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Effet de la Conduction Pariétale sur les Echanges Thermiques dans une Enceinte Parallélépipédique (Chauffage Local)
R. Mehdaoui, A. Touhami et R. Taibi
Centre Universitaire de Béchar, B.P. 417, 09000, Béchar
Résumé – Dans ce travail, les auteurs proposent un modèle de transfert de chaleur, couplant les équations de la convection naturelle en régime laminaire non établi dans une enceinte à celle de la conduction dans une de ses parois. Ils élaborent un programme de calcul informatique basé sur une méthode de résolution directe (méthode de Thomas) associée à une méthode itérative. Ce programme permet de déterminer les distributions spatio-temporelles de la température, de la fonction de courant, de la vorticité ainsi que le nombre adimensionnel local et moyen de Nusselt à l’intérieur de l’enceinte.
Abstract – In this work, the authors propose a heat transfer model combining the equations of natural convection in unsteady laminar flow in an enclosure to those of the conduction in one of its walls. They have elaborated a computer program based on the direct resolution method (Thomas method) associated with an iterative method. This program permits the determination of the temperature spatial and temporal distributions, of the current function, of the vorticity as well as of the average and local Nusselt number inside the enclosure.
Mots clés: Conduction pariétale – Echanges thermiques – Enceinte – Chauffage local – Convection naturelle – Régime laminaire et transitoire – Fonction de courant – Fonction de la vorticité – Différences finies – Volume de contrôle
1. POSITION DU PROBLEME
Le transfert de chaleur solide - fluide lors d’un écoulement par convection naturelle au voisinage ou à l’intérieur des cavités de formes diverses a fait l’objet de nombreuses études antérieures. Ces études ont plusieurs domaines d’application, parmi lesquelles on peut citer l’aérothermie des composants électroniques, l’utilisation de l’énergie solaire pour le chauffage et la climatisation des locaux.
Notre travail consiste à étudier l’influence de la conduction pariétale sur les échanges thermiques avec l’intérieur d’une cavité de forme parallélépipédique (Fig. 1).
Fig 1 : Cavité parallélépipédique définie dans un système cartésien (x, y)
La paroi verticale gauche de l’enceinte est chauffée par un flux arrière Q. Cette paroi constitue donc une source de chaleur dont on considère l’épaisseur. Les parois horizontales sont adiabatiques. La paroi verticale droite est refroidie avec une température constante θ toujours inférieure à celle de la source de chaleur.
L’écoulement résultant est supposé bidimensionnel en convection naturelle et en régime laminaire et transitoire.
L’objet de ce travail vise l’optimisation des dimensions des composants électroniques, le choix de leurs emplacements qui peuvent favoriser leur refroidissement au cours du temps.
2. FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME
Afin de simplifier la complexité de notre modèle mathématique, nous avons été amené à poser certaines hypothèses simplificatrices qui sont :
a- Le fluide confiné à l’intérieur de l’enceinte est supposé comme gaz parfait dont les propriétés physiques sont constantes, hormis sa masse volumique ρ dont les variations en fonction de la température sont à l’origine de la convection naturelle. En admettant les hypothèses de Boussinesque, on aura : ρ=ρ0(1−β(Tp −T0)) b- les propriétés physiques de la paroi chaude de l’enceinte sont constantes.
c- le régime d’écoulement dans l’enceinte est laminaire.
d- La dissipation visqueuse, ainsi que le rayonnement à l’intérieur de l’enceinte sont négligeables.
e- Afin de rendre le problème bidimensionnel suivant x et y, la dimension de l’enceinte suivant z est supposée infinie.
2.1 Equations de transfert 2.1.1 Dans le fluide
A l’intérieur de l’enceinte, les équations de la convection naturelle en régime laminaire et transitoire s’écrivent :
Equation de la continuité 0 y v x
u =
∂ + ∂
∂
∂ (1)
Equation du mouvement
Composante sur l’axe ox v u
x P 1 y v u x u u t
u + ∇2
∂
∂
= ρ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ (2.a)
Composante sur l’axe oy v v g
[
1 (T T )]
y P 1 y v v x u v t
v + ∇2 − −β r − 0
∂
∂
= ρ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ (2.b)
Equation de l’énergie
y ) T x
( T y a
v T x u T t T
2 2 f 2 2 f f f
p f
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ (3)
2.1.2 Dans la paroi chaude
L’équation de la conduction thermique de cette paroi est donnée par :
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
∂
2 2 f 2 2 f p f
y T x
a T t
T (4)
2.2 Introduction de la vorticité ω et de la fonction de courant ψ
L’introduction des variables ω et ψ a pour objectif de simplifier l’équation du mouvement en éliminant le gradient de pression. Il s’agit de dériver les équations (2.a) et (2.b) respectivement par rapport à y et à x.
