` PROBLEME DE SKOROHOD MULTIVOQUE

1998, Vol.26, No.2, 500᎐532

`

PROBLEME DE SKOROHOD MULTIVOQUE

BY EMMANUELCEPA

´

Universite d’Orleans

´ ´

On prouve un resultat d’existence et d’unicite pour une generalisation´ ´ ´ ´ Žpar introduction d’un operateur maximal monotone multivoque´ . du

Ž .

probleme de Skorohod avec reflexion normale deterministe associe a un` ´ ´ ´ ` convexe ferme D de´ ⺢^d.La formulation a partir des operateurs maximaux` ´ monotones multivoques permet de considerer des drifts singuliers ex-´ plosant au bord du domaine. Cette ‘‘approche multivoque’’ clarifie la connexion entre probleme de Skorohod et semigroupes nonlineaires.` ´ En guise d’application, on considere ensuite le cas stochastique: les equations` ´ differentielles stochastiques multivoques sont ainsi revisitees.´ ´ Par conse-´ quent, cette contribution fournit une nouvelle methode de construction´ de diffusions reflechies normalement possedant un coefficient de derive´ ´ ´ ´ discontinu, explosif.

An existence and uniqueness result is proven for a generalization byŽ introduction of a multivalued maximal monotone operator of the deter-.

Ž .

ministic Skorohod problem with normal reflection associated with a closed convex D in ⺢^d. The maximal monotone operator formulation allows for drifts that blow up as one gets near the boundary. This

‘‘multivalued approach’’ clarifies the connection between nonlinear semi- group theory and the Skorohod problem. As a consequence, we discuss then the stochastic case: multivalued stochastic differential equations are thus revisited. Therefore, we give an alternative way to construct dif- fusions with normal reflecting boundary conditions and discontinuous, exploding drift.

w x

1. Introduction. Lorsque Skorohod 14 construisit la solution d’une equation differentielle stochastique sur⺢^q reflechie en 0, il utilisa de fac

¸

^on

´ ´ ´ ´

essentielle les proprietes d’une certaine application sur l’espace des fonctions

´ ´

continues reelles sur

´

⺢^q, a valeurs dans lui-meme.

` ˆ

Cette application etait

´

definie a partir d’un probleme deterministe associe a l’equation differentielle

´ ` ` ´ ´ ` ´ ´

stochastique: ce probleme a pris des lors le nom de probleme de Skorohod et

` ` `

l’application qui en decoule, application de Skorohod.

´

Explicitons la notion de

Ž ^q. w x

probleme de Skorohod d’abord sur

`

⺢ : etant donnee w continue sur 0; T ,

´ ´

T)0, a valeurs dans

`

⺢, telle que w 0Ž .G0, on appelle solution du probleme

`

q Ž .

de Skorohod sur ⺢ de donnee w, tout couple de fonctions

´

x, k satisfai-

Received October 1996; revised September 1997.

AMS 1991 subject classifications.34F05, 47N20, 47N30, 60H10, 60J60.

Key words and phrases. Multivalued stochastic differential equations, Skorohod problem, nonlinear semigroup, reflected diffusion with exploding drift, diffusive particle with electrostatic repulsion.

500

sant a

`

Ž . 4 ^q

1. xs x t ; 0FtFT continue, a valeurs dans

`

⺢ ;

Ž . 4 Ž

2. ks k t ; 0FtFT continue, a variation bornee sa variation totale sur

` ´

w0; t est notee kx

´

< <t., a valeurs dans

`

⺢, k 0Ž .s0;

3.

w x

1.1 x t sw t yk t ᭙ tg 0; T

Ž . Ž . Ž . Ž .

4.

T < <

1.2 | d k s0.

Ž . H

^xŽs.)04 ^s

0

Le but est donc, en ajoutant une certaine fonction k a la donnee w qui est

` ´

continue, a valeurs dans

`

⺢, d’obtenir une fonction continue, a valeurs dans

`

⺢^q de fac

¸

on minimale, c’est-a-dire k ne varie que lorsque c’est indispensable

`

w Ž .x

c’est-a-dire si x

`

s0 condition 4 .En fait, dans ce cas particulier, la fonction k est monotone et le probleme possede une unique solution qui est connue

` `

explicitement:

1.3 k t s0n inf w s ; x t sw t y0n inf w s .

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

0FsFt 0FsFt

Ž .

L’application de Skorohod est alors definie sur une partie de l’espace des

´

w x Žw x .

fonctions continues de 0; T dans⺢, note C 0; T ;

´

⺢, de la fac

¸

on suivante:

w x w x

⌫: C

Ž

0; T ;⺢

.

ªC

Ž

0; T ;⺢

.

,

Ž

1.4

.

w ¬ x.

Remarquons que cette application est ici lipschitzienne de constante de Lipschitz 2.On peut etendre a tout domaine ‘‘suffisamment regulier’’ D de

´ ` ´

⺢^d la notion de probleme de Skorohod de la fac

` ¸

on suivante: etant donnee

´ ´

Žw x d. Ž .

wgC 0; T ;⺢ telle que w 0 gD, on appelle solution du probleme de

`

Ž .

Skorohod avec reflexion normale sur D de donnee w, tout couple de fonc-

´ ´

Ž .

tions x, k satisfaisant a:

`

Ž . 4

1. xs x t ; 0FtFT continue, a valeurs dans D;

`

Ž . 4 ^d

2. ks k t ; 0FtFT continue, a variation bornee, a valeurs dans

` ´ `

⺢ , k 0Ž .s0;

3.

w x

1.5 x t sw t yk t ᭙ tg 0; T ;

Ž . Ž . Ž . Ž .

4.

T < <

1.6 | d k s0;

Ž . H

^xŽs.gIntŽD.4 ^s

0

5.

t < < w x

1.7 k t s n d k ᭙ tg 0; T ,

Ž . Ž . H

^{s s}

0

< < w x

avec pour d k -presque tout sg 0; T , ns appartient a l’ensemble des

`

normales exterieures unitaires a D au point du bord x s

´ `

Ž ..

E. CEPA 502

Ž .

Cette derniere condition qui etait bien sur inutile en dimension 1 precise

` ´ ˆ ´

dans quelle direction la fonction k agit pour repousser x a l’interieur du

` ´

domaine D, ici selon les normales du domaine. L’unicite pour ce type de

´

probleme est obtenue facilement et pour ce qui est de l’existence plusieurs

`

w x

resultats sont connus, en particulier, 15 obtient l’existence d’une solution

´

pour tout domaine convexe D satisfaisant une condition supplementaire qui

´

w x

est en particulier verifiee si d

´ ´

s2 ou D borne.

