Deuxi`eme partie D´EP ˆOT SANS S´EPARATION DES ´ECHELLES

3.1

Introduction

Lorsque la taille des particules devient du mˆeme ordre de grandeur que la taille des pores de la paroi fitrante ou encore lorsque le nombre de particules formant le d´epˆot est faible (probl`eme de la premi`ere couche), l’´etude de la formation du d´epˆot ne peut en principe pas s’appuyer sur les ´equations homog´en´eis´ees (Darcy ou Brinkman par exemple), en raison de la perte de s´eparation des ´echelles. L’approche naturelle est alors de se baser directement sur la r´esolution de Stokes (simulation directe). Toutefois, ce type d’approche est tr`es lourd `a mettre en oeuvre (Cf. [Fre98]) et peu op´erationnel dans la perspective d’´etudes statistiques faisant intervenir plusieurs pores et plusieurs particules en mouvement.

Pour ces raisons nous avons explor´e les possibilit´es d’une approche moins rigoureuse mais moins exigeante en termes de ressources informatiques s’appuyant sur l’´equation de Brinkman. Dans ce chapitre nous explorons la qualit´e de l’approximation de Brinkman dans le cas de d´epˆots uniformes (le cas des d´epˆots non uniformes fait l’objet du dernier chapitre de la th`ese).

Avant le cas des d´epˆots nous discutons l’´equation de Brinkman dans le cas d’un ´ecoulement dans une conduite remplie de particules. Comme cela est bien connu, l’int´erˆet principal de l’´equation de Brinkman par rapport `a la loi de Darcy est de permettre outre une approche moyenn´ee, la prise en compte du frottement sur les parois (ou interfaces) plus pr´ecis´ement (l’hypoth`ese de non glissement du fluide sur les parois solides est prise en compte ).

Le but de ce chapitre est donc d’´etudier la validit´e des mod`eles de Brinkman et Darcy dans le cas d’´ecoulements bi-dimensionnels dans une couche de particules en pr´esence de parois.

3.2

Equation de Brinkman

´

Brinkman introduit en 1947 [Bri47] un terme empirique de force de volume dans l’´equation de Stokes mod´elisant la force exerc´ee par le fluide en ´ecoulement sur les particules :

µef f∆~v − ~∇P −

µ Ki

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 108

µef f : viscosit´e effective

µ : viscosit´e dynamique du fluide  : porosit´e du milieu

~v : vitesse moyenne de filtration P : Pression

Ki : perm´eabilit´e du milieu

Des travaux th´eoriques [Tam69],[Rub86],[How74],[How98],[DB87a] sur des ensembles in-finis d’obstacles plac´es al´eatoirement dans un fluide en ´ecoulement ont plus tard confirm´e la pertinence de l’addition du terme de force de volume dans l’´equation de Stokes. L’´equation de Brinkman (3.1) permet de d´ecrire pr´ecis´ement l’´ecoulement dans le milieu poreux si la porosit´e reste sup´erieure `a 95% [DB87a]. Cependant les mˆemes auteurs constatent un ac-cord qualitatif entre la solution de Green de l’´equation de Brinkman et celle de l’´equation de Stokes si 0.05 <  < 0.2.

L’´equation de Brinkman permet de d´ecrire de mani`ere continue le passage d’un ´ecoulement de type Darcy `a un ´ecoulement du type Stokes. Lorsque le milieu est tr`es poreux, la poro-sit´e tend vers 1 et la perm´eabilit´e est tr`es grande, on retrouve ainsi l’´equation de Stokes. Par contre, lorsque le milieu est faiblement poreux, la perm´eabilit´e est faible et le terme de Darcy _Kµ

i~v devient pr´epond´erant devant le terme de diffusion µef f∆~v, l’´ecoulement devient

Darc´een. Cette ´equation a par exemple ´et´e utilis´ee pour mod´eliser des ´ecoulements `a l’´echelle cellulaire [FW01], [WA05], [TW91] ainsi que pour mod´eliser des situations o`u des domaines poreux et de fluide libre coexistent [GLGV03], [GZB+_03].

Les travaux th´eoriques ´evoqu´es pr´ec´edemment d´emontrent que le terme de Darcy pro-vient de l’homog´en´eisation du terme de diffusion de µ∆~v de l’´equation de Stokes. D’un point de vue th´eorique, le terme de viscosit´e effective provient du fait que la force de volume exerc´ee par les particules sur le fluide est proportionnelle `a la vitesse moyenne de filtration et `a son laplacien [Lun72] :

~

f = A~v + B∆~v

Cette expression, combin´ee avec les termes de l’´equation de Stokes conduit `a l’apparition de la viscosit´e effective.

La viscosit´e effective a ´et´e discut´ee par beaucoup d’auteurs, Cf. [Kav91] et Goyeau. et al. [GLGV03] et r´ef´erences cit´ees dans cet article. Son ´evolution en fonction de la porosit´e reste essentiellement un sujet encore ouvert. En cons´equence, nous la caract´eriserons `a partir de simulations directes de Stokes.

On peut cependant noter que le probl`eme de la viscosit´e effective n’est important que pour les hautes porosit´es.

En effet lorsque  diminue, la perm´eabilit´e diminue, le terme de Darcy _Kµ~v devient pr´epond´erant devant le terme de diffusion µ∆~v si l’´echelle consid´er´ee est plus grande que la longueur de Darcy lD =

√

Ki. Par cons´equent l’expression de la viscosit´e effective pour

les faibles valeurs de porosit´e n’a pas d’influence sur le comportement macroscopique de l’´ecoulement.

3.3

Ecoulement `

´

a travers une couche de particules dans une conduite

(caract´

erisation de la viscosit´

e effective)

3.3.1 Pr´esentation du probl`eme

Le domaine d’´ecoulement `a travers une couche de cylindres d’´epaisseur finie confin´ee entre 2 plans parall`eles peut ˆetre mod´elis´e par la g´eom´etrie suivante :

Fig. 3.1: Domaine de r´esolution.

On impose des conditions aux limites p´eriodiques en x = 0 et x = lx. L’´ecoulement est

suppos´e sans inertie, il v´erifie donc les ´equations de Stokes et de continuit´e :

µ∆u − ∂P ∂x = 0 (3.2) µ∆v − ∂P ∂y = 0 (3.3) ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 (3.4)

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 110

On impose une condition de non glissement sur les 2 plans et des conditions de p´eriodicit´e sur la pression et la vitesse.

u = v = 0 en y = 0, Ly et sur ∂ΩP (3.5)

u(x + lx) = u(x) (3.6)

v(x + lx) = v(x) (3.7)

P (x + lx) = P (x) (3.8)

ΩP : est la fronti`ere des particules.

On adimensionnalise toutes les longueurs avec Ly la hauteur de la couche de cylindres.

x = Lyx0

y = Lyy0

Lx= LyL0x

lx = Lylx0

La vitesse caract´eristique du probl`eme U0 est associ´ee au d´ebit passant entre les surfaces

x = 0 et x = lx.

Q = Z Ly

0

ue(y)dy = U0Ly (3.9)

Par cons´equent, on adimensionnalise la vitesse de la mani`ere suivante : u = U0u0

v = U0v0

Enfin la pression prend alors la forme suivante :

P = µU0 Ly

P0 (3.10)

Par analogie `a la loi de Darcy, on peut associer une perm´eabilit´e Ks liant le d´ebit `a

la diff´erence de pression et aux caract´eristiques g´eom´etriques du probl`eme. Cette derni`ere quantifie la r´esistance `a l’´ecoulement exerc´ee par les cylindres et les parois du domaine.

Ks= Q

µlx

Ly(P1− P0)

L’unit´e de mesure de la perm´eabilt´e est le m2, on adimensionnalise donc Ksde la mani`ere suivante : K_s0 = Ks L2 y = l 0 x P₁0 − P0 0 (3.12)

3.3.2 R´esolution du probl`eme de Brinkman ´equivalent

La couche de cylindres peut ˆetre mod´elis´ee par un milieu poreux ´equivalent de perm´eabilit´e Ki homog`ene et isotrope. Le probl`eme `a r´esoudre, si on adopte l’´equation de Brinkman, est

donc : µef f∆u − ∂P ∂x − µ Ki u = 0 (3.13) µef f∆v − ∂P ∂y − µ Ki u = 0 (3.14) ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 (3.15)

o`u µef f est la viscosit´e effective.

On peut ainsi mod´eliser les cylindres par un param`etre macroscopique (Ki) et prendre en

compte les conditions de non glissement sur les parois. ´Etant donn´e que le milieu poss`ede une extension infinie dans la direction des x, on peut alors faire les approximations suivantes :

v = 0 ∂u ∂x = 0 ∂P

∂y = 0 On peut alors ´ecrire que :

µef f µ d2_u0 dy02 − dP0 dx0 − 1 K_i0u = 0 (3.16) avec : u0(y0 = 0) = u0(y0 = 1) = 0 (3.17) Ki = L2yK 0 i (3.18)

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 112

L’expression de u dans le cas du syst`eme (3.16) + (3.17) devient :

u0(y0) = 2K_i0 dP 0 dx0 sinh  1 2 q ξ K_i0(y 0_{− 1)}_sinh1 2 q ξ K0_iy 0 cosh1 2 q ξ K_i0  (3.19) avec : ξ = µ µef f (3.20) La perm´eabilit´e du syst`eme est d´efinie de la mani`ere suivante :

K_b0 = −Q0 dP

0

dx0

−1

(3.21) Elle prend donc la forme :

K_b0 = K_i0 1 − 2 s K_i0 ξ tanh 1 2 s ξ K0 i !! (3.22)

La perm´eabilit´e Ki permet de mod´eliser, dans l’´equation de Brinkman, la force exerc´ee

par les cylindres sur le fluide.

