Sur la description spatio-temporelle des phénomènes quantiques

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Sur la description spatio-temporelle des phénomènes

quantiques

Bernard Kwal

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

SUR LA DESCRIPTION SPATIO-TEMPORELLE DES

PHÉNOMÈNES

_QUANTIQUES

Par BERNARD KWAL.

Institut

_{Henri-Poincaré,}

Paris.

Sommaire. 2014 On essaie de construire la _{mécanique quantative} relativiste en _partant de _{l’hypothèse} que toute grandeur physique possède quatre composantes dans _{l’espace-temps, qui} sont fonctions d’un

paramètre quadrivectoriel, point de _{l’espace-temps.} Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l’algèbre et l’analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d’un _{paramètre quaternionien.} L’auteur est ainsi amené à _{développer l’analyse quaternionienne.}

L’équation de Dirac s’obtient d’une manière _simple et directe de la transformation la _{plus générale} de

Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement _{énergie P,} lors du passage du système de l’observateur au _{système propre du corpuscule,} en _remplaçant dans cette _{transformation P par $$j/i}

~X

+

e/c A, conformément au _{postulat quantique.}

Pour parvenir aux _équations de la _{mécanique quantique} relativiste on admet que les éléments de matrice sont des _quaternions, fonctions _{exponentielles} du _point de _{l’espace-temps.} Les relations d’incerti-tude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la _{mécanique quantique quaternionienne conduisent, par}

ailleurs, à la formulation _{quadri-vectorielle} du _principe de _Ritz, en accord _parfait avec la théorie de la relativité.

SÉRIE VII.

TOME VIII.

Pu

3.

MARS

1937.

Introduction. -

_Que

les

_principes

de la

_mécanique

quantique

ne soient

_point

conformes aux

_exigences

de la théorie de la

relativité,

c’est un fait d’autant

plus regrettable que des

conséquences

de catte

méca-nique

non

_relativiste,

on se

_plaît

à tirer des

objec-tions à la

_description

_relativiste,

_{spatio-temporelle,}

des

_phénomènes

_physiques

à l’échelle

_{microscopique.}

Mais il suffit de réfléchir tant _{soit peu} sur la

significa-tion

_profonde

du

_{principe de relativité pour}

_percevoir

le caractère illusoire de ces

_arguments.

L’idée dominante de la relativité restreinte est de considérer tous les observatoires en mouvement uni-forme les uns _par

_rapport

aux

autres,

comme

égale-ment

_légitimes

pour l’élude et la

_description

des

phé-nomènes

_physiques.

Dans chacun de ces

observa-toires,

le

_physicien

construit un référentiel au _moyen

des étalons de

_longueur

et des

_horloges,

un

espace-temps

à

_{quatre dimensions,}

et il

_repère

tous les

événe-ments

_qui

ont lieu dans

_l’univers,

tant à l’échelle

ma-croscopique,

qu’à

l’échelle

_{microscopique}

en faisant

correspondre

aux éléments de la réalité les éléments

figuratifs

de

_{l’espace-temps}

du référentiel. Du

_point

de

vue de la

_description

_{mathématique}

des

_{phénomènes,}

le

_point

de

_l’esî)ace

_tet)il)s

doit être considéré comme

le

_paramètre,

en fonction

_{duquel s’expriment}

_les gran-deurs

_physiques

mesurables.

L’équivalence théorique

de tous les observatoires entre eux,

parmi lesquels

il

n’y

a

_point

de

privilé-giés,

conduit,

comme on le

_sait,

à la nécessité de la formulation covariante des lois

_physiques,

formulation

qui

met ces dernières à l’abri du caractère

_particulier

du

_système

d’observation

_employé.

