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Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : ´Ecrit 1 Ann´ee 2009–2010

Quiz 1 : Vocabulaire

a) Donner des illustrations des principes suivants :

• Tout ´enonc´e simple qui n’est pas dans le cours est trivial ou trivialement faux.

• Tout th´eor`eme qui s’´enonce plus simplement qu’un th´eor`eme du cours est faux.

b) Quelle orthographe est-elle correcte ?

• On a montrer que P

u_n converge.

• On a montr´e que P

u_n converge.

c) Quelle expression est-elle correcte ?

• On a que la s´erieP

u_n converge.

• La s´erie P

u_n converge.

d) Quel lien logique y a-t-il entre les assertions suivantes :

• ∀ε, ∀x, ∃α, |x − x0| ≤ α =⇒ |f(x) − f(x0)| ≤ ε ;

• ∃α, ∀x, ∀ε, |x − x0| ≤ α =⇒ |f(x) − f(x0)| ≤ ε ;

• ∀ε, ∃α, ∀x, |x − x⁰| ≤ α =⇒ |f(x) − f(x⁰)| ≤ ε ?

Laquelle est la d´efinition de la continuit´e uniforme ? Qu’expriment les autres ? e) Ecrire la n´egation de chacune des assertions ci-dessus.

f ) D´eterminerT

n∈N[0,_n+1¹ [, T

n∈N[0,_n+1¹ ], T

n∈N]0,_n+1¹ [,T

n∈N[−_n+1¹ ,_n+1¹ [, etc.

g) Soit f : E → F une fonction. O`u doit vivre B pour que f<sup>−1</sup>(B) ait un sens ? A-t-on besoin que f soit bijective ? Quel sens a f<sup>−1</sup>(B) ? Qu’est-ce que ce f<sup>−1</sup> dans l’expression f<sup>−1</sup>(B) ? O`u doit vivre A pour que f (A) ait un sens ? Qu’est-ce que c’est ?

h) Comparer f (f⁻¹(B)) et B. Quid s’il y a ´egalit´e pour tout B ? i) Comparer f⁻¹(f (A)) et A. Quid s’il y a ´egalit´e pour tout A ?

j) Quand peut-on dire qu’un r´eel est n´egligeable devant un autre ? qu’une fonction est n´egligeable devant une autre ?

k) D´emontrer, pour de vrai, qu’une fonction dont la d´eriv´ee est nulle est constante.

l) Que repr´esente g´eom´etriquement le nombre Rb

af (t) dt ? (Disons que f est continue sur l’intervalle compact [a, b].)

m) Quelle est la d´eriv´ee de x 7→ Rx

0 f (t) dt ? de x 7→ R0

x f (t) dt ? de x 7→ Rx²

−xf (t) dt ? de x 7→R1

0 e^{xf (t)}dt ? de x 7→Rx²

0 e^{xf (t)}dt ?

n) Est-ce que la primitive d’une fonction paire

impaire est impaire paire ?

o) Challenge : ´enoncer correctement la formule de Taylor avec reste int´egral.

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Quiz 2 : Divers

1^◦ Manipulations

a) Dessiner le graphe des fonctions logarithme et exponentielle. Pr´eciser en particulier les intersections avec les axes et les tangentes en ces points.

b) Donner `a vue l’allure du graphe de la fonction f : x 7→ x³− x (placer d’abord les z´eros).

Quelle est l’allure du graphe de x 7→ f(x − a) ? de x 7→ f(x − a) + b ? de x 7→ c f(x − a) + b ? (Ici, a, b et c sont des r´eels, disons strictement positifs pour fixer les id´ees.)

c) R´esoudre l’´equation e^x= 2 dans R, puis dans C.

d) Comparer, pour x ∈ R, 1 et (1 + x)⁻¹. e) Comparer, pour x ∈ R, x^1/3 et x².

f ) Donner `a vue le domaine, le sens de variations de x 7→ 1 ln¹_x + 1.

g) Compl´eter (toujours `a vue) l’´etude pr´ec´edente par les limites aux bords du domaine.

h) Quelle est le domaine de d´efinition de x 7→ x^α ? le sens de variation ? les limites en 0 et en +∞ ? son int´egrale sur [0, 1] converge-t-elle ? et sur [1, +∞[ ? et sur [0, +∞[ ?

i) Donner la valeur de lim_x→0x^αln(x) selon la valeur de a ∈ R.

j) Donner une preuve de ce qui pr´ec`ede.

k) Calculer la d´eriv´ee de x 7→ a^a.

..ax

(a apparaˆıt n fois).

