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L’atome de Thomas-Fermi déduit d’un principe
variationnel
G. Allard
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM
L’ATOME DE THOMAS-FERMI
DÉDUIT
D’UN PRINCIPE VARIATIONNELPar G. ALLARD.
Sommaire. -
On montre que la théorie de Thomas-Fermi, y compris les conditions aux limites
peut s’obtenir en admettant que l’énergie totale de l’atome est stationnaire; l’énergie potentielle est calculée en appliquant la loi de Coulomb et l’énergie cinétique en assimilant le nuage électronique à un gaz de Fermi complètement dégénéré. On établit en outre, pour l’énergie d’ionisation totale d’un atome de nombre atomique Z, l’expression.
qui est vérifiée à 1 pour 100 près pour les atomes légers, à l’exception de l’hydrogène. On apporte
en outre des précisions intéressantes à la théorie de Dirac qui, basée sur les idées de Fock, tient compte, dans une certaine mesure, des énergies d’échange.
SÉRIE ~III. - TOME IX. N° 7-8-9. JUÏLLET-AOUT-SEPTEMBRE 19~8
Le
principe
de la méthode de Thomas et Fermi pour l’étude des atomes est bien connu(1) :
il consiste à assimiler l’ensemble des N électronsconstituant,
avec un noyau de
charge
+Ze,
un atome ou union,
à un gazplacé
dans unchamp électrique
conve-nable ;
latempérature n’ayant
aucune influencesur les
propriétés
atomiques,
on suppose que cegaz,
qui
doit obéir à lastatistique
deFermi,
estcomplètement dégénéré,
c’est-à-dire que satempé-rature absolue est
nulle;
enfin lechamp
électro-statique
moyen danslequel
sontplacés
ces électrons est déterminé enappliquant
la f ormule de Poisson. Dans le but de résoudrequelques
difficultésqui
seprésentent
dans l’étude desgénéralisations
de laméthode,
ainsi que pourpermettre
d’utiliser deslois d’action autres que la loi de
Coulomb,
j’ai
étéconduit à
remplacer
l’application
de la formule dePoisson,
ainsi que les conditions auxlimites,
par unprincipe
d’énergie
stationnaire.Nous supposerons que les N électrons sont
assimi-lables à un milieu électrisé
continu,
la densitéélectronique
auvoisinage
d’unpoint
M étant ;>1~ià l’intérieur d’un domaine D et nulle au delà de
(1) On se reportera utilement à L. BRILLOUIN, L’atome de Thomas-Fermi et la méthode du champ « self consistent »,
no 160 des Actualités seienfi fiqttes et Industrielles, Hermann
et CI, éditeurs, 193!¡.
ce
domaine,
si bien que l’on aEn
désignant
parla
distance des deuxpoints
M etP,
et par e lacharge
del’électron,
l’énergie
potentielle
mutuelle de ces N électrons estSi r est la distance du noyau de
charge
+ Ze
au
point
M,
l’énergie
potentielle
dusystème
noyau-électrons vaut :
Calculons maintenant
l’énergie
cinétique
dansl’hypothèse
d’un gaz de Fermicomplètement
dégénéré.
Le nombre d’électrons auvoisinage
d’unpoint
M dontl’impulsion
estcomprise
entre p et p +dp
est,
si h est la constante dePlanck,
8 it-5 -~
p2 dp d’}I;
comme seuls les états deplus
l~asseénergie
sontoccupés,
l’impulsion
doit être auplus
égale
à une valeur Po telle que226
1,’énergies cinétique
totale des 91>id=g électrons environnant lepoint
XI est doncm étant la masse de
l’électron,
etl’énergie
cinétique
totalevaut,
en substituant la valeur de PoL’énergie
totale dusystème
considéré est doncNous allons admettre que cette
énergie
doit êtrestationnaire,
c’est-à-dire queaussi bien
lorsqu’on
fait varier ~~~1 qu’elorsqu’on
fait varier le domaine D à l’extérieurduquel
91>1est nul.
La variation oW doit d’ailleurs laisser constante
le nombre N d’électrons donné par
(1).
Il enrésulte,
A étant une constante : .
IO
Qu’en
annulant le coefficient deo3I)[,
on a2°
Qu’en
annulant la variation due à celle dudomaine
d’intégration
D91u = o sur la surface de D. (4) >
On
peut
fairedisparaître
lesigne d’intégration
de la formule(3)
enprenant
lelaplacien,
cequi
donneDans le cas
particulier,
qui
nous intéressera seulici,
où 9~t nedépend
que de la distance r au noyau, un calcul élémentairepermet
deremplacer
(3)
et(5)
parro étant le rayon de la
sphère
à l’extérieur delaquelle
3l)1 est nul. Ceséquations
sesimplifient
enposant
-Elles deviennent
3
Si enfin on
substitue,
dans(7),
la valeur dez
donnée par(8),
on obtient
-La condition
(4)
se traduit parSi
enfin,
on substitue la valeur de 9lg déduitede
(6)
et(8)
dans(1),
onobtient,
compte
tenu de(10)
et(11)
Le
problème
revient donc àintégrer l’équation (8)
avec les conditions(10), (11)
et(12).