_{Si l’on suppose} alors que certaines mesures

_physiques

_accouplées,

comme celles de la

_position

et de la

_quantité

de

mouve-men d’un

électron,

soient affectées d’incertitude re

liées entre _{elles par} une

_loi,

alors le

_principe

de

rela-tivité nous

_{enseigne qu’il}

doit en être de même dans

tons les observatoires et _que

_{l’expression}

de la loi doit être covariante par

rapport

à tout

_changement

des coordonnées. Aucun

_{échappatoire}

_verbal,

comme celui

qu’on

fonde sur le

_principe

de

_{complémentarité}

de

Bohr,

ne

peut

rien contre cette

_conséquence

inéluctable du

_principe

de relativité. Car le fait que l’observatîon

perturbe

ce

qu’on

_observe,

ne

_peut

en aucune manière

empêcher

la transmission des résultats des mesures

et la transmission du formalisme

_théorique,

tiré de

82

ces mesures, entre les divers observatoires. Et pour que cette transmission s’effectue au _{moyen d’un code}

intelligible

et _{vérifiable pour}

tous,

il estnécessaire que

ce formalisme soit

_{mathématiquement}

covariant,

indé-pendant

de l’observatoire où il fut élaboré.

Pourtant les

_principes

de la

_mécanique

_quantique

ne se

_{prêtent guère}

actuellement à une telle formulation.

Dans cette théorie. non seulement les

_équations

(excep-tion faite de

_{l’équation}

de

_Dirac)

ne _{sont pas écrites}

d’une manière

covariante,

mais encore le

_temps

_{y joue} un rôle

_particulier,

celui d’un

_{paramètre. Qu’il}

en soit ainsi dans la

_mécanique

_quantique

et

_qu’elle

se montre

rebelle à toute tentative de conciliation avec la théorie

de la

relativité,

cela ne doit nous étonner

aucune-ment,

puisque

nous savons

_{qu’elle prend}

sa racine dans la

_{mécanique classique}

non

_relativiste,

où le

_temps

joue déjà

le rôle d’un

paramètre.

Pour

façonner

la

mécanique

quantique

suivant les formes

_requises

_par le

_postulat

de

_relativité,

il faut avant tout introduire

comme

_paramètre

le

_point

de

_{l’espace-temps,}

ce

_qui

n’a

_jamais

été tenté

_jusqu’ici

dans les théories

phy-siques.

Les seuls

_paramètres

_{qui y}

_figurent

sont

tou-jours

des

_paramètres

_{uni-dimensionnels, auxquels}

la théorie de la relativité

_impose

une variance scalaire Le

_plus

souvent ces scalaires ne sont _{pas des}

_grandeurs

physiques simples,

mais résultent du

_produit

de deux

vecteurs. Il

_{paraît plus}

raisonnable et

_plus

conforme

à la

_description

_{spatio-temporelle}

des

_phénomènes

physiques,

de

_prendre

comme base du

_principe

varia-tionnel un

_{paramètre quadrivectoriel,}

ce

_{qui peut}

se

faire avec une facilité relative dans le cadre du calcul

des

_quaternions.

I. Calcul des

_quaternions

comme méthode rationnelle pour la

description

spatio-temporelle

des

_phénomènes

_physiques.

Le choix d’un

_{algorithme mathématique pour}

l’édi-f ication d’une théorie

_physique

est incontestablement d’une très

_grande

_importance.

_{Autant que faire} se

peut,

les méthodes

mathématiques

doivent serrer de

près

la réalité

_physique

et on ne saurait

_jamais

se

mettre

_trop

en

_garde

contre

_{l’emploi abusif d’un}

sym-bolisme abstrait.