´

Quant a 12 , il prouve un

`

resultat d’existence pour tout domaine D satisfaisant une condition uniforme

´

de sphere exterieure, la condition introduite par Tanaka et une hypothese de

` ´ `

Ž . w x

type ‘‘regularite du domaine’’ dite d’admissibilite

´ ´ ´

.Ensuite, 13 a demontre

´ ´

que l’on pouvait supprimer la condition d’admissibilite dans le probleme

´ `

considere par Lions et Sznitman.

´ ´

Dans chacun de ces cas, on peut ensuite de nouveau definir l’application de Skorohod comme pour

´

⺢^q.

Examinons de plus pres le cas ou D est un convexe ferme de

` ` ´

⺢^d.Remar-

Ž .

quons que, d’apres 1.7 , la mesure dk est construite sur le cone normal

` ˆ

exterieur a D: l’application multivoque i.e., a valeurs dans l’ensemble des

´ `

Ž

`

d. Ž .

parties de⺢ ␲: xª␲x ou

`

␲x est le cone normal exterieur a D en x est le

ˆ ´ `

Ž .

sous-differentiel de la fonction convexe s.c.i.

´

valant 0 sur D etq⬁en dehors

Ž .

de D appelee fonction indicatrice de D

´

. Or, le sous-differentiel d’une fonc-

´

Ž .

tion convexe s.c.i. est un cas particulier d’operateur maximal monotone

´

multivoque: il peut donc paraıtre interessant d’etendre la problematique

ˆ ´ ´ ´

precedente a de tels operateurs.

´ ´ ` ´

Signalons que la maximalite est necessaire

´ ´

pour permettre une formulation variationnelle simple du probleme

`

Žen termes de produit scalaire.. Par consequent, on se propose dans la suite

´

d’etendre la notion de probleme de Skorohod a n’importe quel operateur

´ ` ` ´

d Ž

maximal monotone multivoque de ⺢ nous parlerons alors de probleme de

`

Skorohod multivoque , c’est-a-dire, plus necessairement sous forme de sous-.

` ´

differentiel de la fonction indicatrice d’un convexe ferme et de prouver

´ ´

l’existence et l’unicite d’une solution a ce probleme.

´ ` `

L’introduction d’operateurs

´

maximaux monotones multivoques permet surtout de considerer des coeffi-

´

Ž w x

cients de derive discontinus, explosant au bord du domaine voir aussi 9

´

pour ce type de probleme

`

.. Il faut noter que dans tout l’article, seul le probleme de reflexion normale est aborde on ne considere pas la situation ou

` ´ ´

Ž

` `

la reflexion est oblique ; par consequent, dans toute la suite, le qualificatif

´

.

´

‘‘avec reflexion normale’’ sera toujours sous-entendu lorsque l’on parlera de

´

reflexion ou de probleme de Skorohod.

´ `

Apres avoir completement resolu le probleme deterministe, on considere la

´ ` ´ ` ´ `

version stochastique du probleme de Skorohod multivoque.

`

Plus precisement,

´ ´

etant, donnees b: ⺢^dª⺢^d et ␴: ⺢^dª⺢^dm⺢^d applications Lipschit-

´ ´

ziennes, on s’interesse a la resolution de l’equation differentielle stochastique

´ ` ´ ´ ´

‘‘multivoque’’ associee a un operateur maximal monotone multivoque A de

´ ` ´

⺢^d, dg⺞^U, c’est-a-dire, formellement, du type

`

dXtqA X dt

Ž

t

.

2b X dt

Ž

t

.

q␴

Ž

X dW ,t

.

t

X₀sx₀gD A

Ž .

.

Ž

1.8

.

Ž .

En fait, le probleme d’existence et d’unicite pour 1.8 a deja ete complete-

` ´ ´ ` ´ ´ `

w x

ment resolu en dimension d

´

s1 par Lepingle et Marois 11 puis en dimen-

´

Ž . Ž . w x

sion finie d quelconque par l’auteur 1994 dans 5. Pour montrer l’exis-

w x Ž

tence d’une solution dans 5 , on avait considere un probleme approche defini

´ ´ ` ´ ´

a partir des approximees Yosida de A puis passe a la limite au sens de la.

` ´ ´ `

convergence en loi en utilisant la pseudo-topologie de Meyer-Zheng sur l’espace des trajectoires cadlag et le fait que la convergence au sens de cette

` `

topologie implique la convergence uniforme a un changement de temps pres.

` `

On obtenait ainsi une solution faible du probleme et, finalement, on avait

`

conclu qu’il y avait existence forte grace a l’unicite trajectorielle analogue au

ˆ ` ´

Ž

. Ž

cas unidimensionnel et au theoreme de Yamada-Watanabe etendu au cas

´ ` ´

multivoque.. Cette premiere methode de demonstration de l’existence etait

` ´ ´ ´

par consequent une methode de type penalisation-compacite.

´ ´ ´ ´

On se propose de donner une deuxieme demonstration de l’existence d’une solution forte

` ´

Ž . ^d

pour 1.8 avec A operateur maximal monotone multivoque de

´

⺢ et b, ␴ Lipschitziens, de fac

¸

on elementaire; on va, en effet, construire directement

´ ´

sur l’espace probabilise donne une solution forte en utilisant seulement

´ ´

l’existence d’une solution au probleme de Skorohod deterministe voir plus

` ´

Ž

. w x

haut et une methode de point fixe due a 8

´ `

.Meme si le resultat d’existence

ˆ ´

Ž .

pour 1.8 avait ete obtenu par une autre methode, la presente methode

´ ´ ´ ´ ´

semble plus directe, elementaire, mieux adaptee au probleme et surtout elle

´ ´ ´ `

ameliore considerablement la connaissance que l’on a de la solution X en

´ ´

fournissant par exemple ‘‘gratuitement’’ un resultat de grandes deviations en

´ ´

dimension 1.

Le resultat fondamental d’existence et d’unicite fortes pour les equations

´ ´ ´

differentielles stochastiques multivoques presente deux interets essentiels

´ ´ ´ ˆ

Žvoir la Section 5 pour plus de details

´

..

