PROCESSUS `A TEMPS DISCRET ´Edition 2013–2014

PROCESSUS ` A TEMPS DISCRET

Edition 2013–2014 ´

n n n n nn n n n nn n n n nn n n n nn n n n nn n n n n

Anthony Phan

D´epartement de Math´ematiques Universit´e de Poitiers

G ´ EN ´ ERALIT ´ ES

Rappels et notations

Dans ce chapitre ainsi que les suivants ^pΩ,A,^Pqd´esigne un espace probabilis´e :

Ω est un ensemble non vide ;

A est une tribu (ou σ-alg`ebre) sur Ω, c’est-`a-dire un ensemble de parties de Ω contenant

H et Ω tout entier, stable par passage au compl´ementaire et stable par intersections (et r´eunions) au plus d´enombrables ;

Pest une mesure de probabilit´e sur l’espace mesurable^pΩ,A^q, c’est-`a-dire une application

P:A ^Ñr0,1^sv´erifiant^PpΩ^q1 et pour toute famille finie ou d´enombrableA1, . . . , A_n, . . . d’´el´ements disjoints de A, ^Pp”_nAn^q

°

n^PpAn^q (additivit´e d´enombrable).

En analyse, la notion de tribu apparaˆıt comme une restriction technique : on cherche

`

a ´etendre une fonction additive en une mesure sur le plus grand nombre de sous-ensembles de Ω, ainsi, plus la tribuAest grande, mieux c’est. En probabilit´es, cette contrainte technique existe bien entendu : on prend d`es le d´epart la plus grande tribu A sur Ω qui ait du sens par rapport au probl`eme pos´e. Mais ensuite on peut regarder des sous-tribus : une sous-tribu A¹ de A est une tribu sur Ω telle que pour tout A ^PA¹, on a A ^PA, autrement ditA^{1 €}A.

Par exemple, si^pE,E^q est un espace mesurable et X :^pΩ,A,^PqÑpE,E^q est une variable al´eatoire, c’est-`a-dire une application X : Ω^ÑE v´erifiant

tX ^PB^uX^1pB^qPA pour tout B^PE,

la tribu σ^pX^qttX ^PB^u :B ^PE^u engendr´ee par X est une sous-tribu de A form´ee par les

´ev´enements s’exprimant `a l’aide de, ou portant sur, la variable al´eatoire X seulement.

Exercice. — Montrer que σ^pX^q est une tribu sur Ω et que c’est la plus petite tribu sur Ω tel que X : Ω^ÑE est mesurable, la tribuE sur E ´etant fix´ee.

Les exercices qui pars`ement ces notes de cours ne sont l`a que pour se donner le temps d’une respiration pour v´erifier qu’on a compris ce qui pr´ec`ede.

1. Filtrations et processus

D´efinition 1. — Soit ^pT,^¤q un ensemble ordonn´e. On appelle filtration sur Ω toute suite croissante F ^pF_t^q_tPT de tribus sur Ω :

si s, t^PT, s^¤t, alors F_s ^€F_t

Un espace probabilis´e ^pΩ,A,^Pqmuni d’une filtration F telle, que pour tout t ^{P T}, F_t ^€ A, est appel´eespace probabilis´e filtr´e et est not´e^pΩ,A,^P,F^q. Pourt ^PT, la tribuF_t est appel´ee tribu des ´ev´enements ant´erieurs `a t.

Une filtrationF ^pF_t^q_tPT est compl`ete si pour toutt <sup>PT</sup>, la tribu F<sub>t</sub> contient l’ensemble des n´egligeables de<sup>p</sup>Ω,A,<sup>Pq</sup>, c’est-`a-dire l’ensembleN^pΩ,A,^Pqdes partiesA^€Ω telles qu’il

2 ^{G´en´eralit´es} Chap. I existeA^{1 P}A, A^€A¹ et^PpA^1q0. Toute filtrationF peut ˆetre compl´et´ee en consid´erant la filtration F^P d´efinie par F_t^PF_t ^_N^pΩ,A,^Pq, t^PT.

