Les Fractions Rationnelles
MPSI Prytan´ee National Militaire—
Pascal Delahaye 2 f´evrier 2018
F =E+ Xn
i=1 αi
X
j=1
λij
(X−ai)j +
Xp
i=1 βj
X
j=1
γijX+δij
(X2+piX+qi)j
DES surR
1 D´efinition du corps des fractions rationnelles
K[X] est un anneau commutatif int`egre, mais ce n’est pas un corps.
A partir de l’anneau Z, nous avons construit le corps Q. De la mˆeme mani`ere, nous pouvons construire `a partir de K[X] le corpsK(X) des fractions rationnelles. Le d´etail de la construction deK(X) n’est pas au programme.
D´efinition 1 : Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle sur Kest not´ee F(X) =P(X)
Q(X) o`u P et Qsont deux polynˆomes de K[X], avecQ6= 0.
On note K(X) l’ensemble des fractions rationnelles.
D´efinition 2 :
On d´efinit l’´egalit´e de deux fractions rationnelles par : P1
Q1
= P2
Q2
⇐⇒P1.Q2=P2.Q1
Si F =P
Q alors P
Q est appel´e un repr´esentant de F.
Exemple 1. X
X2+ 1, 2X
2X2+ 2 et X2
X3+X sont des repr´esentants de la mˆeme fraction.
D´efinition 3 : Repr´esentant irr´eductible SiF ∈K(X) s’´ecritF = P
Q avecP∧Q= 1 alors le couple (P, Q) est unique `a une constante multiplicative non nulle pr`es.
P
Q est alors appel´e un (et pas ”le” ! !) repr´esentant irr´eductible deF.
Exemple 2. SoitF = X2−3X+ 2
X2−1 . AlorsF admet X−2
X+ 1 pour repr´esentant irr´eductible.
Remarque 1. On obtient un repr´esentant irr´eductible de P
Q en divisantP et QparP∧Q.
D´efinition 4 : Les Lois
On d´efinit surK(X) la somme +, le produit×et la loi externe . par les formules suivantes : Soient (F1, F2)∈K(X) telles queF1= P1
Q1
,F2= P2
Q2
et λ∈K
1. F1+F2= P1Q2+P2Q1
Q1Q2
2. F1×F2= P1P2
Q1Q2 3. λ.F1 =λ.P1
Q1
Remarque 2.
On v´erifie simplement que les r´esultats de ces 3 op´erations sont ind´ependants des r´epr´esentants choisis.
Th´eor`eme 1 : Structure
Muni des lois pr´ec´edentes, K(X), +, ×
est un corps.
Preuve 1 : Il faut red´emontrer une `a une toutes les propri´et´es qui d´efinissent la structure de Corps.
Remarque 3.
ToutP ∈K[X] s’indentifie `a la fraction P
1 et on peut donc consid´erer queK[X]⊂K(X).
D´efinition 5 : Degr´e d’une fraction rationnelle Soit une fraction rationnelle F= P
Q ∈K(X). On appelle degr´e deF, l’´el´ement deZd´efini par : degF= degP−degQ
LorsqueF 6= 0, le degr´e deF est un entier relatif.
LorsqueF = 0, degF =−∞.
Remarque 4. La fonction ”degr´e” est bien ind´ependante du repr´esentant choisi ! Exemple 3. SiF = X2
X4+ 1 et G= X2
X−1 alors deg(F) =−2 et deg(G) = 1.
ATTENTION
Une fraction rationnelle de degr´e positif n’est pas forc´ement un polynˆome (cf la fractionGci-dessus).
Proposition 2 : Propri´et´es du degr´e d’une fraction rationnelle On a les mˆemes propri´et´es que pour le degr´e des polynˆomes :
1. deg(F1+F2)≤max(degF1,degF2) 2. deg(F1F2) = degF1+ degF2
3. deg(λ.F) = deg(F) siλ6= 0 et deg(λ.F) =−∞siλ= 0.
Preuve 2 : Il suffit de faire les calculs ...
Remarque 5. Si deg(F1)6= deg(F2), alors on a deg(F1+F2) = max(degF1,degF2).
Proposition 3 : Soitn∈Z.
L’ensemble Kn(X) des fractions rationnelles de degr´e inf´erieur ou ´egal `anest un sev de K(X).
