M. Poncy 31/01/2009
Le problème des spaghettis
Activité
On donne 20 spaghettis identiques à chaque élève.
On leur demande de couper au hasard chaque spaghetti en trois morceaux.
Puison demandeaux élèvesdevoirs’ilestpossibledeconstruireun triangle avec les trois morceaux obtenus.
On souhaite déterminer « quelle chance »on a d’obtenirun tel triangle.
Déroulementde l’activité
Chaque élève casse en trois morceaux ses 20 spaghettis.
Il essaie dans chaque cas de construire un triangle.
On rassemble tous les résultats.
M. Poncy 31/01/2009
Protocole 1
On choisit avant de couperl’emplacementdesdeux coupures. On considèreque,couperun spaghettien trois,c’estdécouperun segment,quel’on peutsupposerdelongueur1,en troismorceaux,en plaçantdeux pointsM etN d’abscisses x et y sur ce segment.
Ils’agitdoncdetrouverdeux nombresx ety,comprisentre0 et1,qui sont les abscisses des deux coupures et qui déterminent les longueurs des trois morceaux, notés a, b et c.
On obtient : a = min (x, y),
b = max (x, y) –min (x, y) et c = 1 –a –b.
Les morceaux permettant la construction d’un trianglesont donc les morceaux de longueurs a, b et c qui satisfont les trois
inégalités triangulaires. Ceci conduit à la condition :
Max (a, b, c) < 1 2 .
En effet, si Max (a, b, c) = a, on a : a < b + c soit a < 1 –a , soit a < 1 2 . Le raisonnement est identique dans les autres cas.
L’ensemble despointsM (x; y) possibles est le carré de côté 1 construit sur les axes.
On peut supposer que x est le plus petit des deux nombres x et y (par symétrie).
On a alors les conditions :
x < 12 y –x < 1
2 1 –y < 1 2
soit
x < 12 y < x + 1
2 y > 1
2
M. Poncy 31/01/2009
Parrégionnementdu plan,on obtientletrianglegriséDEF,d’aire 1 2 1
2 1 2 =1
8 .
On en déduit la probabilité cherchée : p1 = 1
8 = 0,125.
Protocole 2
On coupe un premier morceau, et on recoupe le second morceau.
On coupe alors un premier morceau de longueur a , avec a [0 ; 1], puis un second morceau de
longueur b, où b [0 ; 1 –a], et enfin c = 1 –a –b.
On a donc : a = x ;
b = (1 –x) y ; c = 1 –a –b On a alors les conditions :
x < 12(1 –x ) y < 1 2 x + (1 –x) y > 1
2
, soit
encore :
x <12y < 1 2 (1 –x) y > 1 –2x
2 (1 –x)
On fait encore un régionnement du plan, et on obtient : p2 = 0
,50
1
2 (1 –x) –1 –2x
2 (1 –x) dx = 0
,50
x
1 - xdx = ln 2 –0,5 0,193.
M. Poncy 31/01/2009
Protocole 3
On coupe un premier morceau, et on recoupe le plus grand des deux morceaux qui restent.
Lorsque le premier nombre aléatoire x est inférieur à 1
2 , la situation est identique à celle du protocole 2. Ainsi : a = x ; b = (1 –x) y ; c = 1 –a –b .
On en déduitlemême systèmed’inéquations.
Lorsque le premier nombre aléatoire x est supérieur à 1
2 , on obtient de la même façon :
a = 1 - x ; b = x y ; c = 1 –a –b .
On aalorslesystème d’inéquations:
x >12 y < 1
2x y > 1 –1
2x
Parun calculd’aires,on trouve: p3 = 2 ln 2 –1 0,386.
