Master 1 MEEF 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER Probabilit´ es
et Statistiques
4
Th` eme Variables al´ eatoires
L’exercice propos´e au candidat
Quatre chasseurs d’´elite, qui ne ratent jamais leur cible, sont `a l’affˆut aux canards devant un rocher.
Quatre canards se posent sur le rocher. Les chasseurs ne peuvent tirer qu’une seule fois et n’ont pas le temps de rep´erer quel est le chasseur qui tire sur tel ou tel canard. Ils tirent tous en mˆeme temps, chacun choisissant sa victime au hasard. On veut r´epondre `a la question suivante : combien de canards vont survivre en moyenne ? Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de canards survivants. On se propose de d´eterminer la loi de probabilit´e de X, puis de calculer son esp´erance math´ematique.
1. Quelles sont les valeurs prises par X ?
2. On note les canards C1, C2, C3 et C4. `A l’aide d’un arbre, d´eterminer le nombre d’issues associ´ees `a cette exp´erience al´eatoire.
3. D´eterminer la loi de probabilit´e de X.
4. Calculer l’esp´erance math´ematique de X.
5. `A l’aide d’un logiciel de votre choix, simuler 1000 tirages et analyser les r´esultats.
6. On veut g´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent.
(a) On consid`ere le premier canard C1. Quelle est sa probabilit´e de sur- vie ? En d´eduire une autre fa¸con de calculer le nombre moyen de canards survivants.
(b) Appliquer cette m´ethode pour d´eterminer le nombre moyen de sur- vivants si l’on consid`ere la mˆeme situation avec 10 chasseurs et 10 canards.
El´´ ements de r´eponse de trois ´el`eves.
1. Sur mon arbre, je vois que la moyenne est 1+2+2+3+2+3+3+4
2×2×2 = 2, 5 ca- nards tu´es.
2. Sur notre tirage, la moyenne est 21×1+332×2+551×3+96×4
1+2+3+4 = 272, 2. C¸ a doit ˆetre affich´e en pourcentage dans le logiciel.
3. Sur notre tirage, la moyenne vaut 21×1,5+332×2,5+551×3,5+96×4,5
21+332+551+96 = 3, 222.
4. Visiblement le troisi`eme canard est plus choisi que les autres.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analysez la r´eponse propos´ee par les ´el`eves en mettant en ´evidence les comp´etences mises en jeu, la pertinence des d´emarches, l’origine des
´
eventuelles erreurs et des moyens d’y rem´edier.
2. Corriger les questions 5 et 6 comme devant une classe dont vous pr´eciserez le niveau.
3. Proposer trois exercices sur le th`eme des variables al´eatoires.
