Daniel ALIBERT
Espaces vectoriels. Applications linéaires. Matrices.
Diagonalisation et trigonalisation.
Objectifs :
Savoir chercher une base d’un espace vectoriel, d’un noyau, d’une image.
Déterminer une matrice associée à une application linéaire. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant.
Savoir résoudre un système d’équations linéaires : calcul, prévision et contrôle de l’ensemble des solutions.
Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres, vecteurs propres.
Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable.
.
Organisation, mode d'emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple.
Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.
Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.
Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante.
Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :
- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,
- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire,
- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes.
L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.
Ce livre comporte quatre parties.
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple.
La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés
"exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées.
La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes :
(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,
( ) renvoie à une entrée du lexique.
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.
La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique.
Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.
Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires)
Table des matières
1 A Savoir ... 9
1-1 Espaces vectoriels ... 9
1-2 Applications linéaires ... 15
1-3 Matrices, déterminants ... 18
1-4 Réduction, polynômes annulateurs ... 24
2 Pour Voir ... 35
2-1 Espaces vectoriels ... 35
2-2 Applications linéaires ... 59
2-3 Matrices, déterminants ... 67
2-4 Réduction, polynômes annulateurs ... 79
3 Pour Comprendre et Utiliser ... 97
3-1 Énoncés des exercices ... 97
3-2 Corrigés des exercices ... 111
3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 165
4 Pour Chercher ... 169
4-1 Indications pour les exercices ... 169
4-2 Méthodes ... 171
4-3 Lexique ... 175
1 A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Voir votre cours pour les démonstrations.
Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Espaces vectoriels
Définition
Soit (K, +K , ∞K) un corps, et (E , +E) un groupe commutatif.
Une structure d' espace vectoriel sur K est définie sur le groupe E par la donnée d'une loi externe de K sur E, c'est-à-dire d'une application :
K × E → E, (α, x) → α. x satisfaisant aux propriétés suivantes :
1) Pour tout α de K, tout x et tout y de E, on a l'égalité : α. (x +E y) = (α. x) +E (α. y) . 2) Pour tout α et tout β de K, et tout x de E, on a l'égalité :
(α +K β) . x = (α. x) +E (β . x) . 3) Pour tout α et tout β de K, et tout x de E, on a l'égalité :
(α ×K β) . x = α. (β . x) .
4) Soit 1K l'élément neutre de la multiplication de K. Pour tout x de E, on a l'égalité :
1K . x = x .
On dira aussi que E est un K- Espace Vectoriel. Les éléments de K sont souvent appelés les scalaires, et les éléments de E des vecteurs.
Dans les applications, le corps sera le plus souvent R (ou C).
Propriétés élémentaires découlant de la structure d'espace vectoriel :
On note 0K, et 0E les éléments neutres de +K et +E. Pour tout vecteur x on a l'égalité :
0K . x = 0E .
Si on note –x l'opposé du vecteur x dans E, et –1K l'opposé de 1K dans K, on a pour tout x de E l'égalité :
(–1K) . x = –x .
Dans la suite, on ne mentionnera plus en indice l'ensemble correspondant à une loi, ou un élément particulier (comme +E, ou 0K), le contexte permettant de lever l'ambiguïté qui pourrait en résulter : + désigne aussi bien la loi d'addition de E que celle de K…
Définition
Soit E un ensemble. Une famille d'éléments de E, indexée par l'ensemble I est une application f : I → E. Par commodité dans les calculs, on note par exemple (zi)i∈Ι une telle application, et l'élément zi, qui serait noté dans d'autres contextes f(i), est appelé l'élément d'indice i.
On notera bien que I n'est pas nécessairement un ensemble fini.
La famille (zi)i∈Ι n'est pas la même chose que l'ensemble {zi | i∈I}.
Soit E un K-espace vectoriel, I un ensemble d'indices, soit (ζi)i∈Ι une famille d'éléments de K ayant la propriété suivante (la famille est appelée
"famille presque nulle") :
"l'ensemble des éléments i tels que ζi soit différent de 0 est fini".
Soit (zi)i∈Ι une famille d'éléments de E indexée par I, L'élément de E défini par :
z= ζi.zi
i∈I
∑
est la combinaison linéaire de la famille (zi)i∈Ι associée à la famille (ζi)i∈Ι : cette somme a bien un sens, puisque par hypothèse seul un nombre fini de termes ne sont pas nuls.
Définition
Soit E un K- espace vectoriel, et F une partie de E.
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si : 1) (F, +) est un sous-groupe de (E, +).
2) La loi externe se restreint à F, c'est-à-dire en une application : K × F → F,
ayant les propriétés 1) à 4) exigées pour les espaces vectoriels.
Proposition
Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
1) Pour tout x et tout y de F, x + y est un élément de F, 2) Pour tout x de F, et tout α de K, α.x est un élément de F, 3) 0E est un élément de F.
Soit E un espace vectoriel, (Fi)i∈Ι des sous-espaces de E, en nombre fini ou non, et F l'intersection des sous-espaces vectoriels Fi.
Alors F est un sous-espace vectoriel de E.
Par contre le résultat analogue n'est pas vrai pour la réunion de sous- espaces vectoriels.
Soit A une partie de E, il existe un plus petit sous-espace vectoriel (pour la relation d'inclusion) contenant A. Ce sous-espace est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A.
Définition
Le plus petit sous-espace contenant A s'appelle le sous-espace vectoriel engendré par A. On le note vect(A).
Le sous-espace vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A.
Définition
Soient F et G des sous-espaces de E. On appelle somme de F et G, et on note F + G le sous-espace vectoriel engendré par F ∪ G.
D'après la description générale donnée ci-dessus, on voit que F + G est l'ensemble des sommes d'un élément de F et d'un élément de G.
Si de plus F ∩ G = {0}, on dit que F et G sont en somme directe, et on note cette somme F ⊕ G.
Si F ⊕ G = E, on dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Définition
On dit qu'une famille (zi)i∈Ι d'éléments d'un espace vectoriel E est une famille génératrice de E si tout élément z de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire de (zi)i∈Ι pour une famille de scalaires (ζi)i∈Ι presque nulle, c'est-à-dire sous la forme d'une somme d'un nombre fini d'éléments :
z = ζizi
i∈I
∑
.Définition
Soit (xi)i∈Ι une famille d'éléments d'un espace vectoriel E.
