1S Correction Fiche TP 3 2014-2015
I Encore une identification
Factoriser 2x2+x−3.
∆ = 1 + 24 = 25 doncx1= 1 etx2=−3
2. Il s’en suit que 2x2+x−3 = 2
x+3 2
(x−1) = (2x+ 3)(x−1).
Pour tout réelxdifférent de 1 et−3 2, a
x−1+ b
2x+ 3 =a(2x+ 3) +b(x−1) (x−1)(2x+ 3) =
f acto
(2a+b)x+ 3a−b 2x2+x−3 .
Pour obtenir l’égalité souhaitée, comme les dénominateurs sont identiques, on identifie les numérateurs. On doit donc avoir
(2a+b)x+ 3a−b = 5⇔(2a+b)x+ 3a−b= 0x+ 5 =⇒
ident.coef
2a+b= 0 (L1) 3a−b= 5 (L2) ⇔
5a= 5 (L1+L2)
2a+b= 0 ⇔
a= 1
b=−2 , ainsi pour tout réelx6= 1 etx6=−3
2, 5
2x2+x−3 = 1
x−1 − 2 2x+ 3
II Un autre exemple
Pour toutxdifférent de 0,−3 et 2, a
x+ b
x+ 3+ c
2−x= a(x+ 3)(2−x) +bx(2−x) +cx(x+ 3)
x(x+ 3)(2−x) = (−a−b+c)x2+ (−a+ 2b+ 3c)x+ 6a x(x+ 3)(2−x)
Pour obtenir l’égalité souhaitée, comme les dénominateurs sont identiques, on identifie les numérateurs. On doit donc avoir
(−a−b+c)x2+ (−a+ 2b+ 3c)x+ 6a= 12x+ 6 =⇒
ident.coef
−a−b+c= 0 (L1)
−a+ 2b+ 3c= 12 (L2) 6a= 6 (L3)
⇔
−b+c= 1 (L1) 2b+ 3c= 13 (L2) a= 1
⇔
a= 1
5c= 15 (2L1+L2)
−b+c= 1
⇔
a= 1 c= 3 b= 2
, ainsi, pour xdifférent de 0,−3 et 2,
12x+ 6
x(x+ 3)(2−x)= 1 x+ 2
x+ 3 + 3 2−x
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