Rappel Mathématique
Microéconomie 3-851-84
I. HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS
Définition:
Une fonction f (x1 ,x2 ,..., xn) est homogène de degré r si et seulement si pour tout .
x ) , ...
, x x , ( f
= x ) , ...
, x x , ( f , 0
> λ 1 λ 2 λ n λr 1 2 n
λ
Exemple: f ( x , y ,z) = 2x3+ y z2-z3
) z , y , x (
f λ λ λ = 2( λ x )3+( λy )( λz)2-( λz)3
= 2λ3x3+λ3 y z2-λ3z3
= λ3( 2x3+ y z2-z3)
= λ3f ( x , y ,z) f est homogène de degré 3.
Théorème d'Euler:
Une fonction f (x1 ,x2 ,..., xn) est homogène de degré r ssi x. x
x ) , ...
, x (
= f x ) , ...
, x ( f
r i
i n n 1
1 i=
n
1 •
∂
∑
∂Exemple: f ( x , y ,z )=2x3+ y z2-z3
y ) z , y , x ( ; f 6x x =
) z , y , x (
f 2
∂
∂
∂
∂ = =2 y z-3z
z ) z , y , x ( ; f
z2 2
∂
∂
z
z + f y y + f x x
f •
∂
• ∂
∂
• ∂
∂
∂ = 6x2 • x +z2 • y +( 2 y z-3z2) • z
= 6x3+3 y z2-3z3
= 3( 2x3+ y z2-z3)
= 3f (x , y ,z) f est homogène de degré 3.
II. QUELQUES RAPPELS SUR LE CALCUL DES DÉRIVÉES
1. Multiplication de deux fonctions de x
x. d
u v d x + d
v ud
= ) v u x( d
d •
Exemple: u=x2 y + x 2
= v
] ) y + x 2 x ( x [ d
d 2
• = x2•2+( 2 x + y )•2 x
= 2x2+4x2+2 x y =6x2+2 x y .
2. Division de deux fonctions de x
v .
dx u dv dx - v du v =
u dx
d
2
•
•
Exemple: u=x2 y + x 2
= v
y + x 2
x dx
d 2
= (2 x + y )
) 2 x ( - x 2 ) y + x 2 (
2
• 2
= .
y ) + x 2 (
x y 2 x +
=2 y )
+ x 2 (
2x - x y 2 x + 4
2 2
2 2 2
3. Règle de chaîne
] ) u ( f dx[
d = .
dx ] du ) u ( f u[ d
d •
Exemple: u=2 x + y , f (u )=u2
) ] y + x 2 ( x[
2
∂
∂ = 2 (2 x + y )•2=4 (2 x + y ).
III. DIFFÉRENTIELLE TOTALE
Soit y =f ( x ).
Alors dy =f ’ ( x ) dx est la différentielle totale et on a dy ≠≠≠≠∆∆∆∆y , i.e. dy est une approximation de .
) x ( f - ) x + x ( f
=
y ∆
∆
Graphiquement:
dy = f ’ ( x ) dx = pente de la tangente en x x dx
= x CB= AB CB
AB AB = dy ≈∆y .
De la même manière, si z=f ( x , y ) alors y= f(x)
x X+∆x x f(x)
f(x+∆x)
A
B C
∆y dy
∆x dx
dz = dy y
y ) x , ( + f x dx
y ) x , (
f o o o o
∂∂∂∂ ••••
•••• ∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂ est une approximation de
∆z= f ( xo+∆∆∆∆x ,yo+∆∆∆∆y ) - f ( xo ,yo ).
Évidemment, plus les variations ∆∆∆∆x et ∆∆∆∆y seront petites, meilleure sera l'approximation.
IV. FONCTIONS CONCAVES, QUASI CONCAVES, CONVEXES, QUASI CONVEXES
Les théories du consommateur et du producteur que nous allons étudier font référence à des fonctions d'utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres, sur les notions de concavité et de convexité des fonctions.
Définition:
Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1, x2 de son domaine et pour tout ,
1
<
<
0 , λ λ
. x ) ( f ) - 1 ( + x ) ( f x )
) - 1 ( x + (
f λ 1 λ 2 ≤λ 1 λ 2
(Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir, .
) x et x , ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f
<
) x ) - 1 ( x + (
f λλλλ 1 λλλλ 2 λλλλ 1 λλλλ 2 1≠≠≠≠ 2
Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le sens de l'inégalité est renversé.