2^◦ Vrai ou faux ?

a) Il y a plus d’entiers que de rationnels ; plus de r´eels que de rationnels.

b) Si le carr´e d’une fonction f² est continue, alors la fonction f est continue.

c) Si le cube d’une fonction f³ est continue, alors la fonction f est continue.

d) Si f est continue sur R, et si |f(x)| < 1 pour tout x ∈ R, alors il existe α < 1 tel que

|f(x)| < α pour tout x ∈ R.

e) Si f est croissante sur R, alors, pour tout x, y ∈ R, on a : x ≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y).

f ) Idem si f est strictement croissante.

g) Si lim

x→+∞= +∞, alors il existe un intervalle de la forme [A, +∞[ sur lequel f est croissante.

h) Si f est d´erivable et strictement monotone sur ]−1, 1], alors f^′ > 0 sur cet intervalle.

i) Si (u_n)_n∈N est d´ecroissante et minor´ee par√

2, alors (u_n)_n∈N converge vers √ 2.

j) Si (un)_n∈N converge vers ℓ ∈ R, alors la suite (|uⁿ− ℓ|)n∈N est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

k) Il existe une bijection continue de [−1, 1] sur ]0, 2[.

3^◦ Pathologie Trouver...

a) une suite (x_n)_n∈N qui n’a pas de limite mais telle que (x_n+1− xn)_n∈N converge ; b) une fonction qui n’est continue en aucun point de R ;

c) une fonction ind´efiniment d´erivable qui vaut 0 sur ]−∞, 0] et 1 sur [1, +∞[.

d) une suite (c_n)_n∈Nqui tend vers 1 et telle que cⁿ_n tend vers 0 ; vers un r´eel fix´e a > 0 ; vers +∞.

e) une s´erie divergente dont le terme g´en´eral est n´egligeable devant 1/n ;

f ) deux suites ´equivalentes dont les s´eries associ´ees soit l’une divergente, l’autre convergente.

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Quiz 3 : Graphes

a) Sur la premi`ere figure, on a repr´esent´e une fonction et sa d´eriv´ee : d´eterminer laquelle est laquelle. Sur les autres figures, on a repr´esent´e une fonction : tracer l’allure de sa primitive nulle en 0.

b) Attribuer `a chaque fonction son graphe : f₁ : x 7→ e^1/x, f₂: x 7→ 2

1 + e^1/x, f₃: x 7→ x + 2

1 + e^1/x, f₄ : x 7→ 2x 1 + e^1/x.

c) Parmi les graphes suivant, lequel est celui de la fonction x 7→ x²sin(x⁻¹) ?

d) Consid´erons la fonction x 7→ x/(x² + 1). D´eterminer de tˆete la parit´e, la valeur de la d´eriv´ee en 0, la limite en l’infini. En d´eduire l’allure du graphe.

e) Mˆemes questions avec f : x 7→ x/ arctan(x). Donner rapidement un d´eveloppement asymptotique de 1/f (x) lorsque x tend vers +∞ `a un ordre arbitraire.

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f ) Consid´erons une homographie x 7→ (ax + b)/(cx + d). Donner l’allure de son graphe en pla¸cant les ´el´ements caract´eristiques (sens de variation, asymptote horizontale, asymptote verticale, valeur en 0).

g) Application : attribuer `a chaque fonction son graphe : f₁ : x 7→ x + 1

2x − 1, f₂ : x 7→ x + 1

2x + 1, f₃ : x 7→ x − 1

2x + 1, f₄ : x 7→ x − 1

−2x − 1.

h) (A savoir par cœur.) Quelle est la pente de la droite passant par deux points (x_A, y_A) et (x_B, y_B) ? Quelle est la pente de la tangente `a la courbe de la fonction d´erivable f au point (x, f (x)) ? Quelle est l’´equation de la droite passant par (x_C, y_C) et de pente p ?

i) Voici le graphe de f : Attribuer `a chaque fonction son graphe :

x 7→ f^′(x) x 7→ −f^′(x) x 7→ f^′(−x) x 7→ −f^′(−x).

j) Etant donn´ee une fonction f : R → R, son graphe Γ dans un rep`ere donn´e, trouver une fonction dont le graphe est :

• le translat´e de Γ par la translation de vecteur (a, b) ;

• le sym´etrique de Γ par rapport au point (3, −1) ;

• le sym´etrique de Γ par rapport `a la droite x = π.

(Suggestion : trouver les coordonn´ees (x^′, y^′) de l’image de (x, y) par la transformation ; ´etablir une ´equivalence du genre :

(x, y) ∈ Γ ⇐⇒ y = f(x) ⇐⇒ · · · (remplacer x, y en fonction de x^′, y^′) · · · ⇐⇒ y^′ = g(x^′).

La fonction g r´epond `a la question.)

k) On se donne une fonction f d´erivable sur [0, π[. Sous quelles conditions peut-on assurer l’existence et l’unicit´e d’une fonction qui prolonge f `a R et qui est

• π-p´eriodique ; • 2π-p´eriodique ;

• paire et 2π-p´eriodique ; • impaire et 2π-p´eriodique.

Dans quels cas la fonction prolong´ee est-elle continue ? d´erivable ? 4