il est donc raisonnable de dire que c’est une formule d’inversion de la transformation de Fourier

(1)

cours 21, le mercredi 6 avril 2011

Dans le cours précédent, on a démontré une formule dont on va voir qu’elle permet de retrouver une mesure finie µ à partir de sa transformée de Fourier µb; il est donc raisonnable de dire que c’est une formule d’inversion de la transformation de Fourier.

Voici cette formule.

Rappel. Si µ est une mesure positive finie sur (R,B_R), on a pour tous a < b (I_µ) 1

2µ {a}

+µ ]a, b[

+ 1

2µ {b}

= lim

ε&0

Z b a

1 2π

Z

R

eⁱ^tx−ε²^t²^/2µ(t) dtb dx.

Si X est une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité (Ω,F,P), on a pour tous les réels a < b

(I_X) P(X =a)

2 + P(a <X < b) + P(X =b)

2 = lim

ε&0

Z b a

1 2π

Z

R

e⁻ⁱ^tx−ε²^t²^/2ϕ_X(t) dt dx.

La formule pour une variable aléatoire est évidemment une conséquence immédiate du cas des mesures finies, appliqué à la loi µ= P_X et tenant compte du changement de signe ϕ_X(t) =Pc_X(−t). Avant de tirer les conséquences de cette formule d’inversion, on va réparer un oubli.

Proposition.

— Si µ est une mesure finie sur (R,B_R), sa transform´ee de Fourier µb est born´ee et continue sur R.

— Si X est une variable aléatoire réelle, sa fonction caractéristique ϕ_X est bornée et continue sur R.

— Si f est une fonction de L¹(R), réelle ou complexe, sa transformée de Fourier fb est bornée et continue sur R.

On peut démontrer (cours Fourier-Hilbert) que fbtend vers 0 à l’infini quand f est une fonction intégrable sur R (lemme de Riemann-Lebesgue). Ç a n’est pas le cas pour les transformées de Fourier des mesures : si µ=δa, la mesure de Dirac au point a, on a

∀t∈R, δb_a(t) = e^−iat,

qui est constamment de module un ; en particulier,δb0 =1. Siµ= ¹₂(δ−1+δ1), on trouve b

µ(t) = cos(t), qui ne tend pas non plus vers 0 `a l’infini.

Exemple. Si U est une variable al´eatoire uniforme sur [−1,1], sa loi est ¹₂1_[−1,1](x)dx et on trouve pour t6= 0

ϕ_U(t) = E eⁱ^tU= Z 1

−1

e^itx dx 2 = 1

2 heⁱ^tx

it i1

x=−1 = sint t .

(2)

Pour t = 0, on trouve ϕ_X(0) = E e⁰ = 1, qui est aussi la limite de ϕ_X(t) quand t tend vers 0, puisque ϕ_X est continue (continuit´e sous l’int´egrale).

Comme la densité est symétrique, cette fonction caractéristique ϕ_U est aussi la transformée de Fourier de la fonction densitéf₀ = ¹₂1_[−1,1]. La transformée de Fourierfb₀ n’est pas intégrable,

Z +∞

0

sint

t

dt= +∞,

bien que la fonction de départ f₀ soit bornée et à support borné. En fait, on rappellera plus loin que si f et fbsont intégrables sur R, la fonction f est Lebesgue-équivalente à une fonction continue, ce qui n’est pas le cas pour f₀ : la transformée de Fourier n’est jamais intégrable quand la fonction n’est pas (équivalente à une fonction) continue.

Si U₁,U₂ sont ind´ependantes uniformes sur [−1,1], on a ϕ_U₁_+U₂(t) =sint

t 2

qui est int´egrable sur R.

