II Transformation d’Ornstein-Uhlenbeck

A2018 – MATH II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,

MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 3 heures

L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les

raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Transformation d’Ornstein-Uhlenbeck

Définition 1 (Fonctions dérivables) Pour tout entier k, on notera C_b^k(R) l’ensemble des fonctions bornées de classeC^k sur R dont toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à k sont aussi bornées. On note

ÎfÎŒ= sup

xœR|f(x)|et ÎfÎk,Œ= sup

j=0,···,kÎf^(j)ÎŒ, où, comme d’habitude, f⁽⁰⁾=f.

Définition 2 (Fonctions à croissance lente) On dira qu’une fonction f est à crois- sance lente si et seulement si il existe (A, m)œR^ú₊◊N tels que pour tout réel x,

|f(x)|ÆA(1 +|x|^m).

On noteraCl(R) l’ensemble des fonctions continues sur R qui sont à croissance lente.

On note Cl^k(R) l’ensemble des fonctions à croissance lente, de classe C^k dont toutes les dérivées jusqu’à l’ordre k sont à croissance lente.

On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour kØ0, pour toute fonction f de classe C^k+1 sur[a, b],

f(b) =^ÿk

j=0

f^(j)(a)

j! (b≠a)^j+ 1 k!

⁄ b

a(b≠t)^kf^(k+1)(t)dt.

I Préliminaires

1. Montrer que pour toute fonction f de classeC^k+1 sur [a, b], f(b) =^ÿk

j=0

f^(j)(a)

j! (b≠a)^j+(b≠a)^k+1 k!

⁄ ₁

0 (1≠◊)^kf^(k+1)(a+◊(b≠a))d◊.

Pour nœNet–>0, on définit

gn,– : R≠æR x‘≠æxⁿe^≠–x2.

2. Démontrer que pour tout –>0, pour toutnØ0,

|x|æ+Œlim x²g_n,–(x) = 0, et en déduire que g_n,– est intégrable sur R.

On admettra que _⁄

Re^≠y2/2 dy=Ô 2fi.

3. Calculer _⁄

Π0

e^≠3t Ô1≠e^≠2t dt en utilisant le changement de variables ◊= arcsin(e^≠t).

4. Démontrer que pour tout (m, n)œN², la fonction x‘æ (1 +|x|^m)(1 +|x|ⁿ)

1 +|x|^n+m ,

est bornée surR. En déduire queCl(R) est unR-espace vectoriel qui est stable par produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent à Cl(R).

II Transformation d’Ornstein-Uhlenbeck

Pour simplifier les notations, pour tØ0,on pose

—_t=^1≠e^≠2t.

5. Démontrer que pour tout f œCl(R), pour toutxœR et tout tØ0la fonction R≠æR

y‘≠æ 1

Ô2fi f¹e^≠tx+—_ty²e^≠y

2 2

est intégrable sur R.

Pour touttØ0, on définit alors la fonctionPtf parP₀f =f et pour toutt >0, Ptf : R≠æR

x‘≠æ

⁄

Rf¹e^≠tx+—_ty²e^≠y

2

2 dy

Ô2fi·

Pour xœR, on notehx la fonction définie par h_x : R+≠æR

t‘≠æP_tf(x).

6. Démontrer que, pour toutf œCl(R)et toutxœR,hxest une fonction continue sur R+ vérifiant

tlimæŒPtf(x) =^⁄

Rf(y)e^≠y22 dy Ô2fi·

Indication. On pourra utiliser, après l’avoir prouvée, l’inégalité suivante : pour tout (x, y)œR² et tout tØ0 :

--

-e^≠tx+—ty^--_-Æ|x|+|y|.

7. A l’aide d’un changement de variables, démontrer que pour tout f œ Cl(R), tout x, hœR et toutt >0 :

Ptf(x+h) =^⁄

Rf(e^≠tx+—ty) exp¹≠1

2(y≠e^≠t

—_t h)²² dy Ô2fi·

Pour –>0etyœR fixés, soitÂy la fonction définie par Â_y : [≠1/–,1/–]≠æR

h‘≠æexp(≠1

2(y≠–h)²).

8. Montrer que sup

hœ[≠1/–,1/–]|Â_y^Õ(h)|Æ

I–(|y|+ 1) si |y|Æ1, –(|y|+ 1) exp(≠¹₂(|y|≠1)²) si |y|>1.

9. Soit f œCl(R)ett >0 fixé. Déterminer

hlimæ0

P_tf(x+h)≠P_tf(x)

h ·

En déduire que P_tf est de classe C¹ sur R et que pour toutx œR, sa dérivée est donnée par :

(P_tf)^Õ(x) = e^≠t

—t

⁄

Rf(e^≠tx+—_ty) y e^≠y

2

2 dy

Ô2fi·

10. Démontrer que pour tout (a, b)œR² et tout mØ0 :

|a+b|^mÆ2^m(|a|^m+|b|^m).

En déduire que pour toutf œCl(R), on ax‘æP_tf(x)œCl(R).

On admet dorénavant le lemme suivant.

