EXACTE
CAA
(b)Comparaisondespartiesimaginaires.
Fig. 3.1 { Comparaison des parties reelles et imaginaires entre la solution exa te et la solution
Apres l'installation du regime periodique, on voit tres nettement la ourbe rouge s'e arter de
la ourbe bleue representant lepro lde lasolutionexa te. Ces ourbesillustrent parfaitementles
re exions parasites ausees par l'inexa titude des onditions aux limitesappro hees pour e type
de sour es realistes : letemps a partir duquel la solutionappro hee s'e arte de lasolution exa te
orrespondtotalement autempsmisparlesondesnonabsorbeespouratteindrele apteurlo alise
en (x
0
;y
0
) pro he de l'entree du anal (bordde droite).
Commeles resultats sont qualitativement similairessur les variablesu et , nous n'avons pas
represente les gures omparatives orrespondantespour esvariables.
Dans l'introdu tion generale, on a rappele les trois methodes prin ipales developpees depuis
plusieurs annees pour ramener un probleme de propagation en milieu non borne a un probleme
pose enmilieuborne :Lesmethodesintegrales,lesmethodesde onditionsauxlimitesabsorbantes
et lesmethodesde milieux tifsabsorbants.Les methodesde milieux tifsabsorbants onsistent
a entourerledomaine d'etudeparune ou he defaibleepaisseurdontles ara teristiques assurent
la propagationde l'onde sans re exions etuneabsorption suÆsante de l'onde dansla ou he a n
d'imposer des onditions homogenes sur le bord de la ou he. Ces methodes ont onnu dans un
premiertempspeudesu esenraisondeleursdependan esauxfrequen esdessignauxin identset
dere exionsparasites.LestravauxdeBerengerontrelan el'utilisationde esmethodes.Dans[5 ℄,il
introduitdes ou hes absorbantesparfaitementadaptees (appelees PML)entraitant ladi ra tion
des ondes ele tromagnetiques par un obsta le parfaitement ondu teur. Ces PML possedent de
nombreuxatouts :
{ Latransmissiond'uneondeatraversl'interfa eentredeuxmilieuxPMLsefaitsansre exions
parasitespourtout angled'in iden e eta toutefrequen e.
{ Le nouveau probleme a une solutionqui o^n ideave la solutiondans le domaine borne et
unesolutionquide roitexponentiellement al'exterieur du domaine.
{ L'implementation numerique esttresaisee dansun ode de al uldeja existant.
En revan he,detellesequationsaboutissentaun systememal poseen instationnaireetilestdon
ne essairedereinterpreterlemilieuPMLdeBerenger. Undespro edesleplususiteestdemodi er
l'operateur spatial du probleme initial (qui se traduit par un hangement de oordonnees
om-plexes), mais m^eme dans e as des diÆ ultes theoriques persistent (voir [24, 9, 54 , 1 ℄). On veut
generaliser e type de methodes auxequations d'Euler linearisees, a l'instar des travaux e e tues
dans [58 ℄. Dans le as de la propagationdans un onduiten regime instationnaire, eten presen e
d'une oulement porteuruniforme, plusieursetudesont montre queles PML pouvaient se reveler
instables,notammentenpresen edemodesamontsinverses[62 ,42 ℄.Onpresenteradansunpremier
temps les prin ipauxarguments permettant d'etablirle probleme sur tout l'espa e etnotamment
la de roissan e exponentielledu noyau de Greenasso ie. Dans un se ond temps, on omparera le
modelederivedusystemedispersifasso ieauproblemesans onve tion([58 ℄)ave unautremodele
de PML appeleCPML (CPMLpourPML onvolutive)a prioriplusadapte auxe oulements
por-teursave onve tion.Cemodele onduitalaresolutiond'unsystemehyperboliquenonsymetrique
dont lapartieprin ipaleestdiagonalisable (don non faiblement hyperbolique). L'etude theorique
de e modele (uni ite, onvergen e d'une approximation)n'est pas ompletement terminee (seule
l'uni ite du probleme de Cau hy a oeÆ ients geles est demontree). Cependant, une
approxima-tion numerique stable, des onditions aux limites onvenables ont ete implementees, dans le as
ou le domaine tif est limite par un parallelepipede ave un e oulement porteur invariant par
translationnormaleauxfrontieres de elui- i.L'etudetheoriqueetanten ore ina hevee, nousnous
atta heronsa mettreeneviden e lapre isionnumerique delasolutionobtenue ave des onditions
aux limitesde type PML en omparaison ave leproblemeanalogue pose ave des onditions aux
limitestransparentes appro hees. Pour ela,lasolution expli iteauxequations d'Euler linearisees
onstants 69
parfait sur les bords, pre edemment al ulee en la se tion 2.5 et deja utilisee pour ara teriser
numeriquement l'erreur ommise par des onditions aux limites absorbantes appro hees pour
si-mulerl'espa elibre,permettrade omparerlasolutionobtenue ave ou sansPML ave lasolution
exa te.