Preuve de la proposition. — La démonstration est essentiellement la même pour les trois cas, démontrons par exemple celui de la fonction caractéristique ϕ_X. La fonction caractéristique ϕX d’une variable aléatoire X sur (Ω,F,P) est définie par

(∗) ∀t∈R, ϕ_X(t) = E e^itX= Z

Ω

eⁱ^tX(ω) dP(ω) = Z

R

eⁱ^tx dP_X(x) =Pc_X(−t).

La fonction ϕ_X est born´ee par 1,

|ϕ_X(t)|= Z

Ω

e^itX(ω) dP(ω)≤ Z

Ω

|eⁱ^tX(ω)|dP(ω) = Z

Ω

dP(ω) = 1, et le maximum du module de ϕ_X est atteint au point t= 0,

ϕ_X(0) = E e⁰ = 1.

La fonction ϕ_X est continue sur R d’après les théorèmes de continuité sous l’intégrale : en effet, la fonction sous (disons) la première intégrale de (∗), à savoir

f(t, ω) = eⁱ^tX(ω)

est continue en t et admet la majoration-´egalit´e suivante pour son module,

|f(t, ω)|=|eⁱ^tX(ω)|= 1,

majorant indépendant du paramètret; ce majorant est une fonction constante, intégrable par rapport à la mesure finie P, donc le théorème de continuité s’applique à l’intégrale fonction de t.

(3)

Traitons un exemple d’application de la formule (I_µ), exemple o`u les complications des intervalles semi-ouverts prennent tout leur sens.

Exemple. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité ; si X est une variable de Bernoulli symétrique définie sur Ω, qui ne prend presque sûrement que les valeurs −1 et +1, et de fa¸con que P(X =±1) = 1/2, sa loi est

µ= P_X= 1

2δ₋₁+ 1 2δ₁,

demi-somme des mesures de Dirac aux points −1 et 1. En modifiant X sur un ensemble négligeable N ∈ F, on pourra supposer dans la suite, sans changer la loi de X, que X ne prend vraiment que les valeurs −1 et 1 (tout cela pour dire : mentionner la variable aléatoire X ici n’est pas très sérieux, c’est un habillage probabiliste inutile ; seule la mesure P_X importe).

La fonction caractéristique de X est égale à ϕ_X(t) =bµ(−t) = eît+ e⁻ît

2 = cost=µ(t).b Si on choisit a =−1, b= 1 dans la formule (I_µ), on observe que

µ {−1}

= P_X {−1}

= P_X {1}

= 1/2 et µ ]−1,1[

= 0.

On trouve donc d’apr`es la formule (Iµ) que 1

2µ {−1}

+µ ]−1,1[

+ 1

2µ {1}

= 1/2 = lim

ε&0

Z 1

−1

1 2π

Z

R

e^itx−ε²^t²^/2cos(t) dt dx.

Ensuite par Fubini on obtient π = lim

ε&0

Z

R²

1_[−1,1](x) e^itx−ε²^t²^/2cos(t) dtdx= lim

ε&0

Z

R

Z ¹

−1

e^itx dx

e^−ε²^t²^/2cos(t) dt, qui devient

π= lim

ε&0

Z

R

2 sin(t)

t e^−ε²^t²^/2cos(t) dt= lim

ε&0

Z

R

sin(2t)

t e^−ε²^t²^/2 dt.

En effectuant le changement de variableu = 2t, on obtient π = lim

ε&0

Z

R

sinu

u e^−ε²^u²^/8 du.

