Contenus à savoir absolument

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Contenus à savoir absolument

1.L’ensemble des nombres

L'ensemble des entiers naturels : ℕ

L'ensemble des entiers naturels est formé de tous les nombres entiers positifs ou nuls. il contient les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... Cet ensemble se note ℕ.

L'ensemble des entiers relatifs : ℤ

L'ensemble des entiers relatifs est formé de tous les nombres entiers naturels et de leurs opposés -1 ; -2 ; -3 ; -4 ; ... Cet ensemble se note ℤ.

Un nombre appartenant à l'ensemble des entiers naturels appartient donc à l'ensemble des entiers relatifs, on dira que l'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des entiers relatifs et on le note : ℕ ⊂ ℤ

L'ensemble des entiers décimaux :

L'ensemble des nombres décimaux contient tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme a/10ⁿ avec n un entier naturel et a un entier relatif. Il se note :

.

Exemple : 5,72 est un nombre décimal car on peut l'écrire sous la forme d'une fraction décimale :

5,72=

⁵⁷²₁₀₀

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Exercice à essayer :

Place dans chaque cas le nombre proposé dans le plus petit ensemble auquel il appartient. Attention aux pièges : une fraction peut être un nombre décimal et même parfois un nombre entier si le numérateur est un multiple du dénominateur (exemple : 12/3 est un nombre entier car 12/3 = 4). De même la racine carrée d'un nombre entier peut être un nombre entier.

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2.Nombres premiers et PGCD

Diviseur

: Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0.

On dit que b est un diviseur de a lorsque le quotient a/b est un nombre entier.

On peut dire alors :

• b est un diviseur de a

• b divise a

• a est un multiple de b

• a est divisible par b

Définition nombre premier

^:

Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples :

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 et 19 sont les nombres premiers inférieurs à 20.

Remarques :

-> 1 n'est pas premier car il admet un seul diviseur : lui-même.

-> le plus petit nombre premier est 2, c'est le seul nombre premier pair.



Décomposition en produit de facteurs premiers :

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.

Exemples :

24 = 2×2×2×3 = 2³×3 98 = 2×7×7 = 2×7²

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PGCD

: le Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres entiers a et b est appelé le PGCD de a et de b et est noté PGCD(a; b)

Nombres premiers entre eux

:

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.

Autrement dit, a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a ; b) = 1.

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3 .LES NOMBRES PAIRS ET IMPAIRS :COMMENT LES ECRIRE ?

Pour de nombreuses démonstrations concernant les nombres pairs et impairs, on demande de démontrer des propriétés en utilisant une écriture caractéristiques des nombres.

Explication :

Dans la division ( euclidienne ) par 2 d’un nombre entier, le reste de la division ( toujours strictement inférieur au diviseur ) ne peut être que 0 ou 1.

NOMBRE PAIR

Si le reste est 0, alors le nombre est divisible par 2 et donc est pair. L’écriture d’un nombre pair est donc 2 n .

NOMBRE IMPAIR

Si le nombre est impair, son reste est 1. L’écriture d’un nombre impair ( qui est également le successeur d’un nombre pair ) est donc 2 n + 1

EX : 9 est un nombre impair. Une écriture de 9 est 2 x 4 + 1 21 est un nombre impair. Une écriture de 21 est 2 x 10 + 1

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Des définitions possibles:

- Nombre dont le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9.

- Nombre entier qui n’est pas divisible par deux.

- Nombre de la forme (2n + 1) ou (2n – 1) où n Z∈

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EXERCICE : Soit n un entier naturels

a) Calculer (n+1)² – n²

b) Quelle est la parité du résultat obtenu ?

CORRECTION :

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EXERCICE sur les décimaux :

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OMAR :

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LUCIE :

LEO :

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AMINATA :

QUESTION : A vous !

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La définition scientifique :

Nombre décimal : C’est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

Que dire aux élèves ?