Procéder à la soustraction entre les deux équations obtenues. Faire apparaître dans l’équation finale les fonctions y
u x v
∂ + ∂
∂
= ∂
ω et ψ défîni par
u y
∂ ψ
=∂ et v x
∂ ψ
= ∂ . Les équations (1), (2.a) et (2.b) seront remplacées par les équations suivantes :
Equation de la voracité
2 2 2 2
y
x ∂
ψ +∂
∂ ψ
= ∂ ω
− (5)
Equation du mouvement
x g T y v x
v y u x
t 2
2 2 2
∂ β∂
+
∂ ω + ∂
∂ ω
= ∂
∂ ω + ∂
∂ ω + ∂
∂ ω
∂ (6)
2.3 Conditions initiales et aux limites
A l’instant initial t = 0 : Tp = θ ; Tf = θ ; ψ = 0 et ω = 0
A l’instant t > 0 :
x q T
H y 0
0
x p
p ∂ λ ∂
−
=
⇒
≤
≤
= 0
y T H y
0 y
E x 0
p =
∂
⇒∂
≤
=
≤
≤
∂ ψ
− ∂
= ω
= ψ
=
∂ λ ∂
−
=
∂ = λ ∂
⇒
≤
≤
=
2 2 f p
f f p p
x 0
T T
x q T
x T
H y 0
E
x
∂ ψ
− ∂
= ω
= ψ
∂ =
∂
⇒
==
≤
≤
2 2 f
x 0 y 0 T
H
y 0
y
L x E
∂ ψ
− ∂
= ω
= ψ
θ
=
⇒
≤
≤
=
2 2 f
x 0 T
H y 0
L x
2.4 Changement en variables adimensionnelles
Pour généraliser nos résultats, nous avons transformé nos équations en adimensionnelles par l’introduction des variables suivantes:
L
x+= x L y+= y
p p p
/ L q T T
λ θ
= −
+
f f f
/ L q T T
λ θ
= −
+
af
= ψ ψ+
f 2
a ωL
=
ω+ f2
L t t+= a
af
L u+= u
af
L v+= v
2.4.1 Equations adimensionnelles
Equation de la vorticité ++ ++ = −ω+∂ ψ +∂
∂ ψ
∂
2 2 2 2
y x
Equation du mouvement
+ + +
+ +
+ + + + + + +
+
∂ + ∂
∂ ω + ∂
∂ ω
= ∂
∂ ω + ∂
∂ ω + ∂
∂ ω
∂
x Pr T y Ra
Pr x v y
u x t
* f 2 2 2 2
où
f f f
* 4
v a
L q Ra g
λ
= β
f f
a Pr= v
Equation de l’énergie f22 2 2 f f f
f
y T x
T y
v T x u T t T
+ + +
+ +
+ + + + + +
+
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
Equation de la conduction dans la paroi chaude
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
∂
+ + +
+ +
+
2 2 p 2 2 p f p p
y T x
T a a t T
2.4.2 Conditions initiales et aux limites adimensionnelles
A l’instant initial t = 0 : TP+=0 ; Tf+=0 ; ψ+=0 et ω+=0
A l’instant t > 0
• Les conditions aux limites thermiques sont définies par : x 1
T L
y H 0
0
x p
−
∂ =
⇒∂
≤
≤
=
+ + +
+
et T 0
L y H 0
1 x
f =
⇒
≤
≤
= +
+ +
• Sur les surfaces adiabatiques, on a : 0 y Tp
∂ =
∂
+ +
y 0 Tf =
∂
∂
+ +
• A la surface de contact entre la paroi chaude et l’intérieur de l’enceinte
=
∂
= ∂
∂
∂
⇒
≤
≤
=
+ +
+ + +
+
+ +
f p p f
T T
x T x
T
L y H 0
L x E
Les conditions aux limites hydrodynamiques sont caractérisées par le non - glissement des particules fluides sur les parois solides et l’imperméabilité de celles-ci, ce qui donne :
ω
∂ = ψ
∂
= ψ
=
=
+ + + +
+
2 2
n 0 encore
ou
parois les toutes sur 0
v u
où n désigne la direction normale à l’élément de surface considéré.