On peut raisonnablement esp´erer que cette expression va tendre, quand ε → 0, vers l’int´egrale semi-convergente Z +∞

−∞

sinu u du,

et on va le démontrer par la même méthode d’intégration par parties qui nous avait permis de justifier la convergence (simple) de l’intégrale de sin(t)/t, en prouvant que

Z +∞ 0

sint t dt=

Z +∞ 0

1−cost t² dt,

(4)

ramenant ainsi l’intégrale semi-convergente à une intégrale absolument convergente. On a

par parit´e Z

R

sinu

u e⁻^ε²^u²^/8 du= 2 Z +∞

0

sinue⁻^ε²^u²^/8

u du

= 2h

(1−cosu)e⁻^ε²^u²^/8 u

i⁺^∞

0

+ 2 Z +∞

0

(1−cosu)_e⁻^ε²^u²^/8 u² +ε²

4 e⁻^ε²^u²^/⁸ du

= 2 Z +∞

0

1−cosu

u² e⁻^ε²^u²^/8 du+ ε 2

Z +∞ 0

(1−cos(v/ε))e⁻^v²^/8 dv

(on a posév=εudans le deuxième terme) ; le deuxième terme tend évidemment vers 0 et le premier tend, par Lebesgue dominé, vers

2 Z +∞

0

1−cosu

u² du= 2 Z +∞

0

sinu u du.

Comme la limite de l’expression était égale à π, on déduit le résultat classique Z +∞

0

sinu

u du= π 2.

Dans le cas d’une mesure `a densit´e dµ(x) = f(x) dx, les singletons {a} et {b} sont de mesure nulle et la formule (I_µ) devient

(If)

Z b a

f(x) dx= lim

ε&0

Z b a

1 2π

Z

R

eⁱ^tx−ε²^t²^/2fb(t) dt dx.

Cette nouvelle formule est linéaire par rapport à f : si on l’applique séparément aux deux fonctions positives f⁺ et f⁻, on l’obtient pour f intégrable réelle, et ensuite, en considérant les deux fonctions réelles Ref et Imf, on obtient la formule (I_f) pour f intégrable à valeurs complexes.

Injectivit´e de la transformation de Fourier

Proposition. Si µ et ν, mesures positives finies sur (R,B_R), ont la même transformée de Fourier, elles sont égales.

Preuve. —Pour tous a < b, introduisons la fonctionχ_a,b qui est égale à 1 sur l’intervalle ouvert ]a, b[, à 0 en dehors de l’intervalle fermé [a, b] et à 1/2 aux points a et b,

χ_a,b(x) = 1

21_{a}+1_]a,b[+ 1 21_{b}.

D’après la formule (I_µ), l’intégrale par rapport à µ de la fonction χ_a,b, égale à 1

2µ {a}

+µ ]a, b[

+ 1

2µ {b}

,

est obtenue à partir de la fonction µb; si les transformées de Fourier deµetν sont égales,

on d´eduit que Z

R

χ_a,bdµ= Z

R

χ_a,bdν

(5)

pour tous a < b; pour a, b fix´es on voit que χa+1/n,b+1/n −→

n→+∞ 1_]a,b],

et la convergence est dominée par la constante1, qui est intégrable pour les deux mesures finies µ etν. En appliquant deux fois le théorème de convergence dominée, on obtient

µ ]a, b]

= Z

R

1_]a,b]dµ= lim

n

Z

R

χa+1/n,b+1/ndµ

= lim

n

Z

R

χa+1/n,b+1/ndν = Z

R

1_]a,b]dν=ν ]a, b]

,

pour tous a < b, ce qui implique l’égalité µ=ν par les résultats du chapitre III.

Proposition. La transformation de Fourier est injective sur L¹(R).

Preuve. — La transformation de Fourier est linéaire sur L¹(R), il suffit donc de vérifier que son noyau ne contient que le vecteur nul de L¹(R). Si f est à valeurs complexes et vérifie fb= 0, la formule (I_f) implique

(∗)

Z b a

f(x) dx= 0,

pour tous a < b; on voit que Ref et Imf vérifient la même propriété (∗), donc il suffit de traiter le cas de fonctions à valeurs réelles. Si f est réelle et vérifie (∗), on obtient pour tous les réels a < b, en séparant f⁺ et f⁻, que

Z b a

f⁺(x) dx= Z b

a

f⁻(x) dx.