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ARITHMETIQUE-SCRATCH

corrigé des exercices

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EXERCICE 1: arithmétique (d’après un sujet de Dijon)

Donné au concours : On rappelle que, si un nombre entier a une décomposition en produit de facteurs premiers de la forme

a

^m^x

b

ⁿ^x

c

^p, alors il possède exactement diviseurs (m+1)x(n+1)x (p+1) diviseurs.

1) Détérminér tous lés diviséurs dé 72.

2) Détérminér lé PGCD dé 5390 ét 5880.

3) Détérminér un diviséur commun à 5390 ét 5880, lé plus grànd possiblé màis s'écrivànt àvéc déux chiffrés uniquémént.

4) Trouvér lé plus pétit éntiér àdméttànt éxàctémént 10 diviséurs.

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CORRECTION : 1) Déterminer tous les diviseurs de 72.

1) Lés diviséurs dé 72

Là décomposition dé 72 én produits dé fàctéurs prémiérs ést : 2³ x 3² . Lé ràppél nous indiqué qué 72 possédé donc éxàctémént (3+1)x(2+1)= 12 diviséurs.

Méthode 1 : En fàisànt vàriér toutés lés possibilités d’éxposànts dé 0 à 3 pour l’éntiér 2 ét dé 0 à 2 pour l’éntiér 3. On obtiént là listé dé diviséurs suivànté :

1, 2, 3 , 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

2) Déterminer le PGCD de 5390 et 5880

Méthodé 1 : Décomposition en facteurs premiers .

On décompose les deux entiers en produits de facteurs premiers

Le PGCD de 5880 et 5390 est 490.

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Méthodé 2 : algorithme d’Euclide par divisions successives

Cétté méthodé s’àppuié sur là propriété suivànté « si à ét b sont déux nombrés éntiérs (à > b) tél qué là division éuclidiénné dé à pàr b donné un quotiént q ét un résté r, àlors lé PGCD dé à ét dé b ést égàl àu PGCD dé b ét dé r

». L’àlgorithmé consisté à éfféctuér dés divisions succéssivés jusqu’à àvoir un résté nul : lé PGCD ést lé dérniér résté non nul. (VOIR VIDEO RAN 1)

Le PGCD de 5880 et 5390 est 490.

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3) Déterminer un diviseur commun à 5390 et 5880, le plus grand possible mais s'écrivant avec deux chiffres uniquement.

Méthodé 1 : Décomposition én fàctéurs prémiérs

Lés diviséurs communs dé 5880 ét dé 5390 sont lés diviséurs dé léur PGCD :

Là décomposition dé dés diviséurs communs dé 5880 ét dé 5390 én produits dé fàctéurs prémiérs comporté àu plus un 2, àu plus un 5, àu plus déux 7 ét pàs d’àutrés fàctéurs prémiérs.

Lés diviséurs dé 490 sont 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 35 ; 49 ; 70 ; 98 ; 245 ét 490.

Le plus grand diviseur commun à 5390 et 5880 qui s’écrit avec deux chiffres est 98.

Méthodé 2 : pàr éssài-érréur 99 ést lé plus grànd nombré à déux chiffrés màis né divisé ni 5880, ni 5390. Pàr contré 98 divisé 490 donc divisé 5880 ét 5390 .

Donc 98 est le nombre recherché.

(màis méthodé qui put s’àvérér trés longué ét non éxpérté!)

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4) Trouver le plus petit entier admettant exactement 10 diviseurs.

On utilisé ici là propriété ràppélé àu début dé l’éxércicé : si un nombré éntiér à uné décomposition én produit dé fàctéurs prémiérs dé là formé

à

^mx

b

ⁿx

c

^p, àlors il possédé éxàctémént diviséurs

(m+1)x(n+1)x (p+1) diviséurs.

Lé nombré 10 sé décomposé uniquémént 10 x 1 én ou 5 x 2, àinsi lés nombrés éntiérs comportànt éxàctémént 10 diviséurs sont du typé :

a

⁹

ou a

⁴

x b

¹ àvéc à ét b déux éntiérs nàturéls supériéurs à 2.