On dit que (xi)i∈Ι est une famille libre si pour toute famille presque nulle d'éléments de K, (ξi)i∈Ι , l'implication suivante est vraie :
ξixi
i∈I
∑
=0 ⇒ ξi = 0 pour tout i de I.On dit encore que les éléments de la famille (xi)i∈Ι sont indépendants (sous-entendu : entre eux).
Si la famille (xi)i∈Ι n'est pas libre, on dit qu'elle est liée. On dira aussi que les éléments de la famille sont liés, ou dépendants.
Dans ce cas il existe une famille (ξi)i∈Ι presque nulle de scalaires non tous nuls telle que :
ξixi =0
i∈I
∑
.Une telle relation est appelée une relation de dépendance entre les éléments de la famille (xi)i∈Ι. Dans une famille liée, un élément au moins est combinaison linéaire des autres.
Définition
Soit (xi)i∈Ι une famille libre, et E´ = vect((xi)i∈Ι). Pour le sous-espace E´, la famille (xi)i∈Ι est donc une famille à la fois libre et génératrice.
Une telle famille est appelée une base de E´.
Soit (xi)i∈Ι une base de E, et x un vecteur quelconque. La famille étant génératrice, x s'écrit comme une combinaison linéaire des (xi)i∈Ι, et la famille étant libre les coefficients de la combinaison linéaire sont déterminés de manière unique : on dit que ce sont les coordonnées de x dans la base (xi)i∈Ι .
Théorème
(théorème de la dimension)
Soit E un espace vectoriel ayant une base à n éléments.
1) Toute base de E a n éléments.
2) Toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n éléments.
3) Toute famille libre de E a au plus n éléments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n éléments.
L'entier n ainsi attaché à E s'appelle la dimension de E.
On note n = dim(E). On dit que E est de dimension finie.
L'espace réduit à 0 est de dimension 0.
Théorème
(théorème de la base incomplète)
Soit E un espace vectoriel et (x1, … , xn) une famille génératrice de E.
Soit (y1, … ,ym) une famille libre, non génératrice de E.
Il existe des éléments (xi1, xi2, … , xik) de la famille (x1, … , xn) tels que la famille (y1, … ,ym , xi1, xi2, … , xik) soit une base de E.
En particulier cet énoncé montre qu'un espace ayant une famille génératrice finie a une base finie.
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
1) Tout sous-espace F de E est de dimension finie, et dim(F) ≤ dim(E).
Si dim(F) = dim(E), alors F = E.
2) Soient F et F´ des sous-espaces de E, on a la relation suivante : dim(F + F´) = dim(F) + dim(F´) – dim(F ↔ F´).
3) Tout sous-espace F admet un supplémentaire F´ dans E.
On a l'égalité dim(F´) = dim(E) – dim(F).
1-2 Applications linéaires
Définition
Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps K, et f une application de E dans F. On dit que f est une application linéaire si les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) Pour tout x et tout y de E, on a l'égalité : f(x + y) = f(x) + f(y).
2) Pour tout x de E, et tout α de K, on a l'égalité : f(α.x) = α.f(x).
Une application linéaire f a les propriétés suivantes.
Si 0E est l'élément neutre de E, et 0F l'élément neutre de F : f(0E) = 0F.
L'image d'une combinaison linéaire : a0x0 + … + anxn est la combinaison linéaire :
a0f(x0) + … + anf(xn ).
On note L (E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F.
On peut munir L (E, F) d'une structure d'espace vectoriel, en définissant la somme de deux applications linéaires, et le produit d'une application par un scalaire de la manière usuelle :
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α.f(x).
Si E = F, on notera plus simplement L(E). On dit alors qu'un élément de L(E) est un endomorphisme de E.
Proposition
Soit f : E --. F une application linéaire, E´ un sous-espace de E, et F´ un sous-espace de F. Alors f(E´) est un sous-espace vectoriel de F et f-1(F´) est un sous-espace vectoriel de E.
En particulier pour E´ = E, on note Im(f) le sous-espace f(E), appelé l'image de f.
On note Ker(f) le sous-espace f-1(0), appelé le noyau de f.
Proposition
Une application linéaire f est surjective si et seulement si Im(f) = F, et f est injective si et seulement si Ker(f) = 0.
Proposition
1) Soit f : E → F une application linéaire.
Si (xi)i∈Ι est une famille génératrice d'un sous-espace E´ de E (E´ = vect((xi)i∈Ι)) alors (f(xi))i∈Ι est une famille génératrice de f(E´).
2) Soit g une autre application linéaire de E dans F.
Si (xi)i∈Ι est une famille génératrice de E, et si pour tout i∈Ι on a l'égalité : f(xi) = g(xi),
alors les applications f et g sont égales.
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire, (xi)i∈I une famille de E, et (f(xi))i∈I la famille de F image de la famille (xi)i∈I.
1) Si (xi)i∈I est liée, (f(xi))i∈I est liée.
2) De plus si f est injective, si (xi)i∈I est libre, (f(xi))i∈I est libre.
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire.
1) Si f est injective, et F de dimension finie, alors E est de dimension finie et dim(E) ≤ dim(F).
2) Si f est surjective, et E de dimension finie, alors F est de dimension finie et dim(E) ≥ dim(F).
3) Si f est bijective, et E ou F de dimension finie, l'autre espace est aussi de dimension finie, et dim(E) = dim(F).
4) Si E et F sont de dimension finie, on a l'égalité : dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
Conséquence importante : soit f un endomorphisme de E, espace de dimension finie, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
* f est injective,
** f est surjective,
*** f est bijective .
Des espaces vectoriels ayant la même dimension, soit n, sont isomorphes, en particulier isomorphes à Rn.
La dimension de Im(f) s'appelle le rang de f, noté rg(f).
L'égalité 4), sous la forme :
rg(f) = dim(E) – dim(Ker(f)) s'appelle parfois le théorème du rang.
1-3 Matrices, déterminants
Définitions générales, matrices.
Soient p et q des entiers strictement positifs. On appelle matrice de type (p, q), à coefficients dans le corps K, un tableau à p lignes et q colonnes d'éléments de K. On désigne un terme en donnant le numéro de la ligne, puis le numéro de la colonne.
