IDENTIFICATION RÉCURSIVE DES SYSTÈMES À DÉRIVÉE FRACTIONNAIRE
Daoud Idiou
(1) (2)-Abdelfatah Charef
(1)et Abdelbaki Djouambi
(3)(1)Département d’Electronique, Université Mentouri de Constantine Route Ain El-bey - Constantine 25011 - Algérie
(2)Unité de recherche appliquée en Sidérurgie et Métallurgie URASM/CSC BP 196 - Annaba 23000 - Algérie
(3)Département d’Electronique, Université Larbi Ben M’Hidi Oum El-Bouaghi 04000 - Algérie
E-Mails: ddidiou@yahoo.com
Résumé—Une méthode d’identification récursive d’une classe de systèmes d’ordre fractionnaire est présentée dans cet article.
Il s’agit d’une extension de la méthode d’identification paramétrique des moindres carrés linéaires récursifs aux ordres fractionnaires. Le modèle considéré est de type ARX généralisé dont les ordres de dérivation sont distribués dans un intervalle réel fixé. La matrice de régression est composée de l’ensemble des dérivées fractionnaire de l’équation différentielle généralisée à un instant donné. Une simulation numérique a montré clairement la qualité de l’identification en utilisant cette approche.
KEY-WORDS—Identification récursive, systèmes d’ordre fractionnaire, dérivée d’ordre fractionnaire.
1. Introduction
AUTOMATIQUE consiste en l’étude des systèmes réels des différents disciplines scientifiques (électronique, mécanique, thermique, biologie, chimie...), en vue de l’analyse, de la prédiction, de la surveillance, de la commande, et de l’optimisation. La condition nécessaire pour cela est l’obtention d’un modèle mathématique du système réel. La modélisation permet en effet de formaliser le comportement du processus étudié à l’aide d’une représentation, baptisée « modèle », à partir de laquelle il est possible de comprendre, commander ou améliorer le fonctionnement du procédé analysé. Le modèle peut être choisi en se basant sur des lois physiques, alors, on aura un modèle descriptif dont les paramètres ont un sens physique, facilitant ainsi la compréhension de l’évolution dynamique du procédé et permet d’établir son implémentation physique.
Mais de tels modèles sont souvent complexes et ne décrivent pas le comportement réel du procédé identifie.
L’identification a pour objectif la détermination, à partir de mesures physiques, des paramètres numériques d’un
modèle, de telle sorte que dans le domaine de fonctionnement pour lequel il a été établi, ce modèle présente un comportement aussi proche que possible de celui du système réel [1].
L’analyse d’une large catégorie de processus physiques tel que le bruit électronique [2], les réseaux de télécommunication [3], l’hydraulique [4], la mécanique des fluides [5], la polarisation électrode-électrolyte [6], montre que les tracés de Bode de ces systèmes sont caractérisés par une pente d’ordre fractionnaire et par un comportement temporel régit par des équations différentielles d’ordre fractionnaire. Ce type de processus est connu comme système d’ordre fractionnaire.
L’utilisation des modèles entiers n’est donc pas convenable pour l’identification de ce type de système. Alors, une nouvelle catégorie de modèles appelés modèles d’ordre fractionnaire, basés sur le concept de la différentiation fractionnaire a été développée [7]-[9].
Identifier un modèle à partir de données réelles devient difficile lorsque l’ordre fractionnaire est introduit. Pour un modèle entier, une fois l’ordre maximal du système à identifier est fixé, les paramètres du modèle peuvent êtres optimisés directement, alors, que l’identification des systèmes d’ordre fractionnaire nécessite le choix du nombre d’opérateurs fractionnaire, la puissance fractionnaire de chaque opérateur et les coefficients des opérateurs. Plusieurs modèles et plusieurs méthodes ont été proposés [9].
Dans plusieurs cas de systèmes dont les paramètres varient dans le temps, ou dans le cas de systèmes de commandes où il faut prendre des décisions en ligne comme dans la commande adaptative, il est nécessaire, voir obligatoire d’estimer les paramètres du modèle en temps réel ou en même temps que l’acquisition de données entrées-sorties.
