Contrôle des perturbations aéroacoustiques par impédances de parois : application à un modèle de matériaux poreux

HAL Id: tel-00136437

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00136437

Submitted on 14 Mar 2007

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

impédances de parois : application à un modèle de

matériaux poreux

Yoann Ventribout

To cite this version:

Yoann Ventribout. Contrôle des perturbations aéroacoustiques par impédances de parois :

applica-tion à un modèle de matériaux poreux. Modélisaapplica-tion et simulaapplica-tion. Ecole naapplica-tionale superieure de

l’aeronautique et de l’espace, 2006. Français. �tel-00136437�

THESE presentee en vuede l'obtention du titrede DOCTEUR de L' 

ECOLE NATIONALE SUP



ERIEURE

DE L'A



ERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

SP  ECIALIT  E : MATH 

EMATIQUES APPLIQU

 EES

par

Yoann VENTRIBOUT

Contr^ole des perturbations aeroa oustiques par impedan es de

parois : appli ation a un modele de materiaux poreux

Soutenue le20 Janvier 2006 devant la ommissiond'examen ompose deMM :

P. DEGOND Examinateur

P. DELORME Examinateur

T. HA-DUONG Rapporteur

P.-A. MAZET Dire teur de these

S. PIPERNO Rapporteur

Mespremiersremer iementss'adressentavanttoutaPierre-AlainMazet.Deparsadisponibilite,sa

pedagogie, etsapassionpourlare her heenmathematiquesappliquees, ilm'apermisd'a omplir

e travail.Nosliensvont bienau-deladelarelation"professeur-do torant".Jeremer ieegalement

Jean-Pierre Raymond pour son soutien, son intuition, et les eorts reellement importants qu'il a

onsenti a fournirpourlarele ture desdierentes propositions d'arti leset de rapports que je lui

aitransmis au oursde ma these.

Je sais gre a messieurs Daniel Kalfon et Fran ois Rogier de m'avoir a euilliet en ourage au

seinde l'unite M2SN del'ONERA-CERTqu'ils ont su essivement dirigee.

Bienentendu,lasoutenan e dethesen'auraitpaseu lieusiSerge PipernoetTuongHa-Duong

n'avaient pasa epte derapporter etravail.Leursremarquesparti ulierement judi ieuseset

per-tinentesmettent enlumieretoutel'attentionqu'ilsontbienvouluportera emanus rit.J'exprime



egalement magratitudea PierreDegond pouravoira epte departi iperau jury.

J'adresse egalement toute ma sympathie et ma re onnaissan e a Philippe Delorme (Hi! I'm

fren h) et Christophe Peyret, notamment pour leur ollaboration pre ieuse au sein du projet

OTARI.

Jene sauraisen au un as oublierles thesards etstagiaires que j'ai roisesau M2SN (etdont

ertains sont devenus des amis). La liste est longue, et mes pensees vont tout d'abord vers eux

quiont ollaborede presou deloinauxtravauxde ettethese,a savoirVin ent,Florian,Laurent,

Emmanuel, Celine. Mais d'autres ont ete de pre ieux re onforts dans les momentsdiÆ iles (si si,

il yen a) ommeStephane, Geraldineou Eri .

Bienentendu,jeremer iemesparentsquionttoujoursfaitensortequejepuisse ontinuermes



etudes,ainsiquepourm'avoiren ourage dansdes hoixparfoisdiÆ ilesaassumer.Enn,thelast

but notthe least, ma dul inee Veronique a sume redonner le sur ro^t de motivation dont j'avais

grandement besoin dans les moments ou je ne essais de repeter que je n'y arriverais pas, que le

travail de these n'etaitpas faitpourmoi (d'ailleurs, ertainsdirontapresavoir lu ette thesequ'il

n'etaitpas fait pourmoi!!!). Elle peutrevendiquerune part importante dansl'aboutissement de

e travail.

Table des matieres iv

Liste des gures vii

Introdu tion 1

1 Resolution des equations d'Euler linearisees barotropes 11

1.1 Presentationde l'aeroa oustique . . . 11

1.2 Lesequations d'Eulerlineariseesaupremier ordre . . . 13

1.2.1 Linearisation entropiquedesequations d'Euler . . . 14

1.2.2 Perturbationsbarotropes . . . 16

1.3 Existen e etuni ite du systeme instationnaire pose ave des onditions auxlimites admissibles . . . 18

1.3.1 Conditionsaux limitesadmissiblesalgebriques . . . 19

1.3.2 Relevement des onditionsauxlimitesadmissibles . . . 25

2 Approximation par unemethode Galerkine dis ontinue 31 2.1 Formulation variationnelledu probleme dire t . . . 31

2.2 Dis retisation duproblemedire t . . . 33

2.3 S hema volumes nisen espa e etEulerexpli iteen temps;stabilite onditionnelle en normeL 2 . . . 35

2.4 Conditionsde stabilite pourdes approximationsd'ordrespluseleves . . . 38

2.5 Validationnumeriquede lamethode d'approximation . . . 45

2.5.1 Modesguidesbidimensionnelsen presen e d'une oulement uniforme . . . 45

2.6 Mise en eviden e d'instabilites d'e oulement, en resolution volumes nisen espa e etEulerexpli iteen temps . . . 51

2.6.1 Denitionsdesproblemesharmoniques. . . 52

2.6.2 DiÆ ultes inherentesaux problemesd'aeroa oustique . . . 55

2.6.3 Mise en eviden e numerique d'instabilitesd'e oulements . . . 56

3 CPML pour l'aeroa oustique 67 3.1 Etuded'uneformulation"PML"desequationstridimensionnellesa oeÆ ients onstants 69 3.2 Etudedu ara tere bien pose duproblemetemporel . . . 74

3.2.1 Un premiermodelePML . . . 74

3.2.2 Un se ond modele PML :les CPML . . . 78

3.3 Approximationdes modelesPML . . . 79

3.3.1 S hema d'approximation pourle premiermodele PML . . . 79

3.4 Validationnumeriquedu modele CPML pourl'aeroa oustique . . . 81

3.4.1 Cou hes PML suivant ladire tion x,resolutionvolumesnisdansledomaine 81 3.4.2 Cou hes PML suivant les dire tions x;y, resolution volumes nis dans le domaine . . . 81