On note Mp, q(K) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes.
Addition des matrices : Soit A = (aij) et B = (bij) des éléments de Mpq(K), on appelle somme de A et B, et on désigne par A + B, la matrice C = (cij) définie par :
cij = aij + bij.
L'élément neutre est la matrice notée 0, dont tous les termes sont nuls.
Produit par un scalaire : Soit A = (aij) une matrice, et α un élément de K. Le produit de A par α est la matrice notée αA, dont le terme général est α aij.
Produit de deux matrices : Soient p, q, r des entiers non nuls, A = (aij) un élément de Mpq(K), B = (bjk) un élément de Mqr(K).
On appelle produit de A par B, et on note AB la matrice de type (p, r), C = (ci,k), définie par :
cik = aij.bjk
j=1 j=q
∑
.Ce produit n'est donc pas, en général, interne, et définit une application : Mpq(K) ∞ Mqr(K) --. Mpr(K) .
On vérifie que cette loi est associative, et distributive à gauche comme à droite sur l'addition.
Dans le cas où les deux dimensions sont égales, soit n, on note plutôt Mn(K), à la place de Mnn(K). Le produit de deux matrices définit alors une loi de composition interne dans Mn(K). De plus elle possède un élément neutre, noté In, ou simplement I, qui est la matrice dont tous les termes sont nuls, à l'exception de ceux de la diagonale qui valent 1.
Ce produit n'est pas commutatif et des éléments non nuls peuvent avoir un produit nul.
On vérifie enfin que pour α dans K, A et B dans Mn(K), on a les égalités : (αA)B = α (AB) = A (αB).
L'ensemble Mp,q(K) est un K-espace vectoriel.
A toute matrice M =(mi,j) de Mpq(K) on associe une application linéaire f de Kq dans Kp. On parlera, par abus, de noyau de la matrice M, d'image de la matrice M, de rang de M, en pensant à f. Le rang d'une matrice est le nombre maximum de vecteurs-colonnes indépendants.
Inversement, dans le cas d'espaces de dimension finie, on peut associer à toute application linéaire une matrice, moyennant le choix de bases dans les espaces considérés :
Soit u : E → E´ une application linéaire, B = (e1, e2, … , en) une base de E, B´ = ( e´1, e´2, … , e´p) une base de E´.
La matrice associée à u dans les bases B et B´, soit M = M(u, B, B´) s'écrit en mettant en colonnes les coordonnées dans B´ des images par u des vecteurs de la base B.
Les vecteurs colonnes de M forment une famille génératrice de Im(u).
Dans le cas particulier ou E = E´, on choisit toujours B = B´.
La matrice d'une application composée est le produit des matrices correspondantes.
Si un endomorphisme u d'un espace de dimension finie a pour matrice A1 par rapport à une base B1, sa matrice A2 par rapport à une base B2 est donnée par :
A2 = P-1 A1 P
où P est la matrice de passage de la base B1 à la base B2.
Les colonnes de P sont formées des coordonnées des vecteurs de B2 rapportés à B1.
Si X1 représente la matrice des coordonnées d'un vecteur par rapport à la base B1 et X2 par rapport à la base B2, alors :
X1 = PX2.
On dit que les matrices A1 et A2 sont des matrices semblables. Elles représentent le même endomorphisme, dans des bases différentes.
Soit M une matrice, à p lignes et q colonnes. La transposée de M est la matrice à q lignes et p colonnes obtenue à partir de M en échangeant les lignes et les colonnes.
Systèmes d'équations linéaires
Un système d'équations linéaires est formé de n équations linéaires, à m inconnues. On convient que les termes contenant les inconnues figurent au premier membre des équations, et que les données connues figurent au second membre. Les solutions d'un tel système sont des m-uples de scalaires qui vérifient toutes les équations. Un tel système est donné par une matrice à n lignes et m colonnes, obtenue en rangeant en ligne les coefficients des diverses inconnues dans une équation donnée, et un vecteur à n composantes, contenant les seconds membres des différentes équations.
Un système linéaire équivaut à une seule équation matricielle dans laquelle l'inconnue est un vecteur à m composantes.
Une méthode classique de résolution à connaître est la méthode du pivot de Gauss, qui consiste à remplacer le système par un système équivalent, mais de forme triangulaire.
Calcul de déterminant
Il existe une définition générale du déterminant d'un endomorphisme, que nous ne rappelons pas.
On définit également le déterminant d'une matrice carrée.
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, et A la matrice associée à u dans une base choisie de E. Le déterminant de A est indépendant du choix de cette base, c'est le déterminant de u.
Enfin, on parle du déterminant d'un système de n équations à n inconnues, c'est le déterminant de la matrice formée des coefficients de ce système.
On indique comment calculer, pratiquement, le déterminant d'une matrice carrée. On le fait de proche en proche :
matrice 2x2 :
det a b c d
=a b
c d =ad−bc.
matrice 3x3 (règle de Sarrus). On opère à partir du tableau : a a' a"
b b' b"
c c' c"
a a' b b' c c' selon la règle :
Les alignements descendant (de gauche à droite) donnent les produits affectés de + : ab´c´´ + a´b´´c + a´´bc',
Les alignements montant donnent les produits affectés de – :
–cb´a´´ – c´b´´a – c´´ba', a a ′ a ′ ′
b b ′ b ′ ′ c c ′ c ′ ′
=ab' c"+a' b"c+a" bc'−cb' a"−c' b"a−c" ba' .
Attention : la règle de Sarrus ne s’applique qu’au cas 3 × 3.
Cas général : on se ramène aux cas précédents par : Développement par rapport à une ligne :
Les expressions placées en facteur des coefficients d'une ligne comme :
a a ′ a ′ ′ b b ′ b ′ ′ c c ′ c ′ ′
=ab ′ b ′ ′
′
c c ′ ′ − ′ a b b ′ ′
c c ′ ′ + ′ ′ a b b ′ c c ′ ,
sont appelés les cofacteurs des termes de la matrice auxquels ils sont associés. En général, pour définir le cofacteur d'un terme d'une matrice (ici b´, entouré d'un crochet), on procède comme suit : effacer dans la matrice la ligne et la colonne du terme choisi,
a a ′ a ′ ′ b b ′ b ′ ′ c c ′ c ′ ′
calculer le déterminant de la matrice (n-1, n-1) ainsi obtenue : a a ′ ′
c c ′ ′ = ac´´ – ca´´,
multiplier le nombre obtenu par (–1) élevé à la puissance p + q si le terme de la matrice supprimé se situe dans la ligne numéro p et la colonne numéro q (sur l'exemple 2 + 2).