Ki l2 x = 1 fa (3.23) fa est le coefficient de traˆın´ee d´etermin´e (dans le cas d’un milieu d’extension infini

constitu´e par un r´eseau carr´e de cylindres) par Sangani et Acrivos [SA82] en fonction de la porosit´e de la couche de particule P, dans notre cas :

 = 1 − π RP lx

2

 fa 0.95 15.56 0.9 24.83 0.80 51.53 0.70 102.90 0.60 217.89 0.5 532.55 0.40 1763 0.30 13520 0.25 126300

Tab. 3.1: Valeurs du coefficient fa en fonction de la porosit´e de la couche de particules P.

3.3.3 R´esolution du probl`eme de Stokes par ´el´ements fronti`eres

Dans ce paragraphe nous pr´esentons la m´ethode des ´el´ements fronti`eres utilisant un type particulier d’´el´ement pour discr´etiser la fronti`ere des particules : les ´el´ements spectraux [Duf00]. Ce type d’´el´ements prend en compte la sym´etrie des particules en exprimant la solution (les composantes de la vitesse et de la contrainte) en s´erie de Fourier. Pour un mˆeme nombre de degr´es de libert´e, la discr´etisation des particules par ´el´ements spectraux, permet d’obtenir une plus grande pr´ecision par rapport `a un maillage du type ´el´ements constants o`u les particules sont discr´etis´ees par des segments de droites.

La r´esolution de l’´equation int´egrale est r´ealis´ee par une m´ethode de collocation. Formulation int´egrale du probl`eme de Stokes

Si x0 est le point o`u l’on veut calculer la vitesse alors :

ID(x0)uj(x0) = − Z C Gji(x0, x)fi(x)dl(x) + Z C ui(x)Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) (3.25) j = 1, 2 x = (x0, y0) et x0 = (x00, y 0 0)

La fonction ID(x) est d´efinie par :

– ID(x0) = 1 si x ∈ Ω

– ID(x0) = 1/2 si x ∈ C

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 114

Les tenseurs Gij et Tijk sont les solutions fondamentales de l’´equation de Stokes. Ils sont

d´efinis de la mani`ere suivante :

Gij = 1 8π  δijln(r) − (yi− x0i)(yj − x0j) r2  (3.26) Tijk = − 6 8π (yi− x0i)(yj − x0j)(yk− x0k) r3 (3.27)

fi(x) et ui(x) sont respectivement les contraintes et vitesses `a d´eterminer sur la fronti`ere

C du domaine de r´esolution. µ est la viscosit´e dynamique du fluide. C est d´efini de la mani`ere suivante :

C = Γ ∪ S (3.28)

Γ : est la fronti`ere du domaine de r´esolution contenant les particules S : est l’ensemble des contours des particules

Γ = Nc [ e=1 Γe et S = Ns [ α=1 Sα

Fig. 3.2: Domaine de r´esolution.

Les int´egrales de l’´equation (3.25) peuvent ainsi se mettre sous la forme suivante : Z C Gji(x0, x)fi(x)dl(x) = Nc X e=1 Z Γe Gji(x0, x)fi(x)dl(x) + Ns X α=1 Z Sα Gji(x0, x)fi(x)dl(x) (3.29)

Z C ui(x)Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) = Nc X e=1 Z Γe ui(x)Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) + Ns X α=1 Z Sα ui(x)Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) (3.30)

On impose sur la fronti`ere Γ que la vitesse et la contrainte sont constantes par ´el´ements Γe. On peut alors ´ecrire que

Z Γe Gji(x0, x)fi(x)dl(x) = f (e) i Z Γe Gji(x0, x)dl(x) (3.31) Z Γe Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) = u(e)i Z Γe Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) (3.32) ´

Etant donn´e que les particules sont circulaires, on d´ecompose les fonctions associ´ees aux composantes ui(x) ou fi(x) sur Sα une s´erie de Fourier [Duf00] (Cf. figure 3.3). Chaque

particule constitue ce que l’on d´esignera par la suite un ´el´ement spectral.

u(α)_i (θ) = u0(α)_i + F X f =1 ua(α)_i cos(F θ) + ub(α)_i sin(F θ) (3.33) f_i(α)(θ) = f 0(α)_i + F X f =1 f a(α)_i cos(F θ) + f b(α)_i sin(F θ) (3.34)

Fig. 3.3: Description de l’´el´ement spectral. rα d´esigne le rayon de la particule α.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 116 Z Sα Gji(x0, x)fi(x)dl(x) = 2πr(α)f 0 (e) i Z 2π 0 Gji(x0, x (α) G , θ)dθ +2πr(α) F X f =1 f a(e)_f,i Z 2π 0 Gji(x0, x (α) G , θ) cos(f θ)dθ (3.35) +f b(e)_f,i Z 2π 0 Gji(x0, x (α) G , θ) sin(f θ)dθ (3.36) Z Sα Tijk(x0, x)nk(x)dl(x) = 2πr(α)u0(e)i Z 2π 0 Tijk(x0, x(α)_G , θ)nk(θ)dθ +2πr(α) F X f =1 ua(e)_f,i Z 2π 0 Tijk(x0, x(α)_G , θ)nk(θ) cos(f θ)dθ

+ub(e)_f,i Z 2π 0 Tijk(x0, x (α) G , θ)nk(θ) sin(f θ)dθ (3.37) avec : x1 = xG1+ r(α)cos(α) x2 = xG2+ r(α)sin(α)

Les int´egrales intervenant dans les ´equations (3.31) et (3.32) peuvent ˆetre calcul´ees ana-lytiquement [Bar96]. Cette technique permet, d’une part, un gain de temps de calcul et de pr´ecision et d’autre part permet de r´egulariser les int´egrales singuli`eres (lorsque x0 ∈ Γe).

Le calcul des int´egrales pr´esentes dans (3.36) et (3.37) lorsque x0 ∈ Sα est plus d´elicat. Il

faut tout d’abord proc´eder au changement de variable [Duf00] suivant : θ+= θ0+ θ

2 θ− = θ0− θ

2

Fig. 3.4: Changement de variable pour la r´egularisation des int´egrales.

Les tenseurs (3.26) et (3.27) prennent alors la forme suivante : G11 = 1 4π ln 2r (α)_{+ ln | sin(θ}− )| − sin2θ+
G12 = G21= 1 4πsin θ +_{cos θ}+ G22 = 1 4π ln 2r (α)_{+ ln | sin(θ}− )| − cos2θ+

En remarquant que rknk = −2r(α)sin2θ−, il vient que :

T11knk = 1 2πr(α)sin 2_θ+ T12knk= T21knk = 1 2πr(α) sin θ +_{cos θ}+ T22knk = 1 2πr(α)cos 2_θ+

Grˆace au changement de variable, la singularit´e en 1/r de la fonction Tijknk a ´et´e

lev´ee. La singularit´e faible de Gij peut ˆetre lev´ee num´eriquement en discr´etisant l’intervalle

d’int´egration avec beaucoup de points. Si x0 ∈ Sαles int´egrales sont calcul´ees num´eriquement

`

a l’aide de la m´ethode de Simpson. ´

Etant donn´e que la fronti`ere est d´ecompos´ee en Nc ´el´ements constants et Ns ´el´ements

spectraux, ayant respectivement 2 et 2(2F + 1) degr´es de libert´e pour la vitesse et la contrainte, le probl`eme ´etant de dimension 2, le nombre total d’inconnues est alors Ninc=

4Nc+ 4Ns(2F + 1). Sur chaque ´el´ement constant on impose (u1, u2) ou (f1, f2) ou (u1, f2)

ou (f1, u2). Le nombre d’inconnues devient alors Ninc = 2Nc+ 2Ns(2F + 1). Afin d’obtenir

les ´equations manquantes on force (3.25) `a ˆetre v´erifi´ees en Nc + Ns(2F + 1) points de

col-location (2 ´equations par point de collocation). On choisit, d’une part, les Nc barycentres

des ´el´ements constants, d’autre part, on place sur chaque ´el´ement spectral (2F + 1) points de collocation xc(i) tels que :

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 118 x(α)_c1 (i) = x(α)_G1 + r(α)cos  i 2π 2F + 1  (3.38) x(α)_c2 (i) = x(α)_G2 + r(α)sin  i 2π 2F + 1  (3.39)

L’´equation int´egrale (3.25) peut alors se mettre sous la forme d’un syst`eme lin´eaire :

[A]u + [B]f = 1 2u (3.40) Avec : [A] =    

AC(X1, 1) . . . AC(X1, Nc) AS(X1, 1) . . . AS(X1, Ns)

..

. ... ... ...

AC(XC, 1) . . . AC(XC, Nc) AS(XC, 1) . . . AS(XC, Ns)

    (3.41) [B] =     BC(X1, 1) . . . BC(X1, Nc) BS(X1, 1) . . . BS(X1, Ns) .. . ... ... ... BC(XC, 1) . . . BC(XC, Nc) BS(XC, 1) . . . BS(XC, Ns)     (3.42)

C est le nombre de points de collocations C = Nc+ Ns(2F + 1)

Les ´el´ements de la matrice sont d´efinis par : ACij(Xl, e) = Z Γe Tijk(Xl, x)nk(x)dl(x) BCij(Xl, e) = Z Γe Gij(Xl, x)dl(x) AS(Xl, α) = 

AS0(Xl, α) ASa(Xl, α, 1) ASa(Xl, α, 1) . . . ASa(Xl, α, F ) ASa(Xl, α, F )



BS(Xl, α) =



BS0(Xl, α) BSa(Xl, α, 1) BSa(Xl, α, 1) . . . BSa(Xl, α, F ) BSa(Xl, α, F )

AS0ij(Xl, α) 2πr(α) = Z 2π 0 Tijk(x0, x (α) G , θ)nk(θ)dθ ASaij(Xl, α, f ) 2πr(α) = Z 2π 0 Tijk(x0, x (α) G , θ)nk(θ) cos(f θ)dθ ASbij(Xl, α, f ) 2πr(α) = Z 2π 0 Tijk(x0, x (α) G , θ)nk(θ) sin(f θ)dθ BS0ij(Xl, α) 2πr(α) = − Z 2π 0 Gij(x0, x (α) G , θ)dθ BSaij(Xl, α, f ) 2πr(α) = − Z 2π 0 Gij(x0, x (α) G , θ) cos(f θ)dθ BSbij(Xl, α, f ) 2πr(α) = − Z 2π 0 Gij(x0, x (α) G , θ) sin(f θ)dθ

Les vecteurs u et f contiennent respectivement les composantes u(e)_i , u0(α)_f,i, ua(α)_f,i, ub(α)_f,i et f_i(e), f 0(α)_f,i, f a(α)_f,i, f b(α)_f,i. Ces 2 vecteurs contiennent `a la fois les conditions aux limites et les inconnues du probl`eme. On obtient un syst`eme lin´eaire de la forme suivante :

CY = B

Le vecteur Y contient toutes les inconnues du probl`eme. La matrice obtenue est pleine et non sym´etrique, la r´esolution du syst`eme est effectu´ee par inversion directe apr`es une ´etape de factorisation LU.