3.4.3 Cou hesPMLbidimensionnelles,resolutionGalerkinedis ontinueP1dansle domaine . . . 82

3.5 Con lusion . . . 96

4 Methodologiederesolutiondesproblemesinverses;Modeledemateriauporeux 97 4.1 Etude d'un asmonodimensionnel . . . 100

4.2 Methodologie de resolution duproblemed'optimisation . . . 103

4.2.1 Cal uldela derivee delafon tionnellea l'aide duproblemeadjoint . . . 104

4.2.2 L'adjoint du probleme dis retise . . . 108

4.3 Cara terisation physiquede lafon tionnelleobje tif etde lare exion a oustique . . 110

4.3.1 Fon tionnellesobje tif . . . 110

4.3.2 Modele de re exion a oustiquepourmateriaux poreux . . . 111

4.4 Etude de sensibiliteet hoixde l'algorithmed'optimisation . . . 120

5 Resultats numeriques : Gains et identi ations 129 5.1 Contr^oleoptimal:redu tiondu bruit . . . 130

5.1.1 Sour epon tuelleetparametres reels. . . 131

5.1.2 Sour esmodalesete oulement porteuruniforme . . . 133

5.2 Resultats d'identi ations . . . 145

5.2.1 Identi ationde \trous"dansles paroisinternes . . . 145

5.2.2 Identi ationd'unmateriauporeux . . . 147

1 Le domaine d'etude.

est unouvertmesurable de de mesure nonnulle.. . . 2

2.1 Elementde referen e bidimensionnel(trianglere tangle) etsesfon tions de bases. . 42

2.2 Elementde referen e monodimensionnel.. . . 44

2.3 Le guide plan.. . . 46

2.4 Maillage bidimensionneld'un anal rigide. . . 48

2.5 Comparaisondespartiesreellesetimaginairesdelavariableuentrelasolutionexa te

etlasolutionobtenue numeriquement. . . 49

2.6 Comparaisondespartiesreellesetimaginairesdelavariableventrelasolutionexa te

etlasolutionobtenue numeriquement. . . 50

2.7 Comparaisondespartiesreellesetimaginairesdelavariableentrelasolutionexa te

etlasolutionobtenue numeriquement. . . 50

2.8 Propagations aeroa oustiques sans e oulement sur unegeometrie tridimensionnelle

representative d'un Fal on. . . 51

2.9 Instabilitesde type Kelvin-Helmholtz. . . 56

2.10 Maillage re tangulairedu anal bidimensionnel. . . 57

2.11 Representationduproldevitesse hoisipourune oulement onve tivement instable. 58

2.12 Prols de la solutionpourune ou he de melanges sans retour, ave ex itation par

une onditioninitiale. . . 59

2.13 Prols de la solutionpourune ou he de melanges sans retour, ave ex itation par

un se ond membresinusodal. . . 60

2.14 Representation duprolde vitesse hoisipourune oulement stable. . . 61

2.15 Prolsdelasolutionpourune oulementparabolique,ave ex itationparune

ondi-tion initiale. . . 62

2.16 Prolsdelasolutionpourune oulement parabolique,ave ex itationparunse ond

membresinusodal. . . 63

2.17 Maillage onsidere pourlamiseen eviden e d'une instabiliteabsolue.. . . 64

2.18 Prolde vitesses pourun e oulement absolument instable. . . 64

2.19 Prols de la solutionpour une ou he de melanges ave retour, ave ex itation par

une onditioninitiale. . . 65

2.20 Mise eneviden e d'uneinstabilite onve tive. . . 66

3.1 Comparaisondespartiesreellesetimaginairesentrelasolutionexa teetlasolution

obtenue numeriquement,pourn=2. . . 67

3.2 Prolsdepourune oulementporteursans onve tionave onditionsdeglissement

sur lesbordsverti aux et ou hesPML sur les bords horizontaux. . . 84

3.4 Prols de  pour un e oulement porteur ave onve tion onstante, onditions de

glissementsurlesbordsverti auxet ou hesPMLsurlesbordshorizontaux,obtenus

ave le premiermodelePML. . . 85

3.5 Prols de v pour un e oulement porteur ave onve tion onstante, onditions de

glissementsurlesbordsverti auxet ou hesPMLsurlesbordshorizontaux,obtenus

ave le premiermodelePML. . . 85

3.6 Prols de  pour un e oulement porteur ave onve tion onstante, onditions de

glissementsurlesbordsverti auxet ou hesPMLsurlesbordshorizontaux,obtenus

ave le modeleCPML. . . 86

3.7 Prols de v pour un e oulement porteur ave onve tion onstante, onditions de

glissementsurlesbordsverti auxet ou hesPMLsurlesbordshorizontaux,obtenus

ave le modeleCPML. . . 86

3.8 Prols de  pour un e oulement porteur nul, et ou hes PML 2D, obtenus ave le

premiermodelePML. . . 87

3.9 Prols de v pour un e oulement porteur nul, et ou hes PML 2D, obtenus ave le

premiermodelePML. . . 87

3.10 Prols de  pour un e oulement porteur nul, et ou hes PML 2D, obtenus ave le

modeleCPML. . . 88

3.11 Prols de v pour un e oulement porteur nul, et ou hes PML 2D, obtenus ave le

modeleCPML. . . 88

3.12 Prolsdepourune oulementa onve tion onstante,et ou hesPML2D,obtenus

ave le premiermodelePML. . . 89

3.13 Prolsdevpourune oulementa onve tion onstante,et ou hesPML2D,obtenus

ave le premiermodelePML. . . 89

3.14 Prolsdepourune oulementa onve tion onstante,et ou hesPML2D,obtenus

ave le modeleCPML. . . 90

3.15 Prolsdevpourune oulementa onve tion onstante,et ou hesPML2D,obtenus

ave le modeleCPML. . . 90

3.16 Prols de u pour un e oulement a onve tion onstante perturbe par une sour e

rotationnelle,pourdes ou hes PML 2D.. . . 91

3.17 Prols de v pour un e oulement a onve tion onstante perturbe par une sour e

rotationnelle,pourdes ou hes PML 2D.. . . 91

3.18 Prols de u pour un e oulement a onve tion onstante perturbe par une sour e

rotationnelle,pourdes ou hes CPML 2D.. . . 92

3.19 Prols de v pour un e oulement a onve tion onstante perturbe par une sour e

rotationnelle,pourdes ou hes CPML 2D.. . . 92

3.20 Comparaison des parties reelles et imaginaires entre la solutionexa te, la solution

ave les CPML et la solution ave les onditions aux limites non re e hissantes

appro hees, pour des sour es modalesde se onde espe e, en un point pro he de la

sour e. . . 93

3.21 Comparaison des parties reelles et imaginaires entre la solutionexa te, la solution

ave les CPML et la solution ave les onditions aux limites non re e hissantes

appro hees, pourle mode nul, en un pointpro he de lasour e. . . 93

3.22 Maillage de lazone PMLbidimensionnellepouruneprised'airrealiste. . . 94

3.23 Maillage du domainede al uld'une prised'air realiste. . . 94

3.24 Evolutiondelapartiereelledeau oursdutempsassezlongpourobtenirleregime

4.1 Le domaine d'etude. . . 97

4.2 Exemplemonodimensionnel . . . 100

4.3 Materiau poreuxabsorbant rev^etant uneparoirigide.. . . 113

4.4 Module de la re exion a oustique en fon tion de l'epaisseur et de la porosite du materiau, pour= 0 =0:1mmet2 frequen es dierentes. . . 116

4.5 Moduledelare exiona oustiquepourunefrequen edonnee pour=0:2mm ; 0 = 0:1mm agau he, etpour=0:2mm ; 0 =0:3mm a droite. . . 116

4.6 Domaine des admissiblespourf =1000 Hz. . . 118

4.7 Domaine des admissiblespourf =3000 Hz. . . 118

4.8 Domaine des admissiblespourf =5000 Hz. . . 119

4.9 Maillage bidimensionnelrepresentatif d'uneprised'air. . . 120

4.10 Analogie monodimensionnellepourunesour einvariantepartanslation. . . 121

4.11 Fon tionnelles obje tif. . . 122

4.12 Fon tionnelles obje tif. . . 123

4.13 Fon tionnelleJ() pourdierentes longueurs ara teristiques. . . 125

5.1 Pre isiondu maillage representatif d'une prised'airbidimensionnelle. . . 130

5.2 Distributiondes parametres de oeÆ ients de re exion a oustique a valeurs reelles sur lesparois internesdu analpourn=40.. . . 132

5.3 L'observatoiretronque esten sortie de analen rouge. . . 134

5.4 R e( );n=2;M =0,paroisrigides. . . 135 5.5 R e( );n=0;M =0:3, paroisrigides. . . 136 5.6 Dimension=20, n=0;M =0,f=1000Hz.. . . 141 5.7 Dimension=20, n=2;M =0,f=1000Hz.. . . 141 5.8 Dimension=20, n=0;M =0:3, f=1000Hz.. . . 142 5.9 Dimension=20, n=2;M =0:3, f=1000Hz.. . . 142 5.10 Dimension=20, n=0;M =0,f=3000Hz.. . . 143 5.11 Dimension=20, n=2;M =0,f=3000Hz.. . . 143 5.12 Dimension=20, n=0;M =0:3, f=3000Hz.. . . 144 5.13 Dimension=20, n=2;M =0:3, f=3000Hz.. . . 144

5.14 Identi ationd'un\trou". . . 146

5.15 Identi ationde 2 \trous"dutreizieme delongueur d'ondes. . . 146

5.16 Identi ation de 4 \trous" du treizieme de longueur d'ondes non symetriquement lo alisessur ha unedesdeux paroisinternes. . . 147

Ce memoire presente les travaux de re her he ee tues sous la dire tion onjointe de

Pierre-AlainMazet(ONERAToulouse)etJean-PierreRaymond(LaboratoireMIPdel'universitede

Tou-lousePaulSabatier).Cestravauxtraitentde phenomenesdepropagationsa oustiquesenpresen e

d'e oulements et de leur ontr^ole optimal a l'aide de onditions aux limites de type impedan e

omplexe.

Contexte general

En trente ans,les progresintegrantlesnouvelleste hnologiesdisponiblesontpermisdereduire

enmoyenned'unpeuplusde30de ibelslebruitdesavions.Maislesnuisan essonoreso asionnees

doiventrespe terdesnormesdeplusenplusstri tes(normes imposeesparl'organisationde

l'avia-tion ivileinternationale). Deux sour es majeures de bruitdans unavion(en vol, au de ollage ou



a l'atterrissage) peuvent^etre distinguees:

1. Le bruit aerodynamique qui resulte du depla ement de l'avion dans l'air (preponderant en

phased'atterrissage).

2. Le bruitemisparles moteurs.

A esdeuxsour esimportantesdebruitviennents'ajouter ellesdubruitdejet( uxd'aireje te

par les tuyeres) et le bruit emis a l'interieur de la na elle par les parties tournantes (souante,

turbine). Les progres re ents sont d^us pour l'essentiel a la nouvelle generation de turborea teurs



a grand taux de dilution, inauguree par le CFM56. Cette tendan e doit se poursuivre dans les

pro haines de ennies, ave toutefois un rythme reduit du fait de deux obsta les importants : la

ma^trisedestreshautestemperaturesde ombustion(don limitationsdesstru turesdemateriaux)

et l'integration sous l'aile de l'avion de moteurs presentant un diametre elargi. Cette omplexite

roissantedel'ar hite turedesturborea teursrenddiÆ ilel'elaborationdedispositifsd'attenuation

de bruitemisparles na elles.

Les enjeux ommer iaux sont tels que les onstru teurs aeronautiques (au sens large) menent

des a tions de re her he dans l'insonorisation des na elles (notamment le projet europeen

SI-LENCER). L'un des axes majeurs est la modelisation mathematique et numerique de hamps

sonoresgenerespardese oulementsturbulentsdansles onduitsa paroistraitees, and'ameliorer

les traitements a oustiques passifs (ou mieux en ore, generaliser le ontr^ole a oustique a tif).