Pour cela, des méthodes récursives ont été utilisées avec des systèmes ordinaires linéaires ou non linéaire [10].
Cet article présente une extension de la méthode d’identification des moindres carrés récursifs aux systèmes d’ordre fractionnaire en utilisant la structure ARX
L’
généralisée.L’article est organisé comme suit : la section 2 présente une méthode de simulation des systèmes d’ordre fractionnaire basée sur la discrétisation de l’équation différentielle généralisée. Une extension de la l’algorithme des moindres carrés récursifs pour l’identification des systèmes à dérivée fractionnaire est développée dans la section 3. Un exemple numérique de l’identification par modèle fractionnaire à partir de données issues de la simulation d’un modèle à dérivée fractionnaire est présenté dans la section 4.
2 Simulation de Systèmes d’Ordre Fractionnaire
Considérons l’équation différentielle généralisée donnée par l’équation suivante
M
m
nbm m L
l
nal
ld y t b d u t
a t
y
0 1
) ( )
( )
(
(1) Avec
.
,
l m
j
i et nb a et b
na
La fonction de transfert de ce système d’ordre fractionnaire est donnée par [11].
L
l nal l M
m
nbm m
s a
s b s
E s s Y H
1 0
) 1 (
) ) (
(
(2) Pour un système d’ordre fractionnaire commensurable la fonction de transfert sera donnée comme suit
1
1 0
1 )
( L
l
l l M
m
m m
s a
s b s
H
α α
(3) Où
j nb et i
nai α jα tel que0 < m < 1 etM≤ N.
2.1Approximation de la fonction de transfert de l’operateur d’ordre fractionnaire
L’operateur d’ordre fractionnaire analogique est représenté par la fonction de transfert suivante
. 1 ,
)
( m
s s
G m (4)
Dans une bande de fréquence donnée
ωb,ωh
et pour un nombre N entier donnée. La fonction de transfert de l’operateur d’ordre fractionnaireG(s) peu être approximé par la fonction rational représenté par l’équation suivante [12]
N
i
i N-
i
i m
c m
) s/p (
s/z
ωs G(s)
1 1
1
1 1 1
1
(5) Où
b
c γω
ω (0.0001 γ 0.1),
Le premier pole et le premier zéro de l’approximation sont donnés par [12]
m
c et z p
p1ω 10α 1 110ρ (6)
Avec
et m m m
α ε
ρ ε
) 1 (
2 (7)
Où
ε
est l’erreur d’approximation qui est donnée par
(ω /ω )
N m m)
ε m( log10 max c
2 2 1
1
(8) Avec
θ ω h
ω max )θ( 1000010 .
Les pôles et les zéros de l’approximation sont donnée par les deux relations suivantes pour
i 2
2 10
10
1
p
et z p pour i
p
i ρ i i i ρ m (9)La décomposition de la fonction rationnelle en somme de fractions élémentaires conduit à
N
i i
i N
i
i N-
i
i m
c
m ( s/p )
k )
s/p (
s/z ωs
G(s)
1 1
1
1
1 1 1 1
1
(10) Où les coefficients
k
isont donnés par
,...,N , j pour , ) /p p (
/z -p
ω
k N
j i i
i j N
i
i j m
c
j 12
1 1 1
1
1
(11) La discrétisation de la fonction de transfert G(s) et donnée par
T s z
s G z
G( ) ( ) 1 1
(12)
N
i
i i
i
z Tp Tp
z z k
G
0 1 1
1 )
(
(13) La transformée en Z inverse de (13) donne le résultat suivant
1
( )1 ) 1
(
0
k T u
p T
p T p k k
g
N k
i i i
i
i
(14) Où u(k) est la fonction échelon unité.