R´esolution du probl`eme de Stokes

Le code de r´esolution ´el´ements de fronti`ere 2D mis au point ne permet pas, pour l’instant de r´esoudre les ´ecoulements p´eriodiques. Afin d’obtenir une p´eriodicit´e de l’´ecoulement dans le sens x sur une couche de cylindres (Cf. figure 3.1), on impose un ´ecoulement de type Poiseuille (3.43) sur 5 tranches de cylindres dans le sens des x (Cf. figure3.5). La longueur l0 = 1 entre l’entr´ee et la premi`ere couche de cylindres afin de ne pas forcer la solution dans le r´eseau de cylindres.

u1(y0) = 6y0(1 − y0) (3.43)

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 120

Fig. 3.5: Domaine de r´esolution.

la compacit´e (C = 1 − ). Dans tous les cas ´etudi´es, les couches de particules sont situ´ees `a une distance ´egale `a la moiti´e de la cellule ´el´ementaire (Cf. figure 3.5). Dans chaque cas on d´etermine la perm´eabilit´e apparente K_Stokes0 , d´efinie de la mani`ere suivante :

K_Stokes0 = l 0 x P0 em− Psm0 (3.44)

Les pressions moyennes entre les 2 plans sont calcul´ees de la mani`ere suivante :

Pim =

Z 1

0

Pi(y0)dy0

i = −2, −1, e, s, 1, 2

Le calcul du champ de pression `a l’int´erieur du domaine est effectu´e num´eriquement `

a l’aide de la solution du probl`eme sur la fronti`ere. La m´ethode est pr´esent´ee en annexe C. Les tableaux ci-dessous mettent en ´evidence une variation p´eriodique des pressions P−2m, P−1m, Pem, Psm, P1m, P2m pour la gamme de C et np ´etudi´ee.

C P−1m− P−2m P−em− P−1m Psm− Pem P1m− Pe P2m− P1m

0.05 58.76 58.96 58.96 58.96 58.76

0.3 388.6 387.7 387.7 387.7 388.6

0.6 6786 6776 6776 6776 6786

Tab. 3.2: Pressions moyennes pour np = 1

C P−1m− P−2m P−em− P−1m Psm− Pem P1m− Pe P2m− P1m

0.05 169.5 167.2 167.2 167.2 169.5

0.3 1129.8769 1105 1105 1105 1130

0.6 19130 19050 19050 19050 19130

Tab. 3.3: Pressions moyennes pour np = 10

3.3.4 Comparaison des mod`eles Stokes, Brinkman et Darcy

Comparaison des mod`eles Stokes, Darcy et Brinkman sans viscosit´e effective.(µ = µef f)

Sur la figure 3.6 on a repr´esent´e la perm´eabilit´e apparente d´etermin´ee par le calcul complet de Stokes. On constate que cette derni`ere est d´ecroissante avec la compacit´e C (ou croissante avec la porosit´e). Cette grandeur est ´egalement d´ecroissante avec le nombre de cylindres suivant la direction y. Lorsque C augmente, le rayon des cylindres augmente, augmentant la force exerc´ee par chaque cylindre sur le fluide. Si on augmente le nombre de cylindres dans la direction y, les intervalles ou le fluide peut passer se r´etr´ecissent ce qui implique une dissipation croissante `a d´ebit constant.

Sur la figure 3.7 on repr´esent´e l’´ecart relatif entre le mod`ele de Brinkman , le mod`ele de Darcy et le mod`ele de Stokes. L’´ecart relatif est calcul´e de la mani`ere suivante :

Kα(np) =

Kα− Kstokes(np)

Kstokes(np)

(3.45) α = i, b1

i : mod`ele de Darcy

b1 : mod`ele de Brinkman sans viscosit´e effective (µ = µef f)

np : nombre de cylindres dans la direction y

C P−1m− P−2m P−em− P−1m Psm− Pem P1m− Pe P2m− P1m

0.05 327.8 323.0 323.0 323.0 327.8

0.3 2186.1 2136 2136 2136 2186

0.6 36910 36620 36630 36630 36790

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 122

La perm´eabilit´e apparente calcul´ee `a l’aide du mod`ele de Brinkman est donn´ee par l’´equation (3.22) avec ξ = 1 (µ = µef f). On constate que les 2 mod`eles sur´evaluent la

perm´eabilit´e : la force de volume exerc´ee par les cylindres mod´elis´ee par le terme de Darcy

µ

Ki~v est sous estim´ee. Cependant `a partir de np = 8 ∀C l’´ecart relatif entre les 3 mod`eles est

inf´erieure `a 10%.

Pour un np fix´e, on constate que la pr´ecision du mod`ele de Darcy est pratiquement

constante en fonction de C, sauf pour les faibles valeurs o`u on constate une l´eg`ere d´egradation de la pr´ecision.

Fig. 3.6: Variation de la perm´eabilit´e apparente calcul´ee par le mod`ele de Stokes en fonction de la compacit´e C pour np compris entre 1 et 20. C = 1 − ,  est la porosit´e de la couche de

particules.

Le mod`ele de Brinkman est d’autant plus pr´ecis que C est faible ( grande) pour np

donn´e. En effet, lorsque C diminue, la force exerc´ee par les cylindres sur le fluide diminue, l’´ecoulement est proche d’un ´ecoulement du type Poiseuille : l’´equation de Brinkman tend vers celle de Stokes. Le terme de diffusion est pr´epond´erant devant le terme de Darcy _Kµ

i~v.

Lorque C est grand (ou  faible) la pr´ecision des 2 mod`eles est ´equivalente. Le terme de Darcy, pr´epond´erant dans ce cas l`a, ne mod´elise pas bien la force de volume exerc´ee par les cylindres sur le fluide. La perm´eabilit´e Ki a ´et´e calcul´ee `a partir de la force traˆın´ee d’un

r´eseau de cylindres. La traˆın´ee d’un cylindre proche de la paroi est diff´erente de celle dans un r´eseau p´eriodique. Lorsque le nombre de cylindre augmente la pr´ecision du calcul de la perm´eabilit´e apparente est meilleur.

On peut conclure que le mod`ele de Brinkman dans ce cas mod´elise de mani`ere plus pr´ecise que le mod`ele de Darcy la perm´eabilit´e apparente d´etermin´ee par un calcul direct.

Fig. 3.7: Comparaison entre les perm´eabilit´es ´evalu´ees par les 3 mod`eles en fonction de la compacit´e : Ki(n) (comparaison entre le mod`ele de Stokes et le mod`ele de Darcy), Kb1(n)(comparaison entre le mod`ele de Brinkman sans prise en compte de la viscosit´e effective). n est le nombre de couches de cylindres entre les 2 parois.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 124

Cependant il faut noter que ce mod`ele a une pr´ecision convenable (<10%) si le nombre de cylindres dans la direction perpendiculaire `a l’´ecoulement est sup´erieur `a 8. Nous n’avons pas tenu compte dans le mod`ele de Brinkman de l’influence de la viscosit´e effective. On se propose donc de d´eterminer cette grandeur dans le cas particulier de notre probl`eme dans le paragraphe suivant.

Calcul et mod´elisation de la viscosit´e effective.

La viscosit´e effective µef f intervient dans le calcul de la perm´eabilit´e apparente, calcul´ee

analytiquement `a l’aide de l’´equation de Brinkman, (´equation (3.22)) par le biais du terme ξ = _µµ

ef f. On cherche `a d´eterminer la viscosit´e effective en identifiant la perm´eabilit´e

appa-rente d´etermin´ee par le calcul direct (mod`ele de Stokes) et l’expression analytique (3.22). On pose K_b0(l0_x, C) = K_s0(l_x0, C) dans l’´equation (3.22). Il s’agit donc de d´eterminer ξ pour tous couples (C, l_x0) tel que :

α tanh 1 α  = 1 − K 0 s(l0x, C) K_i0(l0 x, C) (3.46) avec α = 2 s K0 i(l0x, C) ξ (3.47)

Connaissant K_i0(l_x0, C) et K_s0(l0_x, C), on d´etermine la valueur de α par la r´esolution num´erique de l’´equation (3.46) `a l’aide de la m´ethode de Newton-Raphson, puis on en d´eduit la valeur de ξ correspondante `a l’aide de (3.47).

On a repr´esent´e sur la figure 3.8 la variation du param`etre ξ = µef f

µ en fonction de

la compacit´e C = 1 −  pour diff´erentes valeurs de l0_x. Sur ce graphe figurent ´egalement 2 mod`eles de viscosit´e effective classiquement utilis´es pour les syst`emes tri-dimensionnels, (le mod`ele de Einstein dans pour les milieux de faible compacit´e (pour un milieu poreux compos´e de sph`eres ) le mod`ele tel que µef f = µ_) ainsi que les valeurs de ξ d´etermin´ees par

Martys et al. [MBG93].