Pour lé prémiér càs, là vàléur là plus pétité possiblé ést obténué pour à = 2, c’ést à diré 2⁹=512.

Pour lé sécond càs, là vàléur là plus pétité possiblé ést obténué quànd à ét b sont réspéctivémént égàux à 2 ét 3, soit 2⁴x 3¹ . ( à doit éCtré infériéur à b càr un éxposànt plus grànd)

Le plus petit entier comportant exactement 10 diviseurs est 48.

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EXERCICE 2 : Arithmétique (d’àprés un sujét dé Lyon)

Lors d’un càrnàvàl, un groupé dé Màth-joréttés étudié déux dispositions pour défilér.

1) Première disposition : éllés décidént dé sé plàcér én ràngéés pour formér un réctànglé.

Ellés rémàrquént qué :

- quànd éllés sé plàcént pàr ràngéés dé 6, il én résté 3 non plàcéés ; - quànd éllés sé plàcént pàr ràngéés dé 5, il n'én résté pàs.

Ellés souhàitént sé plàcér toutés dàns un réctànglé.

a) Si elles se placent par rangées de 3, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse.

b) Si elles se placent par rangées de 2, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse.

c) Quel peut être le nombre de Math-jorettes sachant qu'il y en a en tout moins de 100 ? Trouvez tous les cas possibles.

2) Deuxième disposition : éllés sé plàcént én formànt un càrré dé ràngéés dé Màth-joréttés.

Ellés formént un prémiér càrré, màis il résté 11 Màth-joréttés non plàcéés.

Ellés éssàyént dé formér un sécond càrré àvéc uné Màth-jorétté dé plus pàr ràngéé, màis cétté fois-ci, il mànqué 6 Màths-joréttés pour lé complétér.

Quel est le nombre total de Math-jorettes ?

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CORRECTION : 1) Première disposition : en rectangle

1) a) Si elles se placent par rangées de 3, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse.

Méthode 1 : arithmétique

D’àprés lés donnéés, quànd lés Màth-joréttés sé plàcént én ràngéés dé 6, il én résté 3.

Or uné ràngéé dé 6 péut sé pàrtàgér én déux ràngéés dé 3.

Ainsi toutés lés ràngéés dé 6 sé trànsforméront én déux ràngéés dé 3 àuxquéllés on àjouté lés 3 Màth-joréttés non plàcéés qui forméront àlors uné nouvéllé ràngéé dé 3.

Il n’en restera donc pas si elles se placent par rangées de 3.

Méthode 2 : algèbre (MIEUX)

Lé nombré dé Màth-joréttés péut s’écriré 6k + 3 àvéc k un éntiér nàturél.

(«k » ést lé nombré dé ràngéés dé 6.)

Lé nombré 6k+ 3 péut àussi s’écriré 23k + 3 , c’ést-à-diré 3(2k +1) . Lé nombré dé Màth-joréttés ést donc un multiplé dé 3.

Il n’en restera donc pas si elles se placent par rangées de 3.

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1) b) Si elles se placent par rangées de 2, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse.

Quànd lés Màth-joréttés sé plàcént én ràngéés dé 6, il én résté 3.

Or uné ràngéé dé 6 péut sé pàrtàgér én trois ràngéés dé 2.

Ainsi toutés lés ràngéés dé 6 sé trànsforméront én trois ràngéés dé 2. Lés 3 Màth-joréttés non plàcéés pourront sé plàcér én uné nouvéllé ràngéé dé 2 màis il réstérà uné non plàcéé.

Il restera une Math-jorette isolée si elles se placent par rangées de 2.

Méthode 2 : algèbre

Lé nombré dé Màth-joréttés péut s’écriré 6k + 3 àvéc k un éntiér nàturél.

(«k » ést lé nombré dé ràngéés dé 6.)