1. Il permet la construction de diffusions reflechies dans un domaine D de

´ ´

⺢^d qui possedent un coefficient de diffusion degenere et un coefficient de

` ´ ´ ´ ´

derive discontinu, explosant au bord du domaine D.

´

2. Il fournit un support theorique pour la modelisation d’une vaste classe de

´ ´

systemes de particules en interaction via un potentiel singulier de type

`

Ž electrostatique par exemple et pour l’etude des proprietes qui s’y rat-.

´ ´ ´ ´

tachent: probleme de collision des particules, comportement du systeme

` `

lorsque le nombre de particules tend vers l’infini.

w x

Signalons que le lecteur pourra trouver dans 5 une introduction aux equations differentielles stochastiques multivoques avec de nombreux rappels

´ ´

et references ainsi que l’expose de la demonstration d’unicite trajectorielle

´ ´ ´ ´ ´

Ž . Ž .

pour 1.8 et la premiere methode pour demontrer l’existence forte pour

` ´ ´

Ž1.8.. Plus generalement, tous les resultats figurant dans 5 et le present

´ ´ ´

w x

´

article forment un resume d’une partie des resultats obtenus par l’auteur

´ ´ ´

w x w x

dans sa these 4

`

.On renvoie le lecteur a 4 pour une redaction plus detaillee

` ´ ´ ´

etrou pour d’eventuels complements sur le sujet.

´ ´

L’article sera organise de la fac

´ ¸

on suivante.On donne dans la Section 2 les principaux resultats sur les operateurs maximaux monotones multivoques de

´ ´

E. CEPA 504

d Ž

⺢ definitions, exemples, proprietees elementaires, approximation par des

´ ´ ´ ´ ´

operateurs univoques qui seront necessaires pour enoncer precisement le

´

.

´ ´ ´ ´

probleme de Skorohod puis pour prouver l’existence et l’unicite d’une solution.

` ´

Dans la Section 3, on definit rigoureusement la notion de probleme de

´ `

Skorohod multivoque, puis on enonce le resultat principal de cet article, a

´ ´ `

savoir le theoreme d’existence et d’unicite d’une solution pour ce probleme.

´ ` ´ `

Dans la Section 4, on demontre ce theoreme d’existence et d’unicite.

´ ´ ` ´

La

Ž .

formulation du probleme stochastique telle qu’elle a ete faite dans 1.8 est

` ´ ´

purement formelle et n’a pour seul but que de donner une idee du probleme

´ `

pose au lecteur: une formulation precise est donnee dans la Section 5, puis on

´ ´ ´

donne dans la Section 6 une nouvelle demonstration de l’existence d’une

´

solution forte pour les equations differentielles stochastique multivoques en

´ ´

dimension finie quelconque en appliquant les resultats deterministes essen-

´ ´

tiellement. Dans la Section 7, on developpe quelques complements sur le

´ ´

Ž .

probleme de Skorohod multivoque deterministe et stochastique dans le cas

` ´

particulier de la dimension 1.

2. Operateurs maximaux monotones multivoques.

´

On renvoie le

w x w x

lecteur a 5 , et surtout a l’ouvrage de Brezis 3 , pour des resultats plus

` ` ´ ´

complets sur les operateurs maximaux monotones multivoques.

´

Dans toute la suite, d est un entier naturel non nul fixe.

´

Ž . Ž

DEFINITION

´

2.1. i On appelle operateur multivoque par opposition aux

´

. ^{d d}

operateurs habituels ou ‘‘univoques’’ de

´

⺢ toute application A de⺢ dans

Ž ^d. Ž ^d. ^d

P

P⺢ , ou

`

PP⺢ designe l’ensemble des parties de

´

⺢ .Le domaine de A est l’ensemble

2.1 D A s

xg⺢^d: A x /⭋

4

.

Ž . Ž . Ž .

Un operateur multivoque de

´

⺢^d est completement determine par la donnee

` ´ ´ ´

de son graphe defini par

´

2.2 Gr A s

x , y g⺢^{2 d}: xg⺢^d, ygA X

4

.

Ž . Ž . Ž . Ž .

Ž .ii Un operateur multivoque A de

´

⺢^d est dit monotone si et seulement si

² :

2.3 y yy , x yx G0 ᭙ x , y , x , y gGr A ,

Ž .

1 2 1 2

Ž

1 1

. Ž

2 2

. Ž .

² : ^d

ou

`

⭈,⭈ est le produit scalaire usuel de⺢ .

Žiii Un operateur monotone multivoque A de.

´

⺢^d est dit maximal mono-

Ž .

tone s’il est maximal pour l’inclusion des graphes dans l’ensemble des operateurs monotones multivoques, c’est-a-dire A est maximal monotone si et

´ `

Ž . ^{2 d}

seulement si A est monotone et pour tout x, y g⺢ tel que

² :

2.4 yyv, xyu G0 ᭙ u, v gGr A ,

Ž . Ž . Ž .

Ž . alors ygA x .

Ž .

PROPOSITION 2.2 Exemple fondamental. Soit ␸ une fonction convexe de

d d x x Ž Ž . .

⺢ , c’est-a-dire une application

`

␸:⺢ ª y⬁;q⬁ telle que ␸ txq 1yt y F

Ž . Ž . Ž . ^d w x

t␸ x q 1yt ␸ y , pour tous x, yg⺢ , tg 0; 1. On appelle domaine ef-

Ž . ^d Ž . 4

fectif de ␸ l’ensemble dom ␸ s xg⺢ : ␸ x -q⬁ et on dit que ␸ est

Ž . Ž . Ž Ž .

propre resp. strictement propre si dom ␸ est non vide resp. dom ␸ est d’interieur non vide

´

.. On appelle sous-differentiel de

´

␸, note

´

⭸␸, l’operateur

´

multivoque de⺢^d defini par son graphe de la fac

´ ¸

on suivante:

² : ^d

2.5 x , y gGr ⭸␸ m␸ x F␸ z q y, xyz ᭙ zg⺢ .

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

Avec les definitions precedentes, le sous-differentiel d’une fonction convexe,

´ ´ ´ ´

Ž . ^d

semicontinue inferieurement s.c.i.

´

en abrege , propre de

´ ´

⺢ est un operateur

´

maximal monotone multivoque de⺢^d.

Cas particulier. Sous-differentiel de la fonction indicatrice d’un convexe

´

ferme.