Preuve 3 : On utilise la m´ethode usuelle pour d´emontrer qu’un ensemble est un sev.
Remarque 6. En revanche, commeKn(X) n’est pas stable par×, ce n’est pas une sous-alg`ebre deK(X).
D´efinition 6 : Z´eros, pˆoles d’une fraction rationnelle SoitF = P
Q∈K(X) o`u P
Q est irr´eductible . Les racines de
P s’appellent lesz´eros deF Qs’appellent lespˆoles deF .
Remarque 7.
1. La d´efinition des
z´eros
pˆoles d’une fraction rationnelle est ind´ependante du repr´esentant irr´eductible choisi.
2. Un pˆole (resp. z´ero)a∈Kde la fractionF = P
Q est dit demultiplicit´e k∈N, lorsqueaest une racine d’ordre de multiplicit´ekdu polynˆomeQ(resp.P).
Exemple 4. SoitF = (X−1)2 (X2+ 1)(X+ 1).
1. Dans R(X), 1 est le seul z´ero deF (d’ordre 2) et -1 est le seul pˆole deF. 2. Dans C(X), 1 est le seul z´ero deF (d’ordre 2) et -1, i et -i sont les pˆoles deF.
D´efinition 7 : D´eriv´ee d’une fraction rationnelle SoitF = P
Q∈K(X).
La fraction rationnelle d´eriv´ee deF est alors d´efinie par : F′= P′Q−P Q′ Q2
D´efinition 8 : fonctions rationnelles SoitF = P
Q∈K(X) o`u P
Q est irr´eductible etP est l’ensemble des pˆoles de F.
Lafonction rationnelle Fe associ´ee `aF est d´efinie par : Fe : K\ P −→ K x 7→ Pe(x)
Q(x)e .
On pourra noterK(x) l’ensemble des fonctions rationnelles.
Remarque 8. Comme pour les polynˆomes, la fonction rationnelleFe sera plus simplement not´eeF.
2 D´ecomposition en ´el´ements simples - La th´eorie
Th´eor`eme Fondamental 4 : Formule g´en´erale SoitF =P
Q ∈K(X) irr´eductible telle queQadmet pour d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dans K[X] : Q=
Yn
k=1
Pkαk
La fractionF s’´ecrit alors de fa¸conunique sous la forme : F=E+
Q11
P1
+Q12
P12 +· · ·+Q1α1
P1α1
+· · ·+ Qn1
Pn
+Qn2
Pn2 +· · ·+Qnαn
Pnαn
avec :
1. E le quotient de la division euclidienne deP parQappel´ee lapartie enti`eredeF. 2. Qij∈K[X] avec degQij<degPi pour touti∈[[1, n]] etj∈[[1, αi]]
Cette relation s’appellela D´ecomposition en El´ements Simples (DES) deF surK.
Preuve 4 : Admise.
Remarque 9.
1. La fraction Fb=F−E est appel´ee la partie fractionnaire deF.
2. Les termes apparaissant dans la d´ecomposition pr´ec´edente de F sont appel´es des´el´ements simples.
Les ´el´ements simples dansK(X) sont donc :
(a) Les polynˆomes de K[X].
(b) Les fractions rationnelles de la forme Q
Pα avecP ∈K[X] irr´eductible,
Q∈K[X]
degQ <degP etα∈N∗. DES sur R et surC:
1. La DES surCest de la forme : F =E+ Xn
i=1 αi
X
j=1
λij
(X−ai)j
2. La DES surRest de la forme : F =E+ Xn
i=1 αi
X
j=1
λij
(X−ai)j +
Xp
i=1 βj
X
j=1
γijX+δij
(X2+piX+qi)j
Exemple 5. (∗) Donner la forme de la DES deF= X11−X5+ 1
(X2+X+ 1)3(X−2)3 surCet sur R.
Python
La d´ecomposition en ´el´ements simples de F(X) sous Python est donn´ee par les instructions :
>>> from sympy import var, apart
>>> var(’X’)
>>> apart(F(X),X)
Proposition 5 : Soitn∈N∗et P ∈Kn[X] scind´e
de racinesa1, . . . , an
d’ordre de multiplicit´eα1, . . . , αn . La d´ecomposition en ´el´ements simples de P′
P est alors : P′
P = Xn
k=1
αk
X−ak
Preuve 5 : Il suffit de faire le calcul ...
