p p p p 3 " 1 + 2 + 3 ...+ n () I = I + n - 1 n-12 n-22 $ 3 () $ I = I + n - 2 n-22 n-32 $ # M ! () $ 3 I = I + 2 $ 22 12 $ I = 1 % 12 !

Le monde merveilleux des nombres entiers 1) Introduction :

Dans le roman de Denis Guedj1

, le Théorème du Perroquet (1998), au demeurant fort intéressant et instructif, se trouvent quelques formules de mathématiques découvertes par nos anciens.

Parmi celles-ci, figure la très jolie égalité : 1 + 2 + 3 + .... + n

(

)

2 = 13 + 23 + 33 ... + n3

On se propose ici d'en donner une démonstration, puis de passer à la généralisation, à savoir établir un lien entre les expressions

!

1p + 2p + 3p ... + np et 1 + 2 + 3 + .... + n

(

)

p,

!n, !p entiers positifs. 2) Démonstration :

On pose In = 1 + 2 + 3 + .... + n. On sait que cette somme est aussi égale à I_n = n n + 1

(

)

2 , de sorte que In 2

est bien sûr égal à In 2

= n

2

n + 1

(

)

2

4 , mais ce n'est pas

ce résultat qui nous intéresse.

On note que I_n2 = 1 + 2 + 3 + .... + n

(

)

2 = I

(

_n-1 + n

)

2 de sorte que : I_n2 = I_n-12 + 2n I_{n -1} + n2

Afin d'établir une récurrence, le 1er

terme du second membre est gardé en l'état, alors que l'on utilise le fait que I_n!1 =

(

n - 1

)

n

2 dans le second terme, d'où , puisque : 2n I_n-1 + n2 = n2 n - 1

(

)

+ n2 = n3, il vient : I_n2 = I_n-12 + n3 De sorte que : ! In -1 2 = In -2 2 + n - 1

(

)

3 In -2 2 = In -3 2 + n - 2

₍

₎

3 M I2 2 = I1 2 + 2

( )

3 I1 2 = 1 " # $ $ $ % $ $ $

En additionnant membre à membre tous ces termes I_q2 de q=n à q=1, on note que disparaissent les I_q2 de q= n-1 à q = 1 et il vient, effectivement :

1 _{Denis Guedj (1940-24 Avril 2010)}

I_n2 = q q=1 q= n

!

" # $ % & ' 2 = q3 q=1 q= n

!

(1) 3) Généralisation :

En suivant une démarche analogue, on a : I_np = 1 + 2 + 3 + .... + n

(

)

p = I

(

_n-1 + n

)

p Soit I_np = C_pq I_n-1q q= 0 q= p

!

np-q = I_n-1p + C_pq I_n-1q q= 0 q= p"1

!

np- q Ici, également, le 1er

terme du membre de droite est laissé en l'état, tandis que l'on utilise I_n!1 =

(

n - 1

)

n

2 , dans le terme de sommation, de sorte que : I_np = I_n-1p + np Cq_p

(

n - 1

)

q 2q q= 0 q= p!1

"

Or C_pq

(

n - 1

)

q 2q q =0 q = p!1

"

= C_pq

(

n - 1

)

q 2q q= 0 q= p

"

- C_pp

(

n - 1

)

p 2p et 1 + n - 1 2 ! " # $ p = C_pq

(

n - 1

)

q 2q q= 0 q= p

%

= n + 1 2 ! " # $ p de sorte que : Comme C_pp = 1, il vient : C_pq

(

n - 1

)

q 2q q =0 q = p!1

"

= n + 1 2 # $ % & p - n - 1 2 # $ % & p D'où I_np = I_n-1p + n n + 1

(

)

2 ! " # $ p - n n - 1

(

)

2 ! " # $ p Et donc : ! I_{n -1}p = I_{n -2}p +

(

n - 1

)

n 2 " # $ % & ' p -

(

n - 1

)

n - 2

(

)