Alors, la simulation numérique de
d
nai y(t)
du système décrit par (1) en se basant sur (14) est obtenue comme suit :
1
0 0
1
0
) 1 (
1 1
) ( ) ( )
(
Q
q N q
i i i
i i Q
q nai nal
q k T y
p T
p T p k
q k y q g t
y d
(15)
3 Estimation Paramétrique Récursive du Modèle Fractionnaire
3.1 Formulation du Problème d’Identification
M
m
nbm m L
l
nal
ld y t b d u t
a t
y
0 1
) ( )
( )
(
(16)
M
m Q
q nam m
L
l Q
q nal l
q k u q g b
q k y q g a t
y
0 1
0 1
1
0
) ( ) (
) ( ) ( )
(
(17) En vue d’utiliser une méthode d’estimation à équation d’erreur, la sortie du modèle à l’instantk peut être exprimée en fonction des entrées et des sorties passées en isolant le terme y(k) obtenu pourq=0 dans (17)
M
m Q
q nbm m
L
l Q
q nal l L
l
nal l
q k u q g b
q k y q g a k y k y g a
0 1
0 1
1
1 1
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ( ) 0 (
(18)
M
m Q
q nbm m
L
l Q
q nal l L
l
nal l
q k u q g b
q k y q g a g
a k y
0 1
0 1
1
1 1
) ( ) (
) ( ) ( 1
) 0 ( )
(
(19)
L
l nal l M
m Q
q nbm m L
l nal l L
l Q
q nal l
g a
q k u q g b
g a
q k y q g a k
y
1 0
1
0
1 1
1
1
1 ) 0 (
) ( ) ( 1
) 0 (
) ( ) ( )
(
(20) Cette relation est non linéaire par rapport aux paramètres
a1,aL,b0,b1,bM
.Une technique de linéarisation qui permet l’utilisation de la méthode du moindre carré linéaire consiste alors à exprimer y(k) par une relation linéaire par rapport à un nouveau ensemble paramètres
a1,aL,b0,b1,bM
.Le modèle de prédiction donné par l’équation suivante
L
l
M
m m m l
lY k b U k
a k
y
1 0
) ( )
( )
ˆ(
(21) Avec
L
l nal l
m L m
l nal l
l l
g a b b
g a a a
1 0
1 ) 0 (
; 1 ) 0 (
1
0 1
1
) ( ) ( )
(
; ) ( ) ( )
(
Q
q nbm m
Q
q nal
l k g q y k q U k g qu k q
Y (22)
La sortie y(k) peut être donc s’exprimée par la relation suivante
θ φ( ) ) (k k
y (23)
Où θ , le vecteur des paramètres, etϕ(k), le vecteur de régression, sont donnés par
a a aL b b bM
T 1, 2,..., , 0, 1,...,
θ ,
( ) ( ) ( ) ( )
)
(k Y1 k YL k U0 k UM k
ϕ (24)
L’équation de régression représentée dans (23) est une structure linéaire par rapport au vecteur des paramètres, donc on peut utiliser la méthode classique des moindre carrée
récursifs.
3.2 Méthode des Moindre Carrée Récursifs
La prédiction de la sortie du modèle (21) à l’instant donné k peut être donnée par la régression linéaire de la forme
θ ϕ( )ˆ )
ˆ(k k
Y
( ) ( ) ( ) ( )
)
(k Y1 k YL k U0 k UM k ϕ
Où ϕ(k)est un vecteur des mesures (entrée/sortie) passées du système à identifier.
Le problème de l’estimation se formalise maintenant par la recherche d’un vecteur de paramètre θˆopt minimisant le critère quadratique donnée par l’équation suivante [13], [14]
20
)) ˆ( , ˆ( ) 1 (
ˆ)
(
K
k
k y k y k K
J θ K θ (25)
Une version récursive de l’algorithme des moindres carrées est donné sous la forme
) ( ) 1 ( ) ( 1
) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ) (
1 1 ( ) (
) ( ) 1 ˆ ( ) ) ( ( ) 1 ( ) (
) ( ) 1 ) (
1 ˆ( ) ˆ(
k k F k
k F k k k k F
F k F
k k k k y k F k
k k k F
k
T T
T T
ϕ ϕ
ϕ ϕ λ
ϕ ϕ θ
ϕ λ θ ϕ
θ
(26) En pratique l’algorithme commence à l’instant k=0 avec un vecteur de paramètres nul et
I k
F δ
) 1
( et0δ 1 ou 0λ1
Les coefficients ai du modèle à temps continu se déduisent par la résolutiondu système d’équation linéaire suivant
L L naL
L na
L na
L
naL na
na
naL na
na
a a a
a a a
g a g
a g
a
g a g
a g
a
g a g
a g
a
2 1 2 1
2 1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
1 ) 0 ( )
0 ( )
0 (
) 0 ( 1
) 0 ( )
0 (
) 0 ( )
0 ( 1
) 0 (
(27) Les coefficients
b
m s’expriment alors par
L
l
nal l m
m b a g
b
1
1 ) 0 (
(28)
4 Exemple Illustrative
On considère un exemple d’un système stable d’ordre fractionnaire commensurable représenté par l’équation différentielle suivante :
) ( ) ) ( 20 (
. ) 1 24 (
. ) 0 04 (
.