Cet axe va evidemment de pair ave le developpement de stru tures absorbantes a impedan es

reglables (ou ompletement a tives). Les phenomenes physiques misen jeu sont omplexes,

insta-tionnaires et souvent non lineaires. Leur modelisation doit prendre en ompte onjointement des

Obje tifs de la these

Dans e memoire, nousnousproposons d'etudier etde ontr^oler desmodelesde perturbations

aeroa oustiques d'un e oulement porteur stationnaire, subsonique, et suÆsamment regulier. Ces

modeles doivent de rire desmodesde propagation quine dependent que de l'e oulement porteur,

et 'est pourquoi il s'agira de resoudre des systemes hyperboliques lineaires dont les oeÆ ients

dependent de l'e oulement porteur. Ces systemes sont obtenus par linearisation de modeles non

lineaires,ave eventuellementdeshypothesessupplementairesnonrestri tives, ommeparexemple

labarotropie dela perturbation.

OnxeundomaineregulierdeR

2

ouR

3

danslequelestpla eunobsta lesolidedefrontiere .

Loinde ,l'e oulementserasupposeuniformeetnouspourronsbornerarti iellementene rivant

une onditionnon re e hissante appro hee a l'ordre1sur n ,ou biend'autres onditions aux

limitespluspre ises detype milieux tifsabsorbantsseront formulees. Le butestde modeliser, a

l'e helledesperturbationsaeroa oustiques,l'in uen edel'obsta lesolide(larugositedesafrontiere

,depetitesvibrations,...)surlesproprietesdel'e oulementperturbe.Enpremiereapproximation,

e iserarealiseparune onditionauxlimitesaadjoindreausystemehyperboliquedetype ondition

d'impedan e lo ale omplexe. Onsexealors deuxobje tifs :

1. Contr^oler les phenomenes de propagation par e type de ondition aux limites. Pour ela,

on modelise a priori l'obsta le et on hoisit une fon tion o^ut dependant des parametres

lo aux d'impedan equidenissentles onditionsauxlimitessur .Onevalueraparexemple

l'energie de perturbation lo alisee sur un observatoire spatio-temporel donne O

s

(gure 1),

ou bienl'energie en uxa oustiquestraversant desfrontieres d'elements. La de roissan e de

l'energie ara teriserauneredu tion du bruit.

2. Identier les impedan es lo ales qui modelisent au mieux le omportement a oustique de

l'obsta le, la fon tion o^ut etant alors denie par un e art (en energie) sur l'observatoire

entredes donnees mesurees et elles fourniespar lemodele.

c

Γ

Ω

Γ

sur la frontière

Condition d’impédance

δΩ / Γ

non réfléchissante sur

Condition de bord

DOMAINE

Γ

Observatoire

Obstacle

Frontière

Os

Fig. 1 { Ledomaine d'etude.

Themes abordes

Avant de parler de ontr^ole optimaldes phenomenes de propagation,il fautles etudier leplus

pre isement possible, aussi bien du point de vue theorique que numerique. En ontr^ole optimal,

ette phaseindispensables'appellel'etude duproblemedire t.

Propagation de perturbations aeroa oustiques

Lesphenomenesgeneralementetudiesenaeroa oustiquesontlineaires,et esontdepetites

per-turbationsd'une oulement de uide autourd'une ongurationmoyenne(appelee oulement

por-teur)quisontalors onsiderees.Ene oulement subsonique,lemodele ourammentretenu(systeme

d'equations aux deriveespartielles du premierordre hyperbolique)est eluidesequationsd'Euler

linearisees, qui orrespond a une linearisation desequations de la onservation de la masse, de la

quantite de mouvement, de l'energie et de l'equation d'etat. Ce systeme instationnaire onstitue

un systeme de Friedri hs,bien pose enespa e libre,maisnon ne essairement stable entemps long

( ela depend a priori de la nature de l'e oulement porteur). Ces instabilitessont des instabilites

onve tives ou absolues de type Kelvin-Helmholtz et orrespondent a des familles d'e oulements

porteur isailles[38 ℄,[17℄. Le symbole prin ipal de l'operateur spatialintervenant dansle systeme

dupremierordre n'estpaselliptique,etses proprietesintrinsequesne permettent pasd'utiliserles

te hniqueshabituellespermettantde resoudreles problemesharmoniquesen domainenon borne.

Pour ee tuer des simulations numeriques, il fautbien evidemment etudier e systeme en

do-maine spatio-temporel borne. Les travaux [59, 60 ℄ traitent des onditions aux limitesadmissibles



a adjoindre a un systeme de Friedri hs an d'assurer l'existen e et l'uni ite d'une solution a e

probleme mixte.Dans [59 ℄,les hypotheses nepermettent pasd'appliquerdire tement lesresultats

dansle ontexte de l'aeroa oustique, maisde nombreuxresultatssur desextensions de regularites

(regularites des solutions etdes tra es) sont demontres. De plus,tous les resultats sur lesysteme

dissymetriqueespa e-tempssontetendusenspatio-temporel.J.Rau hetend esresultatsdans[60 ℄



a d'autreshypotheses moinsrestri tives.

Neanmoins, les problemesde propagations sont en general poses dansun domaine spatialnon

borne (guide d'ondes inni ou omplementaire d'un domaine dira tant). Pour les systemes de

Friedri hs de rivant des phenomenes de propagations d'ondes, des onditions non re e hissantes

appro heesd'ordre1de oulentnaturellementdelataxinomiedes onditionsauxlimitesadmissibles.

M^eme sidans unpremiertemps, es onditions auxlimitespeuvent permettre de simulerl'espa e

libre,onpeutfa ilementmontrerqu'ellessont insuÆsantes(enparti ulierpourdesguidesd'ondes

en presen e de sour es realistes : sour es modales de modes non nul). Elles ne sont exa tes que

pourdesondesnormales ala frontieredu domainede al ul.Uneetude plusapprofondied'autres

methodes de onstru tion de e type de onditionsest don souhaitable, an que les appli ations

numeriques ne soient pas ontraintes par la nature de l'e oulement. Plusieurs methodes ont ete

proposeespourramener unprobleme depropagations en milieunon borne aun problemepose en

milieu borne. Trois prin ipalesmethodes se deta hent : Les methodes integrales, les methodes de

onditionsaux limitesabsorbantesetles methodesde milieux tifsabsorbants.

1. Les methodes integrales onsistent a exprimer le probleme exterieur au domaine borne par

unerepresentationintegrale.C'est don unoperateurexa t etglobal, maisquipose ertaines

diÆ ultesnumeriqueset theoriques. La resolution numerique ne essite l'inversion d'une

ma-tri e pleine dont la dimension peut^etre elevee, e quiengendre d'importants problemes de

sto kage. Theoriquement, ette methode s'adapte mal a des problemes de propagations

ins-tationnaires en raison de la nature hypersinguliere du noyau de Green asso ie a l'operateur

2. Les methodes de onditions aux limites absorbantes onsistent a imposer sur la frontiere

arti ielle un operateur differentiel (don lo al), destine a reer a distan e nie des

ondi-tionsd'ondessortantes.Cesmethodes,dont ilexisteprin ipalementdeuxfamilles[4 ,26 ,31 ℄,

sont numeriquement peu o^uteuses ar elles ne re quierent que l'integration d'une equation

dierentielle.En revan he,elles ne essitent un hoixtres deli at desparametres a mettreen

jeu et sont inexa tes. De plus, il n'existe pas a l'heure a tuelle de theorie generale pourles

problemesa oins.

3. Les methodes de milieux tifsabsorbants onsistent a entourer ledomaine d'etude parune

ou he de faible epaisseur dont les ara teristiques assurent la propagation de l'onde sans

re exionsetuneabsorptionsuÆsante de l'ondedansla ou he an d'imposerdes onditions

homogenes surleborddela ou he.Cesmethodesont onnudans unpremiertempspeude

su es en raisonde re exionsparasites etleursdependan es parrapport auxfrequen es des

signaux in idents. Les travaux de Berenger ont relan e l'utilisation de es methodes. Dans

[5 ℄,J.PBerengerintroduitdes ou hesabsorbantesparfaitementadaptees(appeleesPML)en

traitantladira tiondesondesele tromagnetiquesparunobsta leparfaitement ondu teur.

CesPML possedent denombreuxatouts :

{ La transmission d'une onde a travers l'interfa e entre deux milieux PML se fait sans

re exionparasitepourtout angled'in iden e etatoute frequen e.

{ Le nouveau problemea unesolutionqui on ideave lasolutiondansledomaineborneet

unesolutionquide roit exponentiellementa l'exterieur dudomaine.

{ L'implementationnumerique est tres aisee dansun odede al ul deja existant.

En revan he, les equations de rivant ette appro he aboutissent a un systeme mal pose en

instationnaire et il est don ne essaire de reinterpreter le milieu PML de Berenger. Un des

pro edesleplususiteestdemodierl'operateurspatialduproblemeinitial(quisetraduitpar

un hangement de oordonnees omplexes), maism^eme dans e asdesdiÆ ultestheoriques

persistent [24 , 9, 54 , 1℄. Dans [58 ℄, l'auteur propose une extension de es methodes aux



equationsd'Euler linearisees.

