A PROPOS DE LA TRANSFORMATION DES VITESSES

N"SPECL4L BULLITIN DE L'UNIONDESPHYSICIENS 19

A PROPOS

DE LA TRANSFORMATION DES VITESSES

Robert FLECKINGER Laboratoire de Physique Quantique

Université Paul Sabatier Mots clés: Référentiels, Cinématique

31062 TOULOUSE cedex

Résumé: On montre par ane critique de pure logique que la formule de changement de réfe?entiel pour les vitesses usuellement u&w’e ne satzsfait pas à l’t!‘qCmlence des r4f&-enticls pour In description rinénmtique des mouvements. On donne l’expression COT- rigée de cette formule et de celles qui lui sont liées (transformation des positions et des accélérntions).

1. Objection

Dans Irs orlwagrs dc mkanique à I’usagc des étudiants du 1” cycle universitaire ou des classes préparatoires ([l], [U], [a], 1 >ar exemple), on appelle “loi de composition des vilesses” la relation:

V(a/,) = v(a/Rr) +

Cette relation s’entend comm.~ suit: Q est un point matériel mobile par rapport aux réf&entiels 72 et E’, VfR,~) est sa vitesse _. par rapport au rbférentiel R, V~,,R,) est sa vitesse par rapport à un aut.w référentiel R’ et V~,,R,R,J la vitesse par rapport à R d’un point mat6ricl 0 imaginaire supposé immohilr dans R’ et qui coincide avec a à l’instant t, ronsidéré.

II s’agit donc hirn dr la loi dr bransformation des vitesses par changement de référentiel.

Trchnicpwmrnt, on btahlit wtte formrtlr de transformation en dérivant pa.r rapport au temps la formule:

OM = 00’ + O’M

Dans cette formule 0,O’ et A{ sont, hien sûr, des points matériels mais OM,O’M et 00’ sont des vecteurs qui ne représenkwt des positions que moyennant le choix obli- gatoire d ‘un r6f6wntiel!. Ell e doit donc être réfémncée, faute de quoi elle fait sponta- nément référence à un espace absolu rlw tout le mondr est srnsé connaitre, mais dont justement il est également hien connu qu’il n’exisk pas.

Lors de cet.te dériva(.ion V(,p,) apparait comme la dirivCc de O’M à “vecteurs de hase de 12’ constants”. Les vecteurs de hase de ‘R’ ne sauraient être constants simultanément dans tous les réf&entiels. II apparaît donc que cette définition de Vto,RS) fait intervenir le r6férentiel ‘R On Ir voit d’autre part sur la formule elle-même; en effet, si nous admettons que Vt,,n) est la vitesse mesurée par un observateur de ‘R elle ne peut dépendre de l’existence ou non d’un autre observateur dans un autre référentiel. Comme VC~,R,R,) dépend manifestement du mouvement relatif de ‘R. et ‘R’, il en résulte que, II priori, V(a~~,) en dépend également. Sinon, il est nécessaire de justifier qu’il n’en est pas ainsi.

La définition mathématique de Vfo~R,) ne respecte pas l’équivalence ciné-

nlatique des référentiels.

Vol 88 - Juin 1994 Robert FLECKMGFR

II. Référentiels

11 est indispensable de préciser ici ce que I’on appelle un référentiel. Les physiciens ont pris l’habitude de repérer tout événement n par l’ensemble d’un vecteur i de Es et d’un nombre réel t.

La correspondance entre le couple “lieu (r), date (t)” et l’événement a dépend juste- ment dn référentiel choisi. Plus précisémrnt pour décrire l’ensemble des événements il est nécessaire de se donner une application de l’espace E3 x R dans l’ensemble E des événe- ments aussi appellé “espace-temps”. Cet espace temps est ainsi rapporté au référentiel R.

Pratiquement, en mécanique classique, on construit cette application en choisissant un sytème de corps dont on suppose I?mmobilité relative et une “horloge “dont on suppose la marche uniforme.

Quoiqu’il en soit, deux observateurs qui ont choisi des référentiels R et R’ différents n’attribuent ni le même “lieu” ni la même “date” à un seul et même événement de I’espace-temps. De façon équivalente mais peut-être plus frappante, en un “lieu” et à une

“date” donnés (un élément de t& x R ) I’événement, qui advient dépend du référentiel!