On sait

_quel

service a rendu le calcul tensoriel à la théorie de la

_{relativité, grâce}

aux

_propriétés

d’inva-riance de son

_symbolisme

ct à ses

_{possibilités}

d’appli-cation aux _{espaces de Riemann. Pourtant}

_qu’on

nous

permette

de

_souligner

ici une certaine

_{particularité}

de

ce

_calcul,

_{que du point} de vue de la théorie de la

rela-tivité

restreinte,

on doit considérer comme un défaut. Elle

_tient,

cette

_{particularité,}

à la

position spéciale

qu’occupent

dans ce calcul les

_grandeurs

scalaires

_qui

résultent de la contraction des tenseurs et

_qui

sont

ainsi

_dépourvues

de tout caractère

_{spatio-temporel.}

Or,

_lorsqu’on

_envisage

le

_produit

de deux

_quadri

vec-teurs, il semble que,

logiquement,

le

_produit

vecto-riel et le

_produit

scalaire devraient être traités sur un

pied d’égalité.

C’est

_pourtant

le contraire

_qui

est le

fait du calcul tensoriel sous sa forme actuelle. Nous

verrons dans la suite comment sur ce

_point

le calcul des

_{quaternions supplée}

_{parfaitement,}

au moins dans

les limites de la relativité

restreinte,

au calcul tenso-riel. Car le

_produit

_{quaternionien}

de deux

quadrivec-teurs est un

_quaternion

dont la

_composante,

suivant

l’axe de

_temps,

est invariante et consiste

précisément

dans le

_produit

scalaire de ces deux

_{quadrivecteurs.}

Mais

_l’emploi

des

quaternions

a encore un autre

avan-tage,

celui de conserver tout au

_long

du calcul le caractère

_{quadridimensionnel}

des

_grandeurs

phy-siques.

Ces dernières se

_plient

merveilleusement

bien

au schéma

_{quaternionien}

et

_peuvent

être traitées

comme fonctions

_{quaternioniennes}

de la variable qua-ternionienne x

_(Xi’

_{~c2, x3,}

_ict),

_point

de

_{l’espace-temps}

du référentiel.

Algébriquement,

les

_quaternions

_1’)

sont définie

comme des nombres

_{hypercomplexes}

_pouvant

se

mettre sous la forme suivante :

où

_{Q,, Q2, Q3}

et

_Qo

sont les

_composantes

du

quater-nion

_{Q ;}

t:-’ 1, e2, e3 et eo, - unités

ciuaterniuniennes

qui

satisfont aux

_règles

de

_{multiplication}

suivantes :

En

_{général, Qi, Q2,}

Q3

et

Qo peuvent

être des nombres réels ou

_imaginaires

_complexes.

Dans se dernier

cas, les mathématiciens

parlent

des

biquaternions,

toutefois,

pour

sirnplicité

de

_langage,

nous

_emploierons

uniquement

le terme des

_quaternions.

Nous définirons le

_{quaternion Q, adjoint}

au

quarter-nion

_Q

par la relation :

La connaissance des

_{règles (2)}

_permet

d’ellectuer sur

les

_quaternions

toutes les

_{opérations algébriques.}

En

particulier,

le

_produit

de deux

_quaternions

P et

_Q

est

un

_quaternion

_R"

dont les

_composantes

sont les sui-vantes :

Le

_produit

de deux

_quaternions

n’est pas

commu-tatif

_{PQ ~ QP.}

(1) On confond souvent les quaternions avec le4 quadrivec teurs, cela tien t â l’origine historique des _{quaternions Un}

qua-ternion est un être _{mathématique quelconque qui} se met sous la

forme ₍₁₎ avec les conditions (2). Un _{quadrivecteur} est un être

mathématique particulier qui Sp plie au schéma quaternionien ; -,

il possède trois composantes réelles et une composante pure-ment imaginaire dans l’es _{ace-temps (Xl x2, x3,} ict) et satisfait

en outre à certaines conditions de _{covariance, imposées} par le

Quant

au

_quaternion

_adjoint

au

_{quaternion-produit,}

il existe la

_{règle que voici :}

’

D’autre

_part,

on a :

Deux

_produits

sont

_{particulièrement}

intéressants : le

_produit

_{P Q}

et le

_produit

P

Q,

dont _{voici les} coinpo-santes :

Les formes bilinéaires définies par les

produits

représentent

les transformations infinitésimales du groupe de Lorentz.