Commetoujours en al ul s ientique,le hoixde la methode d'approximation numerique est

primordial. En regime transitoire, des s hemas aux dieren es nies d'ordres eleves ont ainsiete

developpes pour la resolution des equations d'Euler linearisees et sont regulierement employes

pourlesphenomenestransitoiresenaeroa oustiquenumerique[3 ℄.Malheureusement, esmethodes

supportent mal la resolution sur des geometries omplexes, et surtout le traitement spe ial des

onditionsaux limites( equi estnotre as) peutentra^nerunepertede onvergen e de

l'approxi-mation versla solutionduprobleme ontinu.La formesymetriquedu probleme mixteasso ie aux



equations d'Eulerlineariseespermetde mettre en oeuvredeste hniquesd'approximation dutype

Galerkine dis ontinue qui pallient les in onvenients issus de la non ellipti ite de l'operateur

spa-tial, en approximant de fa on non onforme dans le domaine de et operateur. En introduisant

unete hniquede ux-splitting,iln'estplusne essaire d'assurerla oer ivitede l'operateurspatial

dis retisedansl'orthogonaldunoyaude l'operateurspatial ontinu.Cesmethodes, introduitespar

Lesaint [43℄ se sont onsiderablement developpees par la suite ([19℄, en aeroa oustique [2 ℄), ave

beau oup de su es notamment en ele tromagnetisme. Elles presentent de nombreux avantages,

parmi lesquelson peut iter:

1. Uneparfaite adaptationa desmaillagesdestru tures(don ades geometries omplexes).

2. La parallelisationen sous-domaines estpeu o^uteuseen tempsde al ulettreseÆ a e pour

des asindustrielsrealistes3D( equipermetd'envisagersereinementaussil'implementation

des methodesPML, puisquele domaine PML peuteventuellement ^etre traite ommeun ou

Ces methodes se presentent omme une generalisation des methodes de volumes nis. Dans le

as ou les fon tions de bases sont des polyn^omes omplets de degre k et si la solution ' a la

regularite spatiale H

k+1

m (H

k+1

par mor eaux), alors on peut esperer l'estimation d'erreur dans

L 2 ([0;T℄;L 2 () 3

) (en3D, T arbitrairement long) suivante[39 , 23 , 8,49 ℄:

j' ' h j L 2 ([0;T℄;L 2 () 3 ) C(T;)h k+ 1 2 ; ou' h

designeevidemmentlasolutionduproblemedis retisesurledomainemailleen=

[ e ! e et h=sup e diam(! e

).Silesystemen'estpasstable(enfon tiondelanaturedel'e oulementporteur),

C peut ro^treexponentiellementave T.

Il est bien entendu ne essaire d'appro her onvenablement la derivee temporelle intervenant

danslesysteme instationnairepour onserverl'ordrede ette erreursur ladis retisation omplete

spatio-temporelle du systeme. Dans le as des volumes nis (k = 0) et pour des e oulements

porteurs a onve tion uniforme, les auteurs montrent dans [22℄ que le s hema d'Euler expli ite

onserve l'ordre h

1

2

et que la ondition de stabilite est en
t  Ch, C dependant de la forme

deselements etdesvaleurspropresdu symboleprin ipaldel'operateurspatial.Enrevan he, ette

onditionde stabilite estetablie en introduisant un termede penalisation dansles onditions aux

limitesan de ontr^oler suÆsammentladissipationd'energieau bord. Anotre onnaissan e,il

n'existepasderesultatsquidemontraientque etteestimationdel'erreurde onsistan ese onserve

pouruneresolution d'ordrepluseleve queles volumes nisen espa e etEulerexpli iteen temps.

Enrevan he,denombreuxresultats on ernantdes onditionsdestabilitepourdesapproximations

Galerkine dis ontinue en espa e et expli iteen temps de systemeshyperboliquesont ete obtenus,

notammentdans[15 , 18 ,34 ℄. Deplus,l'essentieldel'erreurd'approximationdesmethodesdetype

Galerkinedis ontinueestuneerreurendissipation:ellessontpeudispersives.Leserreursdephases

sont par onsequent faibles, e quiles rend plusaptes a la modelisation de problemesde ontr^ole

[27 ℄.

Resolution des problemes inverses

Cette phased'etude approfondieduproblemedire t,l'etudedesperturbationsaeroa oustiques

en presen e d'e oulement, in luant un hoixjudi ieux et approprie de methode d'approximation,

estuneetape indispensablepourtenter deresoudreles problemesinversesqui motivent e travail.

Eneet,danslapratique,laplupartdesproblemesinversessontstru turellementmalposes.M^eme

quandlesequationsd'etatssontlineaires( equiestnotre as),lesproblemesde ontr^oleoptimalou

d'identi ationasso iespeuvent^etreaussibienlineairesquenonlineairesenlavariablede ontr^ole.

Dans le as lineaire, l'uni ite de la solution a l'un de es problemes inverses ne essite l'obtention

d'inequationsd'observabilitepouretablirla oer ivitedelafon tionnelle o^utasso iee.Enpratique,

il faut generaliser les etudes habituelles [46 ℄ aux onditions aux limites mises en jeu d'une part,

et aux dierentes geometries ara teristiques du probleme etudie d'autre part (la geometrie du

supportdessour esetdusupportdes onditionsauxlimites,lageometrie del'observatoire).Dans

le as ou les problemes inverses sont non lineaires,l'uni ite de la solutionest en ore plus diÆ ile



a obtenir. Or, si pour le ontr^ole passif, l'uni ite de la solution importe peu pour justier sa

resolution(ladiminutionseuledelafon tionnellelejustie),elleestindispensablepourdonnerun

sens a la resolution du probleme d'identi ation. Supposons tout de m^eme que l'on soit dans des

ongurations oule problemed'identi ationestbien pose enuni ite.L'appli ation

7 !'j

O s

ou( x)estlavariablede ontr^ole, 'lasolutionduproblemedire t,etouO s

designel'observatoire

spatial,n'estprobablementpasbi ontinue, artresvraisemblablement ompletement ontinue par

rapporta (x) .Leproblemeestalorsqualiedeseverement malposeetlaissepresagerd'un

mau-vais onditionnement roissantduproblemed'identi ationamesurequel'onaugmentelenombre

de parametresa identier(autrement dit,ladimension duprobleme inverse,theoriquement innie

puisquedependante de lalo alisationspatiale). Maisles deux problemesd'optimisationet

d'iden-ti ation sont mathematiquement equivalents : ils onsistent en la minimisationde fon tionnelles

quadratiques similaires.La diÆ ulte se retrouve don dansla resolutiondu probleme de ontr^ole

optimal,setraduisantgeneralement parlare her he deminimaextr^emementplats,etdon de

gra-dientstresfaiblesautourduminimumdelafon tionnelleobje tif.Deplus,iln'estpasex luquele

problemed'optimisation soitfortement non lineaire au sens de [14 ℄,et qu'ilexistepar onsequent

desminimalo aux.Comptetenude esdiÆ ultes(nonexhaustives), ilsemblejudi ieuxdepouvoir

qualitativementjustierl'inter^etdesaresolutionavant m^eme lamiseen pla ed'une methodologie

sus eptible de le resoudre, par exemple parune simpleetude monodimensionnelleamenant a des

resultats peu intuitifs. Dans le m^eme ordre d'idee, il est ru ial d'avoir, sinonune demonstration

theorique, au moinsuneidee de lanature de la fon tionnelle o^ut dansles ongurations quel'on

souhaite traiter. Apresun hoix de fon tionnelleobje tif en adequation ave les motivations

phy-siquesdu probleme, ette etude de sensibilitenumerique,generalement ee tuee par des as tests

numeriques pro hes de eux que l'on souhaite exploiter, permet d'entrevoir des proprietes de la

fon tionnelle o^ut (stri te onvexite, minimalo aux,...). Ellepermetalorsd'adopteretdejustier

au moins qualitativement un hoix d'algorithme d'optimisation suivant ette nature a priori de

fon tionnelle. Pour notre etude de ontr^ole passif, la fon tionnelle obje tif pourra ^etre tout aussi

bienunefon tionnelledistribuee(volumique),denieparl'energiedeperturbationlo alisee surun

observatoire spatial volumique a umulee au ours d'un temps ni assez grand T, qu'uneenergie

surfa iquedenie parl'energieen uxa oustiquestraversant desfrontieresd'elementsdu domaine

de al ul,dontlesdiminutions ara teriseront biendesredu tionsdebruita oustique.Elledepend

don de la solutiondu probleme dire t '

,et par onsequent de fa on non lineaire de la variable

de ontr^ole envertudu r^ole joue par elle- idans les onditions auxlimitesduproblemedire t.

Onpourra en outreetudier lapertinen ed'autres hoixde fon tionnellesobje tifs.