On voitfaci-lement que l’on retrouve ainsi les résultats
classiques
de la théorie de Thomas et Fermi(2)
enposant
’
car les
équations
deviennent alorsCalcul de
l’énergie
totale. - Nouspouvons
l’espace
D,
on ace
qui
permet
d’écrire(2)
sous la formeOr,
onpeut
écrireet l’on
peut
vérifier par différentiation que l’on ad’où,
en tenantcompte
de(10), (11)
et(12)
Comme _
" .
on a
2
2 ,
Dans le cas
particulier
de l’atome neutre, = Zet l’on
peut
écrireOr, dans ce cas, on a
(3),
Si l’o-ri
exprime
l’énergie
enélectron-volts,
on obtient ainsi
-Cette
grandeur
doitreprésenter l’énergie
d’ioni-sation totale d’un atome de nombreatomique
Z,
c’est-à-dire
l’énergie
nécessaire pour arracher les Zélectrons de cet atome. Cette
formule, très
simple,
ne doit évidemment être exacte que pour des
°
atomes très lourds. Il est
cependant
intéressantde remarquer que, en modifiant le facteur
numé-rique
20,5
on obtient un accordremarquable
avecl’expérience
pour les élémentslégers,
les seuls pourlesquels
toutes lesénergies
d’ionisation ontété mesurés. Le tableau suivant donne la
compa-raison entre les
grandeurs
calculées etmesurées(4);
les valeurs calculées l’ont été par la formule
On voit que, sauf pour
l’hydrogène,
l’accord estréalisé à i pour 100
près
environ. Il estcependant
étrange
que la constanteempirique
soit inférieureà la constante
théorique;
la théorie ne tenant pascompte
desphénomènes
d’échange,
on aurait pus’attendre,
eneffet,
à ce quel’énergie
mesurée soitinférieure à
l’énergie
calculée defaçon
à assurer uneplus
grande
stabilité de l’édifice.Généralisation de la théorie. -- Il serait donc
utile de
pouvoir
tenircompte,
au moinspartiel-lement,
desénergies
d’échange.
Or,
on a pu montrer(5)
que la théorie de Thomas-Fermi constitue unepremière approximation
de la méthode du«
champ
self-consistent » deHartree,
laquelle
netient pas
compte
nonplus,
desphénomènes
d’échange.
Mais Fock a modifié la théorie de Hartreede
façon
à en tenircompte
dans une certaine mesure et, ens’appuyant
sur les calculs deFock,
Dirac a modifié la théorie de Fermi et montré
qu’il
(3) L. BRILLOUIN, 10C. cit.
(4) Les valeurs mesurées sont extraites des Tables annuelles de Consfantes.
228
s’introduit
simplement
uneénergie
supplémentaire
entredieux
électrons situés dans le même élément de volume d7 etayant
desimpulsions
p etp’
etayant
même direction despin;
cetteénergie
supplé-mentaire
(s)
Or,
les électrons de,
1t
1p -P, Il
-,
-spin
donnéayant
uneimpulsion
comprise
entre pet
p’
+dp’
sont au nombrede hI dpx
dp~.
dp~
parunité de volume. Pour un électron donné nous aurons donc une
énergie supplémentaire
avec
Comme,
dans le volumedz,
il y a8rp2 h3
dp
élec-trons,
il y aura, pour cevolume,
uneénergie
supplé-mentaire
Dans ce
calcul,
chaque
électron a étécompté
deux fois. Nous obtiendronsdonc,
pour l’édificeentier,
l’énergie
1
L’énergie
totale dusystème
estC’est pour cette nouvelle
expression
del’énergie
que nous devons écrire oW == o sous la condition
En annulant le coefficient de on trouve ainsi
Annulant ensuite la variation due à celle de D
.