L'idee des PML est d'obtenir, apres hangement de variables omplexe (rendu possible par
prolongement analytique autour d'une variete de C
3
du noyau de Green de p
2
), un systeme
d'equations de nisur toutl'espa e, ettel que:
{ La solutionveri eles equationsd'Euler "en espa e libre" dans ( 'est-a-dire on ide ave
lasolution'quinousinteresse dans).
{ Lasolutionde roisseexponentiellementsurR
3
n,et eindependammentde lafrequen eet
dela dire tionde propagationdesondes.
On presentera dans un premier temps les prin ipauxarguments permettant d'etablirle probleme
surtout l'espa e, et e su essivement pourdeux modelesPML di erents, pourensuite mettre en
oeuvrenumeriquement esmodeles etles omparer.
3.1 Etude d'une formulation "PML" des equations
tridimension-nelles a oeÆ ients onstants
Considerons le systeme suivant (ou le hoix de l'axe de dire tion de la onve tion a pour but
de simpli erles al uls):
t ' A'=f; (3.1) ou A= 0 B B M x 0 0 x 0 M x 0 y 0 0 M x z x y z M x 1 C C A :
Le se ond membre f a son support spatial ontenu dans un parallelepipede =℄ x
0 ;x 0 [℄ y 0 ;y 0 [℄ z 0 ;z 0 [, etf 2L 2 (R +
;) . Onrappelleque0M <1.Nousallons etudier leprobleme
harmonique asso ie en absorptionlimite, 'est-a-direla solutiondu systeme :
p+A=F (p); (3.2)
pourp2C ave R e(p)>0:F designelatransformee de Lapla e entemps de f,etlalimite de
pourp=i!+0(autrementditpourp=i!+"ave "!0)seralasolutionharmoniquere her hee.
Le systeme(3.2) s'inverse formellement en :
= C 2 1 C 1 [Cof℄F; (3.3) ou C=p+M x ;et [Cof℄= 0 B B C 2 2 y 2 z x y x z C x x y C 2 2 x 2 z y z C y x z y z C 2 2 x 2 y C z C x C y C z C 2 1 C C A :
Proposition 3.1.1 Si F 2S 0 R 3 4 et R e(p)>0, alors 1 : C 1 =G ( )= Y (x) M e p x M Æ ( y) Æ ( z) ( ) et C 2 1 =G o ()= 1 4 p 1 M 2 1 q x 2 1 M 2 +y 2 +z 2 e p p 1 M 2 Mx p 1 M 2 + r x 2 1 M 2 +y 2 +z 2 () G et G o
sont desdistributions de O
0
, et(3.2) a unesolution unique dans S
0 R 3 4 donnee par : =G G o [Cof℄F;
o u [Cof℄designedesormais la matri ede derivation deDira asso iee a la matri e[Cof℄de (3.3).