2 " # $ % & ' p M I₂p = I₁p + 2. 3 2 " # $ % & ' p - 2. 1 2 " # $ % & ' p I₁p = 1 ( ) * * * * + * * * *

1 + 2 + ... + n

(

)

p = q q + 1

(

)

2 ! " # $ % p - q q - 1

(

)

2 ! " # $ % p & ' ( ) * + q=1 q= n

,

(2)

terme qui aussi égal à 1 + 2 + ... + n

(

)

p = n n + 1

(

)

2 ! "

# $ _% & p

A titre de vérification, on retrouve bien, avec

! p = 2 : ! 1 + 2 + ... + n

(

)

2 = q q + 1

(

)

2 " # $ % & ' 2 - q q - 1

(

)

2 " # $ % & ' 2 ( ) * + * , - * . * q =1 q =n

/

donc ! 1 + 2 + ... + n

(

)

2 = q3 q =1 q =n

"

En fait, la relation (2) est triviale, d’une certaine façon, puisqu’elle s’écrit :

! I_np =

{

I_qp - I_{q -1}p

}

q =1 q =n

"

, soit , effectivement : ! I_np = I

{

_np - I_{n -1}p

}

+ I

{

_{n -1}p - I_{n -2}p

}

+ ... + I

{

₁p - I₀p

}

Il est à noter que le terme

! "p

( )

q = q q + 1

₍

₎

2 # $ % & ' ( p - q q - 1

(

)

2 # $ % & ' ( p tel que : ! 1 + 2 + ... + n

(

)

p = "_p

_{( )}

q q =1 q =n

#

peut être modifié et être écrit :

! "p

( )

q = q 2 # $ % & ' ( p C_pr _qp-r _{1 - -1}

_{( )}

r

(

)

r =0 r =p

)

. D’où : ! 1 + 2 + ... + n

(

)

p = C_pr q2p-r 1 - -1

( )

r

(

)

2p r =0 r =p

"

q =1 q =n

"

(3) Ainsi :

- si p est pair, soit p = 2s il reste

! "2s

( )

q = 2 q 2 # $ % & ' ( 2s C_2s2t )1 _q2s-2t +1 t =1 t =s

*

(4)

- si p est impair, soit p = 2s - 1, il reste

! "2s#1

( )

q = 2 q 2 $ % & ' ( ) 2s#1 C_2s#12t #1 q2s-2t t =1 t =s

*

(5)

• Avec p = 1, soit s = 1 , on retrouve de façon triviale

! 1 + 2 + ... + n = "1

( )

q q =1 q =n

#

= q q =1 q =n

#

.

• Avec p = 2, soit s = 1, on retrouve notre point de départ (1) : ! 1 + 2 + ... + n

(

)

2 = "2

( )

q q =1 q =n

#

= q3 q =1 q =n

#

= n n + 1

(

)

2 $ % & ' ( ) 2 . Donc ! In 2 = n n + 1

(

)

2 " # $ % & ' 2 = 13 + 23 + ... + n3

Ce type d’égalité nous apprendrait, par exemple, que :

!

13 + 23 + ... + 173 = 172 92 = 23409, divisible, donc, par 9, 17, 81, 153, 1377, 2601 • Avec p = 3, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (5) donne :

! 1 + 2 + ... + n

(

)

3 = "3

( )

q q =1 q =n

#

= 3 4 q 5 q =1 q =n

#

+ 1 4 q 3 q =1 q =n

#

= n 3 n + 1

(

)

3 8

De cette relation, et en utilisant la précédente, on tirerait :

! 15 _{+ 2}5 _{+ ... + n}5 ₌ In 2 3

(

4 In - 1

)

(6) Soit également 15 + 25 + ... + n5 = n 2 n + 1

(

)

2 12 2n 2 + 2n - 1

(

)

(7)

Par exemple, pour n = 5, a-t-on : 15 + 25 + 35 + 45 + 55 = 3. 52. 59 = 4425 qui donne tous les diviseurs de la somme 15 + 25 + 35 + 45 + 55 !