Lamiseenpla ed'unemethodologiederesolutiondesproblemesinversesne essitel'evaluation

desgradientsdelafon tionnelledansn'importequelledire tion(apresjusti ationdesonexisten e

dansun adrefon tionneladequat).Lorsque elaesttheoriquementpossible, etteexpli itationdes

gradients met en jeu la solution d'un probleme ontinu et retrograde en temps, admettant pour

onditionsauxlimitesadmissibles,des onditionsdualesde elles duproblemedire t.Ceprobleme

s'appelle le probleme adjoint. En revan he, on n'est pasassure, suivant la methode

d'approxima-tion utilisee pour resoudre es deux problemes de onserver ette expression des gradients apres

dis retisations. Or,en vertu des diÆ ultesinherentes a laresolution de problemes inverses

(mau-vais onditionnement,...),tout hoixdemethode d'approximationpourlaresolutiondesequations

d'etat doit s'a ompagnerd'une etude de l'erreur ommise entrela dis retisationde laderivee de

la fon tionnelle o^ut et la derivee de la fon tionnelle o^ut dis retisee (l'ideal etant que es deux

fon tions on ident).

Enn, notre travail s'ins rit dans les traitements de materiaux absorbants dans des zones

haudes omme les tuyeres. Nos variables de ontr^ole passif sont les parametres d'impedan e des

onditionsauxlimiteslo ales omplexesd'impedan e,distribueessurlafrontieredel'obsta lesolide

.Pourlesequationsd'Eulerlineariseesbarotropes, esvariables(x) omplexesn'ontpourseules

ontraintes theoriquesque d'^etre a parties reelles positives(R e( ) 0). La ondition auxlimites

d'impedan e omplexelo alepeut^etreunieeave les onditionsd'obsta les lassiques( onditions

abou-tissant a la denition du oeÆ ient lo al omplexe de re exion a oustique (x) , ontraint par

son appartenan e au disque unite omplexe (jj1). L'algorithme d'optimisation andidat pour

la resolution des problemes inverses devra don ^etre un algorithme ave ontraintes. Il est bien

onnu que l'impedan e omplexe(et par onsequent la re exion a oustique omplexe) ara terise

unmateriauabsorbant pourletraitementa oustique,et e enfon tionde lafrequen edes

pertur-bations [50 ℄. En revan he, m^eme pour unesour emono hromatique, on n'estpas assure quetous

les oeÆ ientsdere exionsa oustiquesdudisqueunite omplexe orrespondentaunmateriau

ab-sorbant equivalent experimentalement realisable. Autrement dit, an de donner un sens physique



anotretravail d'optimisation,ilestne essaired'utiliserunmodeledemateriaux absorbants

physi-quement realisable et ara terisable parun oeÆ ientde re exion a oustique omplexe donne.Un

telmateriaunedoitpas^etre hoisiauhasard.Ildoitrespe terdenombreuses ontraintes(limitesde

poids,resistan esauxhautestemperatures,auxvibrations,ala orrosion,...).Ilsembledon que e

materiaumultifon tionnelsedoived'^etremetallique.Pourl'attenuationduson,unmateriaudense

nesemblepasunbon andidatpourdissiperl'energie:unmateriau ellulairepresentant une

poro-siteouverteseraplusadequat.A eteet,unmodeled'homogeneisationdemilieuporeux onstitue

parun agglomerat de petites billes reuses de Ni kel soudees entre elles est developpe puisetudie

dans[29 ℄, notamment a partir de travaux etmodelesdeveloppes dans[57 , 41 , 39 , 13 ℄. Cemodele,

uniquement valable pour une frequen e xe dans la plage [1000 6000℄ Hz, permet de relier le

oeÆ ient de re exion a oustique a desparametres physiques arateristiques du materiauporeux

equivalent. Les ontraintes physiquement realisables sur les oeÆ ients de re exions a oustiques

seront don aprioriplusrestri tivesquele disqueunite omplexe.

Nous passonsmaintenant alades riptionpre iseduplan de lathese.

Plan de la these

Resolution des equations d'Euler lineariseesbarotropes : hapitre 1.Le premier

ha-pitre, apres une justi ation de la pertinen e des equations d'Euler linearisees pour la

des rip-tion des phenomenes de propagations aeroa oustiques, presente es equations ave l'hypothese

supplementairenon restri tivedebarotropiedesperturbations,souslaformed'unsystemede

Frie-dri hs.Onymontre,dansunpremiertemps,ladiÆ ultededenirunproblemeharmoniqueasso ie

suivant la nature de l'e oulement porteur. Dans un se ond temps, on lassie exhaustivement les

onditions auxlimites aadjoindre a e systeme de Friedri hspourque le probleme instationnaire

mixteappele probleme dire t admette une uniquesolutionen espa e-tempssur unegeometrie du

type(gure 1)etdansun adrefon tionneladequat.Ce iestrealiseal'aidede generalisations des

resultats presents dans [59, 60 ℄. On ymontre egalement que ela implique l'existen e et l'uni ite

d'unesolutionaunprobleme adjoint,problemeretrogradeen tempsadmettant des onditionsaux

limitesadmissiblesdualesde ellesduproblemedire t,dans em^eme adrefon tionnel.Ces

ondi-tionsadmissiblesexhaustives sont des onditions d'obsta les et d'impedan esgeneralisees uniees

dans la formulation du probleme dire t d'une part, et d'autre part, des onditions parfaitement

transparentes pourles ondesnormales.

Approximation par une methode Galerkine dis ontinue : hapitre 2. Dans e hapitre

est exposee lamethode de Galerkine dis ontinue hoisie pour la semi-dis retisation en espa e des

problemes dire t et adjoint. Elle repose sur un ux-splitting de entre en espa e qui rend

l'ap-proximation spatialelo alement dissipative, ontrairement auxmethodesdeGalerkinedis ontinue

entreesenespa equi onserventpourlesequations d'Eulerlinearisees,une ertaineformed'energie

[56 ℄. L'approximation temporelle est expli itede type Runge-Kuttad'ordre 2. Dans [25 ℄, on y

d'approximation spatialepardes fon tions debases polynomialesP k

. Pourle systeme symetrique

desequationsd'Euler linearisees asso ie a une oulement porteur quel onquepose ave les

ondi-tions aux limitesprealablement lassiees, on generalise dans un premier tempsle resultat sur la

ondition de stabilite etablie pour une approximation volumes nis en espa e et Euler expli ite

en temps obtenue dans [22 ℄. Dans e as, on etablit une ondition de stabilite uniforme en  et

ette ondition de stabilite est la plusne que l'on puisse obtenir en norme L

2

, pour un s hema

deresolutionvolumesnisenespa e etEulerexpli iteen temps,et e i uniformementparrapport

aux maillages.Dans un se ond temps, un resultat de stabilite pouruneapproximation temporelle

detypeRunge-Kuttad'ordre2desproblemesdire tetadjointestetabli,et e quelquesoitl'ordre

d'approximation spatiale de lamethode Galerkinedis ontinue. La propriete d'uniformite du CFL

par rapport a la variable (x) est onservee dans ette generalisation. On donne une estimation

desCFLpourplusieursordresd'approximationpolynomialek en 2Dou 3D.Enn, ette methode

d'approximation est validee numeriquement a l'aide d'une omparaison ave une solution exa te

des equations d'Euler linearisees determinee analytiquement dans un onduitrigide

bidimension-nel ( al ul de modes guides), puis utilisee pour mettre en eviden e numeriquement, et sur des

geometries bidimensionnellessimples,lesinstabilitesdetype Kelvin-Helmholtz, onve tives ou

ab-solues.

CPMLpourl'aeroa oustique: hapitre3.L'obje tifestd'etendrelesmethodesPMLd

evelop-peesdans[5℄auxequationsd'Eulerlinearisees,al'instardestravauxee tuesdans[58 ℄.Onpresente

dansunpremiertempslesprin ipauxargumentspermettant d'etablirleproblemesurtoutl'espa e

etnotammentlade roissan eexponentielledunoyaudeGreenasso ie,etdansunse ondtemps,on

proposeun autremodelede PMLappeleCPML(pourPML onvolutive),dont onmontrequ'ilest

plusadapteauxe oulementsporteursave onve tional'aidede omparaisonsdetestsnumeriques

ave l'implementationdumodelePMLdeveloppedans[58℄.Lesdemonstrationstheoriques

on er-nant l'existen e et l'uni ite d'une solution a e probleme CPML, systeme augmente par rapport

au systeme de Friedri hs initial, nous resistent en ore a l'heure a tuelle. On presentera tout de

m^eme quelquesresultats theoriquesdans des asparti ulierseton mettrasurtout l'a entsur des

justi ationsnumeriques, ave notamment une omparaisonsur un as test bidimensionnel,entre

une solution exa te des equations d'Euler linearisees en espa e libre et les resultats numeriques

obtenusparl'implementationdusysteme CPML.