´

Soit D un convexe ferme non vide de

´

⺢^d. On appelle fonction indica- trice de D, notee I , la fonction definie par

´

D

´

0, si xgD,

2.6 I x s

Ž .

D

Ž . ½

_q⬁, si xfD.

On verifie facilement que I

´

D est une fonction convexe, s.c.i., propre elle estŽ

Ž . . Ž .

strictement propre si Int D /⭋ avec dom I_D sD.

On a alors pour tout x dans D,

d ² :

2.7 ⭸I x s

yg⺢ : y, zyx G0,᭙ zgD ,

4

Ž .

_D

Ž .

c’est-a-dire,

`

⭋, si xfD,

~ ¡ ⁴

^{0 , si x}gInt D ,

Ž .

2.8 ⭸I x s

Ž .

D

Ž . ¢

⌸_x, si xg⭸D,

ou l’on a note

` ´

⌸x le cone normal exterieur a D en x.

ˆ ´ `

Ž w x. ^d Ž .

Notations. On peut montrer voir 3 que pour tout xg⺢ , A x est un

d Ž . Ž .

convexe ferme de

´

⺢ ; ceci permet de definir l’operateur univoque A

´ ´

⬚ x s

Ž . ^{d d}

projAŽx. 0 , xg⺢ , ou pour tout convexe ferme C de

` ´

⺢ , projC designe la

´

Ž . ^d

projection sur C et proj 0_⭋ s␦, avec ␦ un point a l’infini de

`

⺢ , fixe, et pour

´

< < ^d Ž .

lequel on prendra ␦ s q⬁. Par consequent, pour tout x

´

g⺢ , A⬚ x est

Ž . Ž .

l’element de norme minimale de A x ; on aura donc l’equivalence x

´ ´ ´

gD A

< Ž .<

m A⬚ x -q⬁.

PROPOSITION2.3. Soit A operateur maximal monotone multivoque de

´

⺢^d. Ž .

Alors A est borne au voisinage de tout point interieur a D A ; c’est-a-dire,

´ ´ ` `

Ž .

pour tout xgD A , il existe un voisinage V de x tel que

2.9 A x^X

Ž . D

_X

Ž .

xgV

soit une partie bornee de

´

⺢^d. En particulier, A est borne sur tout compact

´

Ž Ž ..

inclus dans Int D A .

E. CEPA 506

Ž w x

PROPOSITION2.4 Approximation Yosida ‘‘multivoque’’; voir 3 pages 23, 27,

. ^d

28. Soit A operateur maximal monotone multivoque de

´

⺢ . Il existe une

Ž .

suite J , An n d’operateurs univoques verifiant:

´ ´

Ž .i Jn Žnieme resolvante est une contraction univoque definie sur

´

. Ž .

´

⺢^d Ž .

tout entier, a valeurs dans D A

`

. De plus,

6 d

2.10 J y proj y ᭙ yg⺢ ;

Ž .

n

Ž .

nª⬁ D AŽ .

Ž .

Ž .ii An Žnieme approximee Yosida

´

. est un operateur maximal mono-

´

Ž . ^d

tone univoque defini sur

´

⺢ tout entier, Lipschitzien de rapport n, Ans

Ž .

n IyJ ;_n

Žiii pour tout y. gD A ,Ž .

62.11 A y A⬚ y ,

Ž .

n

Ž .

nª⬁

Ž .

< Ž .< < Ž .<

avec A_n y ­A⬚ y quand n­⬁; Živ pour tout y. fD A ,Ž .

2.12 A y ­q⬁ quand n­⬁;

Ž .

n

Ž .

Ž .v pour tout yg⺢^d, A_nŽy.gA JŽ _nŽy...

3. Probleme de Skorohod associe a un operateur maximal mono-

` ´ ` ´

tone multivoque.

3.1. Donnees.

´

1. dg⺞^U;

2. A operateur maximal monotone multivoque de

´

⺢^d tel que

3.1 Int D A /⭋;

Ž . Ž Ž . .

3. T)0;

Ž . 4 d Ž .

4. ws w t ; 0FtFT continue, a valeurs dans

`

⺢ , w 0 gD A

Ž .

.

Žw x ^d. Ž ^pŽw x ^d. ^U 4.

On note C 0; T ;⺢ resp., C 0; T ;⺢ , pg⺞ j q⬁ l’espace des

Ž ^p. w x ^d

fonctions continues resp. de classe C sur 0; T

`

a valeurs dans ⺢ et

Žw x ^d. Žw x ^d.

CA 0; T ;⺢ le sous-ensemble ferme de C 0; T ;

´

⺢ forme des fonctions w

´

telles que w 0Ž .gD A

Ž .

.

´

Ž .

3.2. Enonce du probleme.

´ `

On cherche un couple de fonctions x, k telles que:

Ž . 4

1. xs x t ; 0FtFT continue, a valeurs dans D A ;

` Ž .

Ž . 4 ^d

2. ks k t ; 0FtFT continue, a variation bornee, a valeurs dans

` ´ `

⺢ , k 0Ž .s0;

3.

w x

3.2 x t sw t yk t ᭙ tg 0; T ;

Ž . Ž . Ž . Ž .

Ž . w x ^d

4. pour tout couple de fonctions ␣,␤ continues sur 0; T , a valeurs dans

`

⺢ telles que

w x

3.3 ␣ u ,␤ u gGr A ᭙ ug 0; T ,

Ž . Ž Ž . Ž . . Ž .

la mesure

² :

3.4 x u y␣ u , dk u y␤ u du

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

est positive.

Ž .

Le probleme precedent est note

` ´ ´ ´

SS A, w, T .

3.3. Cas particulier. La proposition suivante montre que le probleme

`

Ž .

S

S A, w, T est bien une generalisation du probleme de Skorohod associe a un

´ ´ ` ´ `

d w x

convexe ferme de

´

⺢ defini dans 15

´

.

PROPOSITION 3.1. Soit D un convexe ferme d’interieur non vide de

´ ´

⺢^d.

Ž .

Alors le probleme

`

SS I , w, T est equivalent au probleme de Skorohod associeD

´ ` ´

Ž . w x

a D, w, T defini dans 15.

` ´

DEMONSTRATION

´

. Remarquons tout d’abord que, d’apres le Lemma 4.8 et

`

le fait que pour AsI , l’operateur AD

´

⬚est l’operateur identiquement nul sur

´

Ž . w

D, la condition 3.2 4 est equivalente a la condition suivante qui sera notee

´ ` ´

Ž ^X.x w x

3.2 4 ; pour toute fonction ␣ continue sur 0; T , a valeurs dans D, la me-

`

sure

² :

3.5 x u y␣ u , dk u

Ž . Ž . Ž . Ž .