Preuve. En e et, C
1
s'obtient de fa on evidente, et le resultat est le produit tensoriel d'une
fon tiona de roissan e rapideparunedistribution asupportpon tuel.Pourobtenir C
2 1 , on remarqueque : F C 2 = ( p+iM) 2 + 2 + 2 + 2 = p 2 1 M 2 + 0 +ip M p 1 M 2 2 + 2 + 2 ; ave 0 = p 1 M 2
,eton appliquelaformulede l'isomorphie:
F(SÆJ)= 1 jdetJj F( S)Æ(J ) 1 ;
puislaformuledu retardpourseramener alasolutionde
K 2 =Æ; ave K = p p 1 M 2 :De plus,G o 2L 1 l o
etest ade roissan e rapide, ar pour R e(p)>0et pour
M <1;on a: Mx p 1 M 2 + r x 2 1 M 2 +y 2 +z 2 !+1
omme j( x;y;z)jquand j( x;y;z)j! +1: Pour on lure, il suÆt de remarquer que S
0 R 3 4 est
un module surl'algebreunifere O
0
.
Remarques 3.1.1 Cette proposition est etablie pour R e( p) >0, et le passage a la limite quand
R e(p)!0 exige plusquand au omportement de F a l'in ni.
Si F 2 L 2 R 3 4 \E 0 R 3 4 ; i!+" est L 2
et possede une limite dans L
2
l o
quand " ! 0. En
fait,quand l'e oulement porteuresta oeÆ ients onstants uniquement al'exterieurd'un ompa t,
et/ou lorsque (3.1) est a ompagne de onditions aux limites, on ne sait en general pas si ette
limiteexiste (voir lesous- hapitre2.6.1). Toutefois, sil'on designepar A+B uneperturbation de
A (des oeÆ ients variables sur une omposante par exemple), on est onduit a supposer que
p+(A+B)=F
1 S
0
designel'espa edesdistributionstemperees,etO
0
onstants 71
a unesolutionunique L
2
admettant unelimite
0
quand "!0 tellequeB
0 soit dans L 2 R 3 4 \ E 0 R 3 4 ,et alors 0
sera aussi solution de
( i!+")+A=F B
0 :
Bien entendu,dans tous les as,
i!+0
n'estpas a de roissan erapide (elleveri etout auplus des
onditions de radiations a l'in ni ara terisees par une de roissan e lente).
Le "programme PML" lemoins ambitieuxpeutalorssede nir omme suit:
Modi erl'equation (3.2) en l'equation (3.4) suivante:
p e + e A e = e F; (3.4)
ave les hypotheses suivantes:
1. Une solution
e
est a de roissan e rapide pour tout
e
F a support ompa t, m^eme pour p =
i!+0: 2. Si supp e F , ave e F = F, alors e j = j
. Cette hypothese permettra par la suite de
perturberles"PML"par l'e riturede onditionsauxlimites.
3. Le omportement asymptotique (quand j( x;y;z)j ! +1) de
e
est "independant" de p.
Autrement dit,
e
est majoree parunefon tion a de roissan e rapidea l'in niindependante
de p.
Depuis ([16 ℄, [20 ℄, [24℄, [48 ℄, [54℄), la tradu tion des idees de Berenger onsiste a obtenir (3.4) en
omplexi ant R
3
en dehorsde etobtenir unesolutionfondamentale de (3.4) en utilisant lefait
quelasolutionfondamentaledu systeme dedepart admet unprolongement analytiquesurC
3 =f0g
( e qui provient de l'ellipti ite du determinant du symbole). Dans notre as, si OC = C
2
est elliptique (ave M < 1), e n'est pas le as de l'operateur de onve tion C qui n'est que
partiellement elliptique en x ([36℄, hapitre 4, paragraphe 1). Ce i n'est pas un obsta le serieux,
aronpeutinterpreter (3.4) enmunissantR
3
d'unestru turedevariete reellepseudo-riemanienne
a bretangentet otangent omplexe.Dansle asde PML artesiennes(estunpave), e ipeut
^etre realise tres fa ilement en se donnant a priori une immersion de ette variete dans C
3
, par
exemplede lafa on suivante :
8 < : e u = ue( u) = u+ 1 p Z u 0 u ()d; u=( x;y;z) u 2 C 1 (R) ; ave u ( ) 0, roissante sur R +
, de roissante sur R et nulle sur ℄ u
0
;u
0
[. Pour demontrer
l'hypothese 3 i-dessus, nous ferons en outre l'hypothese (et e i pour fa iliter ertaines
majora-tions) que
u
() tend lentement vers l'in niquand jj! +1 (auplus omme jj
; >1). Alors
(ex( x);ye(y);ze( z))sont les points ourants d'une variete M , lo alement onfondue ave (munie
de la stru turede sous-variete induite par R
3
Eu lidien), de bre tangent engendre par les
e u
et
otangent engendre parles deu .