On constate tout d’abord que le rapport _µµ

ef f est d´ecroissant avec la compacit´e et inf´erieur

`

a 1 ∀C et ∀l_x0, comme attendu. La viscosit´e effective, comme pr´evu, tend vers l’infini (puisque le rapport _µµ

ef f → 0 si C est grand) bien avant d’avoir atteint la valeur limite de C = 1.0.

En effet, la compacit´e maximale correspond au cas o`u les cylindres ont un rayon R0_p = 0.5l_x0 soit C = π₄ ≈ 0.79. On constate ´egalement que ce rapport est ind´ependant de l0

x sauf pour le

cas l0_x = 1 o`u une seule tranche de cylindres est pr´esente entre les 2 parois. En utilisant les r´esultats num´eriques de ξ pour np ≥ 2 et C ∈ [0.05, 0.6] on d´etermine par r´egression lin´eaire

Fig. 3.8: Variation de ξ = _µµ

ef f en fonction de la compacit´e C = 1 −  pour diff´erentes valeurs de

l0_x (distance entre particules). Le mod`ele 1 correspond `a _µµ

ef f = 1 − C

ξ = µ µef f

= 0.57 exp(−4.33C2− 5.44C) avec C ∈ [0.05, 0.6] (3.48)

La d´ependance en exp(−C2) permet de mieux rendre compte de la d´ecroissance rapide de ξ pour les grandes valeurs de C. La relation (3.48) permet d’obtenir un ´ecart relatif entre le mod`ele de ξ et les r´esultats num´eriques inf´erieur, `a 12% pour np > 1. Cependant ce

mod`ele est insuffisant pour np = 1.

´

Etant donn´e que nous avons r´ealis´e un ajustement des coefficients de (3.48) sur l’ensemble des valeurs num´eriques de ξ telles que C ∈ [0.05, 0.6] et np ∈ [2, 20] nous calculons l’erreur

commise sur l’´evaluation de la perm´eabilit´e apparente K_s0 (´evalu´ee par calcul direct) par la relation (3.22). Si np = 1, cette erreur reste inf´erieure `a 65% sur la gamme de compacit´e

´etudi´ee. L’´evaluation de K_s0 lorsque np = 1 par ce mod`ele est plus pr´ecise que si on ne tient

pas compte de la viscosit´e effective. Si np ∈ [2, 20], l’erreur est inf´erieure `a 4%. Dans ce cas

l`a, l’´evaluation de la perm´eabilit´e apparente est pr´ecise.

La formule (3.48) permet d’´evaluer la viscosit´e effective en fonction de la compacit´e (C = πR02p

l02

x ) pour un r´eseau de cylindres de type carr´e (Cf. figure 3.1) dans le cas o`u le

nombre de cylindres dans le sens des y est strictement sup´erieure `a 1. La perm´eabilit´e apparente ´evalu´ee `a l’aide du mod`ele de Brinkman (formule (3.22) et (3.48)) est une bonne approximation (erreur inf´erieure `a 4%) de la perm´eabilit´e ´evalu´ee par simulation num´erique

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 126

Fig. 3.9: Variation de ξ = µef f

µ en fonction de la compacit´e C = 1 −  pour diff´erentes valeurs de

l0_x, comparaison avec le mod`ele 3.48.

directe (mod`ele de Stokes) tant que le nombre de cylindres dans le sens des y est strictement sup´erieur `a 1.

3.4

Ecoulement `

´

a travers une couche de particules limit´

ee par une paroi

perfor´

ee.

3.4.1 Pr´esentation du probl`eme

Nous allons nous int´eresser dans cette partie `a la mod´elisation d’un ´ecoulement dans une couche de particules limit´ee par une paroi perfor´ee quand il n’y pas s´eparation des ´echelles ou quand le nombre de particules au-dessus de la paroi est faible.

Le domaine de r´esolution est pr´esent´e par la figure (3.10). Toutes les longueurs sont adimensionn´ees par Lx (L0x = 1). On impose un profil de vitesse uniforme U0ez `a une

distance 1.5lx du centre des particules de la premi`ere couche. La vitesse est adimensionnelle

est alors ~v = U0~v0. par cons´equent P = µU_L0

x P

0_{. On impose un profil de Poiseuille, tel que le}

d´ebit soit conserv´e, `a l’extr´emit´e d’un pore de longueur ´egale `a son diam`etre afin de ne pas forcer la solution [Duf00]. On impose sur la paroi, `a l’int´erieur et sur les particules du pore des conditions d’adh´erence. En x0 = 0 et x0 = Lx

2 on impose des conditions de sym´etrie :

fx = 0 et vz = 0.

La perm´eabilit´e apparente de la couche de particules, de mani`ere analogue `a (3.12) ,est d´efinie par :

Fig. 3.10: Sch´ema du domaine calcul. K_s0 = Lz 0 < ∆P > (3.49) < ∆P >=< P > (z0 = l0_x)− < P > (z0 = l0_x+ L0_z) (3.50) < P > (z0 = l_x0) = Z 1/2 0 P (x0, z = 0)dx (3.51) < P > (z0 = l_x0 + L0_z) = Z 1/2 (1−d0 x)/2 P (x0, z = L0_z+ l0_x)dx (3.52)

3.4.2 Probl`eme de Brinkman ´equivalent

On mod´elise la couche de particules par un milieu poreux de perm´eabilit´e uniforme et isotrope Ki (Cf. figure 3.11). L’´ecoulement est r´egi par l’´equation de Brinkman prenant en

compte la viscosit´e effective estim´ee `a l’aide de (3.48) et l’´equation de continuit´e :

µef f∆u0− ∂P0 ∂x0 − 1 K_i0u 0 = 0

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 128 µef f∆v0− ∂P0 ∂y0 − 1 K_i0v 0 = 0 ∂u0 ∂x0 + ∂v0 ∂y0 = 0

La viscosit´e effective µef f(C) est ´evalu´ee `a l’aide de l’expression(3.48) avec C = πR02p

l02

x . On

impose des conditions de sym´etrie en x0 = 0 et x0 = 1/2. En entr´ee (z0 = 0) on impose une pression uniforme P0 = 1. Cette condition de pression est diff´erente de celle impos´ee dans le calcul direct de l’´ecoulement (paragraphe pr´ec´edent). Il a ´et´e mis en ´evidence que ce type de conditions rendait mieux compte des variations exp´erimentales de la perm´eabilit´e apparente dans le cas d’un syst`eme bi-dimensionnel [Duf00]. On impose sur la paroi (z0 = Lz0 et x0 < 1/2 − d0<sub>x</sub>/2) une condition de non-glissement. Enfin, `a la sortie du pore (z0 = Lz0 et x0 > 1/2−d0_x/2) on a des conditions de type sortie libre (∂u0

∂z0 = ∂v 0

∂z0 = 0) avec une condition de

pression nulle [VM95]. La solution (u0, v0, P0) est calcul´ee `a l’aide de l’algorithme pr´ edicteur-correcteur [Gol01] (Cf. annexe D) et de l’algorithme de Uzawa.

Fig. 3.11: Mod´elisation du d´epˆot de particules par un milieu poreux de perm´eabilit´e uniforme et isotrope Ki calcul´ee `a partir de la relation (3.23).

3.4.3 R´esultats

Lorsqu’il y a s´eparation d’´echelle , la r´eduction de perm´eabilit´e _KK

i ne d´epend, comme

on l’a vu au chapitre 1, que de la taille des pores d et l’´epaisseur de la couche de particules, c’est `a dire _KK

i = f (

d Lx,

Lz

Lx)) soit encore en utilisant les grandeurs adimensionn´ees par Lx

K

Ki = f (d

0_{, L}0 z).

Lorsqu’il n’y a plus s´eparation d’´echelle, deux param`etres suppl´ementaires doivent ˆetre pris en compte : la distance l_x0 entre le centre des particules (taille de la cellule unit´e : Cf. figure 3.10) et la compacit´e C (ou de fa¸con ´equivalente le rayon des particules). Donc, en absence de s´eparation des ´echelles

K Ki

= f (d0, L0_z, l0_x, C) (3.53)

Pour simplifier la discussion nous examinons successivement les r´esultats pour 3 distances entre cylindres :

– l0_x=0.05 (20 particules par couches de d´epˆot) – l0_x=0.1 (10 particules par couches de d´epˆot) – l0_x=0.5 (2 particules par couches de d´epˆot)

La figure 3.12 ci-dessous montre les syst`emes ´etudi´es dans le cas d’une seule couche d´epos´ee pour diff´erente valeurs de l0_x et C.

Fig. 3.12: D´epˆot d’une couche de particules pour diff´erentes valeurs de l_x0 et C.

Cas l_x0 = 0.05

Pour l0_x = 0.05, L0_z = 0.05 correspond `a 1 couche de particules d´epos´ees, L0<sub>z</sub> = 0.1 `a 2 couches, etc... ( La figure 3.10 correspond `a l0<sub>x</sub> = 0.05 et pour 5 couches ). Les r´esultats port´es sur la figure 3.13correspondent donc `a des d´epˆots de 2 couches (L0_z = 0.1), 5 couches (L0_z = 0.25), 10 couches (L0_z = 0.25) et 20 couches de particules.

– Influence de C

Rappelons tout d’abord que la solution de Darcy est ind´ependante de C. De ce point de vue, la solution de Brinkman apporte une am´elioration int´eressante puisqu’elle est sen-sible `a la compacit´e C ainsi qu’`a l’´echelle lx. Cette sensibilit´e `a l0x et C se fait `a

tra-3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 130

vers la perm´eabilit´e du milieu poreux (K = f (C, l2_x)) ainsi que via la viscosit´e effective (µef f = f (C)). A mˆeme compacit´e, en modifiant lx, on modifie le poids relatif entre effets

de frottements sur la paroi et effets de traˆın´ee sur les particules.

