire parvenir les signaux à la Terre: il faut un satellite relais.

Orbite HALO:

orbites autour de L1 (permettre la discrimination du signal par rapport au rayonnement du soleil) et autour de L2 (éviter l’occultation de la Lune une fois par mois et permet de placer plusieurs sondes en L2)

Spacecraft Operator Launch date Orbit Mission SOHO ESA/NASA Dec ‘95 L1 Solar observatory

MAP NASA June ‘01 L2 Observe the cosmic background radiation Genesis NASA Aug. ‘01 L1 Solar wind measurement

Triana NASA TBD L1 Earth Climate Observation NGT NASA TBD L2 Deep space telescope EE350: RADIOSCIENCE SEMINAR A STUDY OF LAGRANGE POINTS SPRING

2002 FRASER STUART THOMSON

ASTEROIDES TROYENS

PROBLEME RESTREINT DES TROIS CORPS

La force de Coriolis au voisinage de L4 et L5 donnent aux astéroïdes une forme typique de rein

Des astéroïdes ont été trouvé pour plusieurs sytèmes à 3 corps:

-Soleil-Saturne,Soleil-Mars, Jupiter-Jupiter Satellite et

-Saturne-Saturne Satellite: Thetys a deux petites lunes en L₄L₅: Telestoand Calypsoet Dione a une Lune: Helene en L₄

Seul un nuage de poussière a été trouvé pour le système Terre-Soleil: on a cru que3753 Cruithneavait une orbite troyenne mais il a une orbite régulière autour du soleil. Lorsque 3753 Cruithnerenconre la Terre, il lui prend de l’énergie orbitale et monte sur une orbite plus large et d’énergie plus grande. Quand l’astéroïde est capturé par la Terre, cette dernière lui reprend l’énergie orbitale. L’astéroîde tombe sur une orbite plus petite pour éventuellement s’écraser sur la Terre.

Plusieurs milliers d’astéroïdes au voisinage de L4 et de L5 dans le système à 3 corps restreint: Jupiter-Soleil

L4 et L5 ne donnent pas d’avantages observationnels et risque de collision avec débris Attention: on se trouve en fait dans un système à plus de 3 corps:

Tenir compte de la perturbation de la Lune pour la satabilité de L1 et L2 !!!.

CAPTURE D’ASTEROIDE

Comète: « stockées » dans la zone d’Oort (au-delà de Pluton). Le passage d’étoiles provoque une perturbation qui fait rentrer la comète dans le système solaire. Elle rejoint ensuite la zone d’Oort après plusieurs millions d’années

Origine de l’existence de comètes périodiques de quelques années ? Capture d’une comète de Oort par Jupiter

S J

r

_J

r

D

)

(

_{3 3}

3 2

2

J J J

J

r x

D x m x

r x dt x

d = − + − −

)

( _{3 3}

3 2

2

J J J

J r

y D

y m y

r y dt

y

d =− + − −

Mouvement de la comète

3 2

2

r x

J

m dt x m

d = − (

J

+

S

)

3 2

2

r

J

m y dt m

y

d = − (

J

+

S

)

Mouvement de Jupiter autour du Soleil (Képler)

CODE MATLAB

global MeanMotion_Jupiter M_soleil M_jupiter t_impact impact t0;

MeanMotion_Jupiter=2*pi/74.53;

M_soleil=1;

M_jupiter=0.001;

for i=30:60

options = odeset('RelTol',1e-10);

impact=0;

t0=i

% conditions initiales du mouvement x0=100

y0=0;

dx0_dt=0;

dy0_dt=0.03086;

[t,y] = ode45('Jupiter_eq',[0 3000],[x0 y0 dx0_dt dy0_dt],options);

zoom on

fig1=figure('NumberTitle','off','Name','Séminaire du 24 janvier 2003 - Le problème des 3 corps') figure(fig1)

%tracé de la trajectoire de Jupiter

plot(5.21*cos(MeanMotion_Jupiter*(t-t0)),5.21*sin(MeanMotion_Jupiter*(t-t0)),'r-');

hold on

plot(0,0,'ko',x0,y0,'ro') hold on

zoom

% tracé de la trajectoire de la comète axis([-10 130 -50 50])