3. METHODE DE RESOLUTION
La simulation numérique bidimensionnelle basée sur la résolution des équations de continuité, de quantité de mouvement (équations de Navier Stockes) et celle de la chaleur écrite en variable de rotationnel et de la fonction de courant (w, ψ), couplées à l’équation de la conduction dans la paroi chaude ainsi que les conditions aux limites, s’effectue par une méthode de volumes de contrôle et une méthode des différences finies. L’avancement dans le temps s’effectue par la méthode A.D.I. (Alterning Direction Implicite). Cette méthode se base sur un schéma à pas fractionnaire, aux directions alternées, implicite et explicite. En effet, il s’agit de considérer un demi-pas de temps intermédiaire entre t et t+∆t, à savoir t+∆t/2. Au premier demi-pas de temps (entre t et
t+∆t/2), les dérivées secondes par rapport à x sont approchées implicitement et celles par rapport à y explicitement. Au second demi-pas de temps (entre t+∆t/2 et t+∆t), les dérivées secondes par rapport à x sont approchées explicitement et celles par rapport à y implicitement. L’avantage d’une telle méthode est d’aboutir à un système d’équations algébriques que l’on peut écrire sous une forme de matrice tridiagonale et que l’on résout par la suite à l’aide de la méthode directe de Thomas.
4. INTERPRETATION DES RESULTATS
Les résultats obtenus avec un Gr = 106 et un coefficient de forme Ay = 1, montrent que l’influence de la conduction dans la paroi chaude sur la structure de l’écoulement par convection naturelle du fluide confiné à l’intérieur de l’enceinte paraît sur les points suivants :
a- Sur la distribution des lignes de courant : en effet, la figure 2 montre une variation de l’allure du tourbillon, de son emplacement et des valeurs des fonctions de courant. Dans le cas avec effet, le tourbillon est plus proche de la source que dans le cas sans effet (Fig. 2a et Fig. 2b). Au fur et mesure que le temps s’écoule, la taille du tourbillon devient importante.
τ=0.02
a) avec effet de l’épaisseur b) sans effet de l’épaisseur
τ=0.05
c) avec effet de l’épaisseur d) sans effet de l’épaisseur
τ=3
e) avec effet de l’épaisseur f) sans effet de l’épaisseur
Fig. 2: Evolution des lignes de courant pour Gr=106, facteur de forme Ay=1 et différents temps adimensionnels b) Sur l’espace que prend la propagation de la chaleur. Cet espace est assez important dans le cas sans effet de
l’épaisseur que dans le cas avec effet de l’épaisseur (Fig. 3a et Fig. 3b). Pour le temps adimensionnel t=0.02, le transfert par conduction dans le fluide est dominant.
τ
= 0.02a) avec effet de l’épaisseur b) sans effet de l’épaisseur
τ= 0.05
c) avec effet de l’épaisseur d) sans effet de l’épaisseur
τ=3
e) avec effet de l’épaisseur f) sans effet de l’épaisseur
Fig. 3: Evolution des isothermes pour Gr=106 , un facteur de forme Ay=1 et différents temps adimensionnels Au fur et mesure que le temps s’écoule et lorsque la propagation s’étend sur toute l’enceinte, l’influence paraît sur la différence des valeurs des isothermes qui sont moins importants dans le cas avec effet de l’épaisseur.
A partir du temps adimensionnel t=0.05, la structure isothermique obtenue reste inchangeable dans les deux cas.