SurM,ilexiste unepseudo-metrique(isomorphismeentrele bretangent et otangent)donnee
par: g uv = X ! e! u e! v =Æ uv S 1 u S 1 v ; ave S u = 1+ (u) p .g uv
est diagonale don symetrique inversible, etson determinant g a une
ra ineglobalement de nie
p g=(S x S y S z ) 1 :
CelasuÆtpourde nirsurM un al uldi erentielettensorieltresanaloguea eluide nisurles
varietesRiemaniennes[51 ℄:produitsexterieursetinterieursdetenseursou deformes,transformee
de Hodge,expression o et ontra variantes, :::
Onestamene a de nir(3.4) de lafa on suivante:
De nition 2 Onappelle systeme PML artesien asso ie a (3.2), le systeme de ni sur M par :
p e + e A e = e F; (3.5) o u e
A est obtenuen rempla ant
u par e u dans A, et e
F esta support ompa t (de forme
F(ex(x);ey(y);ze( z)) o u l'appli ation (x;y;z)!
e
F estL
2
et a support ompa t dans R
3 ).
A nde remplirles onditions1,2,3 du"programme PML"de ni i-dessus,nousallonsexhiber
une solution fondamentale a droite reguliere de e systeme. Pour e faire, interessons nous tout
d'abordauxnoyauxdesoperateurs
e
C et
g
OC obtenusa partirde C etOC enrempla ant
u
par
e u
ou u=( x;y;z) .
Proposition 3.1.2 Les operateurs
e
C et
g
OC admettent des noyaux fondamentaux symetriques a
droite reguliers, ave respe tivement :
G e C e 'e= 1 M Z Y x x 0 e p M e x e x 0 d e x 0 ' e x 0 ;y;e ze : G g OC e 'e= 1 4 p 1 M 2 Z e p p 1 M 2 0 M e x f x 0 p 1 M 2 + er 1 A e r e ' dex^dye^dez; o uer= v u u t e x e x 0 2 1 M 2 + e y e y 0 2 + e z e z 0 2
(lara ineetantde nieparsadeterminationenpartie
reelle positive).
Preuve.
{ G
g OC
estobtenu parprolongement analytiquea C
3
=f0g (OC est elliptiquepourM <1). On
montrequeG
g OC
eestunnoyaufondamentalregulier(etm^eme tresregulierpuisqueC
1 sauf surla diagonale X 0 =X) de g
OC de fa on touta fait analoguea e quiest fait pourp
2
dans([24 ℄, [20 ℄).
g
OC est aumoins hypoelliptique ...
{ Soit =G e C e 'e= 1 M e p M e x Z x 1 e p M e x 0 S x x 0 ' e x 0 ;ey;ez d e x 0 : Ona M e x = p +'don e CÆG e C e 'e='eet estevidemment C 1 .