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

hold on

% cosmétique du graphe

title(['Interaction Comète/Jupiter - Jupiter était à un angle ',num2str(MeanMotion_Jupiter*t0*180/pi)]);

xlabel(['UA - temps de parcours (an)=',num2str(t(max(size(t)))/74.53*11.86)]) ylabel('UA')

pause hold off;

end

RESULTAT

RESULTAT

Contrôle: M_jupter= 0 ⇒ On retrouve Képler Comète autour du Soleil

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

Cœurs de galaxies plus denses que la périphérie. On néglige les attractions d’étoiles entre elles pour ne considérer que l’attraction vers les coeurs

x y

D

M2(cœur galactique) M1(cœur

galactique)

xxx

xx xx

xx

x x

x

3 2

2 1 2

rr M dt M

r

d r r

)

( +

−

= Kepler pur entre les cœurs de galaxie M1 et M2











 −

− + −

−

= _{3 3 3}

2

2 1 2

rr r r

r M r rr dt M

r d

i

i i r

r r

r r r

r

3 corps restreint entre les étoides entourant M1, M1 et M2

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

On calcule l’interaction des étoiles une à une avec le système M1, M2. Une fois toutes les interactions calculées, on bouge M2; ensuite on recommence.

Influence de M2 encore négligeable. Les étoides sont en Kepler autour de M1 Etoiles réparties concentriquement et

aléatoirement autour du cœur M1 (éviter des symétries sans signification physique)

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

On calcule l’interaction des étoiles une à une avec le système M1, M2. Une fois toutes les interactions calculées, on bouge M2; ensuite on recommence.

Influence de M2 commence à marquer le premier bras de spirale

M2 commence à perturber le mouvement képlérien des étoides autour de M1

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

On calcule l’interaction des étoiles une à une avec le système M1, M2. Une fois toutes les interactions calculées, on bouge M2; ensuite on recommence.

Bras de la spirale commence à se marquer Bras de spirales très marqués

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

On calcule l’interaction des étoiles une à une avec le système M1, M2. Une fois toutes les interactions calculées, on bouge M2; ensuite on recommence.

M2 a capturé des étoides de M1

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

Computational Study of Galactic Interactions THE ANTENNAE AND CARTWHEEL

GALAXIES/Greg Holt.- The University of Texas at Austin (December 12, 2000 )

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

Computational Study of Galactic Interactions THE ANTENNAE AND CARTWHEEL

GALAXIES/Greg Holt.- The University of Texas at Austin (December 12, 2000 )

INTERACTION GRAVITATIONNELLE ENTRE 2 GALAXIES

Computational Study of Galactic Interactions THE ANTENNAE AND CARTWHEEL GALAXIES/Greg Holt.- The University of Texas at Austin (December 12, 2000 )

WinZip File WinZip File

METHODES APPROCHEES

La méthode particule/particule

Dans cette méthode, pour chaque particule, on accumule les forces générées par l'interaction avec les particules voisines. Une fois celles-ci calculées, on intègre l'équation, comme si les particules voisines

étaient fixes. On arrive en quelque sorte à découpler les équations du mouvement entre elles. Il est clair que cette méthode est d'autant moins rigoureuse que les particules voisines sont proches de la particule pour laquelle on procède à cette simplification de l'équation. En effet, plus la particule voisine est proche de la particule considérée, plus la force d'interaction (par exemple, la gravitation) est élevée et l'accélération subie par les deux particules aussi. Supposer la particule voisine au repos est donc d'autant plus inexact. Dans ce dernier cas, il faut alors prendre des pas d'intégration sur le temps très petits mais ce n'est qu'un pis-aller dans l'application de la méthode.

La méthode symplectique

C'est la méthode la plus proche de la mécanique classique: elle utilise une approche hamiltonienne à savoir la conservation de l'énergie et autres intégrales premières le cas échéant. On peut alors se permettre des pas d'intégration beaucoup plus élevés. L'utilisation de cette méthode a, par exemple, permis de mettre en évidence que certaines orbites planétaires dans le système solaire sont instables, ce que ne montraient pas des méthodes basées sur l'intégration directe des équations du mouvement.; on a même pu montrer que Mercure pourrait être éjecté du système solaire dans moins de 3.5 milliards d'années lors d'un passage près de Venus !