Remarque. — Le compl´et´e d’une tribu ou d’une filtration se note de mani`ere diverse en fonction du contexte. Lorsqu’une seule mesure de probabilit´e sur Ω est consid´er´ee, la nota- tion F<sup>s</sup> convient. En revanche, lorsque plusieurs mesures de probabilit´e interviennent, une notation semblable `a celle que nous avons utilis´e s’impose. Cependant, lorsque la filtration est engendr´ee par un processus (voir plus loin), on peut se retrouver avec deux exposants, l’un signifiant l’origine de la filtration, l’autre la compl´etion. Heureusement, les situations rencontr´ees sont g´en´eralement suffisamment simples pour pouvoir adopter des notations pas trop surcharg´ees, quitte `a pr´eciser les choses au d´ebut.

Rappelons qu’une relation d’ordre^¤ sur un ensemble ^Test une relation r´eflexive (x ^¤x), transitive (si x^¤y et y ^¤z, alors x^¤z) et antisym´etrique (si x^¤y et y^¤x, alors xy).

Il est des situations int´eressantes pour lesquelles l’ordre n’est pas total (ou complet), c’est-

`

a-dire que tous les ´el´ements de ^Tne sont pas comparables. C’est, par exemple, le cas lorsque

T est l’ensemble des parties d’un ensemble avec pour ordre celui d´eduit de l’inclusion. Ainsi, si on se donne des variables al´eatoires X1, . . . , Xn et on pose F_I σ^tXi : i ^P I^u pour I ^€t1, . . . , n^u, alors ^pF_I^q_I

€t1,...,n^u est une filtration.

Cependant nous n’envisagerons que les cas suivants :

T est une partie de ^Z (temps discret), soit, `a bijection strictement croissante pr`es, ^T

t0, . . . , T^u fini, ^TNborn´e inf´erieurement, ^TN born´e sup´erieurement, ^{T Z};

T est un intervalle de ^R (temps continu), soit, `a bijection continue strictement croissante pr`es,^Tr0, T^sferm´e,^Tr0,^8rR ferm´e `a gauche,<sup>Ts8</sup>,0<sup>sR</sup> ferm´e `a droite,

Ts8, ^8rRouvert.

Dans les cas que nous rencontrerons, l’ordre sera donc l’ordre usuel sur les r´eels qui est total, et l’ensemble ^Tsera consid´er´e comme le temps. La notion de filtration s’interpr`ete alors comme d´ecrivant l’acquisition progressive d’informations au cours du temps sur le d´eroulement d’un ph´enom`ene al´eatoire. Les ´el´ements de ^T seront fr´equemment appel´e« temps », « instants », voire « dates ». On doit noter que d`es le d´epart nous imposons une dissym´etrie en donnant une direction au temps : on dispose de l’information pass´ee et on regarde vers le futur.

Le besoin ou non de disposer de tribus compl`etes est assez technique et ne s’impose g´en´eralement pas en temps discret, alors que c’est une condition qu’on retrouve fr´equemment en temps continu, souvent avec la condition suivante :

D´efinition 2 (temps continu). — Une filtrationF ^pF_t^q_t¥0 estcontinue `a droitesi pour tout t^PT,

F_t

£

s^¡t

F_s F_t.

Nous avons bien entenduF_t ^F_t pour toutt ^PT, et il est toujours possible de«rendre» une filtration F continue `a droite en la rempla¸cant par la filtration F . Pour des raisons techniques en temps continu, il est fr´equent de supposer la filtration continue `a droite et compl`ete. Ce sont les conditions habituelles.

La notion sym´etrique de continuit´e `a gauche n’a pas de sens en th´eorie des processus. La filtration F d´efinie par

F_t

ª

s t

F_s peut cependant pr´esenter de l’int´erˆet (la tribu F_t

est la tribu des ´ev´enements strictement ant´erieurs `a t et est ´egale `a la tribu engendr´ee par ^”_s

 tF_s, r´eunion qui n’est g´en´eralement pas une tribu).

En temps discret, une quelconque notion de continuit´e est hors de propos et on pourra convenir dans ce cadre que F F. En revanche, la filtration F

pF_t1^qt^PT (avec, lorsque par exemple ^TN, F

1 ^tH,Ω^u) demeure `a distinguer de F.

D´efinition 3. — Soit ^pE,E^q un espace mesurable. On appelle processus `a valeurs dans l’espace d’´etats ^pE,E^q et index´e par ^T toute famille X ^pX_t^q_t^PT de variables al´eatoires Xt :^pΩ,A,^PqÑpE,E^q,t^PT.