La convection domine le transfert qui prend un mode de régime de la couche limite (Fig. 3c, Fig. 3d, Fig. 3e et Fig. 3f). La figure 4 montre que la conduction dans la paroi chaude influe directement sur les valeurs des vitesses radiales et axiales sans toutefois changer l’allure des courbes. Cette influence sur les valeurs diminue en avançant dans le temps. Elle est presque négligeable lorsque le régime sera établi. La figure 5 montre que dans le cas où la conduction pariétale est prise en compte, le nombre de Nusselt est plus important que dans le cas sans effet de l’épaisseur. Au fur et à mesure que le temps s’écoule une légère différence paraît sur l’allure de la variation (Fig. 5b et Fig. 5c).
τ=0.02
τ=0.05
τ=3
Fig. 4: Distribution des vitesses radiale (v) et axiale (u) pour Gr=106 et Ay=1, suivant la médiatrice de la paroi chaude pour différents temps adimensionnels
En conclusion, on peut dire que le fait de prendre une hauteur de la paroi égale à celle de l’enceinte défavorise le refroidissement de cette paroi.
Fig. 5: Variation du nombre de Nusselt en fonction de la hauteur de la paroi chaude pour Gr=106, Ay=1 et différents temps adimensionnels
En effet, la partie supérieure de cette dernière sera détériorée. Comme solution on doit choisir une hauteur de l’enceinte supérieure à celle de la paroi chaude et choisir une position optimale.
5. CONCLUSION
Un programme de calcul informatique a été élaboré permettant de déterminer les distributions des températures, des fonctions de courant, de vorticité, des champs de vitesses, des composantes radiales et axiales de la vitesse et du nombre de Nusselt à l’intérieur de la cavité. L’influence de l’épaisseur de la source de chaleur sur le transfert thermique a été mise en évidence. Notre étude a permis de relever les remarques suivantes :
a) La discrétisation de l’équation de quantité de mouvement et celle de l’énergie par la méthode des volumes finis assure mieux la conservation des quantités transportées et semble plus stable par rapport à celle de différences finies.
b) Les résultats obtenus mettent en évidence l’influence de l’épaisseur de la parois chaude. Cette influence diminue avec la diminution de cette épaisseur.
c) La procédure utilisée fournit des résultats en bonne accord avec la littérature.
d) Le pas de temps devra être proportionnel à ∆ x et ∆ y.
NOMENCLATURE
A Diffusivité thermique m2.s-1 H Hauteur de la cavité m
ν Viscosité cinématique m2.s-1 Q Flux de chaleur W
g Accélération de la pesanteur m.s-2 ψ Fonction de courant
λ Conductivité thermique Wm-1K-1 T Température K
ρ Masse volumique kg.m-3 ω Fonction de la vorticité β Coefficient d’expansion
volumique à pression constante
K-1 Q Densité du flux de chaleur W.m-2 u, v Composantes axiale et
radiale de la vitesse m.s-1 E Epaisseur de la paroi chaude m
x, y Coordonnées cartésiennes m P Pression Pa
Nu Nombre de Nusselt θ Température - paroi chaude K
Pr Nombre de Prandtl T Temps s
Ra Nombre de Rayleigh L Largeur de la cavité m
Exposants Indices
+ Valeurs adimensionnelles P Paroi chaude
* Valeurs modifiées F Fluide
REFERENCES
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[8] M. Keyhani, L. Chen and D.R. Pitts, ‘The Aspect Ratio Effect on Natural Convection in a Enclosure with Protruding Heat Sources’, Journal of Heat Transfer, Vol. 113, p. 883, 1991
[9] E.F. Nogotov, ‘Application of Numerical Heat Transfer’, Mc Graw Hill Book Company, N.Y., 1978.
[10] S.V. Patankas, ‘Numerical Heat Transfer and Fluid Flow’, Series in Comp. Meth. In Mech. and Therm. Sc, Mc Graw-Hill, 1980.
[11] J. Petit et J. Taine, ‘Transfert Thermique Mécanique des Fluides Anisothermes’, Ed. Dunod, Paris, 1989.
[12] I. Ryhming, ‘Dynamique des Fluides’, Presses Polytechniques Romandes, 1985.
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[14] A. Touhami, ‘Etude du Séchage d’un Cylindre Annulaire Poreux Humide sous l’Action d’un Courant d’Air Forcé dans la Conduite Centrale: Couplage entre les Equations de Luikov et celles de la Couche Limite’, Thèse de Doctorat de l’Université de Perpignan, 1990.
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