Exemples:
Définition:
Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a
0<λ<1
ou, de manière équivalente:
Similairement f(x) est quasi concave si
ou, de manière équivalente:
x1 λx1 + (1 -λ)x2 x2 f(x1)
f(x2) f(x)
x x1 λx1+ (1 - λ)x2 x2 x
f(x1) f(x2) f(x)
λf(x1)+(1-λ)f(x2) f(λx1+(1-λ)x2)
f(λx1+(1-λ)x2) λf(x1)+(1-λ)f(x2)
Fonction convexe Fonction concave
) ( ) ) 1 ( ( ) ( )
(x1 f x2 f x1 x2 f x2
f ≤ ⇒ λ + −λ ≤
} {
( ), ( )max ) ) 1 (
( x1 x2 f x1 f x2
f λ + −λ ≤
) ( ) ) 1 ( ( ) ( )
(x1 f x2 f x1 x2 f x1
f ≤ ⇒ λ + −λ ≥
} {
( ), ( )min ) ) 1 (
( x1 x2 f x1 f x2
f λ + −λ ≥
Exemples:
Remarque: Une fonction concave (convexe) est une fonction quasi concave (quasi convexe) mais une fonction quasi concave (quasi convexe) n'est pas nécessairement une fonction concave (convexe).
V. FORMES QUADRATIQUES
On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme quadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes de la fonction).
Voyons tout d'abord quelques définitions et quelques exemples.
x1 λx1 + (1 - λ)x2 x2 f(x1)
f(λx1 + (1 - λ)x2) f(x2)
f(x)
x x1 λx1+ (1 - λ)x2 x2
x f(λx1 + (1 - λ)x2)
f(x1) f(x2) f(x)
Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave
Une forme quadratique est une fonction de n variables qui peut être écrite
où les aij sont des constantes.
En termes de matrices, la forme quadratique s'écrit:
.xTAx où x est un vecteur de dimension n × 1 et A une matrice symétrique n × n .
Exemple:
xT A x
Définition:
Une forme quadratique xTAx est dite définie positive si xTAx >0, ∀∀∀x ≠≠≠≠0∀
Définition:
Une forme quadratique xTAx est dite semi-définie positive si xTAx >0 et s'il existe x ≠≠≠≠0 pour lequel
xTAx = 0
∑∑
= == n
i n i
j i ijx x a x
f
1 1
) (
2 3 3 1 2 1 2 1 3 2
1, , ) 4 2
(x x x x x x x x x
f = + + +
[ ]
=
3 2 1 3
2 1 3 2 1
2 0 2
0 0 5 , 0
2 5 , 0 1 )
, , (
x x x x
x x x x x f
Pour des formes quadratiques définies négatives ou semi-définies négatives, les définitions sont similaires sauf en ce qui concerne les inégalités qui doivent alors être renversées (< ou ).
Théorème de Sylvester:
Une forme quadratique xTAx est définie positive si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A sont positifs (i.e. > 0).
Soit A la matrice 3 × 3 suivante:
Les principaux mineurs successifs de A sont les trois déterminants suivants:
(ce sont les déterminants des sous-matrices de A obtenues en enlevant successivement la dernière colonne de droite et la rangée d'en bas).
La forme quadratique xTAx est donc définie positive si chacun de ces trois déterminants est positif.
Exemple:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
11 22 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
,
, a
a a
a a a a a
a a a
a a a
5 0 2
0 3 1
2 1 2
= A
.xTAx est définie positive.
Cependant, pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie positive, il ne suffit pas que les principaux mineurs successifs soient non négatifs (i.e. ≥0). Il faut que tous les mineurs principaux soient non négatifs, ce qui implique le calcul de plusieurs déterminants.
Théorème:
Une fonction f(x1,x2,…,xn) est convexe si et seulement si sa matrice hessienne H(x) (ou la forme quadratique associée xTHx ) est semi-définie positive. Si xTHx est définie positive, f(x1,x2,…,xn) est strictement convexe.
De la même manière, si xTHx est semi-définie négative, la fonction f(x1,x2,…,xn) est concave (et strictement concave si xTHx est définie négative).
Exemple: Soit f(x1,x2) = x12+2x1x2+3x22
= 2x1 + 2x2 ; = 2x1 + 6x2
= 2 ; = 2 = 2
=2 H(x) =
Or |2|=2>0 et = 8 > 0 ; xTHx définie positive 0
13 5 0 2
0 3 1
2 1 2
; 0 3 5
1 1
;2 0
11 =2> = > = >
a
1 2 1, ) (
x x x f
∂
∂
2 2 1, ) (
x x x f
∂
∂
2 1
2 1
2 ( , )
x x x f
∂
∂
2 1
2 1
2 ( , )
x x x f
∂
∂
2 1
2 1
2 ( , )
x x
x x f
∂
∂
∂
6 2
2 2
6 2
2 2
F(x1,x2)=x12 +2x1x2 + 3x22 est une fonction strictement convexe.