A e stade, on peut prolongerG
e C e et G g OC e sur E 0
, mais ave des valeurs dans D
0
, e quine
permetpasdeles omposer,nidedeterminerle omportemental'in ni.Ilfautpour elaexaminer
plusendetail le omportement dessolutionsobtenuesparG
e C e et G g OC e
pourlesquelson aen fait
leresultat suivant :
Proposition 3.1.3 8pave R e( p)0,sif 2L
2
l o
( )etestasupport ompa t,alorsG
e C e G g OC e f
est la somme d'une fon tion L
2
a support ompa t et d'une fon tion C
1
a de roissan e rapide
onstants 73
Preuve. Lenoyau deS hwartzG
g OC e X f X 0 S x x 0 S y y 0 S z z 0 dansD 0 R 3 D 0 R 3 est C 1
sauf sur la diagonale,et par onsequent
e X = G g OC e f est C 1
sauf sur le support de
f. Comme G g OC e U est L 2 l o en U, e X
est la somme d'une fon tion
s L
2
dans un ouvert
quel onque autourdu support def etd'unefon tion
r C 1 (ave supp r \suppf=;).
De plus, ommepourjuj!+1,l'hypothese de roissan elentede ()aÆrme que
1 u Z u 0 ()d!1; per se omporte omme: v u u t R x x 0 x ()d 2 1 M 2 + Z y y 0 y ()d 2 + Z z z 0 z ( )d 2 ; ave R e 1 p 0 : Comme M < 1 et que x 0 ;y 0 ;z 0
reste dans le support borne de R
3
, il vient que dans
G g OC X X 0 ,le omportement al'in nide k e X = p p 1 M 2 0 M e x e x 0 p 1 M 2 +re 1 A
estequivalent a eluide
sup u2fx;y;zg j Z u 0 ()dj ; etdon que e X
esta de roissan e rapide(et e m^eme si R e(p)=0).
Remarque 3.1.2 Pour ( y;z) xes, k
e X est equivalent a 1 1M j Z x x 0 ()dj pour x !1.
On aura don inter^et a prendre
x
() et
x
( ) di erents, et de fait en rapport
1+M
1 M
pour
"symetriser" la de roissan eenx>0 etx<0.En fait,puisque equi nousimporteestle"retour"
d ^u a la restri tion du probleme a un borne, on hoisira
x ("amont")= 1+M 1 M x ("aval") pour M
assez pro he de 1. Ce i ameliore sensiblement les resultats numeriques.
On a don e X = s e X + r e X a de roissan e rapideet C 1
en dehors d'un ompa t
et: G e C e e X = 1 M Z x>x 0 e p M e x e x 0 S x x 0 e x 0 ;ey;ez dx 0 : (3.6)
En fait,(3.6) estmajoree par:
1 M Z Y x x 0 e Re( p) M x x 0 1 M R x x 0 ( )d jS x x 0 jj e x 0 ;y;e ez jdx 0 :
Comme()est roissanteetstri tementpositive,ona Z x x 0 ()d> Z x x 0 0 ()d;et omme seulle as x>x 0
est a prendreen ompte dansl'integrande de(3.6), on aen ore :
G e C e (ex)<K(x)S x (x)(x;y;e ez); ave K(x)=Y (x)e Re( p) M x 1 M R x 0 ( )d ; ou Y(x)e 1 M R x 0 ( )d
est a de roissan e rapideen x. La stabilite des distributionsa de roissan e
rapidepar onvolutionimpliquelade roissan e rapide (independantede p)de G
e C e e X quiest de plusC 1
a l'exterieur d'unouvert quel onque autourdu support def.
Onestalors enmesure d'enon er leresultat suivant :
Theoreme 3.1.1 Pour R e( p) 0, le systeme (3.5) admet une solution
e , C 1 en dehors d'un ompa t de R 3 , et a de roissan e rapide.
Si lese ond membrede (3.5) est a support dans , on a :
e j =j ;
o u estla solution de(3.2) (obtenue par absorption limitequand R e( p)=0).
Ona : e = h g Cof i I 4 G e C e G g OC e F ; (3.7) o u h g Cof i
est obtenuen rempla ant
u par e u dans [ Cof℄. Preuve. En e et, pI 4 + e A h g Cof i =I 4 g OCÆ e C;
etilsuÆtd'appliquerlignealignelespropositionspre edentes, etonapar onstru tion
e j =j :
Remarques 3.1.3 1. Nous n'avons pas prouve l'uni ite de la solution de (3.5), ni que e
probleme estbien poseau sens de la ontinuitepar rapport auxdonnees.
