PROBLEME A486 – Solution de Jean Drabbe
QUESTION 1
Soient a ≤ b ≤ c ≤ d des dimensions imposées par l'énoncé.
Le quotient (a + b + c) / d ne peut être supérieur a 3 , ni être 1 . La valeur 3
impose a = b = c = d . Nous ne devons donc traiter que la situation a + b + c = 2 • d . On a b + c + d = (a + b + c + d) – a = 3• d – a . Par conséquent a divise 3• d .
De meme, b divise 3• d et c divise 3• d . Supposons que a < b < c < d . Alors,
c + b + a ≤ 3• d / 4 + 3• d /5 + 3• d / 6 = 37• d / 20 < 2• d !
QUESTION 2
Soient a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e des dimensions concernées.
Le quotient (a + b+ c + d) / e ne peut etre supérieur à 4 , ni être 1 et la valeur 4 impose a = b = c = d = e . Nous ne devons donc traiter que les situations
a + b + c + d = 2• e et a + b + c + d = 3• e .
Lorsque a + b + c + d = 3• e , a , b , c , d divisent 4• e . Si a < b < c < d < e , d + c + b + a ≤ 4• e / 5 + 4• e / 6 + 4• e / 7 + 4• e / 8 = 533• e / 210 < 3• e !
Lorsque a + b + c + d = 2• e , a , b , c ,d divisent 3• e . Si a < b < c < d < e , il faut que d = e / 4 car 3• e / 5 + 3• e / 6 + 3• e / 7 + 3• e / 8 = 533• e / 280 < 2• e et que c > e / 7 car 3• e / 4 + 3• e / 7 + 3• e / 8 + 3• e / 9 = 317• e / 168 < 2• e . On a 3• e / 4 + 3• e / 5 + 3• e / 9 + 3• e / 10 = 119• e / 60 < 2• e
et 3• e / 5 + 3• e / 6 + 3• e / 8 + 3• e / 9 = 47• e / 24 < 2• e .
Par conséquent, la solution des équations suivantes (ou x doit être un nombre naturel) permet de trouver les quintuplets a < b < c < d < e convenables :
3 / 4 + 3 / 5 + 3 / 6 + 3 / x = 2 3 / 4 + 3 / 5 + 3 / 7 + 3 / x = 2 3 / 4 + 3 / 5 + 3 / 8 + 3 / x = 2 3 / 4 + 3 / 6 + 3 / 7 + 3 / x = 2
Seule la première équation admet une solution : x = 20 .
On en déduit l'existence du seul quintuplet primitif des dimensions distinctes des côtés des pentagones conformes aux condition de l'énoncé :
(a , b , c , d , e) = (3 , 10 , 12 , 15 , 20) (60 est le ppcm de {4 , 5 , 6 , 20} ) .
