IDENTIFICATION DE SYSTÈMES. 1

(1)

Corrigé Exercice 1 : IDENTIFICATION DE SYSTÈMES.

1^er graphe.

La courbe présente des dépassements. Il s’agit donc d’une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d’un système d’ordre 2.

On relève :

 la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) 200

 la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 160

 la valeur du 1^er dépassement absolu D₁220 160 60

 la valeur de la période T_a 0,65 0,2 0,45s

 la valeur du temps de réponse tr_5%0,6s On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale (s  ) K Ec  160 200 0,8

K  

 z le facteur d’amortissement du système

 

¹

1%

60 0,375 ( 37,5%) 160

D D

 s   



par la formule des dépassements relatifs :

 

2 1%

2 2

1%

ln ln z D

D

 

 

2 2 2

ln0,375

0,3 ln0,375

z   

    par l’abaque des dépassements relatifs : D_1%0,375  z0,3

 0 la pulsation propre non amortie du système

par la formule de la pseudo-période (à partir du relevé de Ta) :

2 0

2 2

1

a a

T

z

 

 

   

₀

2 2

1 0,45 1 0,3

Ta z

 

    

     ⁰ 15rad s/

par l’abaque du temps de réponse réduit (à partir du relevé de tr_5%) : z0,3  tr_5%  ₀ 8

₀ 8

   0,6   ₀ 13rad s/ Donc ₁

2 2

0 0

( ) 0,8

( ) ( ) 2 1 2.0,3 1

1 1

14 14

S p K

H p E p z

p p p p

   

       

 

1 2

( ) 0,8

1 0,04 0,005 H p

p p

    

2^ème graphe.

La courbe ne présente pas de dépassement mais possède une tangente de pente nulle à l’origine. Il s’agit donc d’une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d’un système d’ordre 2.

On relève :

 la valeur de l'entrée en régime permanent (e ) 80

 les 2 instants : 0,2s et 1,6s où la tangente au point d’inflexion coupe l’axe des abscisses et l’asymptote finale On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale (s  ) K Ec  160 80 2

K  

(2)

 Les 2 constantes de temps du système à l’aide des 2 instants relevés précédemment  ₁ 0,2s et 1 2 1,6s

      ₂ 1,4s

Donc ₂

1 2

( ) ( )

( ) (1 ) (1 )

S p K

H p  E p  p p 

       ² ( ) 2

(1 0,2 ) (1 1,4 )

H p  p p

    

3^ème graphe.

La courbe ne présente pas de dépassement et possède une tangente de pente non nulle à l’origine. Il s’agit donc d’une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d’un système d’ordre 1.

On relève :

 la valeur de l'entrée en régime permanent (e ) 50

 l’instant 0,7s où la réponse atteint 0,63 s( ) On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale s( ) K Ec.  100 50 2

K  

  la constante de temps du système à l’aide de l’instant relevé précédemment.

ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l’échelon… Ce n’est pas parce que vous mettez votre four en marche, avec 1h de retard que celui-ci est lent…

Donc  0,7 0,5 0,2s

Donc ₃ ( )

( ) ( ) 1 .

S p K

H p  E p  p

  ^ ³ ( ) 2

1 0,2.

H p  p



4^ème graphe.

On relève :

 la valeur de l’amplitude de l’échelon E_c 1005050

 la valeur (de l’amplitude) de la sortie en régime permanent (s ) 804040

 l’instant 2,2 s où la réponse atteint 63% de l’amplitude de la sortie en régime permanent, c’est-à-dire l’instant ou la sortie vaut ( )s t 800,63 40

La courbe obtenue dans ce cas ne ressemble pas à celles rencontrées jusqu’à présent. On peut imaginer qu’elle correspond à la réponse d’un four dans lequel il règne une température de 80° (malgré une consigne de 100° C) et pour lequel on impose une baisse de température de 50°C.

Il ne faut alors pas oublier que ce qui nous intéresse, c’est d’observer la façon dont réagit le système à cette échelon d’amplitude 50°C depuis sa température initiale qui était de 80°C.

La courbe ne présente pas de dépassement et possède une tangente de pente non nulle à l’origine. Il s’agit donc d’une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d’un système d’ordre 1.

On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale s( ) K Ec.  40 50 0,8 K  

Remarque : on retrouve bien le gain du système avant t=2s. On avait une sortie égale à 80 alors que l’entrée était de 100. C’est logique car il s’agissait du même système.

ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l’échelon…

Donc  2,2 2 0,2s

Donc ₄ ( )

( ) ( ) 1 .

S p K

H p

E p p

 

  ^ ⁴ ( ) 0,8

1 0,2.

H p

 p



(3)

Corrigé Exercice 2 : IDENTIFICATION DE SYSTÈMES 2.

Système 1.