METHODES APPROCHEES

La méthode de TREE

Cette méthode se base sur le fait que les particules interagissent fortement avec ses voisines les plus proches mais beaucoup plus faiblement avec ses voisines les plus lointaines. L'ensemble des forces extérieures agissant sur la particule est donc divisée en forces qui sont dues aux interactions à courte distance et forces dues aux interactions à longue distance. Les forces à courte distance sont calculées de manière rigoureuse sur base de la particule étudiée et de ses voisines immédiates. Les forces à longue distance sont calculées sur base de l'interaction entre la particule étudiée et les particules les plus éloignées regroupées, pour les besoins du calcul, en nuage de particules. On divise l'espace en régions successivement éloignées pour lesquelles l'éloignement plus moins relatif des particules est testée pour savoir si une modélisation en nuage est acceptable ou non.

On notera que cette méthode n'exige plus de construire une grille ou un maillage.

Elle permet de modéliser des systèmes entre 10 000 et 1000000 particules.

La méthode de maillage

Avec cette méthode, une grille ou un maillage est posé sur la région à simuler. Les masses des particules sont alors représentées sur le maillage sous forme de densité qui est interpolée aux sommets du maillage.

Les forces sont calculées à partir du potentiel du maillage et sur cette base, la simulation est effectué. Cette méthode s'apparente bien évidemment à la méthode des éléments finis, laquelle est aussi utilisée pour la simulation du problème à n corps.

La méthode de maillage n'est toutefois pas idéale lorsqu'il faut modéliser une répartition non uniforme des particules ou des rencontres entre groupes de particules (dit aussi systèmes corrélés).

Au voisinage des zones à plus haute densité de particules, on raffine alors le maillage. Pour tenir compte des changement de géométrie à grande échelle du système à n particules (comme, par exemple, les ondes de choc), on utilise alors des techniques de maillage dynamique qui s'adaptent automatiquement au changement de configuration géométrique.

INFLUENCE SUR LE CLIMAT

Les interactions gravitationnelles des planètes peuvent aussi engendrer un

comportement chaotique dans les variations de l'orientation de l'axe de rotation des planètes telluriques

En raison de leur masse, les planètes géantes (Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune) sont très peu affectées par de tels phénomènes, et leur mouvement reste quasi périodique à long terme.

Résonance entre précession et période orbitale

Précession est liée à la vitesse de rotation, d’où il est possible de définir pour chaque planète sa zone chaotique, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de sa période de rotation et de son obliquité pour lesquelles cette dernière est très instable.

Marsest dans une zone chaotique (obliquité est susceptible de varier entre 0 et 60 degrés en quelques millions d'années)

Terreest en zone non chaotique:son obliquité subit sur une période d'environ 41 000 ans de petites variations de 1,3 degré d'amplitude autour de sa valeur

moyenne de 23,3 degrés. Bien que faible, une telle amplitude suffit à provoquer des

changements de près de 20 % de 'insolation et pourrait expliquer les périodes glaciaires du Quaternaire

SYSTEME SOLAIRE APPROCHE PROBLEME A 3 CORPS

Le système solaire peut être approché par un système à 3 corps: Jupiter, Saturne et le Soleil

Examinons ce système si la masse de Saturne et de Jupiter sont 10 fois plus grande et que la distance de Saturne au Soleil diminue

progressivement

S Jupiter r

_J

Saturne

Conditions initiales données par la 3ème loi de Kepler

(comme si Jupiter et Saturne ne subissait que l’attraction du Soleil)

La simulation donnera donc la déviation par rapport à Képler c’est-à-dire l’effet des 3 corps (l’effet de Jupiter sur la rotation de Saturne autour du Soleil et l’effet de

Saturne sur la rotation de Jupiter autour du Soleil)

) . (

. 2

2 1

3

m m G P a

= π +

a_Jupiter=5.2 UA P_Jupiter=11.9 ans

a_Saturne=9.5 UA ⇒9.5-20%

P_Saturnedonnée par (1)

(1)