Cela implique que les mesures positives finies dµ⁺(x) =f⁺(x) dx et dµ⁻(x) =f⁻(x) dx sont ´egales sur la tribu bor´elienne de R. Posons

A = {f ≥0} ∈ B_R; alors,

Z

R

f⁺(x) dx= Z

R

1_A(x)f⁺(x) dx=µ⁺(A) =µ⁻(A) = Z

R

1_A(x)f⁻(x) dx= 0,

car la fonction 1_Af⁻ est nulle ; il en résulte que f⁺ est nulle presque partout, et de même pour f⁻ en travaillant avec{f ≤0}. On a bien montré que f = 0_L¹.

(6)

Fourier et convolution ; somme de variables al´eatoires ind´ependantes

Théorème. Si µ et ν sont deux mesures finies sur (R,B), la transformée de Fourier de la convolée µ∗ν est le produit des deux fonctions µbet ν,b

d

µ∗ν =bµν.b Si f, g sont int´egrables sur R, on a

fd∗g =fbbg.

Si X,Y sont deux variables aléatoires réelles définies sur Ω, indépendantes, on a

∀t ∈R, ϕ_X+Y(t) =ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

Vérification. — On pose, pour un t fixé, χ_t(x) = eⁱ^tx; on a par l’indépendance de X et de Y

ϕ_X+Y(t) = E e^it(X+Y) = E eⁱ^tXe^itY

= E χ_t(X)χ_t(Y)

= (Eχ_t(X))(Eχ_t(Y)) =ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

Pour le cas des mesures, on applique la formule de transfert qui ramène l’intégration de la fonction ψt(x) = e⁻îtx à la mesure produit µ⊗ν,

d µ∗ν(t) =

Z

R

ψ_td(µ∗ν) = Z

R²

ψ_t(x+y) dµ(x)dν(y)

= Z

R²

e^−it(x+y) dµ(x)dν(y) =Z

R

e⁻ⁱ^tx dµ(x)Z

R

e⁻ⁱ^ty dν(y)

=µ(t)b ν(t).b Pour le cas de la convolution des fonctions, on utilise Fubini.

Exercice : sommes de variables al´eatoires gaussiennes ou de Poisson ind´ependantes.

Considérons une suite (G₁, . . . ,G_n) de variables aléatoires indépendantes définies sur Ω, toutes de même loi gaussienne dγ(x) = (2π)^−1/2e^−x²^/2 dx. Si c²₁ + · · ·+c²_n = 1, la variable aléatoire

X =c₁G₁+· · ·+c_nG_n a la mˆeme loi gaussienne γ.

Comme la fonction caractéristique détermine la loi de X, il suffit de calculer ϕ_X. Pour chaque j = 1, . . . , non a ϕ_G_j(t) = e^−t²^/2, et d’après l’indépendance,

ϕ_X(t) = E eⁱ^tX= E e^it(c¹^G¹^+···+cⁿ^Gⁿ⁾

= E

eⁱ^tc¹^G¹e^itc²^G². . .e^itcⁿ^Gⁿ

= E eⁱ^tc¹^G¹E e^itc²^G². . .E eⁱ^tcⁿ^Gⁿ

=ϕ_G₁(tc₁)ϕ_G₂(tc₂). . . ϕ_G_n(tc_n) = e^−t²^c²¹^/2. . .e^−t²^c²ⁿ^/2 = e^−t²^/2, ce qui d´emontre l’affirmation.

Pour une variable de Poisson Y de param`etre θ, on aura Y =

+∞X

n=0

n1_(Y=n)

(7)

donc

E eⁱ^tY =

+∞X

n=0

P(Y =n) eⁱ^tn =

+∞X

n=0

e^−θ θⁿ n! e^itn

= e^−θ

+∞X

n=0

θe^itn

n! = e^−θ+θêît = e^−θ(1−eît⁾.