VI. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES
Soit f ( x ,y )=0 une fonction continuement dérivable. Soit un point (xo ,yo) tel que 0
= ) y x , (
f o o et fx (xo ,yo )≠≠≠≠0 . Il existe des points au voisinage de (xo ,yo) tels qu'à tout y dans ce voisinage correspond une valeur unique de x tel que x =g (y ).
Ce théorème nous dit que pour une fonction f ( x ,y )=0dont la dérivée par rapport à x existe et est différente de 0 au point (xo ,yo) , on peut alors exprimer x en fonction de y ( x =g (y )) autour de ce point, et avoir f (g (y ) ,y )=0.
Exemple: f ( x ,y ) = 2 x +3y =0
x ) y , x ( f
∂
∂ 1 = 2≠≠≠≠0
et on peut écrire x = =g (y ). 2
y -3
Ce qui nous intéresse, c'est une formulation plus générale de ce théorème. On pourra par exemple l'utiliser dans la théorie du consommateur pour montrer que les fonctions de demande existent ou, dans la théorie du producteur, pour montrer que les fonctions d'offre nette existent.
Supposons qu'on ait les fonctions suivantes:
) y , ...
, y y , , x , ...
, x x , ( z
z1= 1 1 2 n 1 2 m
) y , ...
, y , y , x , ...
, x x , ( z
z2= 2 1 2 n 1 2 m
) y , ...
, y y , , x , ...
, x x , ( z
zn= n 1 2 n 1 2 m
La généralisation du théorème nous dit que si z1=z2=...=zn=0 au point )
y , ...
, y x , , ...
, x x ,
( 1* *2 *n *1 *m et si la matrice
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x ... z x z x z
. . .
x ... z x z x z
x ... z x
z x z
n n 2
n 1 n
n 2 2
2 1 2
n 1 2
1 1 1
est de rang maximal (i.e. son déterminant est ≠≠≠≠ 0) en ce point,
alors les fonctions,
y ) , ...
, y ( x
x1= 1 1 m
y ) , ...
, y ( x
x2= 2 1 m
. . .
) y , ...
, y ( x
xn= n 1 m
existent autour de ce point.
Exemple:
Supposons qu'on désire maximiser l'utilité d'un consommateur µ= x y en tenant compte de sa contrainte de budget R=p x x +p xy .
Pour ce faire, on maximise le Lagrangien suivant:
. ) p 0 , p 0 ( ] R - p y + p x [ - y x
= λλλλ x y x≠≠≠≠ y≠≠≠≠
l
Les conditions de premier ordre sont
∂∂∂∂x
∂∂∂∂l = y -λpx=0
∂∂∂∂y
∂∂∂∂l = x -λpy=0
λλλλ
∂∂∂∂
∂∂∂∂l = -px x -py y +R=0.
Posons z1 = z1 ( x ,y ,λ ,px ,py ,R )=y -λpx
z2 = z2 ( x ,y ,λ ,px ,py ,R )= x -λpy
z3 = z3 ( x ,y ,λ ,px ,py ,R )= -px x -pyy +R.
On a alors
x Z1
∂
∂ = 0
y Z1
∂
∂ = 1
λ
∂
∂Z1 = -px2
x Z2
∂
∂ = 1
y Z2
∂
∂ = 0
λ
∂
∂Z2 = -py
x Z3
∂
∂ = -px
y Z3
∂
∂ = -py
λ
∂
∂Z3 = 0 .
Or
p 0 p _ _
_p 0 1
p _ 1 0
y x
y x
=
p _ p _
0 1 p
- 0 _p
_p 1 _
y x x
x y
= px py+px py=2px py≠≠≠≠0.
Le théorème des fonctions implicites nous permet d'affirmer qu'il est possible d'exprimer x, y et λλλλ en fonction de px, py et R, i.e.
) R p , p , ( x
=
x x y
) R , p , p ( y
=
y x y
) R , p , p (
=λ x y
λ
En général, dans les cas précis qui nous préoccupent, il ne sera pas nécessaire de vérifier à tout moment si le théorème des fonctions implicites s'applique. On peut en effet montrer que les conditions nécessaires à l'application de ce théorème seront généralement respectées dans ces cas particuliers.