2. De plus, (3.5) doit ^etre pratiquement pose sur un borne (ave des onditions aux limites
adequates ::: ) et son "relevement" entemps doit ^etre e e tue.
3. SiM =0,lesquestions souleveesparles deuxpre edentes remarquesre oiventunereponsea
travers un hangementd'in onnues onduisantauneformulationdispersive ([24 ℄,[48 ℄,[58 ℄).
On peut se ramener au as M =0 ene e tuantsur (3.1) le hangement de variable esp
a e-temps x
0
=x+Mt, mais les problemes "harmoniques" asso ies n'ont pas unerelation laire
ave (3.2).Cette te hniquea eteutilisee par [58 ℄,et nous omparerons plus loinles solutions
obtenues ave elles obtenues par un relevement dire t de(3.5).
4. L'"operation"
e
peut^etreinterpretee ommeune onvolutionde ourantssurM,etonpourrait
esperer obtenir l'uni ite en etendant la stru ture algebrique de la proposition 3.1.1 a es
onvolutions pour deduire l'uni itede l'existen e.
3.2 Etude du ara tere bien pose du probleme temporel
3.2.1 Un premier modele PML
Nous presentons dans e paragraphe la formulation "PML" dispersive developpee notamment
I Cas sans onve tion L'etude menee dans le paragraphe pre edent ( as sans onve tion)
onduit a un nouveau probleme harmonique dont la restri tion de la solution a est egalement
solutionduproblemeharmoniqueinitial.Cenouveauprobleme,quenous onsidereronsmaintenant
dansle asd'undomaine spatiala 2 dimensions:
i!'e+ 0 B B B B B 0 0 x S x 0 0 y S y x S x y S y 0 1 C C C C C A e '=f; (3.8)
ne essite d'^etre formule di eremment a n d'etablir le ara tere bien pose du probleme temporel
quiluiest asso ie.
Onnote toutd'abordque(3.8) semet sous laforme :
(i!I 3 + 1 S x A 1 x + 1 S y A 2 y )'e=f; (3.9) ave A 1 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A et A 2 = 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A :
Onpeutalorsserameneral'operateurspatialinitialde niparA
1 x +A 2 y
parletheoremesuivant
([58℄):
Theoreme 3.2.1 Il existedeux operateurs inversibles M et N, tels que:
1 S x A 1 x + 1 S y A 2 y =M(A 1 x +A 2 y )N;
et qui de plus veri ent :
A 1 x M+A 2 y N =0 et lim x;y!0 N =I 3 :
Le oupled'operateurs (M;N) n'etant pasunique,on hoisit M etN diagonaux :
M = 0 S x 0 0 0 S y 0 0 0 1 1 A et N = 0 B B B B B 1 S x 0 0 0 1 S y 0 0 0 1 S y S x 1 C C C C C A :
D'apres letheoreme pre edent, l'equation (3.9) s'e ritdon :
i!'e+M(A 1 x +A 2 y )N'e=f; qui,en posant e e
'=N',e eten multipliant l'egalite par M
1 ;devient: i!M 1 N 1 e e '+(A 1 x +A 2 y ) e e '=M 1 f: (3.10)
Remarques 3.2.1 Sur,on aS x =S y =1 etdon M 1 =I 3
.Deplus, f estasupport ompa t
dans : Par onsequent, on pourra mettre indi eremment f ou M
1
f omme se ond membre de
l'equation.