Si Y₁ est une variable de Poisson de paramètre θ₁ et Y₂ une variable de Poisson de paramètre θ₂, et si elles sont indépendantes, on déduit que Y₁+ Y₂ est une variable de Poisson de paramètre θ₁+θ₂ en identifiant la fonction caractéristique,

ϕ_Y₁_+Y₂(t) = e^−θ¹^(1−eît⁾e^−θ²^(1−eît⁾= e^−(θ¹^+θ²^)(1−eît⁾.

Transform´ee de Fourier int´egrable

Lemme 1.Si la fonction k r´eelle ou complexe est int´egrable sur R, on a

ε&0lim Z b

a

Z

R

eⁱ^tx−ε²^t²^/2k(t) dt dx =

Z b a

Z

R

e^itxk(t) dt dx.

Preuve. — On peut procéder sans Fubini avec deux Lebesgue dominés, ou bien avec Fubini et un seul Lebesgue. Prenons le deuxième chemin ; par Fubini,

Z b a

Z

R

e^itx−ε²^t²^/2k(t) dt dx=

Z

R²

1_[a,b](x) eⁱ^tx−ε²^t²^/2k(t) dtdx.

L’int´egrale double sur R² F(ε) =

Z

R²

1_[a,b](x) eîtx−ε²^t²^/2k(t) dtdx, dépendant du paramètre réel ε, fait intervenir la fonction

f(ε, x, t) = 1_[a,b](x) e^itx−ε²^t²^/2k(t) qui est continue en ε, mesurable en (x, t) et v´erifie

|f(ε, x, t)| ≤ 1_[a,b](x)|k(t)|,

qui est un majorant intégrable en dxdt d’après l’hypothèse sur la fonction k et d’après la finitude de la mesure de [a, b]. On en déduit que F est continue sur R, donc

F(0) = Z

R²

1_[a,b](x) eⁱ^txk(t) dtdx est la limite de F(ε) quand ε→0.

(8)

Proposition. Si µ est une mesure positive finie sur (R,B) et si sa transformée de Fourier µb est intégrable sur R, alors µ admet la densité

f(x) = 1 2π

Z

R

e^ixtbµ(t) dt

par rapport à la mesure de Lebesgue. Cette densité est une fonction continue et bornée.

Si la fonction caractéristique ϕX est intégrable sur R, la loi de X admet la densité f_X(x) = 1

2π Z

R

e⁻ⁱ^xtϕ_X(t) dt.

Preuve. — Le lemme 1 permet de calculer la limite quand ε & 0 qui figure dans la formule (I_X) ; on obtient ainsi, pour tous a < b,

P(a < X≤b) + P(a≤X < b)

= P(X =a) + 2 P(a <X < b) + P(X =b) = 2 Z b

a

1 2π

Z

R

ϕ_X(t) e⁻ⁱ^tx dt dx.

Posons

f(x) = 1 2π

Z

R

ϕ_X(t) e⁻ⁱ^tx dt;

cette fonction f est continue et bornée sur R (c’est la transformée de Fourier de la fonction supposée intégrable ϕ_X). La majoration

FX(b)−FX(a) = P(a <X≤b)≤

≤P(a <X≤b) + P(a ≤X < b) = 2 Z b

a

f(x) dx≤2kfk_∞(b−a),

valable pour tous a < b, implique que la fonction de répartition FX est continue, donc P(X =t₀) est nul pour tout réel t₀, et la formule (I_X) se simplifie légèrement en

P_X ]a, b]

= P(a <X≤b) = F_X(b)−F_X(a) = Z b

a

f(x) dx;

les deux mesures PX et f(x) dx co¨ıncident sur tous les intervalles ]a, b], donc elles sont

égales, ce qui signifie que f est la densité de la mesure P_X. Cela termine la preuve du cas probabiliste. Le cas des transformées de Fourier de mesures est identique, au signe près dans l’exponentielle e^±i^tx.