Transformation d’un déterminant avant calcul.
Il est recommandé d’essayer de simplifier un déterminant avant de le calculer. On utilisera les résultats suivants :
Ajouter à une ligne (colonne) un multiple d’une autre ligne (colonne) ne change pas la valeur d’un déterminant.
Échanger deux lignes (ou deux colonnes) change le signe d’un déterminant, pas sa valeur absolue.
Un déterminant ayant deux lignes (ou deux colonnes) proportionnelles est égal à 0.
Le déterminant d’une somme de matrice n’est pas la somme des déterminants de chacune d’elles.
Le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants de chacune.
On a l’égalité, pour des matrices carrées A et B : det(A B) = det(B A).
Le déterminant d'une matrice carrée et celui de sa transposée sont égaux.
Proposition
1) Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est différent de 0.
2) Un système de n équations à n inconnues admet une solution unique si et seulement si son déterminant est différent de 0.
Plus généralement, le rang d'une matrice est la dimension du plus grand déterminant non nul qu'on peut extraire de cette matrice.
1-4 Réduction des matrices carrées, Polynômes annulateurs
Définition
Soit u : E → E une application linéaire d’un espace vectoriel E dans lui- même. On dit qu’un vecteur V est un vecteur propre de u si :
u(V) est colinéaire à V.
Dans ce cas, il existe un scalaire λ vérifiant u(V) = λ.V.
Soit A une matrice (n, n). On peut lui associer une application linéaire u de Rn dans lui-même. Les vecteurs propres de A sont, par définition, les vecteurs propres de u.
Définition
Soit u : E → E une application linéaire d’un espace vectoriel E dans lui- même. On dit qu’un scalaire t est une valeur propre pour u s’il existe un vecteur non nul V qui vérifie :
u(V) = t.V.
On dit que V est un vecteur propre relatif à la valeur propre t.
L'ensemble des vecteurs propres relatifs à une valeur propre donnée t est un sous-espace vectoriel, qu'on appelle le sous-espace propre relatif à t.
Des vecteurs propres
(
V1,V2,…Vp)
appartenant à des sous-espaces propres deux à deux distincts forment toujours une famille libre.Si t est une valeur propre de l'endomorphisme u de E, le sous-espace propre associé est Et =Ker (u−t.IdE) . Il en résulte qu'une valeur propre est un réel t tel que u – t.IdE soit non inversible.
On suppose dorénavant que les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
Un scalaire t est valeur propre de l'endomorphisme u si et seulement si le déterminant de u – t.Id est nul.
Les valeurs propres sont les solutions de l'équation polynomiale : det(u – X. IdE) = 0.
Le polynôme figurant au premier membre de cette équation s'appelle le polynôme caractéristique de u.
Si A est la matrice de u dans une base quelconque, le polynôme caractéristique est :
P(X) = det(A – X. Id).
Rappelons qu'on appelle ordre de multiplicité d'une racine α d'un polynôme P la plus grande puissance de (X – α) qui divise P(X).
Un polynôme de degré n a au plus n racines, comptées avec leur ordre de multiplicité. Il peut n'avoir aucune racine dans le corps K. S'il a exactement n racines dans le corps K, on dit qu'il est scindé sur K.
Dans la suite, le corps de base K est R ou C.
Si un polynôme n'est pas toujours scindé sur R, il est par contre toujours scindé sur C.
Théorème
(Cayley-Hamilton)
Soit M une matrice carrée et PM(X) son polynôme caractéristique.
On a l'égalité entre matrices (n, n) :
PM(M) = 0.
Définition
Soit M une matrice carrée. On appelle polynôme annulateur de M tout polynôme P tel que P(M) = 0.
Le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur.
L'ensemble des polynômes annulateurs d'une matrice est un idéal de l'anneau des polynômes. Cet ensemble est égal à l'ensemble des multiples d'un même polynôme, unitaire et de degré minimal, appelé le polynôme minimal de la matrice.
Le polynôme minimal est un diviseur du polynôme caractéristique.
Proposition
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie E, t une valeur propre, de multiplicité m(t), et Et le sous-espace propre relatif à t, de dimension d(t). On a la relation suivante :
1 ≤ d(t) ≤ m(t).
Définition
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Elle est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Théorème
Une matrice est diagonalisable si et seulement si : 1) Son polynôme caractéristique est scindé.
2) Pour toute valeur propre t, on a l'égalité : d(t) = m(t).
Corollaire
Une matrice (n , n) qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Diagonalisation
Dans la pratique, on effectue la démarche suivante : Calculer le polynôme caractéristique de la matrice.
Chercher les racines de ce polynôme, sur R en général, ou C.
Nous supposons dans la suite que le polynôme est scindé.
Pour chaque valeur propre t, on note m(t) la multiplicité.
Déterminer une base du sous-espace propre associé.
Soit d(t) sa dimension. Vérifier que m(t) = d(t).
Passer à la valeur propre suivante.
En juxtaposant les bases des différents sous-espaces propres, on obtient une base formée de vecteurs propres. Dans cette nouvelle base, la matrice est diagonale.
Proposition
Soit A une matrice carrée, P son polynôme caractéristique et M son polynôme minimal.
1) Les polynômes P et M ont les mêmes racines, réelles ou complexes.
2) La matrice A est diagonalisable si et seulement si le polynôme M n'a que des racines simples.
Définition
Soit A une matrice carrée. Soit t une valeur propre de A, et m(t) sa multiplicité. On appelle sous-espace caractéristique de A associé à t le sous-espace :
Ft = Ker[(A – t.I)m(t)].
Le sous-espace propre relatif à t est une partie du sous-espace caractéristique.
Proposition
Soit A une matrice carrée dont le polynôme caractéristique est scindé.
1) La somme des sous-espaces caractéristiques est directe, et égale à l'espace vectoriel tout entier.