Ž .

est positive. On va en premier lieu demontrer que toute solution

´

x, k de

Ž . w x

S

S I , w, TD est solution du probleme etudie dans 15

` ´ ´

. On commence par

Ž . Ž .

montrer que x, k verifie la condition 1.6 de Tanaka; c’est-a-dire,

´ `

T < <

3.6 | d k s0.

Ž . H

^xŽs.gIntŽD.4 ^s

0

x w w x Ž . Ž .4

Soit t ; t_{1 2} une composante de l’ouvert sg 0; T ; x s gInt D .Il suffit de w x

montrer que k est constante sur a; b puor tous t₁-a-b-t₂.On pose

w x

3.7 Vs

x s ; sg a; b

4

.

Ž . Ž .

Ž .

La partie V est un compact inclus dans l’ouvert Int D , donc il existe ␧)0 tel que

3.8

zg⺢^d: dist V , z -␧

4

;Int D ,

Ž . Ž . Ž .

Ž . ^d < <

ou l’on a note dist V, z la distance entre V et z.

` ´

Soient eg⺢ , e s1 et Ž ^X.

aFsFtFb.En appliquant la condition 3.2 4 avec

␣

Ž

u

.

sx u

Ž .

q␧e, puis

␣

Ž

u

.

sx u

Ž .

y␧e, on peut ecrire

´

t

² :

3.9 e, dk u s0,

Ž . H Ž .

s

c’est-a-dire,

`

² :

3.10 e, k t yk s s0,

Ž . Ž . Ž .

E. CEPA 508

puis

d < <

² :

k t

Ž .

yk s

Ž .

ssup e, k t

Ž .

yk s

Ž .

; eg⺢ , e s1

4

s0,

Ž . Ž .

d’ou le resultat.

` ´

Il reste a voir que x, k verifie la condition 1.7 de Tanaka;

` ´

c’est-a-dire,

`

t < < w x

3.11 k t s n d k ᭙ tg 0; T ,

Ž . Ž . H

^{s s}

0

< < w x

avec pour d k -presque tout sg 0; T , n appartient a l’ensemble des nor-s

`

males exterieures unitaires a D au point du bord x s

´ `

Ž ..Il est classique que k

Ž . < <

peut s’ecrire sous la forme 3.11 avec n

´

s s1; il faut s’assurer que pour

< < w x

d k -presque tout sg 0; T , ns appartient a l’ensemble des normales ex-

`

Ž . Ž ^X.

terieures unitaires a D au point du bord x s

´ `

. Or la condition 3.2 4 Ž .

appliquee pour

´

␣ u '␣, ␣ quelconque dans D, donne pour tous 0FsF tFT,

t

² :

< <

3.12 x u y␣, n d k G0,

Ž . H Ž .

^{u u}

s

d’ou

`

< <

² :

3.13 x u y␣, n G0 ᭙␣gD, d k -p.p.,

Ž . Ž .

_u

ce qui implique bien le resultat voulu par

´

␣.

Reciproquement, il faut prouver que toute solution du probleme considere

´ ` ´ ´

w x Ž .

dans 15 resout le probleme

´ `

SS I , w, T ; ceci est immediat car pour touteD

´

w x

fonction ␣ continue sur 0; T , a valeurs dans D, on peut ecrire, si 0

` ´

FsF tFT,

t t

< <

² : ² :

3.14 x u y␣ u , dk u s x u y␣ u , n d k G0,

Ž . H Ž . Ž . Ž . H Ž . Ž .

^{u u}

s s

< < w x

puisque pour d k -presque tout ug 0; T , nu appartient a l’ensemble des

`

Ž .

normales exterieures unitaires a D au point du bord x u

´ `

.I 3.4. Resultats.

´

THEOREME

´ `

3.2. Pour tous dg⺞^U, A operateur maximal monotone multi-

´

d Ž . Žw x ^d.

voque de ⺢ verifiant 3.1 , w

´

gCA 0; T ;⺢ , il existe une unique solution Žx, k du probleme.

`

SSŽA, w, T.. De plus, l’application

w x ^d w x ^d

⌫:CA

Ž

0; T ;⺢

.

ªC

Ž

0; T ;⺢

. Ž

3.15

.

w ¬ x ,

Ž .

est continue pour la topologie de la convergence uniforme.

4. Demonstration de l’existence et l’unicite: cas deterministe.

´ ´ ´

Convention. Dorenavant, dans les calculs, toutes les constantes, dont la

´

valeur n’a pas lieu d’etre precisee, seront notees indifferemment C.

ˆ ´ ´ ´ ´

Nous allons demontrer le theoreme precedent en plusieurs etapes.

´ ´ ` ´ ´ ´

4.1. Etape 1: unicite.

´ ´

Ž . Ž ^{X X}. w x

PROPOSITION4.1. Soient x, k , x , k des fonctions continues sur 0; T , a valeurs dans ⺢^d, telles que k, k^X a variation finie, x, x^X a valeurs dans

` ` `

D A et

Ž .

² :

4.1 x u y␣ u , dk u y␤ u du G0,

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

²

^{X X}

:

4.2 x u y␣ u , dk u y␤ u du G0,

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

Ž .

pour tout couple de fonctions ␣,␤ continues verifiant

´

w x

4.3 ␣ u ,␤ u gGr A ᭙ug 0; T .

Ž . Ž Ž . Ž . . Ž .

Alors la mesure

²

^{X X}

:

4.4 x u yx u , dk u ydk u

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž .

w x est positive sur 0; T .

Ž . Ž ^{X X}.

DEMONSTRATION

´

. Soient x, k , x , k verifiant les hypotheses de la Pro-

´ `

position 4.1.Pour ng⺞^U, prenons

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

Žn.

4.5 ␣ sJ ,

Ž .

_n

ž

²

/

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

Žn.

4.6 ␤ sA ,

Ž .

_n

ž

²

/

Žn. Žn.

Ž ^Žn.Ž . ^Žn.Ž .. Ž . Ž . Ž Ž ..

alors ␣ ,␤ continues et ␣ u ,␤ u gGr A car A_n y gA J_n y

d Ž .

pour tout y dans⺢ d’apres la Proposition 2.4 v

`

.