Quant

à la substitution

_orthogonale

unimodulaire la

_{plus générale que subit dans}

un _{espace à 4}

dimen-sions un

_{quadrivecteur,}

elle s’écrit au _{moyen des}

quaternions

de la manière

_{suivante (forjnule}

de

Cay-ley) :

où V est un

_quaternion

quadriyecteur V

(1’-.,

JÍ2’ 6 3,

i l"o),

S

et Se sont des

_quaternions

_complexes

ima-ginaires,

tels

_qu’on

a

v étant la vitesse relative de deux

systèmes

de

réfé-rence

_envisagés

et c la vitesse de la lumière. Etant donnée la variance

_{quadrivectorielle}

de

_v/c,

le qua-ternion

S

doit être de variance

demi-vectorielle,

c’est

précisément

le semi-vecteur d’Einstein et

_Meyer

_(’1).

Nous voyons donc comment les

_{quadrivecteurs}

résul-tent du

_produit

_{quaternionien}

de deux semi-vecteurs. Considérons

_{également le pro fuit de deux}

quadrivec-teurs :

En tenant

_compte

de

(7)

et de

_(8),

la transformation de Lorentz que subit

N,

s’écrit

de

la manière sui-vante :

(1) A. ’tIVSTEIIV et 1~ MEYER.

_{Sit--uti,(;.eber.}

Preuss. Akad. der

tViss., 1932, p. 522-550. - B. KMAL. Journal de

l’hysique, 1936, 7,

p. 223-226.

Or, lorsqu’on

a affaire à un

_produit

t de trois

quater-nions

AXB,

dans

_{chaque composante}

les coefficients de

>lfl>

o sont constitués par les

composantes

du

pro-duit AB,

et,

en _outre, dans la

_{quatrième composante}

de A

XB,

les coefficients de X sont de même consti-tués

_{par les}

composantes

du

_produit

AB.II en résulte,

dans le cas de la transformation

_(11),

en vertu de la

relation S-1 S = 1

[c’est-à-dire

(o, o, 0,

4 )~,

10 que

les

trois

_{premières composantes}

de N’ ne

_{dépendent pas}

de

_{~l ~,}

et 2° _que =

est

donc

grandeur

inva-riante _par

_rapport

au _{groupe de}

_Lorentz,

c’est le

sca-laire du calcul tensoriel. Les trois

_premières

compo-santes de

N,

qui

sont de la formeR

₊

_iE,

correspon-dent au tenseur

_{antisymélrique gauche.}

Nous avons ainsi

_exposé

l’essentiel de

_l’algèbre

des

quaternions,

nous allons maintenant nous _{occuper de}

l’analyse

quaternionienne.

Etant donnée une fonction

_{quaternionienne}

Q ( Qi ,

_Q2,

Q3

et

_{Q 4-)}

de la variable

_{quaternionienne}

x

_(xi,

_{T2, .T3,}

xo),

nous définirons la dérivée

_{quaternionienne}

de

_Q

par

rapport

à x,

_{lorsqu’elle}

existe,

comme résultat de

l’application

de

_{l’opérateur}

à la fonction

_Q.

En

_{particulier l’application}

de

l’opérateur à à x

à la

va-riable x

_elle-même,

nous donne le

_quaternione

4

(0,0,0,4).

Lorsqu’il

s’agit

(Je

_prendre

la dérivée du

_produit

de deux

_quaternions,

il faut faire attention à ce _{que le}

produit

quaternionien

n’est pas commutable. On écrira donc :

84

Les calculs se

_simplifient

si l’on remarque que :

On

_peut

aussi construire un

_principe

variationnel

quaternionien.