En cons´equence, l’´ecart entre les pr´edictions du mod`ele de Darcy et celles du mod`ele de Brinkman sont d’autant plus marqu´ees que le poids relatif des effets de frottement sur la paroi filtrante est important (faible compacit´e, grand lx, faible nombre de couches d´epos´ees).

Ainsi sur la gamme de param`etres ´etudi´es, la solution de Darcy repr´esente une approximation satisfaisante pour C = 0.6 (Cf. figure 3.13) alors que l’´ecart est significatif avec la solution de Brinkman pour les d´epˆots peu denses (C = 0.05).

– Influence de la taille des pores

L’´ecart entre la solution de Brinkman et celle de Stokes se met `a augmenter de fa¸con importante lorsque d0 → l0

x, situation qui marque une perte de s´eparation des ´echelles entre

taille des pores et distance entre particules. On note que cet ´ecart augmente lorsque d0 diminue dans la gamme de param`etres ´etudi´es et peut atteindre jusqu’`a 40% dans le cas des d´epˆots peu denses (C = 0.05).

Fig. 3.13: Variation de la r´eduction de perm´eabilit´e en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules. l0<sub>x</sub> repr´esente la distance entre particules. Le mod`ele de Brinkman tient compte de la viscosit´e effective.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 132

Fig. 3.14: Variation de l’erreur commise par le mod`ele de Brinkman (courbes de gauche) et le mod`ele de Darcy (courbes de droite) sur l’´evaluation de la perm´eabilit´e apparente en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules pour l0_x= 0.05.

Cas l0_x = 0.1

Pour ce cas L0_z = 0.1 correspond `a 1 couche de particules d´epos´ees, L0<sub>z</sub> = 0.5 correspond `

a 5 couches et L0_z = 1.0 correspond `a 10 couches (Cf figure3.15 : L0_z = 0.3).

Fig. 3.15: Exemple de d´epˆot pour l0_x= 0.1 et 3 couches de particules (L0_z = 0.3).

Si en premi`ere approximation, les tendances sont identiques au cas pr´ec´edent (Brinkman meilleure approximation de Darcy, ´ecarts entre solutions que Darcy, de Brinkman et de Stokes d’autant moins marqu´es que la compacit´e C est ´elev´ee), des diff´erences notables apparaissent :

– L’´ecart entre la solution de Brinkman et de Stokes peut ˆetre important sur une large gamme de tailles de pore pour les d´epˆots peu denses et les faibles nombres de couches de particules d´epos´ees (Cf. figure3.17, C = 0.05).

– Pour les d´epˆots suffisamment denses (C ≥ 0.3) l’´evolution de l’´ecart relatif entre la solution de Brinkman et de Stokes n’´evolue plus de fa¸con monotone avec d0 (Cf. figure

3.17, C = 0.3, C = 0.4, C = 0.6). Cet ´ecart atteint un maximum vers d0 = 0.1. Ceci est peut ˆetre mis en relation avec l’´evolution de _KK

i calcul´e `a l’aide du mod`ele de Stokes

(Cf. figure3.16, C = 0.6) qui montre que dans la plage d0 = 0.05 − 0.1 la perm´eabilit´e K ne varie pas (plateau sur la figure3.16, C = 0.6).

Cette stagnation de la perm´eabilit´e peut s’expliquer qualitativement en examinant la struc-ture de l’´ecoulement comme cela est illustr´e sur les figures3.18 et 3.19. Ainsi la figure 3.18

montre que pour C = 0.4 l’´ecoulement est essentiellement inchang´e lorsque d0 varie entre 0.05 et 0.1 et est contrˆol´e par la constriction form´ee par les 2 particules situ´ees au-dessus du pore alors qu’il en va diff´eremment pour le cas C = 0.05.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 134

Fig. 3.16: Variation de la r´eduction de perm´eabilit´e en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules.

Fig. 3.17: Variation de l’erreur commise par le mod`ele de Brinkman (courbes de gauche) et le mod`ele de Darcy (courbes de droite) sur l’´evaluation de la perm´eabilit´e apparente en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules pour l0_x= 0.1.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 136

Fig. 3.18: Champ du module de la vitesse du fluide et trajectoires de traceurs pour l_x0 = 0.1, L0_z = 0.1, C = 0.4. De haut en bas d0 = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3

Fig. 3.19: Champ du module de la vitesse du fluide et trajectoires de traceurs pour l_x0 = 0.1, L0_z = 0.1, C = 0.05. De haut en bas d0 = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 138

Cas l0_x = 0.5

Rappelons que pour ce cas, L0_z = 0.5 correspond `a une couche de particules d´epos´ees (d´epˆot de 2 particules) et L0<sub>z</sub> = 1 `a un d´epˆot de 2 couches de particules (Cf figure 3.20 : L0_z = 0.5).

Fig. 3.20: Exemple de d´epˆot pour l0_x= 0.5 et 3 couches de particules (L0_z = 0.5).

C’est le cas violant le plus les hypoth`eses de s´eparation des ´echelles sous-jacentes aux mod`eles de Darcy et Brinkman. Ce cas exacerbe certaines tendances pr´ec´edentes. Ainsi l’´ecart entre l’approximation de Darcy et de Brinkman devient tr`es marqu´e pour les d´epˆots peu denses (cas C = 0.05 de la figure 3.21). Pour ce cas peu dense, l’approximation de Brinkman repr´esente une int´eressante approximation compar´ee `a un calcul de Stokes.

Pour les compacit´es ´elev´ees (C = 0.6 sur la figure 3.21), on retrouve l’´evolution non monotone de l’´ecart entre la solution de Brinkman et de Stokes avec un maximum vers d0 → l0

x (Cf. figure3.22) et un plateau dans l’´evolution de la perm´eabilit´e apparente calcul´ee

par simulation directe (Stokes), Cf. figure 3.21 pour C=0.6. Ici encore l’interpr´etation est identique au cas pr´ec´edent sur la plage [0.1 − 0.4], l’´ecoulement est essentiellement contrˆol´e par la constriction form´ee par les 2 particules d´epos´ees sym´etriquement au-dessus du trou (Cf.3.23) et n’est pas sensible aux variations de d0 sur cette plage de valeurs.

Un diff´erence notable avec le cas pr´ec´edent est que les courbes correspondantes aux calculs de Stokes coupent les courbes correspondantes `a l’approximation de Brinkman (Cf. figure3.21, C = 0.6). Alors que pour l0<sub>x</sub> = 0.1 l’approximation de Brinkman conduit toujours `

a une sur-estimation de la perm´eabilit´e apparente (Cf. figure3.16), l’´ecart K_b0− K0

s passe par

z´ero dans le cas l0_x = 0.5 (Cf. figure3.22). Ainsi pour C = 0.6, l’approximation de Brinkman sous-estime la perm´eabilit´e apparente pour d0 ≤ 0.3, cette sous-estimation augmente lorsque d0 diminue. Ile est `a noter que cette sous-estimation est ´egalement observ´ee pour une large plage de d0 pour C = 0.05 (Cf. figure 3.22 C = 0.05).

Fig. 3.21: Variation de la r´eduction de perm´eabilit´e en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 140

Fig. 3.22: Variation de l’erreur commise par le mod`ele de Brinkman sur l’´evaluation de la perm´eabilit´e apparente en fonction du diam`etre de l’ouverture pour diff´erentes ´epaisseurs de couches de particules.

Fig. 3.23: Champ du module de la vitesse du fluide et trajectoires de traceurs pour l_x0 = 0.5, L0_z = 0.5, C = 0.6. (a) : d0 = 0.05, (b) : d0 = 0.1, (c) : d0 = 0.2, (d) : d0 = 0.3, (e) : d0 = 0.4.

3. D´epˆot bi-dimensionnel uniforme 142

3.5

Conclusion

Dans ce chapitre, `a l’aide notamment d’une m´ethode originale de r´esolution des ´equations de Stokes par ´el´ements fronti`eres (m´ethode des ´el´ements spectraux), nous avons pr´esent´e des r´esultats permettant d’´evaluer la qualit´e des approximations de Darcy et de Brinkman pour ´evaluer la perm´eabilit´e apparente d’un d´epˆot lorsque la s´eparation des ´echelles entre l’´echelle de la micro structure (taille des particules) et la taille des pores n’est plus r´ealis´ee (cas correspondant `a la majorit´e des applications).

Ceci nous a permis de mettre en ´evidence plusieurs points :

– L’´equation de Brinkman, contrairement `a Darcy, est un compromis int´eressant car elle est sensible `a la compacit´e du d´epˆot et `a la distance entre particules, via la comp´etition entre frottements sur la paroi filtrante et la r´esistance hydrodynamique due aux parti-cules tout en ´etant beaucoup moins gourmande en temps de calcul qu’un calcul direct de Stokes.

– La viscosit´e effective d´etermin´ee num´eriquement dans le cas d’un ´ecoulement p´ erio-dique perpendiculaire `a l’axe de cylindres confin´e entre 2 parois (calcul 2D), ne semble d´ependre que de la compacit´e des cylindres (sauf dans le cas extrˆeme o`u il n’ y a qu’une couche de cylindres). La viscosit´e effective est croissante avec la compacit´e comme le montrent tous les mod`eles. Elle tend exponentiellement vers +∞ lorsque la compacit´e du r´eseau de cylindres tend vers la compacit´e limite (d’un r´eseau carr´e dans notre cas). – En g´en´eral l’approximation de Brinkman conduit `a une surestimation de la perm´ ea-bilit´e apparente du d´epˆot qui peut ˆetre d’un facteur 2 pour les d´epˆots peu denses et de faibles tailles de pore de la paroi filtrante (sur la plage de valeurs de taille ´etudi´ee ; il est clair que l’´ecart peut devenir plus grand si on explore de plus faibles tailles de pores). Cependant, pour une large gamme de porosit´e de d´epˆot (typiquement  < 0.7) et des pores pas trop petits (d ≈ 2 tailles de particules), l’´ecart avec la solution de Stokes est inf´erieure `a 25%.