Ž . Ž . Ž ^{Žn. Žn.}. ^U

En appliquant 4.1 et 4.2 pour ␣ ,␤ , ng⺞ , on peut ecrire

´

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

4.7 0F x u yJ , dk u yA du ,

Ž . ¦ Ž .

n

ž

²

/ Ž .

n

ž

²

/ ;

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

X X

4.8 0F x u yJ , dk u yA du ,

Ž . ¦ Ž .

_n

ž

²

/ Ž .

_n

ž

²

/ ;

Ž Ž . ^XŽ ..

d’ou en ajoutant et retranchant x u

`

qx u r2 dans le premier membre de

Ž .

chacun des produits scalaires, on obtient, grace a la relation A

ˆ `

nsn IyJn

Žvoir Proposition 2.4 ,.

x u

Ž .

yx^X

Ž

u

.

1 x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

0F

¦

² q ⁿA_n

_ž

²

_/

,

Ž

4.9

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

dk u

Ž .

yAn

ž

²

/

du ,

;

E. CEPA 510

x^X

Ž

u

.

yx u

Ž .

1 x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

0F

¦

² q ⁿA_n

ž

²

/

,

Ž

4.10

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

dk uX

Ž .

yAn

_ž

2

_/

du ,

;

Ž . Ž .

puis en sommant les equations 4.9 et 4.10 ainsi obtenues

´

X 2

1 _{X X} 2 x u

Ž .

qx u

Ž .

² :

0F ² x u

Ž .

yx u , dk u

Ž . Ž .

ydk u

Ž .

y ⁿ An

ž

²

/

du x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

_X

q

¦

² yJn

ž

²

/

, dk u

Ž .

qdk u

Ž . ;

, par consequent

´

²

x u

Ž .

yx u , dk u^X

Ž . Ž .

ydk u^X

Ž . :

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

_X G y2

¦

² yJn

_ž

²

_/

, dk u

Ž .

qdk u

Ž . ;

, puis en passant a la limite quand n

`

ª⬁d’apres la convergence

`

64.11 J x proj x

Ž .

n

Ž .

nª⬁ D AŽ .

Ž .

Ž w x.

rappelee dans la Proposition 2.4, et, grace a la convexite de D A

´ ˆ ` ´ Ž .

voir 5 , x u

Ž .

qx^X

Ž

u

.

4.12 gD A ,

Ž . Ž .

2

on obtient le resultat voulu apres application du theoreme de convergence

´ ` ´ `

dominee de Lebesgue via le caractere contractant de J

´ `

n.I

Ž .

PROPOSITION4.2. Le probleme

`

SS A, w, T possede au plus une solution.

`

Ž . Ž ^{X X}. Ž

DEMONSTRATION

´

. Soient x, k , x , k deux solutions du probleme

`

SS A, w, T..On peut ecrire, grace a la Proposition 4.1,

´ ˆ `

2 t

X X X

² :

x t

Ž .

yx t

Ž .

s y2

H

x u

Ž .

yx u , dk u

Ž . Ž .

ydk u

Ž .

0

F0,

d’ou x

`

sx^X et donc par difference k

´

sk^X. I

La demarche utilisee dans la suite pour prouver l’existence d’une solu-

´ ´

Ž . w x w x w x

tion de SS A, w, T s’apparente a celle utilisee dans 15 , 12 et 13

` ´

.On de-

´

montre d’abord l’existence d’une solution pour un ensemble de donnees

´

Ž ^⬁Žw x ^d.. Žw x ^d.

w C_n 0; T ;⺢ dense dans C 0; T ;⺢ , puis on obtient une estimation a

< <

priori uniforme de kn^T qui permet de construire une solution par passage a

`

Ž .

la limite dans SS A, w , T_n .Cependant, dans notre situation, on doit en plus

‘‘gerer’’ l’eventuelle singilarite de A au bord penser simplement a A

´ ´ ´

Ž

`

s⭸␸

avec ␸ fonction convexe explosant au bord de son domaine effectif..

4.2. Etape 2: estimations a priori.

´

X Žw x ^d. Ž . Ž ^{X X}.

PROPOSITION 4.3. Soient w, w gC_A 0; T ;⺢ . Si x, k et x , k sont,

Ž . Ž ^X .

respectivement, solutions de SS A, w, T ,SS A, w , T alors

1r2 1r2

X X X X

5 5 5 5 5 5 < < < <

4.13 xyx F wyw wyw q4 k q4 k ,

Ž . Ž

T T

.

Žw x ^d. w x

ou l’on convient de noter pour f

`

gC 0; T ;⺢ , g a variation finie sur 0; T ,

`

5 5

4.14 f s sup f t ,

Ž . Ž .

0FtFT py1

< <g^tsssup

½

i

Ý

s0 g t

Ž

ⁱq1

.

yg t

Ž

i

.

;

0Fsst₀-t₁- ⭈⭈⭈ -t_pstFT , pg⺞^U

5

,

Ž

4.15

.

< <^gts< <g⁰t ᭙ tgw0; Tx.

Ž .

DEMONSTRATION

´

. Pour tout 0FtFT, on peut ecrire d’apres 3.2 et la

´ `

Proposition 4.1,

2 2 2

X X X

x t

Ž .

yx t

Ž .

s w t

Ž .

yw t

Ž .

q k t

Ž .

yk t

Ž .

²

^{X X}

:

y2 w t

Ž .

yw t , k t

Ž . Ž .

yk t

Ž .

2 t

X X X

² :

s w t

Ž .

yw t

Ž .

q2

H

k s

Ž .

yk s , dk s

Ž . Ž .

ydk s

Ž .

0

t _{X X X}

² :

y2

H

w t

Ž .

yw s

Ž .

yw t

Ž .

qw s , dk s

Ž . Ž .

ydk s

Ž .

0

t _{X X}

² :

y2

H

w s

Ž .

yw s , dk s

Ž . Ž .

ydk s

Ž .

0

2 t

X X X

² :

s w t

Ž .

yw t

Ž .

y2

H

x s

Ž .

yx s , dk s

Ž . Ž .

ydk s

Ž .

0

t _{X X X}

² :

y2

H

w t

Ž .

yw s

Ž .

yw t

Ž .

qw s , dk s

Ž . Ž .

ydk s

Ž .

0

5 ^X5² 5 ^X5 < < < ^X<

F wyw q4 wyw

Ž

kTq k T

.