C’est le sens qu’il faut attribuer à I’exprcssion “relativité de l’espace”. En mécanique de Newton on admet I’existencr d’un r4fkntiel absolu c’est à dire que I’on affirme que tous les observateurs peuvent attribuer le m&ne lieu et la même date à un événement donné.

On sait que l’observation de l’invariancr des lois de l’électromagnétisme par change- ment de référentiel galiléen a conduit à rejrter ce postulat, la conséquence Ia plus remar- quée en étant Ic fait que la dnrée d’un phénomène dépend du référentiel d’observation.

La relativité des distances spatiales est aussi une conséquence de cette théorie. Insistons cependant sur le fait que la relntivit6 de l’espace est déja une conséqwnce de la simple relativité galikwnr (invariance des lois de la physique par les transformations du Groupe de GalilCe).

Pour mettre en évidence la difficulté li& à cette relativité de I’especc considérons les deux reprkntants d’un même événement a dans deux référentiels différents, soit, en notant S l’application qui à un événement fait correspondre un lieu ct une date :

(r, t) = S(a) et (r’, t’) = S’(a)

On a pris soin ici de noter r et r’ les reprkentants drs positions du mobile M dans les deux référentiels pour éviter aprzwi I’idcwtificat,ion géométrique de r’ au vecteur O’M de la formule usuelle. Ce dernier n’est pas en général le vecteur représentant la position de Al dans R’.

le vecteur (r - r’) n’a de signification physique claire dans aucun des deux référentiels! Il n’y n lms dr JPRS ez~~érimental <i la composztion veclotielle de vecteurs veplwentnnt le méme hénernent dnns des référentiels d@‘rents. Par contre (r, t) et (r’, t’) se correspondent par:

(r’.

t’)

t))

S’ x S-’ est nn opkteur sur R, x H que nous appellerons désormais changement de référentiel.

Insistons sur le fait que le repr&cntant d’un événement dépend du réfckntiel et nul- lement d’un choix de base pour &. 1Jn tel choix, qui jusqu’à ce point n’a pas été fait, peut s’avérer indispensable. 11 est alors import,ant, de ne pas le confondre avec un choix de réfkentiel.

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III. Changements de référentiels

Supposons choisis deux référentiels, c.a.d. deux façons d’associer à un événement a de l’espace-temps un représentant et soient (rit) et (r’, t’) ces deux représentants. L’appli- cation de E3 x R dans E3 x R qui fait se correspondre les deux représentants d’un même événement a est le changement de référentiel.

Quelle est la relation entre les deux représentants du même événement?

En mécanique newtonienne on admet que deux observateurs mesurent des distances spatiales identiques entre deux événements simultanés. 11 en résulte que tout changement de référentiel doit laisser invariante la distance euclidienne et l’intervalle de temps. On doit donc avoir:

1’ = t + to.

On sait, d’aut.re part, que toute opération qui laisse invariante la structure euclidienne dr t& est la combinaison d’une translation et d’une rotation. On peut donc affirmer qu’il existe, à chaque instant. un vecteur ru(t) et un opérateur orthogonal [R(t)] tels que:

r(t) - ru(t) = 1 R(t) 1 ( r’(t) ) ou:

r’(t) = [R-‘(t)] (rit) - 4)) Cette formule peut naturellement s’écrire également:

r(t) = [R(t)] (r’(t) - r’o(f)) avec : r;(f) = - [R-‘(t)] (n,(t)) On notera que, contrairement à celle-ci, la formule usuelle:

OM = 00’ + O’M

n’est pas une formule de composifion des ysitions laquelle supposerait que le vecteur O’M, entièrement déterminé par l’événement observé et le choix de son reférentiel par le premier observateur, soit choisi par le second observateur comme représentant de cet événement dans son rhfércntiel.