– Lorsque les particules sont plus grosses que la taille du pore (cas l0_x= 0.5), l’utilisation de l’´equation de Brinkman peut conduire `a sous estimer la perm´eabilit´e apparente lorsque d0 < l0_x.

– Ces r´esultats confirment que la perm´eabilit´e apparente de la premi`ere couche de par-ticules d´epos´ees reste difficile `a calculer lorsque la s´eparation d’ ´echelle l0_x>> d0 n’est pas r´ealis´ee.

D’UN D´

EP ˆ

OT

4.1

Introduction

4.1.1 Mod´elisation de la formation d’une couche de particules

On peut trouver dans la litt´erature diff´erents types de mod´elisations. Seminario et al. [SRBT02] mod´elisent un processus de microfiltration tangentielle `a d´ebit constant de par-ticules collo¨ıdales pr´esentant une distribution de taille par un bouchage al´eatoire partiel ou complet de pores pr´esentant ´egalement un distribution de taille entraˆınant une augmenta-tion de la perte de charge. Ce type d’approche pr´esente l’avantage de pouvoir mod´eliser le colmatage de la paroi filtrante en tenant compte de l’h´et´erog´en´eit´e de la taille des pores et des particules. Une confrontation de cette simulation `a des r´esultats exp´erimentaux montre une tr`es bonne ad´equation des courbes de d´ebit pour les temps longs mais un ´ecart signi-ficatif est not´e pour les temps courts. Un examen microscopique du filtre met en ´evidence des pores compl`etement obstru´es par des particules plus grosses ou partiellement bouch´es pas des particules moins grosses.

Kim et al. [KH02] mod´elisent la structure d’un d´epˆot form´e par filtration d’arrˆet par une m´ethode de type Monte Carlo prenant en compte les interactions hydrodynamiques et collo¨ıdales. La r´esistance hydraulique du syst`eme (particules + paroi) est mod´elis´ee par la somme des r´esistances de la paroi et la couche de particules. Les auteurs mettent en ´evidence une d´ependance directe entre la structure de la couche de particules et les pa-ram`etres physico-chimiques des particules et de la solution.

Fu et al. [FD98] mod´elisent la formation d’un d´epˆot, en ultrafiltration, compos´e d’un ensemble de 100000 particules non diffusives ayant 3 diam`etres diff´erents (30,60 et 90 nm) par la d´etermination de leurs trajectoires en int´egrant num´eriquement les ´equations de Newton. Les auteurs introduisent en plus des interactions de type DLVO une force hydrodynamique exerc´ee par le fluide sur la particule par le biais de la force de Stokes (hypoth`ese de dilution infinie). Pour leurs simulations les auteurs consid`erent que la r´esistance hydraulique totale du syst`eme est la somme des 2 r´esistances (membrane + couche de particules). Ces simulations pr´edisent qualitativement et quantitativement la r´esistance hydraulique ainsi que la structure de la couche de particules en fonction des param`etres physico chimiques des particules et de

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 144

la paroi lorsque le d´epˆot est ´epais.

Tarabara et al. [TPBW02] mod´elisent la formation d’une couche de particules en nano-filtration par le d´eplacement al´eatoire d’une particule dont la probabilit´e de d´eplacement dans 8 directions possibles est bas´ee sur le bilan des forces s’exer¸cant sur cette particule. L’interaction physico chimique entre les particules est mod´elis´ee par le param`etre d’efficacit´e de collision. Suivant la valeur de ce param`etre et du pseudo nombre de Peclet :

NP e= Vg+ Vpf Vd Vg : vitesse de s´edimentation Vpf : vitesse du fluide Vd : vitesse de diffuion

les d´epˆots sont plus ou moins dendritiques. Grˆace `a ce type de mod´elisation les auteurs mettent en ´evidence un ph´enom`ene de s´egr´egation des particules chimiquement diff´erentes. Ces r´esultats sont confirm´es par des observations exp´erimentales sur des d´epˆots r´ealis´es en nanofiltration.

Tung et al. [TC02] ont simul´e la formation d’une couche de particules au niveau d’un pore en g´eom´etrie axisym´etrique. (mod´elisant un arrangement hexagonal des pores sur la membrane : Cf. figure 4.1) Les auteurs calculent l’´ecoulement (mod´elis´e par les ´equations de Navier Stokes) sans la pr´esence des particules, et ´etudient les trajectoires lagrangiennes de ces derni`eres. Dans leur ´etude, la pr´esence des particules ne modifie pas l’´ecoulement. Ils supposent ´egalement que les particules ont un diam`etre suffisant tel que les forces de Van der Waals et les forces ´electrostatiques puissent ˆetre n´eglig´ees. Afin de mod´eliser pr´ecis´ement le placement des particules arrivant sur la couche d´ej`a form´ee et l’´evolution de la forme du d´epˆot au cours du temps, ils analysent ´egalement les forces de frictions s’exer¸cant sur les particules. On peut noter qu’une mod´elisation plus rigoureuse (int´egrant les interactions hydrodynamiques), confront´ee `a des r´esultats exp´erimentaux, du mouvement relatif de 2 sph`eres en contact dans un ´ecoulement de Stokes est abord´ee dans [MEJLM+99].Il prennent ´egalement en compte la force exerc´ee par le d´epˆot sur une particule s’approchant de ce dernier, mod´elis´e par un milieu poreux homog`ene. Les r´esultats de ces simulations mettent en ´evidence l’influence du nombre Reynolds (bas´e sur la largeur de pore et la vitesse moyenne de filtration) sur la forme du d´epˆot (Cf. figure 4.1).

L’ensemble des mod´elisations pr´esent´ees ne tient pas compte de la modification de l’´ecoulement due `a la pr´esence des particules. Si on se place dans le cas d’un ´ecoulement `

a faible nombre de Reynolds, il existe plusieurs m´ethodes sp´ecifiques permettant de mod´eliser les interactions hydrodynamiques entre particules. Une revue non exhaustive de ces m´ethodes

Fig. 4.1: Influence du nombre de Reynolds sur la forme du d´epˆot. dpore : diam`etre du pore. dpart : diam`etre des particules : simulations de Tung et al [TC02]. Re = Vfdpore

ν . Vf : vitesse de

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 146

est pr´esent´ee dans le paragraphe suivant.

4.1.2 Revue des m´ethodes de simulation du transport de particules `a faible nombre de Reynolds

Dans cette partie nous allons passer en revue les principales techniques employ´ees ac-tuellement pour r´esoudre un ´ecoulement de type Stokes et le mouvement des particules au sein de cet ´ecoulement. Weinbaum et al. [WGZY90] font une revue des techniques de d´eveloppements multipolaires et des m´ethodes int´egrales pour les ´ecoulements de Stokes.

´

Etant donn´e que l’´equation de Stokes est lin´eaire et que les particules sont en mouve-ment, la m´ethode la plus pr´ecise `a mettre en oeuvre est la m´ethode des ´el´ements fronti`ere [Poz92], [Poz02]. Seule la surface des particules et la fronti`ere du domaine sont maill´ees. Cependant lorsque le nombre de particules est important ou lorsque les particules sont tr`es proches les unes des autres ou d’une fronti`ere du domaine, il est n´ecessaire d’augmenter la taille du maillage pour obtenir une solution pr´ecise (les forces de lubrification divergent lorsque les surfaces solides se rapprochent). La simulation, par cette m´ethode, de 2 parti-cules s’approchant d’un pore dans un ´ecoulement impos´e a permis de mettre en ´evidence des interactions hydrodynamiques [FS00]. Afin de diminuer le nombre d’´el´ements de fronti`ere n´ecessaires `a un calcul pr´ecis , Nasseri et al. [NPTF00] introduisent les forces de lubrifi-cation, d´etermin´ees par la r´esolution exacte pour 2 particules [KK00] sph´eriques dans un ´ecoulement de type Stokes, dans la formulation int´egrale de l’´equation de Stokes. Bien que les auteurs aient r´eussi `a simuler le mouvement de 729 particules dans un ´ecoulement cisaill´e, les calculs ´etaient effectu´es sur 28 calculateurs en parall`ele. Le temps n´ecessaire au calcul du d´eplacement de 125 particules sur 30 pas de temps a n´ecessit´e 12h de calcul.

L’une des m´ethodes les plus classiques dans le transport de particules `a faible nombre de Reynolds est la Dynamique Stokesienne d´evelopp´ee par Bossis et Brady. Cette m´ethode est bas´ee sur le d´eveloppement multipolaire de la formulation int´egrale de l’´equation de Stokes. En combinant ce d´eveloppement et les formules de Faxen on obtient une matrice de mobilit´e corr´elant les vitesses de translation et rotation des particules aux forces moments exerc´es par le fluide sur celles-ci [DB87a], [Bra88]. Cette m´ethode mod´elise, par inversion de la matrice de mobilit´e, l’interaction hydrodynamique entre plusieurs particules et rend compte des forces de lubrification `a courte port´ee en int´egrant la solution exacte de 2 sph`eres en mouvement dans un ´ecoulement de type Stokes. Si on connaˆıt les forces et les moments s’exer¸cant sur les particules, on peut alors calculer la perturbation induite sur l’´ecoulement due `a la pr´esence des particules. Cette m´ethode a ´et´e utilis´ee en rh´eologie [DB88], pour calculer les propri´et´es effectives des milieux poreux [DB87b], [KS02] ou des suspensions de particules browniennes. Cependant la majorit´e des syst`emes ´etudi´es ´etaient des suspensions infinies sans pr´esence de paroi. Quelques travaux ont ´et´e effectu´es sur des suspensions en

pr´esence de parois solides [DB88], [BP99]. Cependant ce type de simulations impose une discr´etisation de la fronti`ere ou la connaissance de la fonction de Green du probl`eme de Stokes de la particule en pr´esence de la paroi et les interactions hydrodynamiques `a courte port´ee entre la particule et la paroi.