, d’ou le resultat.

` ´

I

d Ž .

PROPOSITION4.4. Il existe ag⺢ , ␥)0, ␮G0 ne dependant que de A

´

Žw x ^d. Ž . Ž .

tels que pour toute wgC_A 0; T ;⺢ , si x, k est solution de SS A, w, T alors pour tous 0FsFtFT, on a

t _s t

< <

² :

4.17 x u ya, dk u G␥k y␮ x u ya duy␥␮ tys .

Ž . H Ž . Ž .

^t

H Ž . Ž .

s s

E. CEPA 512

Ž Ž .. w Ž .x

DEMONSTRATION

´

. Soient agInt D A non vide par l’hypothese 3.1 ,

`

Ž . Ž Ž ..

␥)0 tel que B a,␥ ;Int D A et

< <

4.18 ␮ssup y ; ygA x , xgB a,␥ .

Ž . Ž . Ž . 4

d < <

D’apres la Proposition 2.3, on a 0

`

F␮-⬁. Pour tout eg⺢ , e s1, on a

Ž . Ž .

puisque x, k est solution de SS A, w, T et par definition de

´

␮,

²

x u

Ž .

yay␥e, dk u

Ž . :

G

²

x u

Ž .

yay␥e, A⬚

Ž

aq␥e du

. :

G y

Ž

␮ x u

Ž .

ya q␮␥

.

du.

w x Soit 0Fsst₀-t₁- ⭈⭈⭈ -t_pstFT une subdivision quelconque de s; t ; en utilisant l’estimation precedente, on peut ecrire

´ ´ ´

t_iq1

² :

²

k t

Ž

ⁱq1

.

yk t , e

Ž

i

. :

s

H

e, dk u

Ž .

ti

t_iq1 y1

² :

s␥

H

x u

Ž .

ya, dk u

Ž .

t_i tiq1 y1

² :

y␥

H

x u

Ž .

yay␥e, dk u

Ž .

t_i t_iq1 y1

² :

F␥

H

x u

Ž .

ya, dk u

Ž .

t_i t_iq1 y1

q␮␥

H

x u

Ž .

ya duq␮

Ž

tⁱq1yt ,i

.

t_i

dont on deduit

´

d < <

² :

k t

Ž

iq1

.

yk t

Ž

i

.

ssup k t

Ž

iq1

.

yk t , e ; e

Ž

i

.

g⺢ , e s1

4

t_iq1 t_iq1

y1 y1

² :

F␥

H

x u

Ž .

ya, dk u

Ž .

q␮␥

H

x u

Ž .

ya du

t_i t_i

q␮

Ž

tiq1yt ;i

.

puis en sommant les inegalites obtenues

´ ´

py1

y1 t

² :

k t

Ž .

yk t

Ž .

F␥ x u

Ž .

ya, dk u

Ž .

Ý

ⁱq1 i

H

is0 s

y1 t

q␮␥

H

x u

Ž .

ya duq␮

Ž

tys

.

s

et finalement, prenant la borne superieure sur l’ensemble des subdivisions

´

w x

de s; t ,

0Fsst₀-t₁- ⭈⭈⭈ -t_pstFT , on tire

t t

s y1 y1

< <kt F␥

H ²

x u

Ž .

ya, dk u

Ž . :

q␮␥

H

x u

Ž .

ya duq␮

Ž

tys

.

. I

s s

PROPOSITION4.5. On suppose que:

Ž . Ži w_{n n}. suite de C_AŽw0; T ;x ⺢^d. telle que w_nª_nª⬁w dans C 0; T ;Žw x ⺢^d.; Ž .ii le probleme

`

SSŽA, w , T admet une solution x , kn . Ž n n. pour tout ng⺞; Žiii. Žx , k_{n n}.ª_nª⬁Žx, k dans C 0; T ;. Žw x ⺢^{2 d}.;

Živ. < <knTFC pour tout ng⺞.

Ž . Ž .

Alors x, k est solution de SS A, w, T .

DEMONSTRATION

´

. On a clairement x continue, a valeurs dans D A , k

` Ž .

Ž . Ž . Ž . Ž .

continue, a variation finie, k 0

`

s0, x t sw t yk t , 0FtFT.Il reste a

`

² Ž . Ž . Ž . Ž . : w x

montrer que la mesure x u y␣ u , dk u y␤ u du est positive sur 0; T

Ž . ^d

pour tout couple de fonctions ␣,␤ continues, a valeurs dans

`

⺢ et telles que

w x

4.19 ␣ u ,␤ u gGr A ᭙ug 0; T .

Ž . Ž Ž . Ž . . Ž .

Pour tous ng⺞^U, 0FsFtFT, on a

t

² :

4.20 x u y␣ u , dk u y␤ u du G0.

Ž . H

ⁿ

Ž . Ž .

ⁿ

Ž . Ž .

s

Ž w x

On aura besoin dans la suite du lemme suivant voir 13 pour une demon-

´

stration :.

Ž ^Žn.. ^Žn. w x ^{d U}

LEMME4.6. Soient k _nune suite de fonctions k : 0; T ª⺢ , dg⺞ , continues a variation finie telles que:

`

Ž .i sup kn< ^Žn.<TFC-⬁;

Ž .ii k^Žn.ªnª⬁k uniformement sur 0; T ;

´

w x

Žf^Žn.._n une suite de fonctions f^Žn.: 0; Tw xª⺢^d continues telles que Žiii f. ^Žn.ªnª⬁f uniformement sur 0; T

´

w x.

Alors pour tous 0FsFtFT, on a

t t

Žn. Žn. 6

² :

² :

4.21 f u , dk u f u , dk u .

Ž . H

s

Ž . Ž .

nª⬁

H

s

Ž . Ž .

Ž .

Il suffit alors de passer a la limite dans 4.20 en utilisant les convergences

`

Žiii , l’estimation uniforme iv et le Lemme 4.6 pour obtenir. Ž .

t

² :

4.22 x u y␣ u , dk u y␤ u du G0. I

Ž . H Ž . Ž . Ž . Ž .

s

4.3. Etape 3: approximation.

´

⬁Žw x ^d. Žw x ^d.

PROPOSITION 4.7. Pour toute wgC 0; T ;⺢ lC_A 0; T ;⺢ , il existe

Ž .

une unique solution du probleme

`

SS A, w, T .

E. CEPA 514

1Žw x ^d. Ž ²Žw x ^d..