Methodologie de resolutions des problemes inverses et modele de materiau poreux :

hapitre4.Ce hapitreest omposedetroisparties.Danslapremiere,onyexpose,apresla

justi- ationde hoixde fon tionnelles o^uts, l'expli itation desgradients enfon tion dela solutiondu

problemedire tetd'unproblemeadjointadequat,dontlese ondmembremetenjeulasolutiondu

problemedire t.Cette estimationest rendue possiblepardes theoremesde regularite analogues a

euxdemontresdans[59,60 ℄. Onmontrealorsque etteexpli itationdesgradientsse onservepar

passageauxdis retisesdessystemesdierentielsasso iesauxproblemesdire tetadjoint,envertu

du uxsplittingde entre enespa e utilisedanslamethodede Galerkinedis ontinue.Deplus,une



etude monodimensionnellea ademique tenda montrer, a travers es resultats expli ites, la

perti-nen ed'uneresolutiondanssaglobalitelaplus omplexedesproblemesd'optimisationquimotivent

ette these. Dans la se onde partie, le oeÆ ient de re exion est mis en relation ave un modele

d'homogeneisationdemilieuporeux onstitue parun agglomerat debillesdepetitsdiametres, e i

gr^a eaux travaux de [29 ℄. Lesvariablesde ontr^ole sont alors desparametres(porosite,epaisseur

et longueurs arateristiques) de e milieu.Ces parametres seront bien entendu onsideres omme

pouvant^etre variables suivant lalo alisation dupoint onsidere surla paroi(frontiere de

adre des obje tifs de lathese, on remarque alors quetoutes les re exions a oustiques omplexes

du disque unite ne sont pas atteignablespar elles,equivalentes, d'unmilieu poreux modelise par

[29 ℄, pour uneplage de frequen e d'environ [1000 5000℄Hz. Enn, dans la troisieme partie, une

etudede sensibiliteest ee tuee. Ellesemble mettreeneviden e,surdes astests bidimensionnels

pro hesde euxquel'ondesireexploiter,queleproblemeinverseestfaiblementnonlineaireausens

de [14 ℄. Toutefois, la quasi- onvexite des fon tionnelles o^uts, numeriquement toujours apparente

suivant la lo alisation des sour es et les ara teristiques de la geometrie du domaine (longueurs,

pla edel'observatoire),n'estpasen oreprouvee.Ena ordave etteprobable onvexite,

l'utilisa-tiond'un algorithmed'optimisation detype quasi-Newton,l'algorithmesous ontraintesBFGS-B,

nous semble judi ieuse. Elle met egalement en lumiere des ongurations pathologiques pour la

resolution denosproblemesinverses.

Resultats numeriques, gains et identi ations : hapitre 5. M^eme si ave le modele de

materiauporeuxutilise,touteslesre exions a oustiques omplexes dudisqueunitenesont pas

at-teignablespar ellesequivalentesd'unmilieuporeuxpouruneplagedefrequen ede[1000 5000℄Hz,

on peuttoujours realiserl'absorptiona oustique parfaitepourles ondesnormales. Autrement dit,

pourunefrequen edonnee,il existetoujoursun milieurealisant l'absen ede re exiond'une onde

planenormaleaunplandenissantlafrontierede emilieuave l'air.Onpourrait^etre alorstente,



afrequen edonnee,d'imaginerquelemilieurealisant ette absorptionparfaitedesondesnormales

presenteun ara tered'optimalitedu ontr^oledubruit.Or,al'instarduprobleme

monodimension-nelpropose eta travers destests numeriquesbidimensionnelspresentes dans e hapitre,utilisant

unegeometrie pro hed'une prised'airrealiste,onpeutmontrer quel'absorptiona oustique

maxi-male pour les ondes normales est loin de onstituer une repartition optimale du milieu poreux

pour une propagation aeroa oustique de modes transverses d'entree dans un anal en presen e

d'une oulementporteurave onve tionquel onque.Eneet,sil'on hoisitpourfon tionobje tif

le ux aeroa oustique sortant d'un anal, on peut realiser un gain (en resolvant ompletement le

probleme du ontr^ole optimalave pourequationsd'etat les equations d'Euler linearisees et pour

onditions aux limites le modele asymptotique deni par [29 ℄) de l'ordre de quelques dizaines de

dB parrapport a l'impedan e a oustique optimale pour les ondes normales (absorption totale de

elles- i). M^eme si e resultat n'est pour le moment etabli que pour des sour es

mono hroma-tiques et modulo la \pertinen e" du modele de parois utilise, il met en lumiere la ne essite de

onsidererleproblemede ontr^oleoptimaldanssa omplexite,etdelesimulermathematiquement

et numeriquement, par rapport a une attitude qui onsisterait a \lo aliser" la problematique de

l'absorptiondesbruits pardesraisonnementslo auxau voisinagede laparoi.

On ne dispose pas pour le moment de mesures experimentales pertinentes pour la resolution

du probleme d'identi ation, dont on n'estpas assure, d'unemanieregenerale, qu'ilen existeune

uniquesolution. Toutefois,pournotre ongurationnumerique nale,l'uni itede lasolutionpeut

^etresupposee.Des lors,etdansunpremiertemps, ontesteralarobustessedenotre methode

d'op-timisation gr^a e a l'utilisationde donnees non bruitees, etape prealable quise justie amplement

par le ara tere extr^emement mal onditionne des problemes inverses mis en jeu. On se

propo-sera par exemple, a partir de al ulsprealablement ee tues ave un materiau poreux donne, de

resoudrenumeriquementleproblemeinverseand'obteniraumoinsunmateriauporeuxayantune

Resolution des equations d'Euler

linearisees barotropes

1.1 Presentation de l'aeroa oustique

L'a oustique lassique traite de la propagation de petites perturbations dans un milieu

ho-mogeneetisotrope,aureposouenmouvementuniformeparrapportal'observateur.L'aeroa oustique

a pour objetde de rire la generation etla propagation de bruit dans dese oulements presentant

des gradients et des rotationnels de vitesse (e oulements instationnaires et isailles), et e i dans

desdomainesles plusgenerauxpossibles(parois xesoumobiles,geometries omplexes,...).

Les prin ipalesdiÆ ultes ren ontrees dansladetermination desondes a oustiquesen presen e

detelse oulementssontlieesadeuxdieren esfondamentalesentreles u tuationsa oustiqueset

les hampsaerodynamiques:

1. Des dieren es d'e helles de valeurs : Les amplitudesdes ondes a oustiques sont de l'ordre

de 10

4 

a 10

5

fois inferieures aux amplitudesdu hamp aerodynamique moyen, tandis que la

longueur d'onde prin ipale est de l'ordrede 10

2

superieure aux epaisseurs de isaillement

generalement onstatees danslese oulements isailles [6℄.

2. De plus, les ondes a oustiquesse propagent a lavitesse du son, alors que les perturbations

aerodynamiquessont uniquement onve tees parl'e oulement.

Les premieres appli ationsont porte sur le rayonnement a oustique des ho s rees parles rotors

d'heli optereenvold'avan ementrapide.Lebruit,futdans e as, al uleaumoyendeformulations

fondees sur l'analogie a oustique de Lighthill[44 ℄ (lestermes sour es etant fournies parun al ul

de l'e oulement autour des pales). Cette analogie ave l'a oustique en hamps pro hesest fondee

surlaresolutiond'uneequationd'onde dansun milieuau repos, ourammente rite de lamaniere

suivante:  2  0 t 2 2
 0 =  2 T ij x i x j ; (1.1) ave  0

la densite de u tuations a oustiques, la vitesse du son ambiante et T

ij

le tenseur de

Lighthill. Ce tenseur intervenant dans le terme sour e est habituellement exprime omme une

fon tion desvariables du hamp aerodynamique T

ij

 u

i u

j

( omposante du hamp de densite

etu

i

omposantesdevitesses).Cetteanalogiefournitdetresbonsresultats,silaregionoule uide

est tres perturbe est relativement lo alisee etsi la propagation se fait dansun milieu\ordinaire"

(materiau homogene notamment). En revan he, si l'ensemble du domaine uide etudie est tres

Le developpement de Curlea permispar lasuite, a partirde l'equation de Lighthilletablie en

espa elibre,deprendreen omptel'eetdeparoissolides( esontlesequationsdeFlow s-Williams

etHawkings[33 ℄).

Cesanalogiessontleplussouventresoluesparformulationintegrale( equine essitela

onnais-san e de la fon tion de Green asso iee) et sont limitees parles hypotheses dues a la propagation

etla radiationdesondes dansun milieu homogene(pourl'analogie de Curle,d'autres restri tions

plusnes s'ajoutent). Elles negligent les intera tions entre l'e oulement moyen et les u tuations

a oustiques, eten parti ulierles eetsde refra tion desondes.

Depuis,d'autresoperateursdepropagation ompletsontet eproposesandeprendreen ompte

leseetsde onve tionetderefra tiondesondesa oustiques:l'equationdutroisiemeordredeLilley

[45 ℄ d'une part, et les equations d'Euler linearisees d'autre part. Dierentes etudes sur es deux

typesdemodelestendentarendrelesequationsd'Eulerlineariseesplusadequateal'aeroa oustique

numerique:

1. D'un point de vue purement numerique tout d'abord, il est moins o^uteux de resoudre

numeriquementlesequationsd'Eulerlineariseesque elledutroisiemeordredeLilley(equation

dierentielledu troisieme ordre).

2. Dans [7 ℄, les auteurs ont ompare des al uls de rayonnement a oustique produit dans une

ou hedemelangesparalleles,obtenusparresolutiondesequationsdeNavier-Stokesltreeset

parresolutiondesequationsd'Eulerlinearisees.Lesresultatssonttresenfaveurdel'utilisation

desequationsd'Eulerlineariseesenvertu del'identite des hampsa oustiques(aussibienen

amplitudequ'enphase) etdu o^ut moinseleve en tempsde al ul.