Maxey, Lomholt et Dance [MP01], [LM03] ont r´ecemment d´evelopp´e une m´ethode de transport de particules lorsque le nombre de Reynolds de particule est dans la gamme 0 < Rep < 20. Dans cette m´ethode les particules sont mod´elis´ees par un terme de force de

volume dans l’´equation de Navier-Stokes. Ce terme est repr´esent´e par une fonction continue d´efinie `a l’aide des forces et moments exerc´es par les particules sur le fluide. La m´ethode devient impr´ecise lorsque les particules sont proches entre elles ou des parois. Ainsi les mˆemes auteurs incorporent des forces de lubrification [DM03] afin de mieux rendre compte des interactions hydrodynamiques `a courte distance entre particules et entre particules et parois. Cependant les auteurs constatent, d’une part, que la m´ethode n’est pr´ecise que pour les syst`emes ayant une faible fraction volumique (≈ 10%) , et d’autre part, qu’elles restent coˆuteuses en temps de calcul.

4.1.3 Approches propos´ees

Les approches pr´esent´ees dans le paragraphe4.1.1qui pr´ec`ede ne tiennent pas compte de l’aspect discret de la paroi filtrante ou de la modification de l’´ecoulement par les particules d´epos´ees. Les m´ethodes de transport de particules ´evoqu´ees dans le paragraphe 4.1.2 ne permettent pas de simuler les milieux poreux denses et la prise en compte de g´eom´etrie du pore dans le calcul de l’´ecoulement est extrˆemement complexe. En effet, la prise en compte des interactions hydrodynamiques d’une particule et d’un pore dans le cas o`u la particule est soit en approche du pore soit d´epos´ee sur la paroi est dans le premier cas tr`es complexe [FS00] et dans le second cas n’est pas document´ee. Dans les 2 cas une expression analytique simple de l’interaction entre la particule et le pore n’est pas connue afin de pouvoir mod´eliser la d´eposition des particules `a l’aide des m´ethodes du paragraphe 4.1.2.

L’approche que nous proposons est l’´etude de la formation d’un d´epˆot `a l’´echelle du pore ( en supposant comme dans les chapitres pr´ec´edents une r´epartition spatiale p´eriodique des ces derniers sur la paroi filtrante). Nous nous proposons ´egalement d’´etudier l’influence du d´epˆot sur l’´ecoulement par le biais de l’´etude de la morphologie du d´epˆot ainsi que la variation du d´ebit filtr´e en fonction du volume de particules d´epos´ees. Le domaine fluide et le domaine poreux sont mod´elis´es par l’´equation de Brinkman en mod´elisant les particules par un champ de porosit´e et un champ de perm´eabilit´e.

Dans le cadre d’une ´etude pr´eliminaire nous faisons les approximations suivantes : 1. On suppose que les particules sont sph´eriques.

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 148

2. On suppose que les forces de Van der Waals compensent les forces de lubrification. Ainsi on peut supposer qu’une particule en approche du pore ou d’une particule d´epos´ee ne subit pas de force ext´erieure : sa trajectoire suit les lignes de courant.

3. On se place dans le cas d’une solution faiblement concentr´ee en particules.

4. On suppose que l’´ecoulement est suffisamment lent pour ob´eir `a l’´equation de Stokes dans la partie fluide libre et `a l’´equation de Brinkman dans le d´epˆot.

4.2

Mod`

ele de la formation de la couche de particules

Dans ce paragraphe nous pr´esentons la mod´elisation du processus de la formation d’un d´epˆot de particule au niveau d’un pore. Dans un premier temps nous pr´esentons la g´eom´etrie du domaine de calcul, puis dans un second temps nous pr´esentons la mod´elisation du d´epˆot par un milieu poreux.

4.2.1 Mod´elisation de la paroi filtrante

La g´eom´etrie du domaine de calcul est similaire `a celle des chapitres pr´ec´edents. On suppose que les pores ont une r´epartition spatiale p´eriodique sur la paroi filtrante. Les simulations sont donc r´ealis´ees sur une cellule unitaire repr´esentative de la paroi pr´esent´ee par la figure4.2.

Fig. 4.2: Mod`ele de la paroi.

Les particules d´epos´ees sur la paroi (non repr´esent´ees sur la figure) forment un d´epˆot repr´esent´e par un milieu poreux de perm´eabilit´e non homog`ene dont la mod´elisation est pr´esent´ee dans le paragraphe suivant. L’´ecoulement est ainsi mod´elis´e dans l’ensemble du domaine par l’´equation de Brinkman :

µef f(~r)∆~v − ~∇P − µ Ki(~r) ~v = 0 (4.1) ~ ∇~v = 0 (4.2) avec ~r = (x, y, z)

Les conditions aux limites que l’on impose sont pr´esent´ees ci-dessous. Comme dans les chapitres pr´ec´edents, on impose une diff´erence de pression entre le haut du domaine et la sortie du pore. En z = Lz :

P = P1 (4.3)

∂vi

∂z = 0 , i = x, y, z (4.4)

Sur les fronti`eres x = 0, Lxet y = 0, Lx, on impose des conditions aux limites p´eriodiques :

vi(x + Lx, y, z) = vi(x, y, z) (4.5)

vi(x, y + Lx, z) = vi(x, y, z) (4.6)

P (x + Lx, y, z) = P (x, y, z) (4.7)

P (x, y + Lx, z) = P (x, y, z) (4.8)

Sur la paroi : z = 0 et |x − Lx/2| > dx/2 et |y − Lx/2| > dx/2, on impose une condition

de non glissement et un gradient normal de pression nul.

vi = 0 (4.9)

∂P

∂z = 0 (4.10)

sur le pore : z = 0 et |x−Lx/2| <= dx/2 et |y −Lx/2| <= dx/2, on impose une condition

de sortie libre [VM95].

P = P0 (4.11)

∂vi

∂z = 0 (4.12)

´

Etant donn´e que l’on impose la diff´erence de pression, on proc`ede `a l’adimensionnalisation suivante :

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 150 ~ r = ~r0Lx (4.13) P = (P1− P0)P0+ P0 (4.14) Ki = L2xK 0 i (4.15) ~v = Lx(P1− P0) µ ~v 0 _(4.16)

Le syst`eme d’´equation (4.1) `a (4.12) devient alors : µef f(~r)∆~v0 − ~∇P0− µ K_i0(~r0₎~v 0 = 0 (4.17) ~ ∇~v0 = 0 (4.18) En z0 = Lz Lx : P0 = 1 (4.19) ∂v0_i ∂z0 = 0 (4.20)

Sur les fronti`eres x0 = 0, 1 et y0 = 0, 1 :

v_i0(x0+ 1, y0, z0) = v_i0(x0, y0, z0) (4.21) v_i0(x, y0 + 1, z0) = v_i0(x0, y0, z0) (4.22) P0(x0+ 1, y0, z0) = P0(x0, y0, z0) (4.23) P0(x, y0+ 1, z0) = P0(x0, y0, z0) (4.24) Sur la paroi : z0 = 0 et |x0− 1/2| > dx/Lx et |y0− 1/2| > dx/Lx v0_i = 0 (4.25) ∂P0 ∂z0 = 0 (4.26) sur le pore : z0 = 0 et |x0− 1/2| < dx/Lx et |y0− 1/2| < dx/Lx P0 = 0 (4.27) ∂v0_i ∂z0 = 0 (4.28)

4.2.2 Algorithme de formation de la couche de particules

On commence par calculer l’´ecoulement de type Stokes (aucune particule n’est pr´esente dans le domaine de calcul) :

µef f(~r)∆~v0 − ~∇P0− µ K_i0(~r0₎~v 0 = 0 (4.29) ~ ∇~v0 _{= 0 (4.30)}

avec les conditions aux limites pr´esent´ees dans le paragraphe pr´ec´edent. Dans ce cas l`a ce syst`eme est r´esolu par la m´ethode des volumes finis `a l’aide de l’algorithme d’Uzawa (Cf. annexe D pour les d´etails sur les m´ethodes num´eriques utilis´ees) en retirant le terme de Darcy (_Kµ

i~v) lors de la discr´etisation de ´equations.

On tire al´eatoirement la position d’une premi`ere particule en z0 = 0. La suite al´eatoire est g´en´er´ee par la fonction rand() de la librairie standard du langage C++ [Str00]. On consid`ere que la particule suit les lignes de courant. Lorsque la particule arrive `a proximit´e de la paroi elle peut ˆetre captur´ee par la paroi (par interception directe) ou passer par le pore (Cf. figure 4.3). La particule est captur´ee par la paroi si

z = dp 2Lx et |x0_p− 1 2| > dx Lx − dp 2Lx et |y_p0 − 1 2| > dx Lx − dp 2Lx (4.31) Lorsque la particule est captur´ee on modifie le champ de porosit´e et de perm´eabilit´e. Le maillage permettant de calculer le champ de porosit´e et de perm´eabilit´e (que l’on d´esignera par la suite comme maillage K) est diff´erent du maillage permettant de calculer l’´ecoulement (que l’on d´esignera par la suite comme maillage F). La taille des mailles du maillage K est la taille des particules : Cf. figure 4.4. La porosit´e est calcul´ee `a chaque maille K comme ´etant le rapport entre le volume non occup´e par les particules et le volume total de la cellule du maillage K (Cf. figure 4.4). La perm´eabilit´e est calcul´ee `a l’aide le la relation de Kozeny-Carman bien adapt´ee pour les milieux granulaires faiblement poreux [ZH82] :

K_i0 = d

02 p3

180(1 − )2 (4.32)

d0_p est le diam`etre des particules adimesionn´e. d0_p = dp

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 152

On adopte pour la viscosit´e effective la forme suivante : µef f =

µ

 (4.33)

Cette formulation a ´et´e employ´ee dans les milieux faiblement poreux [GZB+03].