Considérons,

en

effet,

un

_{quaternion Q,}

fonction du

_quaternion

_q et de sa dérivée

La variation

_{quaternionienne}

de

_{l’intégrale :}

s’écrit :

En

_{posant :}

et en tenant

_compte

de ce _{que :}

on arrive à

_{l’équation :}

En introduisant à la

_place

de

Q,

la fonction P :

On arrive

après quelques

transformations aux

équa-tions

_canoniques

suivantes :

D’où l’on _{tire que :}

si l’on définit alors la variation totale de P _par

_rapport

au

_paramètre

x :

alors il résulte de

_(î2)

_que l’on a, en vertu des

équa-tions

_canoniques,

_{que :}

Nous arrêtons ici les

_{préliminaires}

_{mathématiques}

concernant les

_quaternions.

_Remarquons

seulement que tous nos raisonnements se

_{généralisent}

sans

_peine

à des nombres

_{hypercomplexes}

_quelconques.

II. Les

_principes

de la

_{mécanique quantique}

relativiste.

f .

_Equations

d’ondes de Dirac. - Les bases

mathématiques jetées

dans la

_{première partie}

du

présent

travail _{suffisent pour élaborer la}

_mécanique

quantique

relativiste.

Montrons tout _{d’abord que le}

_principe

de relativité

sous la forme

_{quaternionienne}

et le

_{postulat quantique}

conduisent très

_simplement

aux

_équations

de

_{Dirac (1).}

Ce dernier

postulat

nous le formulerons de la

manière suivante. Nous admettons

_qu’à

l’échelle

macroscopique

les

_{systèmes dynamiques}

sont caracté-risés par le

quadrivecteur quantité

de

mouvement-énergie

P,

qui

est fonction de x,

position

dans

l’espace-temps.

Le passage à l’échelle microscopique s’effectue

en

_remplaçant

_P,

dans certaines relations

_classiques

auxquelles

satisfait t ce

_{quadrivecteur,}

_{par l’opérateur}

différentiel - 2013

+ e

A,agissant sur la

fonction

d’onde,

1 ôx c

de variance demi

vectorielle,

qui

définit l’état

dynami-que du

système.

Cela

_étant,

demandons-nous

_quelle

est la

_propriété

relativiste la

_plus

_simple

du

_{quadrivecteur}

P ? Eh

_bien,

c’est celle

qui

nous définit la valeur

_(~

_{i nlo c)}

de

P,

dans le

_système

_{propre du}

_corpuscule,

donc celle

_qui

définit la masse _{propre de} ce dernier.

_Envisageons

alors la transformation de Lorentz la

_{plus générale qui}

permet

de passer du

système

de l’observateur au

sys-tème propre du

corpuscule. Naguère,

dans les travaux

célèbres de M. Louis de

_Broglie,

l’étude de cette

trans-formation a

_joué

un rôle

_capital.

C’est encore

_grâce

à cette transformation

_qu’on

aboutit directement aux

équations

de Dirac en théorie

_{quaternionienne.}

En

effet,

elle

s’écrit,

cette

_{transformation,}

_grâce

à la formule de

_{Cayley (8),}

de la manière suivante :

85

ou, encore :

S et S* étant les semi-vecteurs d’Einstein et

_Meyer,

tels que l’on a :

a étant la vitesse relative du

_corpuscule

_par

_rapport

à l’observateur. Ecrivons

_{explicitement}

la

substitu-tion

_{(2o~) :}

Multiplions

la

_première

_équation

_{par i,}

11 seconde

par - 1 et

ajoutons-les,

_on obtient :

On trouve de même :

En considérant les

_{expressions complexes}

_conjuguées,

on aboutit d’autre

_part

aux

_équations

suivantes :

Maintenant,

nous allons introduire la notation

spino-rielle :

Avec ces notations la transformation s’écrit de la manière suivante :

En

_posant

alors suivant le

_postulat

_{quanlique :}

On obtient les

_équations

de Dirac sous la forme

spi-norielle :

On voit donc bien que

l’équation

de Dirac se déduit de la substitution de

Lorentz,

appliquée

au

quadri-vecteur

_quantité

de

_{mouvement-énergie}

P,

lors du passage du

système

de l’observateur au

_système

_propre

du

_corpuscule,

substitution dans

_laquelle

on

_{remplace P}

par

l’opération quantique

2.