3. Dans [21 ℄, il est montre que bien que l'analogie de Lilley in lut les eets de refra tion, elle

dependtropfortement de lafa on dont les termes sour essont evalues.

En on lusion,lesequationsd'Eulerlineariseesde riventunoperateurdepropagation omplet,

in luantleseetsde onve tionetde refra tion desondesa oustiques, equi modelisentau mieux

les intera tions entre l'e oulement moyen et les u tuations a oustiques. Elles semblent denir le

modele le plus adapte (moins o^uteuse numeriquement que les equations du troisieme ordre de

Lilley)al'etudedelagenerationetdelapropagation debruitdansdese oulementsinstationnaires

1.2 Les equations d'Euler linearisees au premier ordre

Danstoutelasuite,ddesigneraunentiervalant2ou3.La onvention d'Einsteinsurlesindi es

repetes dans les sommations sera systematiquement utilisee. Sauf mention ontraire, les indi es i

et j ouramment utilises seront des entiers de l'intervalle [1;d℄. On notera u

i = u 1 ;:::;u d
un ve teurde R d .

Nous examinerons don i i la perturbation d'un e oulement porteur stationnaire subsonique

regulierquel onque denipar:

1. Un hamp de vitesseU i 0 , 2. Un hamp de pressionP 0 ,

3. Unemassevolumique 

0 ,

4. Uneenergieinterne e

0 ,

5. Uneentropies

0 ,

etveriant lesequations d'Eulerstationnaires suivantes(Æ designant lesymbolede Krone ker):

8 > > > > < > > > > :  j   0 U j 0  = 0  j   0 U j 0 U i 0 +P 0 Æ ij  = 0  j   0  e 0 + kU 0 k 2 2 2  +P 0  U j 0  = 0 (1.2)

Remarque 1.2.1 Enl'absen ede ho s(hypothesessupplementairesderegularitedel'e oulement),

la (d+2)ieme equation (biland'energie)pourra ^etre onfondueave lebilan d'entropie suivant(

0

designant l'entropie volumique del'e oulement porteur) :

 j   0  0 U j 0  =0;

la loi d'etat du hamp depression s'e rivant alors indieremment

P 0 =P 0 (  0 ;e 0 ) ou P 0 =P 0 (  0 ; 0 ):

De plus, si le uide porteur est barotrope, la loi d'etat devient P

0

= P

0 ( 

0

), et seules les quatre

premieres equations de(1.2) peuvent^etreretenues.

Apresperturbationautempst=0,l'e oulementestsupposeverierlesequationsd'Euler

insta-tionnaires( ompletes oubarotropes) ausensdesdistributions,soitlesystemede (d+2)equations

sous la forme onservative suivant (on onservera les notations utilisees pourles variables

entro-piquesde l'e oulement porteursansl'indi e0 ande stipulerleurs ara teres desormais

instation-naires) :   t w+ i f i ( w) = g w(0) = w 0 (1.3) ave w2C 1 m (R d+1 ;R d +2 )etles uxf i 2(R d+2 ;R d +2

),fon tions\suÆsammentregulieres"donnees

w= 0 B B   U i   e+ kU k 2 2 2  1 C C A (respe tivement) w= 0   U i  1 A et f i (w)= 0 B B  U i U i U j +PÆ ij    e+ kU k 2 2 2  +P  U i 1 C C A (respe tivement) f i ( w)= 0  U i U i U j +PÆ ij U i 1 A ;

dans le as ou l'on prend en ompte la perturbation thermique (respe tivement la perturbation

entropique).Dans unpremiertemps, onseproposed'etudierle ara tere bienposedusysteme(en

espa e libre)obtenu parunelinearisation entropiqueau premierordrede (1.3).

1.2.1 Linearisation entropique des equations d'Euler

(1.3) onstitueunsysteme hyperbolique non lineaireadmettant uneentropie deLax [61 ℄.Plus

pre isement, elasignieque(1.3)admetuneequationde onservationsupplementaire(enl'absen e

de ho s) de laforme:  t S( w)+ i S i (w) gr w S(w)=0; (1.4)

ou S(w) est stri tement onvexe en w et telle que le ja obien des ux f

i

soit auto-adjoint par

rapporta lametriqueinduite par le hessien de S( w) .C'est uneentropie (volumique)\physique"

dans le asgeneral et dansle as barotrope ave P =P (),ona :

S(w)=H( )+ kU k 2 2 2 ;H 00 ()= P 0 ()  :

Onaura supposebien entenduque P

0

( )=

2

() estpositif.Ona alors:

S i

(w)=(S+)U

i

;

et l'equation de onservation supplementaire a physiquement le sens d'une equation d'energie.

Rappelonsun theoreme d^ua S.K Godunov[32 ℄ :

Theoreme 1.2.1 Lesysteme (1.3) est symetrisable si etseulement si il admet uneentropie.

Parappli ationdu theoreme 1.2.1, le hangement de variables bije tif

=r

w

(dans ledomaineadmissible pourw) permetd'obteniruneformesymetriquede (1.3) :  t (r  S  ( ))+ i r  S i ()
=g; (1.5) ave : S  ( )=
w() S( w( )) S i ()=
f i ( w( )) S i ( w( )):

On supposeque (1.5) est bien posee, don que sa solutionest ontinue par rapport aux donnees

duprobleme.En posantg="h,et=

0

+"' (

0

variablesentropiquesasso iees al'e oulement

porteur),onobtient formellementen faisant undeveloppement limiteen "aupremierordre de la

formulationfaiblede (1.5), uneexpressionlineariseedu probleme:

 t (H S  ( 0 )')+ i ( H S i(  0 )')=h; (1.6) ou H S  ( 0

)sontles Hessienssymetriquesdenispositifsde S



( )etH

S

i( 

0

))sont les Hessiens

symetriquesde S

i

(), al ulesen 

0 .

Remarque 1.2.2 Il est diÆ ile de sortir de e adre \formel" pour etablir (1.6). Il faudrait tout

d'abord pour ela etablir, dans un voisinage de 0 pour ", l'existen e et l'uni ite de (1.6). Ensuite,

il suÆrait de montrer que le reste dela formule de Taylor tend vers 0 (par exemple dans L

1

l o

, en

restant lo alement etuniformementmajoreen")quand "tend vers0, defa ona pouvoirappliquer

le theoreme de onvergen e dominee.

Toutefois, (1.6) peut s'interpreter au sens des distributions quant a la propagation des

dis on-tinuites de la ondition initiale. En revan he, en as de dis ontinuites de onta t, le probleme a

oeÆ ients dis ontinus estapriori malposeenuni ite(bien quelineaire), etdans e as, laforme

onservative de(1.6) ne onstitue pas un avantage reel.

En notant A 0 (x) = H S  ( 0 ) , et A i (x) = H S i ( 0

) la matri e symetrique denie positive et les

matri essymetriques,(1.6) onstitueun systeme deFriedri hs:

 t (A 0 ')+ i (A i ')=h; (1.7)

sur lequel on dispose de beau oup de resultats (quant aux onditions limites admissibles, a

l'ap-proximation,...). En posant A=A

i 

i

,on a atitred'exemple letheoreme suivantetablien espa e

libre[28℄: Theoreme 1.2.2 Si h2C 1  R + ;L 2 R d
d+2  , si les oeÆ ients de A 0 (x) et de A i (x) sont dans W 1;1 R d
, et si '( 0;x) 2 D(A) = n '2L 2 R d
d+2 =A'2L 2 R d
d+2 o

, alors (1.6) admet une

solution unique dans C

1  R + ;L 2 R d
d+2  \C 0 (R + ;D( A)).

Nous indiqueronsdansla pro haine se tionune generalisationde e theoreme en yadjoignant

des onditionsaux limites, e quiest fa ilite parla symetriedes matri es A

i

. M^eme si lesysteme

(1.7) est bien pose en espa e libre, on n'est ependant pas assure de sa stabilite. En eet, (1.7)

admet uneequation de bilansupplementaired"energie-entropie" donnee par :

1 2  t A 0 ';'
L 2 (R d ) d+2 + 1 2  i A i ';'
L 2 (R d ) d+2 + 1 2  i A i
';'
L 2 (R d ) d+2 =( h;') L 2 (R d ) d+2: (1.8)

C'est bien evidemment l'etude dusignede

1 2  t A 0 ';'
L 2 (R d )

d+2 quivanous renseignersur la

Or elui- i est fon tion du signe des deux autres termes quadratiques en la variable ' de l'equation (1.8), a savoir 1 2  i A i ';'
L 2 (R d ) d+2 et 1 2  i A i
';'
L 2 (R d )

d+2. Mais, si les onditions

auxlimiteseventuellespeuvent (etenun ertainsens doivent)garantirlapositivitedupremierde

es deux termes, le signedu se ond depend de l'e oulement porteur. A titre d'exemple (qui sera

reprisetdetailledanslapartie on ernant lesinstabilitesd'e oulementdetypeKelvin-Helmholtz),

dansle asdel'e oulementisothermeasso ieaune oulementporteur isaille2D(

0 = te,U 2 0 =0, U 1 0 =U 1 0 (y)), on a:  i A i = 0 0  0 0 0 0 0  y U 1 0 0  y U 1 0 0 1 A :

Cette matri esymetrique estevidemment non positive dans le as d'une oulement porteur a

onve tion nonuniforme(valeurs propresopposees).