Lemme 1 Si f appartient à C_l^k alors pour tout t > 0, la fonction x ‘æ P_tf(x) est de classe C^k et

(Ptf)^(k)(x) =e^≠kt

⁄

Rf^(k)(e^≠tx+—_ty)e^≠y

2

2 dy

Ô2fi· (1)

III Générateur infinitésimal

Dans toute cette partie, on suppose quef appartient àC_l²(R) et l’on fixe xœR.

11. Démontrer que h_x est C¹ surR^ú₊ et que pour toutt₀ >0,

h^Õ_x(t₀) =≠e^≠t0x (Pt0f^Õ)(x) +e^≠2t0

—t₀

⁄

Rf^Õ(e^≠t0x+—_t0y) y e^≠y

2

2 dy

Ô2fi·

12. Soit gœC_l¹(R), montrer que

⁄

Rg(—t0y) y e^≠y

2

2 dy

Ô2fi =—_t0

⁄

Rg^Õ(—t0y)e^≠y

2

2 dy

Ô2fi·

13. Montrer queh_x estC¹ surR+ à l’aide du théorème de prolongement et que h^Õ_x(0) =f^ÕÕ(x)≠xf^Õ(x).

On notera Ll’opérateur défini par L : Cl²≠æCl(R)

f ‘≠æLf : ¹x‘æf^ÕÕ(x)≠xf^Õ(x)² ou de façon plus simple, pour toutxœR,

(Lf)(x) =f^ÕÕ(x)≠xf^Õ(x).

IV Théorème central limite

On admet le théorème de représentation suivant.

Théorème 1 Pour toute fonction f œC_l²(R), pour tout y œR, Ô1

2fi

⁄

Rf(x)e^≠x2/2 dx≠f(y) =^{⁄ Œ}

0 L(Ptf)(y)dt.

Soit (Xn, n Ø 1) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépen- dantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisé( ,A,P). On suppose de plus que |X₁|³ a une espérance finie.

14. Montrer queX₁ etX₁² ont une espérance finie.

Indication. On pourra découper l’espace probabilisé selon la position de |X₁(Ê)| par rapport à1.

On suppose dorénavant que E^#X₁^2$= 1 etE[X1] = 0.On fixe nØ1 et l’on pose S= 1

Ôn ÿn i=1

X_i etS^(j) = 1 Ôn

ÿn i=1i”=j

X_i.

15. Rappeler la définition de l’indépendance mutuelle des variablesX₁,· · · , X_n. En dé- duire que les variables X₁ et(X₂,· · · , X_n) sont indépendantes.

16. Pour g fonction bornée, montrer que pourmœ{1,2,3}et tout iœ{1,· · · , n}, E^ËX_i^mg(S⁽ⁱ⁾)^È=E[X_i^m]E^Ëg(S⁽ⁱ⁾)^È. (2)

Dans les questions suivantes, on suppose gœC_b³. 17. Déduire de (2) l’identité suivante :

E^#g^ÕÕ(S)≠S g^Õ(S)^$= 1 n

ÿn i=1

E^Ëg^ÕÕ(S)≠g^ÕÕ(S⁽ⁱ⁾)^È

≠ 1 Ôn

ÿn i=1

E⁵Xi

3

g^Õ(S)≠g^Õ(S⁽ⁱ⁾)≠ Xi

Ông^ÕÕ(S⁽ⁱ⁾)⁴⁶. (3)

18. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question 1, établir l’identité suivante :

E[Lg(S)] = 1 n^3/2

ÿn i=1

E⁵X_i

⁄ ₁

0 g⁽³⁾(S⁽ⁱ⁾+ ◊

ÔnX_i) d◊

6

≠ 1 n^3/2

ÿn i=1

E⁵X_i³

⁄ 1

0 (1≠◊) g⁽³⁾(S⁽ⁱ⁾+ ◊

ÔnXi) d◊

6 .

19. Montrer que

--

-E[Lg(S)]^--_-Æ ÎgÔ⁽³⁾ÎŒ

n E^Ë|X₁|+|X₁|^3È.

20. En utilisant la question 9 et l’équation (1), montrer que pour f œ C_b², pour tout t >0, pour tout réelx,

(Ptf)⁽³⁾(x) = e^≠3t

—_t

⁄

Rf^ÕÕ(e^≠tx+—_ty)ye^≠y2/2 dy Ô2fi, puis que

Î(Ptf)⁽³⁾ÎŒÆ Ú2

fi e^≠3t

—_t ÎfÎ2,Œ.

21. En déduire que sup

fœC²_b

--

--E[f(S)]≠

⁄

Rf(y)e^≠y2/2 dy Ô2fi

-- --Æ

Ôfi 2Ô

2

ÎfÔÎ2,Œ

n E^Ë|X₁|+|X₁|^3È.

On admet que l’expression suivante sup

fœC_b² ÎfÎ2,ŒÆ1

--

-E[f(X)]≠E[f(Y)]^--_-

définit une distance entre les lois de X et de Y. On a donc montré que la vitesse de convergence dans le théorème de la limite centrée est de l’ordre de 1/Ôn.

Fin du problème