_Equations

relativistes de la

_mécanique

quan-tique.

- Conformément

aux

_hypothèses

et aux

résul-tats des

_{paragraphes précédents,}

nous allons admettre que les

nombres q

et les nombres c de la

_mécanique

quantique

sont des

_quaternions,

fonctions du

_paramètre

quaternionien

x .xz, X3,

X,),

point

de

l’espace-temps

du référentiel einsteinien. A la

_place

de la déf i-nition des matrices de

_{Heisenberg :}

où,

du

_point

de vue de la théorie de la

relativité,

l’ex-pression

Vmn. t est une

_{expression tronquée}

du

_produit

scalaire de deux

_{quaternions :}

nous allons

_prendre

comme base de

_départ

les

ma-trices

_{quaternioniennes}

_ayant

la forme suivante :

, , ’B. .

c’est-à-dire :

L’équation

fondamentale de la

_mécanique

quan-tique

est la définition de la dérivée

_temporelle,

matri-cielle :

En

_mécanique

_{quantique quaternionienne,}

on

86

P é(ant le

quadrivecteur-matrice

quantitédemouve-ment-énergie.

Ecrivons ces relations

_{explicitement :}

Ces

_équations

diffèrent de celles de

Born,

Jorllan

et

_Heisenberg

d’une manière

_{analogue que les}

éqwa-tiol1s de Dirac diffèrent de

_{l’équation}

de

Schrodin-ger.

Car,

en théorie

_{qua ternionienne,}

_{l’opéiateur}

d

dt

est relié aux

_composantes

de

l’opérateur

de la x maniére suivante :

Pour obtenir

_{l’équation}

_(~?9)

à

_partir

des

équa-tions

_(30’),

on

_multipliera

ces dernières par _v, et on se contentera ensuite de

_{l’approximation}

non relati-viste.

Les

_équations

₍₃₀₎

_peuvent

donc être considérées

comme résultant d’une sorte de linéarisation relativiste

de

_{l’équation (29).}

Pour ce

_qui

est du

_couple

des

_grandeurs

quaternio-nieiines _p et _q,

_{canoniquement}

_{conjuâuées,}

nous

admettrons les relations de commutation suivantes :

auxquelles

correspondent

les relations d’incertitude :

que nous allons écrire

_{explicitement,}

dans le cas où _p

et _q sont des

_{quadrivecteurs :}

Les trois

_premiPres

relations

_{interprètent la}

pro-priété qu’ont

les

_composantes

de p et _{de q, relatives}

aux axes

_qui

ne sont _{pas les}

_mêmes,

de

commu-ter entre elles. Ces relations

_expriment

tout

simple-ment _{que le}

_{quadrivecteur .1 p,}

incertitude _{sur p,} et

le

_{quadrivecleur àq,}

incertilade sur _q, sont

paral-lèles dans

_{l’espace-temps}

_{(1 j.}

La dernière

relation,

qui

correspond

â, la somme des relations de

_lleisenberg,

exprime

alors que le module

et le module

sont _{liés par la relation :}

.... - . 1- -

"-En théorie relativiste, _{où il n’est pas}

_permis

de

séparer

l’espace

et le et où la transmission des résultats de mesure d’un réiérentiel à un

autre,

exige

que l’on connaisse à la fois la

position

dans l’es-pace et dans le

_temps

de l’événement

observé,

on ne

saurait

_envisager

d’autre forme de relations

d’incerti-tude,

que celle donnée en

_(:~3)

et

_(33’).

Ces dernières

_{représentent}

la

_{généralisation}

relati-viste la

_plus

naturelle des relations de

_Heisenberg.

Le

_{quadrivecteur}

_quantité

de mouvement

_énergie

P

et le

_{quadrivecteur}

paramètre

x, sont des

grandeurs

canoniquement

conjuguée.