Onde omposealorsi!M
1 N
1
de lamaniere suivante:
i!M 1 N 1 =i!I 3 +C+R U ! ; ave C= 0 x y 0 0 0 y x 0 0 0 x + y 1 A ; R= 0 y ( y x ) 0 0 0 x ( x y ) 0 0 0 x y 1 A etU ! = 0 B B B B B 1 i!+ y 0 0 0 1 i!+ x 0 0 0 1 i! 1 C C C C C A :
Le systeme (3.10) s'e ritalors:
i! e e '+C e e '+R U ! e e '+(A 1 x +A 2 y ) e e '=f;
e qui,aprestransformation de Fourierinverse (entemps),donne:
t e e '+C e e '+R K t e e '+(A 1 x +A 2 y ) e e '=f; ave K =F 1 t (U ! )= 0 e y t 0 0 0 e xt 0 0 0 1 1 A : En posant T =K t e e ' ; on obtientalors : t e e '+C e e '+R T +(A 1 x +A 2 y ) e e '=f:
Deplus, aprestransformation de Fourier (entemps)de l'egalite T =K
t e e ',on a : T=U ! e e ' , 0 i!+ y 0 0 0 i!+ x 0 0 0 i! 1 A T= e e ' , i!T+ 0 y 0 0 0 x 0 0 0 1 1 A T= e e ';
e qui,en revenant au domainetemporel, amene al'equation en T :
t T + 0 y 0 0 0 x 0 0 0 0 1 A T = e e ' :
Onaboutit nalementau systeme ouple suivant : ( t e e '+A i i e e '+C e e '+R T =f t T +DT = e e '; (3.11) ou D= 0 y 0 0 0 x 0 0 0 0 1 A
;quipeutegalement semettre sous laformed'unsysteme deFriedri hs:
t + C R I 3 D + A 1 x +A 2 y 0 0 0 = f 0 ; ave = e e ' T :
Leproblemetemporeletantmissous ette forme,onaalorsletheoreme d'existen esuivant([58 ℄):
Theoreme 3.2.2 Lemodele (3.11) estun modele PMLpour lesequations d'Eulerlinearisees. De
plus,leprobleme de Cau hyasso iea emodele estfortementbien pose,la solutionetant dem^eme
regularite que les donnees.
I Cas ave onve tion Ons'interessedesormais au asou U
0
6=0, asdanslequelleprobleme
temporel quel'on onsidereestle suivant:
t e '+A 1 x e '+A 2 y e '=f; (3.12) ave A 1 =U 1 0 I 3 + 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A etA 2 =U 2 0 I 3 + 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A :
Le theoreme 3.2.1 n'etant alors plus valable, on ne peut pas appliqueri i la m^eme demar he que
pre edemment. Cependant,en e e tuant le hangement de variables :
(t)=x+U 1 0 t (t)=y+U 2 0 t; et en posant 'f = '(e ! ;t); ave !
= (;) et 'e solution de (3.12), on montre que 'f
veri e l'equation : t f ' +A 1 x f ' +A 2 y f ' =f:
Ce probleme ressemble de par sa stru ture auxequations onsiderees pre edemment. Cependant,
elui- i fait intervenir des derivees en
x
et
y
alors que les fon tions sont en (;): Il n'y a
don a priori au une raison pour que le modele PML pre edent puisse s'appliquer i i. De plus,
les trois variables de '
dependent du temps, et une transformation de Lapla e en temps d'une
telle fon tion, point de depart de la demar he utilisee pour etablir la de roissan e du noyau de
Green, ne permet pasd'utiliser les resultas obtenus pre edemment. Dans la these [58 ℄, lesysteme
(3.11) a tout de m^eme ete utilise tel quel sur'
; e i suppose qu'unetransformation de Lapla e
"partielle en temps" (par rapport a la troisieme variable en fait) et non une transformation de
Lapla etotaleentempsaetefaite.Onnepeutdon on lurequantalade roissan eexponentielle
que par rapport aux variables et (sur '
) quidependent du temps, et l'on n'a pas de moyen
d'etablir un lien entre la solution re her hee ' et '
, 'est-a-dire entre faire une transformation
de Lapla e en temps ou partielle en temps. On ne peut don pas, pour le moment du moins,
justi erl'utilisationde e modelePMLpourune oulementporteur onve te et,bienque ertaines
simulations semblent on luantes, on verra lors des resultats numeriques que d'autres mettent en
3.2.2 Un se ond modele PML : les CPML
Ave le modele PML pre edent, on a vu que le as d'un e oulement porteur ave onve tion