Egalement, on apprendrait que la somme 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 + 75 égale à 29008 est divisible par 37, 49 et 16 !

• Avec p = 4, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (4) donne :

1 + 2 + ... + n

(

)

4 = 1 2 q 7 q=1 q= n

!

+ q5 q=1 q= n

!

" # $ % & ' = n4 n + 1

(

)

4 16

De même que précédemment, l'inversion de cette relation donnerait, en utilisant (6) :

! 17 + 27 + ... + n7 = In 2 3 6 In 2 - 4 I_n + 1

(

)

(8) Donc ! 17 + 27 + ... + n7 = n 2 n + 1

(

)

2 24 3n 4 + 6n3 - n2 - 4n + 2

(

)

(9)

qui nous apprendrait que, par exemple 17 + 27 est divisible par 3 et 43 , tandis que

• Avec

!

p = 5, soit s = 3, l’utilisation de (3) et (5) donne :

! 1 + 2 + ... + n

(

)

5 = "5

( )

q q =1 q =n

#

= n 5 n +1

(

)

5 25 Mais ! "5

( )

q = 2 q 2 # $ % & ' ( 5 C₅2t )1 q6-2t t =1 t =3

*

= 5 q 9 + 10 q7 + q5 16 Donc ! 1 + 2 + ... + n

(

)

5 = 5 16 q 9 q =1 q =n

"

+ 10 16 q 7 q =1 q =n

"

+ 1 16 q 5 q =1 q =n

"

= n 5 n +1

₍

₎

5 25 Soit : ! q9 q =1 q =n

"

= 16 5 In 5 - 2 q7 q =1 q =n

"

- 1 5 q 5 q =1 q =n

"

Donc, en utilisant (6) et (8), il vient :

! q9 q =1 q =n

"

= In 2 5 16 In 3 - 20 I_n2 + 12 I_n - 3

(

)

où l’on remarque (!) que le crochet s’annule pour

! I_n = 1 2, soit : ! q9 q =1 q =n

"

= In 2 5

(

2 In - 1

)

8 In 2 - 6 I_n + 3

(

)

(10) ou bien : ! 19 + 29 + ... + n9 = n 2 n + 1

(

)

2 20 n 2 + n - 1

(

)

(

2n4 + 4n3- n2 - 3n + 3

)

(11)

Ou, si l’on préfère, avec

! X = n n +1

(

)

: ! 19 _{+ 2}9 _{+ ... + n}9 ₌ X 2 20

(

X - 1

)

2 X 2_{- 3X + 3}

(

)

A titre d’exemple : ! 19 + 29 + ... + 99 = 5 * 92* 89 *15933 qui se décompose en : ! 19 + 29 + ... + 99 = 5 * 35 * 89 * 47 *113 • Avec !

p = 6, soit s = 3, l’utilisation de (3) et (a) donne :

! 1 + 2 + ... + n

(

)

6 = "6

( )

q q =1 q =n

#

= n 6 n +1

(

)

6 26 où ! "₆

_{( )}

q = 2 q 2 # $ % & ' ( 6 C₆2t )1 _q7-2t t =1 t =3

*

soit ! "6

( )

q = 1 16 3 q 11 _{+ 10 q}9 _{+ 3 q}7

(

)

! q11 q =1 q =n

"

= 16 3 In 6 - 10 3 q 9 q =1 q =n

"

- q7 q =1 q =n

"

Donc : ! q11 q =1 q =n

"

= In 2 3 16 In 4 - 32 I_n3 + 34 I_n2 - 20 I_n + 5

[

]

(12) Soit, avec ! X = n n +1

(

)

: ! q11 q =1 q =n

"

= X 2 12 X 4 - 4 X3 + 17 2 X 2 -10 X + 5 # $ % & _' ( Ou ! q11 q =1 q =n

"

= n 2 n + 1

(

)

24 2 2 n

[

8 + 8 n7 + 4 n6 -16 n5 - 5 n4 + 26 n3 - 3 n2 - 20 n + 10

]

A. Bonnet 28/02/2014