Nous allons montrer maintenant, en nous basant sur

les

_équations

fondamentales de la

_mécanique

_quantique

quaternionienne,

auxquelles

nous allons

_joindre

le

principe

de

Ritz,

sous forme

_{quadrivectorielle,}

_que

le

_{quadrivecteur-matrice}

P est une matrice

diago-nale.

Nous allons

_exprimer

le

_principe

de Ritz au _moyen

des relations suivantes :

Il s’ensuit que

87

Comme,

d’autre

_part,

on a :

Du

_point

de vue du calcul des

_quaternions

P - hR

se réduit à la

_{quatrième composante}

qui,

du

_point

de

vue du calcul des

_matrices,

est une matrice

_diagonale

à termes

_{égaux, qu’on}

_peut

_{siipposer nuls. l’} est donc

une matrice

_diagonale,

et on

_peut

écrire :

Conclusion. - A

la lumière de ce

_{qui précède,}

il

ue

_paraît

_pas

_qu’il

_{y ait}

_{incompatibilité}

entre le

postulat

de relativité et le

_{postulat quantique.}

Les

phénomènes quantiques

peuvent

être décrits dans les cadres

spatio-temporels

de la théorie de la

relativité,

à condition d’introduire correctement les idées relati-vistes dès le début de la théorie. A cette

fin,

il faut

échapper

à

_l’emprise

du

_temps

_{absolu, qui joue}

le rôle d’un

_paramètre

scalaire dans les

_équations

de la

mécanique analytique classique.

La

_{mécanique quantique}

_relativiste,

ainsi

_façonnée,

est une

_mécanique

de matrices

_{quaternionienne,}

étant donné que la

description

spatio-temporelle

plète

des

_phénomènes

_physiques

_{exige que les}

gran-leurs

_physiques

soient

_{représentées}

au _{moyen des}

’Lres

_{mathématiques}

à

_{quatre composantes.}

En

parti-culier,

le

_point

de

_{l’espace-temps}

x

_(XI,

_etc.)

joue,

dans cette

théorie,

le rôle d’un

_paramètre

qua-ternionien en fonction

_duquel

s’expriment les

gran-deurs

_physiques

observables.

Le

_paramètre

X et le

_{quadrivecteur quantité}

de

mouvement-énergie

P forment un

_couple

_des

gran-deurs

_conjuguées.

A P

_correspond

_{quantiquement}

l’

It

ô e A .

n. ,

b

l’opérateur

-- e A,

et

_{l’équation}

de Dirac

s’ob-dx c

tient par une

_simple

considération de la transforma-tion de Lorentz

_qui

_{fait passer P du système} de l’ob-servateur au

_système

_{propre du}

_corpuscule

maté-riel.

Les

_équations

de la

_{mécanique quantique}

relativiste

auxquelles

on

_aboutit,

_{représentent}

une sorte de

linéarisation relativiste des

_équations

de la théorie de

Born,

Jordan et

_Heisenberg.

Les relations d’incertitude

ont une forme relativiste

correcte,

les deux

quadrivec-teurs àq

et à p

sont

_parallèles

dans

_{l’espace-temps,}

et leur

_produit

scalaire est

_égal

à 4h. Le

_principe

de Ritz

_prend

une forme

_{quadrivectorielle,}

et le

quadri-vecteur-matrice

_quantité

de

_{mouvement-énergie}

P est

une matrice

_diagonale.

Tels sont les

_premiers

résultats de la tentative de conciliation de la

_{mécanique quantique}

avec le

prin-cipe

de relativité

_auxquels

nous aboutissons dans le

présent

travail.

Nous tenons à

_exprimer

à M. Louis de

_Broglie,

ainsi

_qu’à

MM. F. Perrin et J.

_Solomon,

toute notre

reconnaissance pour l’intérêt

qu’ils

ont

_pris

à ce

travail.