Exercice : 1
(∗∗) SoitP ∈C[X] de degr´en∈N∗ et de racinesx1, . . .xn distinctes ou non. Soita∈Ctel queP(a)6= 0.
Calculer `a l’aide des donn´ees, les sommes : 1.
Xn
i=1
1 a−xi
2.
Xn
i=1
xi
a−xi
3.
Xn
i=1
1
(a−xi)2 4.
Xn
i=1
λ.xi+µ
(a−xi)2 (λ6= 0)
Exercice : 2
(∗∗) SoitP ∈R[X] n’ayant que des racines r´eelles.
Montrer que pour toutx∈R, on aP′2(x)−P(x)P′′(x)≥0.
3 D´ecomposition en El´ements Simples - La pratique
M´ethode g´en´erale de d´ecomposition en ´el´ements simples 1. On commence par donner la forme g´en´erale de la d´ecomposition en ´el´ements simples.
2. A l’aide des techniques vues au paragraphe suivant, on d´etermine dans l’ordre :
— la partie enti`ereE, puis la partie fractionnaireFb.
— les coefficients associ´ees aux pˆoles simples
— les coefficients associ´es aux pˆoles multiples
— les coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2
Exemple 6. Ainsi, on pourra directement ´ecrire que : X4
(X−1)(X−2)2 =aX+b+ c
X−1 + d
X−2 + e (X−2)2 et rechercher les coefficientsa,b,c,dete`a l’aide des techniques suivantes...
3.1 Recherche de la partie enti`ere E
On commence par regarder si degF <0 car dans ce cas, on aE= 0.
Sinon, on d´eterminera la partie enti`ereE :
1. Soit directement en effectuant la division euclidienne de P parQ
2. Soit en ´ecrivantE sous sa forme g´en´erale en remarquant que degE= deg(F).
On trouve alors les coefficients de E en comparant les ´equivalents des fonctions rationnelles associ´ees en +∞
puis en recommen¸cant l’op´eration apr`es avoir soustrait l’´equivalent obtenu.
Exemple 7. (∗) D´eterminer par deux m´ethodes diff´erentes la partie enti`ere de la fractionF = X4
(X−1)(X−2)2.
3.2 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles simples
NotonsF =PQ irr´eductible avecaun pˆole simple.
Nous pouvons alors ´ecrire au choix : F = P
(X−a)Qb avecQ(a)b 6= 0 ou F = P
(X−a)Q′(a) + (X−a)2.T en appliquant Taylor On en d´eduit alors les deux formules suivantes :
Recherche de la partie polaire λ
X−a associ´ee `a un pˆole simple a Pour trouver le scalaireλ, on peut utiliser l’une des deux formules suivantes :
λ=P(a)
Q(a)b o`u Q= (X−a) ˆQ λ= P(a)
Q′(a) lorsqueQn’est pas factoris´e
Exemple 8. (∗) D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes surC. 1. F(X) = X−4
(X−1)(X+ 1)X 2. G(X) = X4+X+ 1
X(X−1)(X−2) 3. H(X) = Xn−1
Xn−1 (n∈N∗)
3.3 Recherche des coefficients associ´es aux pˆoles multiples
Supposons quea∈Ksoit un pˆole d’ordren≥2.
La DES est alors de la forme :
F =E+ a1
X−a+ a2
(X−a)2 +· · ·+ an
(X−a)n + ˆF On souhaite d´eterminer les valeurs deak.
3.3.1 M´ethodes G´en´erales
M´ethode G´en´erale 1 : En s’inspirant du cas des pˆoles simples
1. On multiplie la relation obtenu par la DES par (X−a)n puis on prendx=a.
On obtient alors la valeur dean. 2. En soustrayant an
(X−a)n de part et d’autre de la relation, on diminue de 1 l’ordre du pˆole a.