(9)

On approche de laformule d’inversion de Fourier pour les fonctions intégrables dont la transformée de Fourier est intégrable.

Théorème (inversion de Fourier). Sif ∈L¹(R) a une transformée de Fourier fbqui est intégrable sur R, alors la classe f admet le représentant continu

x∈R → 1 2π

Z

R

f(t) eb ^itx dt.

En particulier, si f est une fonction continue sur R, si f et sa transformée de Fourier fb sont intégrables sur R, on a pour tout x réel

f(x) = 1 2π

Z

R

fb(t) e^itx dt.

Preuve. — D’apr`es le lemme 1 et la formule (If), on voit que pour tous a < b, Z b

a

f(x) dx= Z b

a

1 2π

Z

R

fb(t) e^itx dt dx.

Posons pour tout x r´eel

F(x) = 1 2π

Z

R

fb(t) eⁱ^tx dt.

La fonction F est la transformée de Fourier de la fonction intégrable t→fb(−t), donc F est continue et bornée sur R. On a pour tous a < b

Z b a

f(x)−F(x)

dx = 0.

On en déduit que f = F Lebesgue-presque partout sur R. Dans le cas où f est déjà donnée comme fonction continue sur R, on peut remarquer que l’ensemble

V ={x∈R:f(x)6= F(x)}

est un ouvert, de mesure de Lebesgue nulle puisquef = G presque partout. Mais le seul ouvert de R de mesure de Lebesgue nulle est l’ensemble vide, donc f(x) = F(x) pour tout x r´eel.

Exemple. Consid´erons la fonction int´egrable et continue f(t) = e^−|t|. Calculons f(x) =b

Z

R

e^−|t|e⁻^ixt dt; on obtient

fb(x) = Z

R

e^−|t|e⁻ⁱ^xt dt = Z +∞

0

e^−t−ixt dt+ Z +∞

0

e^−u+i^xu du

= Z +∞

0

e⁻⁽¹⁺ⁱ^x)u+ e^−(1−ix)u

du= 1

1 + ix + 1

1−ix = 2 1 +x².

Cette transformée de Fourier est intégrable. L’inversion de Fourier permet de trouver la fonction caractéristique de la loi de Cauchy,

∀t∈R, Z

R

e^ixt dx

π(1 +x²) = e^−|t|.

(10)

Sommes de variables de Cauchy ind´ependantes On peut penser que le fait de consid´erer la moyenne

Zn(ω) = X1(ω) +· · ·+ Xn(ω) n

des résultats indépendants successifs (X_k(ω)) d’une même expérience aléatoire, pour n assez grand, a des chances de stabiliser le phénomène, en réduisant l’influence de l’aléa.

C¸ a n’est pas toujours le cas, comme l’indique l’exercice qui suit.

Exercice.Si les (X_j) sont des v.a. de Cauchy ind´ependantes, de loi dx

π(1 +x²),

la variable aléatoire Z_n définie ci-dessus a toujours la même loi de Cauchy !

Solution. — On a vu que la fonction caract´eristique de ces variables de Cauchy est donn´ee par

∀t ∈R, ϕ_X_j(t) = e^−|t|; par cons´equent,

ϕ_Z_n(t) = E e^itZⁿ = EYⁿ

j=1

e^{i (t/n)X}^j

= Yn

j=1

ϕ_X_j(t/n) = e^−|t|/nn

= e^−|t|.

La loi des grands nombres indique que ce phénomène ne peut pas se produire pour des variables intégrables. Les variables de Cauchy ne sont pas intégrables : si X est de Cauchy,

E|X|= Z

R

|x| dx

π(1 +x²) = 2 Z +∞

0

x

π(1 +x²)dx

qui est infinie, car la fonction intégrée est équivalente à un multiple non nul de 1/x quand x tend vers +∞ (on peut aussi calculer directement

Z A 0

2x

1 +x² dx= ln(1 + A²), qui tend vers l’infini avec A).