RESULTAT

RESULTAT

CONCLUSIONS

D ’autres massses pour Jupiter et Saturne n ’auraient pas été possibles. Les masses actuelles donnent lieu à des orbites assimilables à du Képler pur

global M1 M2 M3

M1=1;M2=0.00095387536;M3=3e-4 for i=0:7

distance=9.5*(1-i/20)

periode=sqrt(distance^3/(1+M3));

fig1=figure('NumberTitle','off','Name','Séminaire du 24 janvier 2003 - Le problème des 3 corps')

figure(fig1)

options = odeset('AbsTol',1e-15')

[t,y] = ode23tb('Jup_Sat_eq',[0 periode*2*pi*4],[5.2 0 0 5.2/11.9 distance 0 0 distance/periode ],options);

plot(y(:,1),y(:,2),'r-',y(:,5),y(:,6),'k-') hold on

options = odeset('AbsTol',1e-10')

[t,y] = ode23tb('Jup_Sat_eq',[0 periode*2*pi*4],[5.2 0 0 5.2/11.9 distance 0 0 distance/periode ],options);

plot(y(:,1),y(:,2),'m-',y(:,5),y(:,6),'b-')

d = sqrt((y(:,1) - y(:,5)).^2 + (y(:,2) - y(:,6)).^2);

title(['Orbite de Jupiter et Saturne - Distance de Saturne à Soleil =',num2str(distance)]);

axis([-15 15 -15 15]);

xlabel(['UA - Distance Minimum entre Saturne et Jupiter =',num2str(min(d))]) ylabel(['UA - Masse Saturne =',num2str(M3),'Masse Jupiter',num2str(M2)]) pause

end

RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE

Théorie d ’ALLEN: rentrée balistique

X Z

Z

^e

V

^e

Sol

Trajectoire Capsule de rentrée

Limite atmosphère

R

^x

V

Verticale depuis le centre de la terre

γ

e

Pesanteur négligée (puisque la décélération sera de plusieurs dizaines de g)

Portance négligée (car rentrée balistique) Traînée:

( )

²

2

1 Z SC V

R

_x

= ρ

_x

( )

0 ²

2

1 1 e V

M SC dt

dV =− ρ _x ⁻_H^Z

( )

V _e

dt

dZ =− sinγ 2

km m Z

H

m e^H kg

Z

pour /

.

avec 5 80

6700 735

1 ³

0 0 ≤ ≤













=

= ρ ρ =

ρ

RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE

Application à Apollo

global rho Cx M S H gamma

rho=1.735;S=0.0032;Cx=1;M=1;H=6700;

Ve=11000;Ze=80000 for i=1:10

gamma=5*i/180*pi

options=odeset('RelTol',1e-10)

[t,y]=ode45('rentree_eq',[0 400],[Ze Ve],options)

acceleration=-(0.5*rho*S*Cx/M).*exp(-y(:,1)/H).*y(:,2).^2;

plot(y(:,1),acceleration/10)

text(y(250,1),acceleration(250)/10,['\leftarrow',num2str(5*i),'°'],'FontSize',12) hold on

end

title(['Accélération subie par Appolo pour différents angles d entrée \gamma']);

xlabel('altitude')

ylabel('acceleration unités = g')

function z=rentree_eq(t,y) global rho Cx M S H gamma;

z=zeros(2,1);

z(1)=-y(2)*sin(gamma);

z(2)=-0.5*rho*S*Cx/M*exp(-y(1)/H)*y(2)^2;

RENTREE DANS L ’ATMOSPHERE

Application à Apollo

L’angle d’attaque est primordiale

Pour des valeurs supérieures à 10°, l’accélération dépasse 10g, qui est humainement inacceptable

Géométrie de la capsule n’a pas d’influence sur l’accélération Géométrie a influence sur l’altitude de l’accélération maximale

CONCLUSIONS

–Isoler la partie frontale de la capsule de la couche ionisée très chaude. C'est le rôle du BOUCLIER THERMIQUE

–Evacuer loin des parois latérales ce flux de chaleur.Forme du corps de rentrée très évasée, qui "éclate" l'onde de choc et l'écarte des parois, entraînant ainsi une couche limite

–Eviter l'échauffement de la partie isolante. Sublimation à température peu supérieure à la température ambiante de la cabine.

–Un changement de phase solide - gaz est préconisé pour éviter les dépôts et

"coulures" sur les parois, le bouclier se sublime donc.