3. On peut alors r´e-it´erer l’algorithme pr´ec´edent.
Exemple 9. (∗) D´ecomposer en ´el´ements simples sur Rla fractionF = X5+ 1 (X−3)(X−1)2. Exercice : 3
(∗) D´ecomposer dansC(X) les fractions rationnelles suivantes : 1. I= X2−1
X(X−i)3 2. J = 2X2+ 5
(X2−1)3
M´ethode G´en´erale 2 :avec un D´eveloppement Asymptotique 1. CommeF =E+ a1
X−a+ a2
(X−a)2 +· · ·+ an
(X−a)n + ˆF, alors au voisinage deanous avons : F(x) = an
(x−a)n +· · ·+ a2
(x−a)2+ a1
x−a+o( 1 x−a) Ce qui est un D´eveloppement Asymptotique deF(x) au voisinage de 1.
2. On constate alors, d’apr`es l’unicit´e du DA, qu’il suffit de d´eterminer un DA deF(x) au voisinage de 1 pour obtenir les valeurs dea1, . . .,an
Exemple 10. (∗) Appliquer cette m´ethode pour obtenir la DES deF = X2+ 1 X(X−1)3 Exercice : 4
(∗ ∗ ∗) D´eterminer le DES surR[X] deF = 1
Xm(1−X)n avecm, n∈N∗. 3.3.2 Autres m´ethodes classiques
Les m´ethodes suivantes permettent parfois de gagner beaucoup de temps dans les calculs des coefficients : 1. M´ethode 1 :
SiF est paire o`u impaire, on peut trouver des relations entre les coefficients en consid´erantFb(−X).
Exemple :F = X X4+ 1 2. M´ethode 2 :
Si on cherche une DES dansC(X) deF ∈R(X), on peut trouver des relations entre les coefficients de la DES dansC, en consid´erant la fraction conjugu´ee de Fb.
Il est inutile d’utiliser cette m´ethode en compl´ement de la m´ethode 1...
Exemple :F = X+ 1 (X2+ 1)2 3. M´ethode 3 :
On peut multiplier la DES deFb parX et faire tendrexvers∞dans la fonction rationnelle associ´ee.
4. M´ethode 4 :
On peut facilement obtenir des relations v´erifi´ees par les coefficients en choisissant des valeurs simples de x (diff´erentes des valeurs des pˆoles) dans les fractions rationnelles associ´ees.
5. M´ethode 5 :
On peut proc´eder par identification des coefficients.
Cette m´ethode est d´econseill´ee car elle aboutit `a des syst`emes longs `a r´esoudre...
6. M´ethode 6 :
On peut proc´eder `a une d´ecomposition intuitive du num´erateur.
Exemple :F =X3−X2+ 1
(X2+ 1)3 dansR(X).
Exercice : 5
(∗) D´ecomposerF =X4+X2+ 1
X2(X2−1) en ´el´ements simples.
Exercice : 6
(∗∗) Soita∈R∗ etn∈N∗.
D´ecomposer surCla fraction rationnelle suivante :F = 1 (X2−a2)n.
Aide : on pensera a utiliser la parit´e et on effectuera un d´eveloppement asymptotique deF au voisinage dea.
3.3.3 Autres m´ethodes possibles
Certaines m´ethodes, plus anecdotiques, peuvent cependant s’av´erer tr`es efficaces : 1. M´ethode 7 :
Lorsqu’il s’agit de d´ecomposer en ´el´ements simples A
(X−a)k avec
degA≥1
A∈K[X] , on peut d´ecomposer A en utilisant la formule de Taylor :A=a0+a1(X−a) +· · ·+an(X−a)n.
Exemple :F = X2+ 1
(X−1)3 (voir aussi la m´ethode 6)
3.4 Recherche des coefficients associ´es aux polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2
Bien entendu, ceci ne concerne que les DES dansR(X).
Plusieurs m´ethodes peuvent ˆetre envisag´ees.
On peut :
1. M´ethode 1 :
D´eterminerγX+δde l’´el´ement simple γX+δ
(X2+pX+q)n (n´etant la plus grande des puissances) en appliquant la formule :
(z2+pz+q)nF(z) =γz+δ o`u z est racine deX2+pX+q 2. M´ethode 2 :
Proc´eder par identification (`a ´eviter si les calculs sont trop longs).
Pour cela, on exprime la fraction et sa DES sous la mˆeme forme et on identifie les coefficients.
