Formule d’inversion de Fourier.

Formule d’inversion de Fourier.

2013 – 2014

Pourf ∈L¹(R) on définit la transformée de Fourier def par f(t) =ˆ

Z

R

e^−itxf(x) dx.

On donne aussi la définition d’une approximation de l’unité :

Définition. Une suite (αn)_n≥1 d’éléments deL¹(R) est une approximation de l’unité si elle vérifie

(i) pour toutn≥1, Z

R

αn= 1, (ii) sup

n≥1

Z

R

|α_n|<+∞, (iii) pour toutε >0, lim

n→+∞

Z

|t|≥ε

|α_n|= 0.

On rappelle le théorème suivant : Théorème.

Soit(αn)_n≥1 une approximation de l’unité,p∈[1,+∞[ etf ∈L^p(R). Alors

∀n≥1, f∗αn ∈L^p(R) et f∗αn k·kp

−−−→f.

Le résultat à démontrer est le suivant : Théorème.

Soitf ∈L¹(R)telle quefˆ∈L¹(R). Alors pour presque toutx∈R, f(x) = 1

2π Z

R

fˆ(t)e^ixtdt= 1 2π

ˆˆ f(−x).

Démonstration. On pose

an(x) := 1 2πe^−|x|n

et on introduit αn := acn. Montrons que (αn)n≥1 est une approximation de l’unité.

1

αn(t) = 1 2π

Z

R

e^{−|x|n−itx}dx

= 1 2π

Z 0

−∞

e^nx−itxdx+ 1 2π

Z +∞

0

e^−xn−itxdx

= 1 2π

e^nx−itx

1 n−it

⁰

−∞

+ 1 2π

e^−nx−itx

−_n¹ −it ^+∞

0

= 1 2π

1

1

n−it+ 1

1 n +it

=n π

1 1 + (nt)². On a alors

Z

R

α_n(t) dt= n π Z

R

dt 1 + (nt)²

= 1 π

Z

R

du 1 +u² = 1.

Par ailleurs, pourε >0, Z

|t|≥ε

αn(t) dt= n π Z

|t|≥ε

dt 1 + (nt)²

= 1 π

Z

|u|≥nε

du 1 +u²

= 1 π

Z

R

1

1 +u²1_{|u|≥nε}(u) du−−−−−→

n→+∞ 0 par convergence dominée.

(α_n)_n≥1 est donc une approximation de l’unité. On a alors αn∗f(x) =

Z

R

αn(x−t)f(t) dt

= Z

R

Z

R

an(u)e^−iu(x−t)duf(t) dt

= Z

R

an(u)e^−iux Z

R

f(t)e^iutdtdu

par application du théorème de Fubini, car|a_n(u)e^−iu(x−t)f(t)|=|a_n(u)f(t)|est intégrable pour la mesure produit dtdud’après le théorème de Fubini-Tonelli.

On en déduit, par parité dean, α_n∗f(x) =

Z

R

a_n(u)e^iux Z

R

f(t)e^−iutdtdu

= Z

R

an(u)e^iuxfˆ(u) du.

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Or |an(u)e^iuxf(u)| ≤ |ˆ fˆ(u)| ∈L¹(R) et lim_n→+∞an(u) = _2π¹ pour toutu. En appliquant le théorème de convergence dominée on a donc

n→+∞lim α_n∗f(x) = 1 2π

Z

R

fˆ(u)e^iuxdu= 1 2π

ˆˆ f(−x).

Par ailleurs,f ∈L¹(R) et (αn) est une approximation de l’unité donc limn→+∞kαn∗ f−fk1= 0. D’après le théorème de Riesz-Fischer, il existe une sous-suite (αϕ(n)) telle que α_ϕ(n)∗f converge presque partout vers f. D’où f = fˆˆ(−·) presque partout.

Remarque. Si on prend pour convention fˆ(t) =

Z

R

f(x)e^−2iπtxdx, il faut prendrea_n(x) :=e^−|x|n .

Références

[1] Marc Briane, Gilles Pagès,Théorie de l’intégration, Vuibert, 2006, page 279.

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