On consid`ere que toutes les cellules du maillage F qui sont contenues dans une mˆeme cellule de maillage K ont toutes la mˆeme perm´eabilit´e : la perm´eabilit´e est consid´er´ee comme constante par maille K. Les champs de perm´eabilit´e et de porosit´e ´etant d´etermin´es, on peut alors recalculer l’´ecoulement (´equation (4.29) `a (4.30) par la m´ethode pr´esent´ee en annexe D (sans ´etape de pr´ediction car la majorit´e du domaine est de perm´eabilit´e infinie : ´ecoulement en majorit´e de Stokes). On consid`ere que l’´evolution de l’´ecoulement au cours du temps est une suite d’´etats stationnaires. Une fois l’´ecoulement recalcul´e, on tire al´eatoirement la position de la nouvelle particule et on teste cette fois-ci si elle captur´ee par la paroi ou la premi`ere particule d´epos´ee. On consid`ere dans ce mod`ele que si une particule en mouvement entre en contact avec une particule du d´epˆot, elle est automatiquement arrˆet´ee. Ceci correspond `a une probabilit´e de capture ´egale `a 1 [TPBW02]. La construction d’un tel type de d´epˆot est possible si la force attractive de Van der Waals est dominante par rapport aux forces r´epulsives de type ´electrostatiques et compense la r´epulsion visqueuse. On r´ep`ete ainsi le processus jusqu’`a ce que le nombre de particules d´epos´ees fix´e au d´ebut de la simulation soit atteint. Dans les simulations que nous pr´esenterons dans les paragraphes suivants on fixe soit le nombre de particules formant le d´epˆot, soit le nombre total de particules lanc´ees.

Fig. 4.4: Description du calcul de la porosit´e.

4.3

R´

esultats des simulations

Nous avons tout d’abord r´ealis´e une ´etude de sensibilit´e au maillage des param`etres macroscopiques tels que le d´ebit en fonction du volume des particules d´epos´ees, la compacit´e C (C = 1−) et la g´eom´etrie du d´epˆot. Puisque la diff´erence de pression est impos´ee dans les simulations, le d´ebit diminue lorsque le nombre de particules d´epos´ees augmente. Le d´ebit est calcul´e de la mani`ere suivante :

Q0 = Z 1 0 Z 1 0 v0_z  x0, y0, z0 = Lz Lx  dx0dy0 (4.34)

Afin d’analyser la g´eom´etrie du d´epˆot, nous ´etudions la compacit´e de ce dernier. Cette grandeur nous permet d’analyser les zones pr´ef´erentielles d’accumulation des particules. Pour cela on d´efinit 2 types de compacit´es. La compacit´e locale :

C(r) = 1 2πr2 dVp(r) dr (4.35) La compacit´e moyenne : < C > (r) = V₂p(r) 3πr3 (4.36) Vp(r) : volume des particules contenu dans la demi-sph`ere (z > 0) de rayon r

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 154

La grandeur r dans ce cas ne d´esigne pas la distance par rapport `a l’origine mais la distance par rapport au centre du pore (Cf. figure 4.5 ). Ce choix est motiv´e par le fait que les premi`eres particules se d´eposent pr´ef´erentiellement autour du pore.

Fig. 4.5: D´efinition de r : distance entre le centre du pore et un point situ´e dans le d´epˆot.

Les simulations ont ´et´e r´ealis´ees pour 3 tailles de pore d0_x = 0.2, 0.4, 0.6 et 2 tailles de particules d0_p = 0.05, 0.1. La tailles des mailles du maillage K est 0.1 pour dp = 0.1 et 0.05

pour dp = 0.05. La hauteur du domaine est fix´ee `a L0z = 2. Sur les figures 4.6 `a 4.11 on a

repr´esent´e les d´epˆots obtenus pour les 3 tailles de pores et les 2 tailles de particules, pour diff´erentes longueurs de maille du maillage F. Le param`etre nx correspond au nombre de

mailles dans les directions x et y. Nous avons choisi d’effectuer les calculs avec un maillage r´egulier, on pose donc nz = 2nx (nombre d’´el´ements dans la direction z). Le nombre de

particules formant le d´epˆot est toujours ´egal `a 100. Dans tous les cas ´etudi´es, le tirage des positions initiales al´eatoires des particules est identique. On constate que la forme du d´epˆot varie avec la finesse du maillage. Cependant les courbes de compacit´e locale et moyenne semblent converger. La convergence est d’autant meilleure que le diam`etre du pore est grand et que le diam`etre des particules est faible (Cf. figures4.12 et4.13). Il en va de mˆeme pour l’´evolution du d´ebit en fonction du volume de particules d´epos´ees. (Cf. figure 4.14). En effet, plus le diam`etre du trou est faible, plus les gradients de vitesse et pression sont importants et plus le maillage F doit ˆetre fin pour que le solution soit ind´ependante de ce dernier. ´Etant donn´e que la perm´eabilit´e est constante sur les mailles du maillage K et que ces mailles sont de la taille des particules, la variation du champ de perm´eabilit´e (pour le maillage F) est plus forte dans le cas des particules de diam`etre d0_p = 0.1. La convergence de la solution n´ecessite un maillage F fin.

Fig. 4.6: G´eom´etrie du d´epˆot pour d0_x= 0.2 et d0_p= 0.05. (a) : nx= 20 (b) : nx= 40

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 156

Fig. 4.8: G´eom´etrie du d´epˆot pour d0_x= 0.4 et d0_p= 0.05. (a) : nx= 20 (b) : nx= 40

Fig. 4.10: G´eom´etrie du d´epˆot pour d0_x = 0.6 et d0_p= 0.05. (a) : nx= 20 (b) : nx= 40

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 158

Fig. 4.12: Variation de la compacit´e locale en fonction de r pour diff´erents diam`etres de pores et de particules. L´egende : dx dp (nx)

Fig. 4.13: Variation de la compacit´e moyenne en fonction de r pour diff´erents diam`etres de pores et de particules. L´egende : dx dp (nx)

4. Mod´elisation tri-dimensionnelle de la formation d’un d´epˆot 160

Fig. 4.14: Variation du d´ebit en fonction du volume des particules d´epos´ees pour diff´erentes valeurs de dp, dx et nx.

dx’=0.2 dx’=0.4 dx’=0.6

dp’=0.05 1.9 1.7 1.6

dp’=0.1 2.9 3.3 2.9

Tab. 4.1: Temps de calcul n´ecessaire en heures pour un d´epˆot de 100 particules pour les 6 cas ´

etudi´es dans de cas o`u nx= 20 sur un PC Linux Intel Xeon 3.2GHz.

dx’=0.2 dx’=0.4 dx’=0.6

dp’=0.05 23.7 23.6 19.5

dp’=0.1 34.5 42.5 34.9

Tab. 4.2: Temps de calcul n´ecessaire en heures pour un d´epˆot de 100 particules pour les 6 cas ´

etudi´es dans de cas o`u nx= 40 sur un PC Linux Intel Xeon 3.2GHz.

On a report´e dans les tableaux ci-dessous les temps de calcul n´ecessaires `a l’obtention d’un d´epˆot de 100 particules dans les 3 cas ´etudi´es (Cf. tableaux 4.1 et 4.2) et 2 types de maillage fluide. On constate que les temps de calcul augmentent tr`es rapidement lorsque la taille du maillage augmente. Ceci est dˆu, d’une part, ´evidemment au nombre d’inconnues augmentant avec la taille du maillage mais ´egalement au fait que lorsqu’une particule se d´epose en regard du pore, elle change de mani`ere tr`es significative le champ de perm´eabilit´e et l’algorithme de r´esolution de l’´ecoulement converge lentement vers la solution.

4.3.2 R´esultats et discussion ´

Evolution du d´ebit et de la compacit´e.

On constate, d’une mani`ere g´en´erale que les particules ont tendance `a s’accumuler pr`es du pore. Comme cela a ´et´e montr´e par Tung et al. [TC02], lorsque la vitesse de filtration est faible, les particules, lorsqu’elles sont plus petites que le pore, forment un pont au dessus de ce dernier. Notre mod`ele rend bien compte , lorsque les particules sont petites devant le pore (cas o`u d0_p = 0.05 et d0_x = 0.6), du pontage form´e par les particules sur celui-ci.

La compacit´e locale permet de mettre en ´evidence les zones de plus forte compacit´e : c’est `

a dire l`a o`u les particules s’accumulent pr´ef´erentiellement. On constate que pour d0_p = 0.1 la distance d’accumulation pr´ef´erentielle est de 0.15 pour d0_x = 0.2, 0.4 et elle est de 0.3 pour d0_x = 0.6. On constate ´egalement que la distance pr´ef´erentielle d’accumulation pour d0_p = 0.05 est ´egale ou tr`es l´eg`erement inf´erieure au rayon du pore. Ces r´esultats confirment les observations des g´eom´etries de d´epˆot. Contrairement `a ce que l’on aurait pu attendre, les particules de plus fort diam`etres produisent des d´epˆots plus compacts. Dans tous les cas, les particules sont plus petites que le pore. Les particules de plus forts diam`etres qui se d´eposent les premi`eres sur le bord du pore vont contribuer `a la cr´eation d’un dˆome de particules plus