2) Chaque sous-espace caractéristique est stable par A.
3) Chaque sous-espace caractéristique est de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante.
Théorème
Une matrice carrée est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.
Sur C, toute matrice carrée est trigonalisable.
Trigonalisation
Dans la pratique, on effectue la démarche suivante.
Calculer le polynôme caractéristique de la matrice.
Chercher les racines de ce polynôme, sur R en général, ou C.
Nous supposons dans la suite que le polynôme est scindé.
Pour chaque valeur propre t, on note m(t) la multiplicité.
Déterminer une base du sous-espace propre associé.
Soit d(t) sa dimension.
Si m(t) = d(t), passer à une autre valeur propre.
Si m(t) > d(t), compléter la famille de vecteurs propres obtenue par m(t) – d(t) vecteurs "pseudo- propres" calculés par la méthode indiquée ci- dessous.
Passer à la valeur propre suivante.
En juxtaposant les différentes familles de vecteurs propres ou pseudo- propres obtenues pour chaque valeur propre, on obtient une nouvelle base dans laquelle la matrice est triangulaire.
Calcul des vecteurs pseudo- propres
Soit A une matrice carrée ayant une valeur propre t d'ordre m, dont le sous- espace propre associé Et est de dimension d, d < m.
Soit (V1, …,Vd) une base de Et.
Ces vecteurs sont des solutions indépendantes de l'équation : (A – t.I).V = 0.
Chercher des solutions indépendantes de l'équation : (A – t.I).W = α1V1 + … + αd Vd, dans laquelle α1, …, αd, sont des paramètres quelconques.
On écrira une base du sous-espace des solutions en complétant la famille (V1, …,Vd).
Soit (V1, …,Vd, Wd+1, …,Wd+k) (k ≥ 1) une telle base.
NB : C'est une base du sous-espace vectoriel :
Ker[(A – t.I)2] = (A – t.I)-1[Ker(A – t.I)].
Si d + k = m, le calcul est terminé.
Si d + k < m, poursuivre le calcul de manière analogue à partir de cette nouvelle famille libre.
Chercher des solutions indépendantes de l'équation :
(A – t.I).W = α1V1 + … + αd Vd + αd+1Wd+1 + …+ αd+kWd+k dans laquelle α1, …, αd+k, sont des paramètres quelconques.
On écrira une base du sous-espace des solutions en complétant la famille (V1, …,Vd, Wd+1, …,Wd+k).
Soit (V1, …,Vd, Wd+1, …,Wd+k, Wd+k+1, …,Wd+k+p) (p ≥ 1) une telle base.
NB : C'est une base du sous-espace vectoriel :
Ker[(A – t.I)3] = (A – t.I)-1[Ker(A – t.I)2].
Si d + k + p = m, le calcul est terminé.
Si d + k + p < m, poursuivre le calcul de manière analogue à partir de cette nouvelle famille libre.
Puissances d'une matrice carrée
Une matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé est semblable à une matrice triangulaire A´.
Si P est la matrice de passage, A = P.A´.P-1, et, plus généralement : Am = P. A´m.P-1.
Il suffit donc de savoir calculer une puissance d'une matrice triangulaire.
Les techniques développées plus haut permettent d'obtenir, plus précisément, A´ comme la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, qui commutent. On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer une puissance de A´. On se ramène alors au calcul d'une puissance d'une matrice diagonale, ce qui est évident, et au calcul d'une puissance d'une matrice nilpotente, qui est limité à un petit nombre de calculs (dans la pratique).
2 Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.
2-1 Espaces vectoriels
"Soit (K, +K , ×K ) un corps, et (E , +E ) un groupe commutatif. Une structure d' espace vectoriel sur K est définie sur le groupe E par la donnée d'une loi externe de K sur E, c'est-à-dire d'une application K × E → E satisfaisant aux propriétés suivantes…"
exemple 1
On note Kn, l'ensemble des n-uples d'éléments de K : x = (x1, x2 , … , xn-1, xn).
On définit sur Kn une loi interne, notée +, en posant : x = (x1, x2 , … , xn-1, xn), y = (y1, y2 , … , yn-1, yn),
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , … , xn-1 + yn-1, xn + yn).
On définit une loi externe :
K × Kn → Kn
en posant pour α un élément de K et x = (x1, x2 , … , xn-1, xn) : α. x = (α.x1, α.x2 , … , α.xn-1, α.xn).
On vérifie qu'on obtient bien ainsi une structure de K-espace vectoriel sur Kn.
exemple 2 (à traiter)
Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et A un ensemble quelconque non vide. L'ensemble F (A , E) des applications de A dans E a une structure
"naturelle" d'espace vectoriel. Quelles sont les opérations ?
# réponse
La somme de deux applications se définit par : (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Le produit externe d'une application par un scalaire de K se définit par : (α.f)(x) = α.f(x).
"Soit E un ensemble. Une famille d'éléments de E, indexée par l'ensemble I est une application f : I → E. "
exemple 3
L'application :
u : N → N, i → 2i, définit une famille :
ui = 2i.
exemple 4 (à traiter)
Donner l'exemple d'une famille de R2 indexée par R.
# réponse
On peut proposer par exemple ((cos(θ), sin(θ))θ ∈ R.
"La famille (zi)i∈Ι n'est pas la même chose que l'ensemble : {zi | i∈I}."
exemple 5
La famille infinie de Z, indexée par N, définie par : zi = (– 1)i,
correspond à l'ensemble fini :
{– 1, 1}.
exemple 6 (à traiter)
Pour la famille de C indexée par N, définie par : yk = ik,
(i est la racine carrée de – 1, comme d'habitude) quel est l'ensemble des valeurs ?
# réponse
Les valeurs sont y0 = 1, y1 = i, y2 = – 1, y3 = – i, y4 = 1 … donc l'ensemble des valeurs est :
{1, i, – 1, – i}.
"Soit E un K-espace vectoriel, I un ensemble d'indices, une famille d'éléments de K telle que l'ensemble des éléments i tels que ζi soit différent de 0 est fini est appelée famille presque nulle."
exemple 7
La famille d'entiers indexée par [0 , 1] définie par : zx = E(x) (partie entière)
est une famille presque nulle, puisque zx = 0 sauf si x = 1.
exemple 8 (à traiter)
La famille de complexes indexée par N définie par : up = ip + 1
est-elle presque nulle ?