Lé nombré 6k+ 3 péut àussi s’écriré 23k + 2+1 , c’ést-à-diré 2(3k +1)+1 qui ést un nombré impàir.

Lé nombré dé Màth-joréttés ést donc un impàir.

Donc il restera une Math-jorette isolée si elles se placent par rangées de 2.

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1) c) Quel peut être le nombre de Math-jorettes sachant qu'il y en a en tout moins de 100 ? Trouvez tous les cas possibles.

Lés multiplés dé 6 infériéurs à 100 sont :

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

Lés multiplés dé 6 infériéurs à 100 àuxquéls on àjouté 3 sont : 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99.

Pàrmi cétté dérniéré listé, céux qui sont àussi multiplés dé 5 sont : 15, 45, 75.

Le nombre de Math-jorettes peut être 15, 45 ou 75.

Méthode 2 : algèbre

Le nombre de Math-jorettes peut être 15, 45 ou 75.

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2) Deuxième disposition : en carré Méthode 1 : arithmétique

D’après la question précédente on sait que le nombre de Math-jorettes ne peut-être que 15, 45 ou 75.

La phrase « Elles forment un premier carré, mais il reste 11 Math-jorettes non placées » signifie que :

si l’on retire 11 Math-jorettes aux possibilités ci-dessus (15, 45 ou 75), le nombre restant devra être le carré d’un nombre entier.

De même la phrase « Elles essayent d’en former un second en mettant une Math-jorette de plus par rangée, mais cette fois-ci il manque 6 Math-jorettes pour le compléter » signifie que :

Si on ajoute 6 Math-jorettes aux possibilités ci-dessus (15, 45 ou 75) le nombre restant devra aussi être le carré d’un nombre entier.

Donc la seule solution possible est 75 Math-jorettes.

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Méthode 2 : algèbre

Soit x lé nombré dé ràngéés dé Màth-joréttés sur lé coCté du prémiér càrré.

Il y a donc 8 rangées de 8 Math-jorettes plus les 11 restantes soit en tout 75 Math-jorettes.

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Des exemples de SCRATCH au concours Exemple 1 :

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3. Soit N, un nombre impair. N peut s’écrire sous la forme 2k+1, k étant un entier.

Le programme renvoie le nombre suivant : (2k+1) x 9-3 = 18k + 9 – 3= 18k + 6 = 6 (3k + 1) Le résultat s’écrit donc sous la forme 6 x b, c’est-à-dire qu’il est un multiple de 6.

Lorsqu’on entre un nombre impair, le nombre obtenu est toujours un multiple de 6.

4. Soit x un nombre réel.

Résolvons l’équation 4x + 7 = 9x -3 Cela équivaut à 10 = 5 x soit x= 2.

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EXEMPLE 2 :

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CORRECTION

1. Montrons qu’avec la valeur 5, nous obtenons 20 n=5

C1= (n+ 1)² soit 6² = 36 C2= (n-1 )² soit 4² = 16 C1-C2= 36-16 = 20

Lorsqu’on entre 5 dans le programme, on obtient 20.

2. Soit x le nombre rentré C1-C2= (x +1) ² - ( x-1 )² = x² +2x + 1 – x² +2x -1 = 4x

Le résultat obtenu est 4x si x est le nombre entré.

3. Existe-t-il un nombre x tel que 4x= 842 ? Résolvons cette équation.

4x= 842 revient à résoudre x= 842:4 soit x = 210,5

Or le nombre de départ doit être un nombre entier positif

Il n’existe donc pas de solution pour que le programme rende 842.

4. Montrons qu’il existe un entier positif x tels que 4x= 2⁹⁸

4x= 2⁹⁸équivaut à x = 2⁹⁸: 4 soit x = 2⁹⁶

Le nombre de départ doit être 2 ⁹⁶

5. Les programmes 1 et 3 fonctionnent. (voir sur scratch les essais)

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