3. M´ethode 3 :
Quand le facteur irr´eductibleX2+pX+qest uniquement `a la puissance 1, on peut commencer par effectuer une DES surC, puis regrouper les ´el´ements simples complexes.
Attention, cette m´ethode ne marche plus si la puissance vautn≥2.
Exemple :F = X2
(X+ 2)(X2+ 1) et contre-exemple :G= X2−1 (X2+ 1)2
4. M´ethode 4 :
Prendre des valeurs dexparticuli`eres diff´erentes des pˆoles.
On obtient ainsi des relations entre les coefficients.
5. M´ethode 5 :
Prendre la limite dexkF(x) en +∞et obtenir ainsi une nouvelle relation portant sur les coefficients de la DES.
Exercice : 7
(∗) D´ecomposer en ´el´ements simples sur R(X) les fractions rationnelles suivantes : 1. F= 1
1 +X4 2. F = X3−1
X(X2+ 1)2 3. F= 1
(X2+ 2X+ 2)(X2+ 2X+ 5)
Remarque 10. La d´ecomposition en ´el´ements simples sert en particulier dans le calcul de primitives mais trouve de nombreuses autres applications comme nous le verrons dans les exercices de TD.
4 Connaissez-vous votre cours ?
Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :
Questions R´eponses attendues
1. De quel degr´e est la fraction rationnelleF = X(X2−1)
X5+ 3X−2 degF =−2
2. Quelle diff´erence faites-vous entre racines et pˆoles d’un polynˆome ? cf cours
3. Quel est le degr´e de la partie enti`ere de la fractionF= X7−X2
1 +X3 +X(X2+ 2)
X−1 ? degE= 4
4. Quelle est la premi`ere ´etape de la DES d’une fraction ? Div. Euclidienne
5. Comment obtenir la DES de A
(X−a)n o`u degA < n? On peut appliquer
Taylor `a Aena.
6. Quelle est la forme de la DES deF= X3+X−1
(X−1)2(X+ 2) b+(Xc
−1)2+
d
(X−1)+(X+2)e
7. Comment gagner du temps dans la DES dansCdeF = X3
1 +X2 F impaire
8. Rappeler la DES de P′
P lorsque P est scind´e. cf cours
9. Donner la DES dansRdeF = 3
(X−2)2. C’est un ´elt simple !
10. Valeur du coef associ´e au pˆole simpleades parties fractionnairesF = P
Q? α= [(X−a)F(X)](a)
α= P(a) Q′(a)
11. Donner le coefficient associ´e au pˆoleωk =e2ikπn deF = Xn−1
Xn−1. αk = 1
n
12. Rappeler la m´ethode pour trouver la DES de la partie polaire associ´ee `a un pˆole d’ordre 2. cf cours
13. Rappeler la m´ethode pour trouver la DES de la partie polaire associ´ee `a un pˆole d’ordre 3. cf cours
14. Que doit-on penser `a regarder avant d’effectuer la DES d’une partie fractionnaire ? La parit´e !
15. Quelles sont les diff´erentes techniques pour des relations entre coef ? Utiliser la parit´e UtiliserF ∈R[X]
Prendre une valeur Limite en ∞
5 Exercices de TD
Codage :
1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.
2. Le nombre d’´etoiles∗ ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.
I] Divers
Exercice de TD : 1
(∗∗) Montrer qu’il n’existe pas de fractionF deC(X) telle queF′= 1 X.
Aide : On pourra proc´eder par l’absurde en examinant les termes dominants ou en utilisant Gauss
II] D´ecompositions en ´el´ements simples
Les techniques de d´ecomposition en ´el´ements simples ont ´et´e vues en d´etail dans le cours.
1. On commence toujours par ´etudier le degr´e de la fraction afin de rechercher la partie enti`ere ´eventuelle (souvent par division euclidienne).
2. On d´etermine alors la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles du d´enominateur afin de donner la forme g´en´erale de la DES.