# réponse
Non. Les termes de la famille dont l'indice est de la forme 4k + 2 sont nuls, c'est-à-dire une infinité de termes, mais une infinité d'entre eux sont non nuls, par exemple ceux d'indice 4k, qui valent tous 2.
"L'élément de E défini par z= ζi.zi
i∈I
∑
est la combinaison linéaire de la famille (zi)i∈Ι associée à la famille (ζi)i∈Ι"exemple 9
A partir de l'exemple 7, on peut, pour toute famille de vecteurs Vx, indexée par [0 , 1], définir la combinaison linéaire :
zxVx
x∈[0 , 1]
∑
.exemple 10 (à traiter)
Donner une expression plus simple de la combinaison linéaire donnée dans l'exemple 9.
# réponse
Seul z1 n'est pas nul, et vaut 1, donc zxVx
x∈[0 , 1]
∑
=V1."On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si -1) (F,+) est un sous-groupe de (E,+), -2) La loi externe se restreint à F, c'est-à-dire en une application K × F →. F, ayant les propriétés 1) à 4) exigées pour les espaces vectoriels."
exemple 11
Dans l'espace vectoriel R3, le sous-ensemble : F = {(x, y, z) | x + y + z = 0}
qui est un plan, est un sous-espace vectoriel.
On vérifie facilement toutes les conditions. Par exemple : si x + y + z = 0, et x´ + y´ + z´ = 0, alors (x + x´) + (y + y´) + (z + z´) = 0.
Donc F est stable pour l'addition. Dans F l'addition est bien associative, commutative, admet (0, 0, 0) comme élément neutre (0 + 0 + 0 = 0), et tout vecteur a un symétrique (si x + y + z = 0, – x + (– y) + (– z) = 0).
Les conditions sur la loi externe se vérifient de même. En particulier si α est un scalaire, et (x, y, z) un élément de F, alors :
αx + αy + αz = α(x + y + z) = 0.
exemple 12 (à traiter)
Dans l'espace vectoriel R3, le sous-ensemble : G = {(x, y, z) | x + y + z = 1}
qui est un plan, est-il un sous-espace vectoriel ?
# réponse
La réponse est non. Par exemple G n'est pas stable pour l'addition : si x + y + z = 1, et x´ + y´ + z´ = 1,
alors (x + x´) + (y + y´) + (z + z´) = 2.
"Une partie F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1) Pour tout x et tout y de F, x + y est un élément de F, 2) Pour tout x de F, et tout α de K, α.x est un élément de F, 3) 0
E est un élément de F."
exemple 13
On a vérifié ces trois propriétés sur F, ci-dessus.
Il faut connaître un petit catalogue de "grands" espaces vectoriels, les autres espaces considérés dans la pratique étant le plus souvent des sous- espaces de ceux-ci :
Espaces Rn, Cn :
droites, plans, sous-espaces engendrés par quelques vecteurs donnés, ou définis par quelques équations linéaires…
Espace des fonctions d'un ensemble I dans C, ou R, F(I , R) : suites réelles ou complexes, suites convergentes,
fonctions continues, dérivables, paires, impaires, dont une ou plusieurs dérivées vérifient des conditions linéaires données…
Espace des polynômes à une indéterminée : R[X], C[X] :
polynômes pairs, impairs, ayant une racine donnée, dont les coefficients vérifient une relation linéaire donnée, de degré inférieur ou égal à un
entier donné…
Espaces de matrices Mp,q : matrices symétriques, triangulaires…
exemple 14 (à traiter)
La troisième condition est-elle vraiment indispensable ? Que pensez-vous du raisonnement suivant :
Supposons les deux premières conditions vérifiées. Soit x un vecteur dans F, et α = – 1. D'après la condition 2, (– 1)x est un élément de F, c'est-à-
dire – x ∈ F. D'après la condition 1, x + (– x) est un élément de F, c'est-à- dire 0 ∈ F.
Conclusion : la condition 3 est conséquence des deux premières conditions, il est inutile de la demander.
# réponse
Le raisonnement ci-dessus est exact, sauf sa conclusion. En effet la phrase
"soit x un vecteur dans F" contient une hypothèse, c'est que F n'est pas vide, hypothèse qui n'est pas contenue dans les conditions 1 et 2.
Le raisonnement établit qu'on peut remplacer la condition 3 par la condition 3´ :
"F n'est pas vide".
"L'intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, par contre le résultat analogue n'est pas toujours vrai pour la réunion de sous-espaces vectoriels."
exemple 15
Si E est le plan R2, F le sous-espace {(x, y) | x = y}, G le sous-espace {(x, y) | x = –y, l'union de ces deux droites n'est pas un sous-espace vectoriel.
Ainsi, (1, 1) ∈ F ∪ G, (1, –1) ∈ F ∪ G, et leur somme (2, 0) n'appartient ni à F ni à G, donc n'appartient pas à F ∪ G.
exemple 16 (à traiter)
Dans l'espace des fonctions de R dans R, on note P le sous-espace des fonctions paires, et I le sous-espace des fonctions impaires. L'union de ces deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel ?
# réponse
Non. Il suffit de considérer la somme d'une fonction paire, par exemple : x → x2
et d'une fonction impaire :
x → x3. Cette somme :
x → x2 + x3, n'est ni paire, ni impaire.
"Soit A une partie de E, il existe un plus petit sous-espace vectoriel (pour la relation d'inclusion) contenant A. Ce sous-espace est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A."
exemple 17
Dans le plan R2, le plus petit sous-espace contenant (0, 0) et (1, 1), contient donc tous les multiples de (1, 1) par un scalaire, soit l'ensemble :
∆ = {(x, x) | x ∈ R}.
Comme ∆ est un sous-espace vectoriel du plan, c'est le plus petit.
exemple 18 (à traiter)
Traiter le même problème pour le plus petit sous-espace contenant les deux points A = (1, 1) et B = (1, –1).
# réponse
Si vous avez répondu "la droite AB", vous avez tort, car cette droite n'est pas un sous-espace vectoriel de R2.