IV. Transformation des vitesses

Chaque observateur dkfinit ind+ndamment la trajectoire d’un mobile z de dimensions nGgligeables par l’ensemble des lieux occupés par ce mohile au cours du temps dans son référentiel. Soit r(t) la position de x à l’instant t. 11 exprime la vitesse de ce mobile en dérivant par rapport au temps son vecteur représentat,if. On a donc:

v=v dr dr’

(r/K) = yj et V’ = v(,p) = dt

La relation entre V et V’ s’obtient rn d&ivant la relation précédente entre r(t) et r’(t), soit:

qui s’écrit également:

V=IR](V’)+%+[R]x[q](r-rO)

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II est facile de constater q”e:

IRlx[%l

est un opérateur antisymétrique. [R] étant “ne rotation son adjoint R’ (ici également son transposé) est égal à son inverse. On a :

[R’] = [R-l] et donc : [R] x [R’] = 1 II en résulte que :

+W[R’I)=‘J

=[z]x[R’]+[R]x[+]

=([R]x[+])*+[R]x[~]=O(c.q.f.d.)

II existt donc un (I>sewb)vecteur n(t) E & tel que :

[R][%I(=-ro)=nr\(r-r,,)

et on a finalement:

V=[R](V’)t-tRA(r-ro) db dt

n(t) est, par dGfinit,ion, le vrctcur rotation instantanée du référentiel ‘R’ par rapport a” riférrntiel 72.

Remarquons que fl est, comme les autws vecteurs introduits ici, un vecteur de E3. II dépend clairement des deux réf&entiels et c’est justement son apparition dans la formule traditiohelle qui justifie la critique

En comparant avec la formule usuelle on constate que ce n’est pas le vecteur V’ (vitesse dans R’) qui intervient. dans notre formule mais son transformé par la rotation [RI.

Bans notre d&mposition, chacun des deus termes dCpend du changement de

référen-

tiel. Il en résulte qu’elle ne tombe pas sous l’objection fondamentale signal& en I.

On peut bgalement écrire aprk quelques manipulations:

ddt)

dt

fi(t)

r’(t))

Syméthk~rw~wrt on aurait pu écrire :

V’ = [ R-’ ] (V) + 2 + R’ A (r’ - ifo) avec 0’ = -R.

V. Transformation des accélérations

En dérivarIt une secondr fois par rapport au temps, et cn utilisant encore la relation:

[R][%](~I)=C~A((~) a étant un vecteur qurlconque, on obtient:

d2r d2ro

dtz dt* = [R(t)] 2 + y A

r’(t)

rlr’(

t

+O(t)

fi(t)

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+a A (a A (r - rd) t [R(t)] (g)

Il apparaît sur ces formules que l’accélération, comme précédemment la vitesse ne se transforme pas simplement lors d’un changement de référentiel. Les termes qui dépendent du changement de référentiel, lorsqu’ils sont rapportés à un référentiel ‘72’ en mouvement par rapport à un

référmtiel

accélération de Coriolis :

xlng, accélération d’entrainement:

accélération centrifuge:

n A (0 A r’)

Conclusion

En résumé, il apparaît que les formules de changement de référentiel pour les posi- tions, vitesses et ac&lérations d’un mobile z ne sont pas celle usuellement employées si l’on tient compte de la nécessaire équivalence des référentiels ( covariance Galiléenne en I’occurcncc). Nous avons donk ici Ics changcmcnts, finalement assez mineurs quant à la forme, à y apporter. On notera que la difficulté mathématique n’est pas différente de celle que prtkente la version usuelle. L’introduction de la matrice R(t) ne fait qu’an- ticiper I’in&itahle inl.roduction de I’op&ateur antisymétricpx de rotation qui apparaît immédiatement aprés les formules de changement de référentiel dans les ouvrages ci- tes. II apparaît ici comme découlant naturellement du changement de référentiel. Toute la mbcanique usuelle y compris celle des solides en mouvement se developpe sans diffi- cultés. Seules sont modifiées Irs formules faisant explicitement appel à un changement de rcf&cntiel. On notera que cette présentation est celle adoptée par V. Arnold dans son ouvrage de mécanique lorsqu’il traite justement de la mécanique des solides 141.

C’rst aussi le point dc WC dc J.hl. Souriart dans son &tudc des syt$mcs dynamiques 151.

Références J.Ph. F&ez. Mécanique. Masson 1992.

II. Gié, J.P. Sarmant. Mkanique. Baillères 1985.

M. Butin, J.P. Faroux, J. Renault. Mkmiqur 1. Dunod Université 1985.

V. Arnold. h4ethodrs Mathbmatiqnes de la Mécanique Classique. Éditions Mir 1976.

J.M. Souriau. Structure des Systlmes Dynamiques, Dunod 1970.

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