DEMONSTRATION

´

. Pour fgC 0; T ;⺢ resp.fgC 0; T ;⺢ , on note

˙

Ž

¨

. Ž . ^⬁Žw x ^d.

f resp. f la derivee premiere resp.

´ ´ `

seconde de f.Soit wgC 0; T ;⺢ l

Žw x ^d. ^U

CA 0; T ;⺢ .On considere pour tout n

`

g⺞ le probleme approche

` ´

x

Ž .

t sw t

Ž .

yA

Ž

x

Ž .

t

.

,

˙

n

˙

n n

Ž

4.23

.

xn

Ž .

0 sw 0 ,

Ž .

1Žw x ^d.

qui possede une unique solution x

`

ngC 0; T ;⺢ car A Lipschitzien.n

Soit h)0.Pour 0FtFTyh, on pose

4.24 x^X t sx tqh ; w^X t sw tqh ,

Ž .

n

Ž .

n

Ž . Ž . Ž .

de telle sorte que x^X_n est solution de

x^X

Ž .

t sw^X

Ž .

t yA

Ž

x^X

Ž .

t

.

,

˙

n

˙

n n

Ž

4.25

.

x^Xn

Ž .

0 sxn

Ž

h

.

. Soit ␧)0.Pour 0FtFTyh, on pose

1r2 X 2

4.26 ⌽ t s x t yx t q␧ .

Ž . Ž . ž

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž . /

Ž . Ž .

En utilisant 4.23 , 4.25 et la monotonie de A , on obtient_n

˙

X

4.27 ⌽ t F w t yw t ,

Ž . Ž . ˙ Ž . ˙ Ž .

dont on deduit

´

xn

Ž .

t yxXn

Ž .

t F⌽

Ž .

t

t

˙

F⌽

Ž .

0 q

H

⌽

Ž .

s ds

0

1r2 t

X 2 X

F

ž

xⁿ

Ž .

0 yxⁿ

Ž .

0 q␧

/

q

H

w s

˙ Ž .

yw s

˙ Ž .

ds.

0

En faisant ␧ª0 dans l’inegalite precedente, on tire

´ ´ ´ ´

X X t X

4.28 x t yx t F x 0 yx 0 q w s yw s ds,

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž . H ˙ Ž . ˙ Ž .

0

c’est-a-dire,

`

4.29 x tqh yx t F x h yx 0 q t w sqh yw s ds,

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž . H ˙ Ž . ˙ Ž .

0

puis divisant par h)0 et faisant tendre h vers 0, x

Ž .

t F x

Ž .

0 q t w s

Ž .

ds

˙

ⁿ

˙

ⁿ

H ¨

0

F w 0

˙ Ž .

q Aⁿ

Ž

w 0

Ž . .

q

H

t w s

¨ Ž .

ds

0

F w 0

˙ Ž .

q A⬚

Ž

w 0

Ž . .

q

H

t w s

¨ Ž .

ds,

0

que l’on peut ecrire

´

4.30 x t FCsC A, w, T ᭙ng⺞U.

Ž . ˙

n

Ž . Ž .

On en deduit les majorations

´

4.31 x t FCsC A, w, T ᭙ ng⺞U,

Ž .

n

Ž . Ž .

Ž . Ž .

et d’apres 4.23 et 4.30 ,

`

4.32 A x t FCsC A, w, T ᭙ ng⺞U.

Ž .

n

Ž

n

Ž . . Ž .

On definit

´

t _U

4.33 k t s A x s ds, 0FtFT ; ng⺞ .

Ž .

ⁿ

Ž . H

ⁿ

Ž

ⁿ

Ž . .

0

Ž . Ž .

D’apres les estimations 4.30 , 4.31 et le theoreme d’Ascoli, on peut affirmer

` ´ `

Žw x ^d.

qu’il existe x, kgC 0; T ;⺢ telles que, a extraction pres d’une sous-suite,

` `

6 2 dw x

4.34 x , k x , k dans C 0; T ⺢ .

Ž . Ž

n n

.

nª⬁

Ž . Ž .

Ž . Ž . Ž .

A l’aide de 4.32 , 4.34 on deduit que k a variation finie, k 0

´ `

s0 et

Ž . Ž . Ž .

x t sw t yk t . Il reste a voir que x est a valeurs dans D A

` ` Ž .

et la

² Ž . Ž . Ž . Ž . :

positivite de la mesure

´

x u y␣ u , dk u y␤ u du . S’il existait t0g w0; Tx tel que x tŽ 0.fD A

Ž .

alors d’apres la Proposition 2.4

`

Žutiliser la

< Ž .< ^d.

croissance par rapport a n de A

`

n z , zg⺢ , on aurait

64.35 A x t q⬁,

Ž .

n

Ž

n

Ž

0

. .

nª⬁

Ž . Ž .

ce qui est impossible d’apres la majoration uniforme 4.32 , d’ou x t

` `

gD A

Ž .

Ž .

pour tout 0FtFT.Remarquons que l’inegalite 4.32 donne

´ ´

< < ^U

4.36 k FC ᭙ ng⺞ .

Ž .

nT

X w x

On va prouver tout d’abord que pour toute fonction continue ␣ sur 0; T a

`

Ž .

valeurs dans D A et telle que

T _X

4.37 A⬚ ␣ u du-q⬁,

Ž . H Ž Ž . .

0

la mesure

²

^{X X}

:

4.38 x u y␣ u , dk u yA⬚ ␣ u du

Ž . Ž . Ž . Ž . Ž Ž . .

w x Ž . Ž .

est positive sur 0; T .Puisque x , k_{n n} est solution de SS A , w, T pour tout_n ng⺞^U, on peut ecrire

´

t _{X X}

² :

4.39 x u y␣ u , dk u yA ␣ u du G0.

Ž . H

ⁿ

Ž . Ž .

ⁿ

Ž .

ⁿ

Ž Ž . .

s

Ž . Ž . Žw x ^{2 d}.

En utilisant la convergence de x , k_{n n} vers x, k dans C 0; T ⺢ , l’esti-

< <

mation uniforme knTFC et le Lemme 4.6, on obtient

t _X 6 t _X

² :

² :

4.40 x u y␣ u , dk u x u y␣ u , dk u ,

Ž . H

ⁿ

Ž . Ž .

ⁿ

Ž .

nª⬁

H Ž . Ž . Ž .

s s