3. On recherche alors les coefficients associ´es aux diff´erents pˆoles.
(a) en utilisant l’une des deux formules du cours dans le cas des pˆoles simples
(b) en utilisant les ”ruses” du cours pour d´eterminer des relations entre les coefficients cherch´es
(c) en effectuant l’une des deux m´ethodes g´en´erales (DA ou Produit par (X−a)n) dans le cas des pˆoles d’ordre multiple
Exercice de TD : 2
(♥) D´ecomposer en ´el´ements simples les fractions rationnelles suivantes :
1. F(X) = 1
(X2−4)(X−1)4 dansR[X] 2. F(X) = X
X3−1 dansR[X]
Exercice de TD : 3 (♥♥♥) SoitF =U
V avecaun pˆole double deF.
Exprimer les coefficients de la d´ecomposition en ´el´ements simples associ´es `a ce pˆole double uniquement en fonction de U etV et de leur d´eriv´ee !
Aide : pensez `a appliquer la formule de Tayor `aV ena.
III] Applications de la d´ecomposition en ´el´ements simples
Les DES peuvent servir en particulier `a :
1. calculer l’int´egrale ou une primitive d’une fonction rationnelle 2. calculer des sommes en se ramenant `a des sommes t´elescopiques 3. calculer des d´eriv´ees de fonctions rationnelles
Exercice de TD : 4
(∗) Exprimer la d´eriv´ee d’ordrendeF = 1 X(X2+ 1) Exercice de TD : 5
(∗)
1. D´ecomposer la fraction F= 1
(X−1)3(X+ 1)3 en ´el´ements simples.
2. En d´eduire deux polynˆomesU et V tels que (X+ 1)3U+ (X−1)3V = 1 Exercice de TD : 6
(♥) Calculer l’int´egrale suivante : Z 2
1
x4−2 x(x+ 1)2 dx.
Exercice de TD : 7
(♥) D´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eralSn= Xn
k=1
1 k(k+ 1)(k+ 2) Exercice de TD : 8
(♥) Soitf la fonction arctan.
D´ecomposerf′(x) dansC(X), puis utiliser cette d´ecomposition pour calculer explicitementf(n)(x).
En d´eduire les z´eros def(n). Exercice de TD : 9
(♥) Soitn∈N∗,p∈[[0, n−1]] et z1, . . ., zn des complexes non nuls deux `a deux distincts. SoitQ= Yn
k=1
(X−zk).
1. D´eterminer la d´ecomposition en ´el´ements simples de Xp Q . 2. En d´eduire la valeur de
Xn
k=1
zkp Q′(zk) Exercice de TD : 10
(∗∗) Soit un polynˆomeP de degr´en`a coefficients r´eels admettantnracines r´eelles distinctes.
1. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelleF =P′ P. 2. En d´eduire que∀x∈R,P′′(x)P(x)≤P′(x)2.
Exercice de TD : 11
(∗ ∗ ∗) SoitP ∈R[X] scind´e `a racines simples et aun nombre r´eel non nul.
Montrer queP′+aP est aussi scind´e surR`a racines simples.
Aide : vous pourrez ´etudier la fonctionx7→ P′(x) P(x)
Exercice de TD : 12
(∗∗) SoitP ∈C[X], de degr´en≥2 `a racines simples :x1, . . .xn non nulles.
Montrer que : Xn
i=1
1
xi.P′(xi)= −1 P(0). Exercice de TD : 13
(♥♥) SoitP ∈C[X], de degr´en≥2 `a racines simples :x1, . . .xn et Q∈C[X] tel que degQ≤n−2.
Calculer : Xn
k=1
Q(xk) P′(xk) Exercice de TD : 14
(∗) Soienta,b cdes complexes etd= a+b+c
2 . On supposea,b,cet ddistrincts.
1. Montrer que pour tout polynˆomePdeC[X] de degr´e≤2 on a P
(X−a)(X−b)(X−c) =X P(a)
(a−b)(a−c). 1 X−a 2. En d´eduire la valeur deX a2
(a−b)(a−c)(b+c−a) Exercice de TD : 15
(∗∗) Calculer X4
k=1
z3k+ 2
(zk2−1)2 o`uz1, . . ., z4sont les racines complexes deP =X4−X3+ 1.
On pensera `a utiliser la DES deP′/P. Exercice de TD : 16
(∗∗) Soitn∈N∗ etPn=
n−1
X
k=0
(k+ 1)Xk.
Montrer quePn admet une racine dansQ\]1, 2].
On pensera `a transformer l’expression dePn et on pourra envisager de tester la valeur x0= 1 +n1.