Si A et B sont dans un sous-espace vectoriel, alors la somme et la différence y sont aussi, soit (2, 0) et (0, 2). En fait, comme un sous-espace vectoriel est stable par multiplication, on peut multiplier par 1/2, donc (1, 0) et (0, 1) sont dans le plus petit sous-espace contenant A et B. Par stabilité par combinaison linéaire, on voit que pour tout x et tout y, le vecteur x (1, 0) + y (0, 1) = (x , y) est dans le plus petit sous-espace contenant A et B.
Le plus petit sous-espace est donc le plan tout entier.
"Le sous-espace vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A."
exemple 19
Les deux raisonnements particuliers faits ci-dessus utilisent précisément cette remarque.
exemple 20 (à traiter)
Déterminer vect(A), pour la partie A de R[X] suivante : A = {X2p | p entier naturel quelconque}.
# réponse
Les combinaisons linéaires de cette famille infinie de vecteurs sont tous les polynômes pairs.
"Soient F et G des sous-espaces de E. On appelle somme de F et G, et on note F + G le sous-espace vectoriel engendré par F ≈ G."
exemple 21
Dans l'exemple 15, F + G contient le sous-espace engendré par (1, 1) et (1, –1), c'est donc R2 (cf. exemple 18).
exemple 22 (à traiter)
Dans l'exemple 16, déterminer I + P.
# réponse
C'est donc le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions paires et les fonctions impaires. On sait que toute fonction est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Il en résulte que :
I + P = F([–1 , 1], R).
"Si de plus F ∩ G = {0}, on dit que F et G sont en somme directe, et on note cette somme F ⊕ G ."
exemple 23
Une fonction f sur [– 1 , 1], à valeurs réelles, qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle :
∀x, f(x) = f(–x),
∀x, f(x) = – f(–x), donc :
∀x, f(x) = – f(x), d'où :
∀x, f(x) = 0.
Les sous-espaces I et P sont en somme directe.
exemple 24 (à traiter)
Dans l'espace vectoriel R[X], formé des polynômes à coefficients réels, le sous-espace des polynômes qui ont pour racine 0 et le sous-espace des polynômes qui ont pour racine 1 sont-ils en somme directe ?
# réponse
Un polynôme qui a 0 et 1 pour racines est-il nul ? Non, bien sûr, par exemple le polynôme :
X(X – 1) est dans ce cas.
Par contre, si on pose la même question pour l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus 1, la réponse est oui.
"Si F ⊕ G = E, on dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires."
exemple 25
Dans l'exemple 23, d'après 22, I et P sont supplémentaires.
exemple 26 (à traiter)
Dans l'espace vectoriel F(R ,R), les sous-espaces formés respectivement des fonctions constantes, et des fonctions valant 0 en 0 sont supplémentaires.
# réponse
Pour l'intersection : si une fonction est constante et nulle en 0, elle est nulle partout.
Pour la somme : soit f une fonction quelconque, et a = f(0). On définit une fonction g et une fonction h par :
∀ x ∈ R, g(x) = f(x) – a, ∀ x ∈ R, h(x) = a,
la fonction g est bien nulle en 0, et la fonction h est bien constante, et on a de plus :
∀ x ∈ R, f(x) = g(x) + h(x).
"On dit qu'une famille (zi)i∈Ι d'éléments d' un espace vectoriel E est une famille génératrice de E si tout élément z de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire de (zi)i∈Ι pour une famille de scalaires (ζi)i∈Ι presque nulle."
exemple 27
Dans l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes, C[X], la famille infinie des monômes (Xk)k∈N, est génératrice : en effet, tout polynôme est combinaison linéaire d'une sous-famille finie de cette famille.
exemple 28 (à traiter)
Dans R2, la famille (Vi)1≤i≤4 définie par :
V1 = (1, 0), V2 = (1, –1), V3 = (0, 1), V4 = (–1, 1), est-elle génératrice ?
# réponse
Oui, bien sûr. On peut donner deux arguments (au moins) : Calcul direct. Soit V = (a, b) un vecteur de R2, on peut écrire :
(a, b) = (a, 0) + (1, –1) + (0, b) + (–1, 1), V = aV1 + V2 + bV3 + V4,
donc tout vecteur est combinaison linéaire des quatre vecteurs de la famille.
Raisonnement général : la famille (Vi)1≤i≤4 contient une sous-famille clairement génératrice, la famille (V1, V3), donc elle est génératrice.
"On dit qu'une famille (xi)i∈Ι est une famille libre si pour toute famille presque nulle d'éléments de K, (ξi)i∈Ι, l'implication suivante est vraie : ξixi
i∈I
∑
=0 ⇒ ξi = 0 pour tout i de I."exemple 29
La famille (Vi)1≤i≤4 de l'exemple précédent n'est pas libre, puisque : 0 = 0.V1 + V2 + 0.V3 + V4,
donc il existe une combinaison linéaire nulle dont tous les coefficients ne sont pas nuls.
exemple 30 (à traiter)
Dans F(R, R), soient f une fonction paire, non nulle, et g une fonction impaire, non nulle. Vérifier que la famille (f, g) est libre.
# réponse
Deux arguments possibles.
Soient α et β des réels tels que :
α.f + β.g = 0, c'est-à-dire :
∀ x ∈ R, αf(x) + βg(x) = 0.
S'il existe un réel, soit a tel que f(a) ≠ 0, et g(a) = 0, on en déduit que : αf(a) = 0, donc α = 0,
et comme il existe b tel que g(b) ≠ 0, on déduit que β = 0.
S'il n'existe pas de réel tel que a, soit t tel que f(t) ≠ 0, et g(t) ≠ 0, on peut écrire :
αf(t) + βg(t) = 0, de plus :
αf(–t) + βg(–t) = 0, donc :
αf(t) – βg(t) = 0.
On déduit, en ajoutant la première et la dernière égalité : 2αf(t) = 0,
Et, en les soustrayant :
2βg(t) = 0, donc, comme f(t) ≠ 0, et g(t) ≠ 0, α = β = 0.
Supposons, par l'absurde, que α ≠ 0. Alors : f = β
αg,
donc f est, comme g, impaire, ce qui est faux car f est paire, et non nulle.
On déduit que α = 0, et de même β = 0.
Noter la méthode employée, plus rapide ici : si une famille n'est pas libre, un des termes au moins s'exprime en fonction linéaire des autres.