(6) Dans cette expression, p - p’ ’ est une abréviation pour
en tenant
compte
de(15),
il vientDonc,
sur cettesurface,
ou hienou bien
Nous reviendrons dans un instant sur ces
condi-tions,
maisauparavant,
nous devons examiner lesconséquences
del’équation (15)
dansl’hypo-thèse où 9~ ne
dépend
que de la distance r au noyau.En
posant
.
et en
prenant
lelaplacien
de(15),
ilvient
La substitution de 9r donné par
(18)
dans(15)
donneet la même substitution dans
(1)
donneNous pouvons résoudre
l’équation (17),
cequi
donne
Lorsque
r est suffisammentpetit, f
estpositif
puisqu’il
en est ainside f (o);
pourque ,?1
soitpositif,
une valeurnégative
de 91 étantinconce-vable,
on doitprendre
lesigne
+ devant le radical.Il en résulte
que M
nepeut jamais
s’annuler. Parconséquent,
la condition 9t = o sur la surfaceest à
rejeter
et c’est la condition(16)
seule que nous devrons considérer.En
posant
on
peut
résumer leséquations
obtenues de lafaçon
suivante :
- ___
Les
équations (23),
(24)
et(26)
sont celles de la théorie deDirac,
comme on s’en rendracompte
en sereportant
au livredéjà
cité de L. Brillouin. Maisl’équation
(25)
estnouvelle;
elle fixe la valeurde xo, c’est-à-dire la distance au delà de
laquelle
la densitéélectronique
estnulle,
etapporte
par là desprécisions
trèsimportantes.
Fit. 1.
La discussion est très semblable à celle des
équa-tions de la théorie de Dirac.
Traçons
les deux droites OAd’équation
y + (X2 x = o et OBd’équa-tion y + =
o, et voyons l’allure des courbes
16
intégrales
de(23) partant
dupoint x
= o,c (o)
= 1. Pour unepente
àl’origine
C - B où Bdépend
d’ailleurs de oc, donc de
Z,
la courbe rencontre en un certainpoint
la droite OA au delà delaquelle
elle n’existeplus;
mais,
et c’est cequi distingue
laprésente
théorie de celle deDirac,
cepoint
n’aaucune
signification
physique;
c’est aupoint
oùelle rencontre OB que nous devons
l’interrompre,
la densitéélectronique
devenant alors constamment nulle.D’après (25)
latangente
en cepoint
doitrencontrer l’axe
0y
en unpoint
d’ordonnée -i- N Z
a, ,
z’
ce
point
étant situé au-dessus de l’axe des x, on aaffaire à un ion
positif.
La
pente
àl’origine
augmentant,
deviendraégale
à - B et la courbe sera alorstangente
àOA;
elle seprolongera
alors au delà et rencontrera la droite OBen un deuxième
point.
Nous avons donc deuxpoints
d’intersection avec OB et il est facile de voir que lepremier point
correspond
à un ionpositif,
le second à un ionnégatif.
Cela ne veut pas direnaturellement
qu’une
même courbe décrira à laf ois
un ionpositif
et un ionnégatif
car il faudrait pour cela que les valeursNI
etN2
données par larencontre de la
tangente
avec l’axeOy
soiententières,
ce
qui
n’auragénéralement
pas lieu simultanément.Cela
signifie
simplement
que ce sont les mêmesgenres de courbes
qui interprètent
à la fois les ionspositifs
et les ionsnégatifs.
La
pente
àl’origine
augmentant
encore, la courbene rencontrera
plus
la droiteOA,
mais pourra encore rencontrer OB en deuxpoints
jusqu’à
ce que, lapente
àl’origine prenant
une valeur- B’,
la courbesoit
tangente
à OB. Dans ce cas, latangente
aupoint xo
est la droite OB elle-même et l’on a N = Z :on a affaire à l’atome neutre. Pour une
pente
àl’origine supérieure
à- B’,
la courbe ne rencontreplus
la droite OB et n’a par suiteplus
designifi-cation
physique.
On voit
d’après
cela que l’ionnégatif
leplus
fortementchargé
que l’onpuisse espérer
réaliserest celui
qui
correspond
au deuxièmepoint
derencontre avec OB de la courbe
tangente
à OA. Commel’indique
L.Brillouin,
une évaluation trèsgrossière
montre que l’on nepeut
guère
songer àinterpréter
ainsi des ionsnégatifs plus
que mono-valents. Il seraitcependant
souhaitablequ’une
étudemathématique
complète
del’équation
(23)
permette
des déterminationsnumériques
exactes,en
particulier
celle del’énergie
d’ionisation totale d’un atomeneûtre,
comme nous avons pu le faire pour le modèle initial de Thomas-Fermi.Quoi
qu’il
ensoit,
il me semble que laprésente
théorie
apporte
desprécisions
utiles à la théoriede
Dirac;
elle a d’autrepart
l’avantage
depouvoir
s’appliquer
à des lois de force autres que la loi deCoulomb. En
particulier,
onpeut
substituer àe-À»
celle-ci une loi du
type
r, 1 comme le veut lathéorie du méson de Yukawa. C’est en somme ce
que
j’ai
fait dans un article antérieur consacré àl’étude
de la stabilité des noyaux lourds(7).
(7) G. ALLARD, Étude théorique sur le défaut de mas se et la stabilité g des noyaux lourds. J. de Physique et Ie Radium,mars 194-7, VIII, 3, p. 65-72.