Question 1 :

Identifier le gain statique K et la constante de temps . En déduire la fonction de transfert H(p) du système (= modèle de comportement).

On relève :

 l’instant 1,13s où la réponse atteint 0,63. (s) On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale s( ) K Ec.  415 400 1,04

K  

ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l’échelon…

Donc  1,13 0,7 0,43s

Donc ( )

( ) ( ) 1 .

S p K

H p  E p  p

  ^ ( ) 1,04

1 0,43.

H p  p



Question 2 :

Sachant que l’expression littérale de la réponse temporelle d’un système du 1^er ordre à une entrée en échelon est s(t) K.E 1 e .u(t)

t

c 















 ^^ , déterminer l’expression numérique de s(t).

Attention au retard par rapport à l’origine…

Attention, il existe un changement d’origine… donc : Ici :

0,7

( ) 1,04.400 1 0,43 . ( 0,7)

t

s t e u t

 

 

 

    



0,7

( ) 416 1 0,43 . ( 0,7)

t

s t e u t

 

 

 

    

Question 3 :

Afin de valider ce modèle de comportement, tracer précisément sa réponse sur le même graphique que la réponse expérimentale.

-100 0 100 200 300 400 500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

S expérimentale S théorique

Question 4 :

Conclure.

Il n’était pas très judicieux de modéliser le système par un 1^er ordre… Pour mieux épouser la courbe, on aurait pu modéliser ce système par un 2^ème ordre pseudo-périodique.

(4)

Système 2.

Question 5 :

Identifier les paramètres caractéristiques du système (K, z et 0). En déduire la fonction de transfert H(p) du système (= modèle de comportement).

On relève :

 la valeur de la sortie en régime permanent (s ) 4,9

 la valeur du 1^er dépassement D₁7,2 4,9 2,3

 la valeur de la période T_a 1,59 0,91 0,68s

 la valeur du temps de réponse tr_5%1,85 0,35 1,5s On en déduit :

 K le gain statique du système à l’aide de la valeur finale s( ) K Ec.  4,9 5 0,98 K  

 z le facteur d’amortissement du système

 

¹

1%

2,3 0,47 ( 47%) 4,9

D D

 s   



par la formule des dépassements relatifs :

 

2 1%

2 2

1%

ln ln z D

D

   ^

2 2 2

ln0,47

0,22 ln0,47

z   

    par l’abaque des dépassements relatifs : D_1%0,47  z0,22

 0 la pulsation propre non amortie du système

par la formule de la pseudo-période (à partir du relevé de Ta) :

2 0

2 2

1 a

a T

z

 

 

  

 ₀

2 2

. 1 0,68. 1 0,22 Ta z

 

  

  ^ ⁰ 9,5rad s/

par l’abaque du temps de réponse réduit (à partir du relevé de tr_5%) : z0,22  tr_5%. ₀ 13  ₀ 13

 1,5   ₀ 8,7rad s/ Donc

2 2

0 0

( ) 0,98

( ) ( ) 2 1 2.0,22 1

1 . . 1 . .

9 9

S p K

H p E p z

p p p p

  

   

 



2

( ) 0,8

1 0,05. 0,012.

H p

p p

  

Question 6 :

Sachant que la réponse temporelle d’un système du 2^ème ordre à une entrée en échelon est )

t ( u . t . z 1 sin z 1 1 e . KE ) t (

s ₀ ²

2 t . z c

0











 



 



  



 ^ ^ avec arccos(z), déterminer

l’expression numérique de s(t). Attention au retard par rapport à l’origine…

Attention, il existe un changement d’origine… donc : 0,22.9.( 0,35)

2

( ) 0,98.5. 1 2 sin 9. 1 0,22 .( 0,35) arccos0,22 . ( 0,35) 1 0,22

e t

s t t u t

 

 

 

 

       

   

 

(5)

Question 7 :

Afin de valider ce modèle de comportement, tracer précisément sa réponse sur le même graphique que la réponse expérimentale.

Il faut TOUJOURS placer les points au niveau des dépassements, avant de tracer la courbe !!!

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

S expérimentale S théorique

Question 8 :

Conclure.

Le modèle du 2^ème ordre semble moyennement correct… Pourtant, l'amplitude des oscillations ainsi que la période semblent coïncider.

En fait, le problème vient du régime entre 0,5s<t<0,8s, la courbe correspond à une droite !!

En effet, si on mesure la demi-période entre le départ et le 1^er dépassement, on trouve 0,91-0,35=0,56s, et si on mesure la période entre le 1^er dépassement et le 3^ème, on trouve 1,59-0,91=0,68s !

Le système devait être saturé entre 0,5s<t<0,8s, et ne peut donc être modélisé correctement par un SLCI.

(voir TP 5.1 Axe autonome de la plate-forme pour les PCSI).