0 0.87
87 . 0 74
. 1 74 . 1 61
. 2 61 . 2
t e t dt y
t y d dt
t y d dt
t y
d
(29)
La fonction de transfert est donnée par
6 30 25
25 )
( ) ) (
( 2.61 1.74 0.87
E s s s s
s s Y H
(30) Le model fractionnaire a identifié est représenté par la structure d’un système d’ordre fractionnaire commensurable, est donnée par l’équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire suivante
) ( ) ) ( ( )
( )
(
87 0 . 0 87 . 0 74 3
. 1 74 . 1 61 2
. 2 61 . 2
1 y t be t
dt t y a d dt
t y a d dt
t y
a d
(31) La période d’échantillonnage pour l’application numérique est choisie commeT= 0.01s. Par utilisation de la méthode de discrétisation du différentiateur d’ordre fractionnaire de (15), l’équation différentielle (31) peut être réécrite dans le domaine discret comme suit
) ( ) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
(
0 1
0 61 . 2 3
1
0 74 . 1 2 1
0 87 . 0 1
k e b q k y q g a
q k y q g a q k y q g a k y
Q
q
Q
q Q
q
(32) Dans ce travail, les valeurs numériques de
y(k)
et) (k
u
utilisées pour l’identification sont générées à partir des méthodes d’implémentations des systèmes d’ordre fractionnaire développées dans [15]-[17]. Donc on peut écrire
5 1 25
5 . 5 0
5 1 25
) 1 (
87 . 0 87
. 0
* 2
87 . 0
87 . 0 87
. 0
* 87 2
. 0
s s
c s
s s
b s
s a H
(33) Avec
21
; 5 21
5 .
; 1 21
25
b c
a
A partir de [15]-[17], les trois fonctions fractionnaires fondamentales (33) peuvent être facilement approximées par des fonctions rationnelles dans une bande de fréquence [0,
10000
h
ω
rad/s]. Donc, on aura
1 2
1 87
. 0
0
1 1
1 N
i
i i
p s k s
(34)
Où
p
isont les pôles etk
isont les résidus pouri=1,2..,2N0-1 Ils sont donnés par [15])
( 0
) 2 . 1 (
i Np
i
] 17 . 0 cos[
)]
) 2 . 1 log((
87 . 0 cosh[
17 . 0 2 sin
1
) 0
( π
π π
N i
ki
(35) Le second et le troisième terme de (33), sont approximés aussi comme suit [16], [17]
1 2
1 2 2
87 . 0 74
. 1
2 87
. 0 87
. 0
* 2
1
1 7178
. 0
2 / 3
1 1572
. 0 1572
. 0
2 / 1 1 5 1
25 1
N
i
i i
i i
s s
s a k
s s
s s
ω
ω (36)
1 2
1 2 2
87 . 0 74
. 1
87 . 0 87
. 0 87
. 0
* 2
87 . 0
1
1 7178
. 0
2 / 1
1 1572
. 0 1572
. 0
2 / 1 1572
. 0 5 1 25
5 . 5 0
N
i
i i
i i
s s
s a k
s s
s s
s s
ω ω
(37) Où les paramètresai, ωi et
k
i, pour i=1,2,...,2N1-1, sont donnés par les relations suivantes [16], [17]:)
( 1
) 2 . 1 (
0245 . 0
N i i
a
,
) ( 1
) 2 . 1 (
3613 . 6
i
i N
ω ,
] 17 . 0 cos[
)]
) 2 . 1 log((
87 . 0 cosh[
17 . 0 2 sin
1
)
( 1 π
π π
N i
ki
(38) La réponse impulsionelle h(t)est la réponse indicielle
) (t
yst du système fractionnaire de (29) peut être facilement obtenues à partir des fonctions rationnelles approximant les fonctions d’ordre fractionnaire fondamentales des (34), (36) et(37) comme suit :
0.35
cos
0.93 0.15
21 exp 5
0.15 93
. 0 sin 35 . 0 3 exp
7 1
) 21 exp(
) 25 (
1 2
1 1 2
1 0 1 2
1