"Si la famille (xi)i∈Ι n'est pas libre, on dit qu'elle est liée. On dira aussi que les éléments de la famille sont liés, ou dépendants. Dans ce cas il existe une famille (ξi)i∈Ι presque nulle de scalaires non tous nuls telle que ξixi =0
i∈I
∑
."exemple 31
La famille (Vi)1≤i≤4 de l'exemple 28 est liée.
exemple 32 (à traiter)
La famille des polynômes à coefficients réels : X, X – 1, X – 2 est-elle liée ?
# réponse
Peut-on trouver des réels a, b, c, non tous nuls, tels que : aX + b(X – 1) + c(X – 2) = 0.
On voit que pour annuler le terme constant il faut : – b – 2c = 0,
par exemple b = 2, c = –1, et pour annuler le coefficient de X : a + b + c = 0,
soit, si b = 2 et c = – 1, a = – 1.
"Une famille libre et génératrice est appelée une base."
exemple 33
L'ensemble des nombres complexes, C, est un espace vectoriel sur R, pour les opérations usuelles. Une base de cet espace vectoriel est, par exemple, la famille (1, i).
exemple 34 (à traiter)
Dans le même espace vectoriel, la famille (i, j) est-elle une base ? (rappel : j désigne le complexe −1
2 +i 3 2 ).
# réponse
La réponse est oui, d'après les théorèmes généraux sur les espaces de dimension finie.
Plus directement, on peut vérifier que cette famille est libre : αi + βj = 0,
impliquerait, si α ≠ 0 :
i= βαj, donc, comme α et β sont des réels :
arg(i) = arg(j), ce qui est faux, bien entendu.
Cette famille est aussi génératrice. Soit z = a + ib, un nombre complexe quelconque. Peut-on l'écrire :
z = αi + βj,
α et β étant réels. Cela revient à résoudre les équations :
a= −1 2β, b= α + 3
2 β.
d'où β = – 2a, et α = b−a 3. La famille est bien génératrice.
En conclusion, c'est bien une base de C sur R.
"Soit E un espace vectoriel ayant une base à n éléments. 1) Toute base de E a n éléments."
exemple 35
Nous avons vu, pour l'espace vectoriel C sur R, une base à deux éléments (i, j). Toute autre base a exactement deux éléments, par exemple (1, i).
exemple 36 (à traiter)
Y-a-t-il une base à trois éléments dans R2 ?
# réponse
La réponse est non, en remarquant qu'on connaît dans cet espace vectoriel une base à deux éléments, la base :
((1, 0), (0, 1)).
"2) Toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n éléments."
exemple 37
Énoncé très important, en particulier pour sa deuxième partie, qui évite des calculs. Ainsi, sachant que R2 a une base à deux éléments sur R, on peut déduire que la famille :
((1, –1), (1, 1))
est une base en montrant simplement que cette famille est génératrice :
(a, b)=a+b
2 (1, 1)+a−b
2 (1, −1).
exemple 38 (à traiter)
L'espace vectoriel R3 a-t-il une famille génératrice à deux éléments, à quatre éléments ?
# réponse
Pour deux, la réponse est non, puisque cet espace a une base à trois éléments :
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).
Pour quatre, la réponse est oui. Il suffit de compléter une famille génératrice avec un vecteur quelconque :
((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)).
"3) Toute famille libre de E a au plus n éléments. Une telle famille est une base si et seulement si elle a exactement n éléments."
exemple 39
Énoncé très important, en particulier pour sa deuxième partie, qui évite des calculs. Ainsi, si on sait que C a une base à deux éléments sur R, on peut traiter l'exemple 34 en montrant simplement que la famille (i, j) est libre.
exemple 40 (à traiter)
L'espace vectoriel R3 a-t-il une famille libre à deux éléments, à quatre éléments ?
# réponse
Pour deux, la réponse est oui, il suffit de prendre une sous-famille à deux éléments d'une famille libre :
((1, 0, 0), (0, 0, 1)).
Pour quatre, la réponse est non : dans R3, quatre vecteurs sont toujours dépendants.
"L'entier n ainsi attaché à E s'appelle la dimension de E. "
exemple 41
Les exemples précédents montrent qu'il est très important de connaître la dimension des espaces vectoriels avec lesquels on travaille. Par exemple :
dim(Rn) = n, dimR(C) = 2.
exemple 42 (à traiter)
On note Rk[X] l'espace vectoriel formé des polynômes à coefficients réels de degré au plus k, et du polynôme nul. Quelle est sa dimension ?
# réponse
Il faut trouver une base de ce sous-espace. Une famille est clairement génératrice :
(Xp)0≤p≤k.
Il suffit de montrer qu'elle est libre, ce qui est évident puisqu'un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
On conclut :
dim(Rk[X]) = k + 1.
"Soit E un espace vectoriel et (x1, … , xn) une famille génératrice de E. Soit (y1, … , ym) une famille libre, non génératrice de E. Il existe des éléments (xi1, … , xik) de la famille (x1, … , xn) tels que la famille (y1, … , ym , xi1, … , xik) soit une base de E."
exemple 43
Dans de nombreux cas, la famille génératrice (xi) est une base connue de l'espace vectoriel, et la famille libre (yj) est une base d'un sous-espace vectoriel. Cet énoncé permet d'affirmer l'existence d'une base de l'espace contenant la base connue du sous-espace, tout en donnant une méthode pour la trouver.
Si E = R3[X], on cherche une base de E contenant la famille libre : (X – 1), (X – 1)2.
Cette famille est libre car les polynômes qui y figurent sont de degrés différents. Pour la compléter, on a la possibilité d'essayer des vecteurs de la base (1, X, X2, X3). On procède de proche en proche :
1, (X – 1), (X – 1)2
est une famille libre, pour la même raison de degrés, non génératrice (la dimension est 4, donc les familles génératrices ont au moins quatre termes). On lui applique à nouveau la même méthode :
1, (X – 1), (X – 1)2, X3
est libre, et comme elle a 4 termes et que la dimension est 4, c'est bien une base.
exemple 44 (à traiter)
Dans R3, trouver une base contenant les vecteurs suivants : A = (1, –1, 1), B = (1, 1, –1),
après avoir vérifié qu'ils forment bien une famille libre.
# réponse