Remarque 1.2.3 Le hoix des variables , asso ie a la linearisation = 

0

+"', peut para^tre

arbitraire(m^emes'il onduitaunsystemesymetrique onservatifen').Cependant,sil'e oulement

porteur est assez regulier, un autre \jeu" de variables (par exemple lips hitzien par rapport a )

onduirait a dessystemes linearisesequivalents. La \positivite" dubilan d'energie(1.8) peutquant



a elle dependre du systeme de variables hoisi (la positivite de la matri e 

i A

i

n'estqu'une

ondi-tion suÆsante et les metriques denies par A

0

asso iees peuvent, si es matri es nesont pas

uni-formementequivalentes,denirdestopologiesdierentesdanslesespa eso uvivent\naturellement"

les in onnues ').

A esujet,il onvientdedistinguer,l'equationd'energieduprobleme porteurlinearise(1.8)etla

linearisationdel'equationd'energie(oud'entropie)(1.4)quiest onservative(iln'yapasdetermes

multipli atifs). La premiere estutile, sinon ne essairea la denition du probleme harmonique eta

l'etudedela onvergen edu probleme dis retise;la se ondeestphysiquementplus pertinente,mais

ne onduit pas a des estimationsa priori utiles a la resolution eta l'approximation de(1.7).

C'est en e sensque l'on peut parler d'e hanges d'energie entre(1.7) et l'e oulement porteur.

Con lusions :

1. Sous des hypotheses onvenables sur les donnees du probleme, il est toujours possible, par

linearisation a l'ordre 1 desequations d'Euler non lineaires,d'obtenirdes systemeslineaires

symetriques(ousymetrisablessil'onamal hoisiles\variables")bienposeseninstationnaire,

maisnon ne essairement stables.

2. La forme de es systemes dependde l'equation d'etat de l'e oulement porteuret le systeme

lineaireprovient d'unelinearisation d'unproblememettant enjeu lam^emeequation d'etat.

1.2.2 Perturbations barotropes

Nous allonsvoir que si l'on hoisit de negliger les perturbationsde l'entropie, on peut obtenir

un systeme symetriqueegalement bien pose etd'une formene dependant pas de l'equation d'etat

asso iee a l'e oulement porteur ( e systeme sera sous forme non onservative, mais e i n'est pas

tresgenant pourune oulement porteurregulier).En outre, e ipermettradansun ontexteassez

general, d'obtenir une lassi ationdenitive des onditions auxlimitesadmissiblesa adjoindre a

e systeme, quipermettrade mettre en eviden e les diÆ ultesdu probleme harmoniqueevoquees



a la se tion pre edente et suÆra a l'etude heuristique numerique des instabilitesd'e oulement de

On onsidere don une oulement porteurveriant (1.2) de loi d'etat en P 0

quel onque.

L'hy-pothese de barotropie de la perturbation onsistea supposer que l'in uen e desvariations

entro-piques estnegligeable devant elle desvariationsde lamasse volumique,autrementdit que:

 = 0 +" 0 +o("))P =P 0 +" 2 0  0 +o("); (1.9) ou 0 = 0

( x)designela vitessedu sondanslemilieu.

On pose les hangements de variablessuivants:

U i =U i 0 +"u i ;= 0  0  0 ;'=(u 1 ;:::;u d ;) T :

Des lors, apres developpement en "a l'ordre1 desequations generales d'Euler instationnaires

(1.3),il vient que 'estsolutiondu systemesuivant :

 t '+A i  i '+B'=f; (1.10) ave A i  i = U i 0  i
I d+1 + 0  0 r r T 0  B = 0 B  [ i U j 0 ℄ i;j 1  0  r( 0  0 ) 1 0 rP 0  0  0 r T  0 1 0 U i 0  i 0
1 C A et f = 1  0  g 1 U 1 0 g 0 ;:::;g d U d 0 g d ; 0 g 0  T :

Remarques 1.2.4 1. Lapartiediagonaledelapartieprin ipaledel'operateur estunoperateur

de onve tion tandis que la partie non diagonale est l'e riture sous la forme d'un systeme

d'ordre1 del'equation desondes.

2. On obtient es equations en utilisant la formule de derivation d'un produit, don elles n'ont

de sens distributionnel que sil'e oulement porteur est regulier.

3. la quatrieme olonne de B s'annule pour un uide porteur isotherme.

La onservationdel'energien'esttoujourspasassuree(m^emesif estnulle).Eneet,l'equation

de biland'energie globales'e rit :

1 2  t (';') L 2 (R d ) d+1 + 1 2  i A i ';'
L 2 (R d ) d+1 + 1 2  B 1 2  i A i  ';'  L 2 (R d ) d+1 =(f;') L 2 (R d ) d+1: (1.11) Le terme 1 2 (';') L 2 (R d ) d+1

peuts'interpreter ommeuneenergie puisque:

1 2 ( ';') L 2 (R d ) d+1 = 1 2 Z R d kuk 2 2 + 2 0  0 2  2 0 dx;

somme de l'energie inetique massique etde l'energie a oustique massique du probleme linearise.

L'equation(1.11) s'e ritde lafa on suivante:

1 2  t (';') L 2 (R d ) d+1+ 1 2  i A i ';'
L 2 (R d ) d+1+ 1 2 (K';') L 2 (R d ) d+1 =(f;') L 2 (R d ) d+1;

ou K=B+B t  i A i :

Comme pre edemment, les onditions aux limites peuvent garantir la positivite du se ond terme

 i A i ';'
L 2 (R d )

d+1. Enrevan he, lesignede lamatri esymetriqueK est non determine et

inter-vient de fa on ru iale.

Remarque 1.2.5 On a K  0 pour un e oulement porteur a onve tion uniforme ou pour un

uide enmouvement \solide" (P

0

et

0

onstants, la vitesse orrespondant alors a un mouvement

ompose de rotations et de translations). Les equations (1.10) sont d'ailleurs invariantes par une

isometrie de R d . LastabiliteL 2 l o

duproblemeinstationnairen'estdon pasgarantie,etnoussommesdans

l'impossi-bilitede denirleproblemeharmoniqueasso ie.Enrevan he,nousallonsmontrerque leprobleme

instationnaire en domaine espa e-temps (borne en temps) ave des onditions aux limites

admis-siblesestquant a luibien pose.Un desarguments majeurspourledemontrer est lesuivant:

ISil'on pose'='

0

e t

,ave >0,l'equation (1.11) devient :

 t 1 2  ' 0 ;' 0  L 2 (R d ) d+1 + 1 2  i  A i ' 0 ;' 0  L 2 (R d ) d+1 + 1 2  (K+2I d+1 )' 0 ;' 0  L 2 (R d ) d+1 =  e t f;' 0  L 2 ( R d ) d+1 :

Il s'agit d'une equation similaire a (1.11) mais ave une matri e K

0

= K +2I

d+1

, qui en

hoisissantde maniere onvenableseratoujoursdeniepositive.Ainsisiles oeÆ ientsdesA

i et

de B sont parexempledansW

1;1

,onpourrasupposerqueK >0.Ce iesta labasedu hoixdes

onditions aux limites rendant (1.10) bien pose en domaine temporel borne (et uniquement dans

e as, arle hangement d'in onnue '='

0

e t

est non homeomorphesur R

+

t ).

1.3 Existen e et uni ite du systeme instationnaire pose ave des

onditions aux limites admissibles

Lebutde ettese tionestde lassier(demaniereexhaustive)les onditionsauxlimites

onve-nables a adjoindre au systeme symetrique (1.10) (evidemment sous des onditions de regularites

sur les operateurs mis en jeu), an d'en assurer l'existen e et l'uni ite d'une solution sur un

do-maine spatio-temporel [0;T℄. Le adre fon tionneldesdeux pre edentes se tionsetaitformel,

ilsuÆsaitamettreeneviden edesdiÆ ultesinherentesausysteme instationnairenon \de elables

aupremierabord"( ommel'impossibilitededenirleproblemeharmoniqueasso ie).Parexemple,

nousavonsenon eletheoreme1.2.2endissymetrisantl'espa eetletemps, equiestrendupossible

par le fait que les oeÆ ients de A

0

et des A

i

ne dependent pas du temps. Nous avons de ide de

nouspla erdansun adrefon tionnelplusgeneral ennousappuyantsurdesresultatsde([59 ,60 ℄),

pourtoute lasuitedu travailet e ipourplusieursraisons:

1. Le ara terestationnairede l'e oulementporteurestun adred'appli ation,maisiln'estpas

unene essitepourl'etudetheorique.Dansunsou idegeneralitedutravail,noussupposerons

don queles oeÆ ientsdesmatri essymetriquesA

i

etdelamatri eBintervenantdans(1.10)

dependent du temps.

2. Le butavoue de ette these est de modeliser, a l'e helle desperturbationsa oustiques,