1 1
t t
k
t t
k
t p p
k t
h
i i
N
i i i
i i
N
i i i N
i
i i
i
ω ω
ω
ω ω
ω
(39)
1.04 93
. 0 cos 35 . 0 exp 21 1
5
1.04 93
. 0 sin 35 . 0 exp 1
3 7
1
) exp(
21 1 ) 25 (
1 2
1 1 2
1 0 1 2
1
1 1
t t
k
t t
k
t p k
t y
i i
N
i i
i i
N
i i N
i
i i
st
ω ω
ω ω
(40) 4.1 Simulation Avec Un Echelon Unité
Dans ce cas l’entrée e(k) est un échelon unité et les valeurs numériques de y(k)sont obtenues à partir de (40) ; alors les observations sont
0 , 0
0 , ) 1 ( )
( k
kT k u k e
(41)
1.04 93
. 0 cos 35
. 0 exp 21 1
5
1.04 93
. 0 sin 35
. 0 exp 1
3 7
1
) exp(
21 1 ) 25 ( ) (
1 2
1 1 2
1 0 1 2
1
1 1
kT kT
k
kT kT
k
kT p k
kT y k y
i i
N
i i
i i
N
i i
N
i
i i
st
ω ω
ω ω
(42) Figure. 1, représente les valeurs entrée-sortie utilisé pour l’identification.
0 500 1000 1500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
response
0 500 1000 1500
0 0.5 1 1.5 2
input
sampling time(sec)
Figure 1.Les valeurs entrée-sortie utilisé pour l’identification
L’algorithme des MCR est initialisé comme suit 108
δ ,F I
δ ) 1 0
( ,λ 0.98
et ˆ(0)
(0) 0, (0) 0, (0) 0, (0) 0
0 3
2
1
a a a b
θ
Figure. 2, montre l’évolution en fonction du temps des paramètres estimés par MCR. On peut observer que l’estimation converge rapidement aux valeurs exactes du système simulé aves une erreur nulle.
0 5 10 15 20 25 30 35
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Figure 2.Paramètres identifie du modèle fractionnaire
Table (1) compare les résultats obtenus par la méthode des MCR avec ceux du modèle simulé.
Paramètre a1 a2 a3 b0
valeur
exact 1.200 0.240 0.040 1.000
valeur
estimé 1.1954 0.2347 0.0428 1.000
Table .1Paramètres identifie et théoriques
Figure. 3, montre la réponse indicielle du modèle identifié (31) par MCR et du système réel(29)
0 5 10 15 20 25 30 35
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 5 10 15 20 25 30 35
0 0.5 1 1.5 2
Figure 3.Réponse indicielle du modèle identifie par MCR et du système réel
Figure. 4, montre le diagramme du Bode du modèle identifié de (31) par MCR et du système réel de (29).
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-150 -100 -50 0
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-250 -200 -150 -100 -50 0
Figure 4.Diagramme du Bode du modèle identifié par MCR et du système réel
5 Conclusion
Une méthode d’identification récursive d’une classe de systèmes d’ordre fractionnaire a été présentée en utilisant une autre technique de simulation numérique des dérivateurs d’ordre fractionnaire différente de celle de Grünwald- Leitnikov.En plus les observations ont été obtenues d’une manière différente que celle utilisée dans la technique d’identification. La simulation numérique a montré l’efficacité de la technique d’identification proposée.
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