A un processus` X ^pX_t^q_tPT, on associe la filtration F^{X p}F_t^Xq_t

PT d´efinie par F_t^X σ^tXs : s ^¤ t^u. Elle est appel´ee filtration naturelle du processus X ou encore filtration en- gendr´ee par le processus X.

Exercice. — Montrer que F^X est une filtration.

Exemples de processus. — D´ej`a en th´eorie ´el´ementaire du Calcul des Probabilit´es, on ren- contre des processus et une partie de leur probl´ematique. Soit ^pξ_n^q_n¥1 une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi.

a) Lorsque les variables al´eatoires ^pξ_n^q_n¥1 sont de plus centr´ees et de carr´e int´egrable, le processus form´e par la suite ^pξn^qn^¥1 est appel´ee « bruit blanc » (en particulier lorsque la loi des variables est une loi normale centr´ee).

b) Le processus X ^pXn^qn^¥0 d´efini parXn X⁰ ξ¹ ξn, n^PN, est une «marche al´eatoire»ou processus `a accroissements ind´ependants, o`uX0 est une variable al´eatoire r´eelle quelconque, souvent constante ou ind´ependante des ^pξn^qn^¥1.

c) En posant ¯ξ_n ^pξ1 ξ_n^q{n,n^PN, la suite ainsi d´efinie est la suite des moyennes empiriques. On sait par la loi du 0–1 que si cette suite converge presque sˆurement, sa limite est une variable al´eatoire constante, et, par la loi forte des grands nombres, que cette suite converge presque sˆurement vers une constante si et seulement si lesξn sont int´egrables auquel cas cette constante est ´egale `a ^{E r}ξ_n^s. Ce r´esultat est un r´esultat de type ergodique.

d) Le Th´eor`eme Central Limite¹ affirme que si lesξnsont de carr´e int´egrable, et en posant pour n^¥1,

Zn

ξ¹ ξnnm

?

n σ , o`u m^Erξn^s et σ² Var^pξn^q,

le processus Z ^pZ_n^q_n¥1 « converge en loi » vers la loi normale N^p0,1^q, c’est-`a-dire que la suite des lois de ^pZ_n^q_n^¥1 converge vers N^p0,1^q.

D´efinition 4. — SoitX ^pX_t^q_t^PT un processus sur un espace probabilis´e^pΩ,A,^Pq`a valeurs dans un espace mesurable<sup>p</sup>E,E<sup>q</sup>. On appelle trajectoire du processus X, associ´ee `a l’al´ea, ou r´ealisation, ω ^PΩ, l’application t^{PT ÞÑ}X_t^pω^q.

Lorsque^T est un intervalle de ^R, et E un espace topologique muni de sa tribu bor´elienne E B^pE^q, des questions de r´egularit´e peuvent se poser sur les trajectoires : mesurabilit´e, continuit´e `a droite ou `a gauche, existence de limites, . . . Par exemple, le processus sera dit

`

a trajectoires continues `a droite, si pour presque tout ω <sup>P</sup> Ω, la trajectoire associ´ee `a ω est continue `a droite ; `a trajectoires limit´ees `a gauche si pour presque tout ω <sup>P</sup>Ω, la trajectoire associ´ee `a ω admet des limites `a gauche en tout point t <sup>P T</sup>; `a trajectoires c`adl`ag² si pour presque tout ω ^PΩ, la trajectoire associ´ee `a ω est continue `a droite et limit´ee `a gauche, . . .

1. George Polya, « Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das¨ Momentenproblem, »Mathematische Zeitschrift, 8 (1920).

2. Un bel adjectif invariable qui semble tomber, h´elas !, en d´esu´etude.

4 ^{G´en´eralit´es} Chap. I Lorsque ^T est une partie de ^Z, aucune consid´eration de r´egularit´e n’est faite (^Z est muni implicitement de sa topologie et de sa tribu discr`etes). Seules d’´eventuelles consid´erations de monotonies, de signe, communes aussi au cas o`u^Test un intervalle de^R, sont faites. On parle de processus monotone, croissant, d´ecroissant, `a trajectoires stationnaires (ici, la pr´ecision du fait que l’adjectif s’applique aux trajectoires est important).

D´efinition 5. — Soient^pΩ,A,^P,F^qun espace probabilis´e filtr´e, F ^pF_t^q_tPT. Un processus X ^pX_t^q_tPT `a valeurs dans ^pE,E^qest F-adapt´e si pour tout t^PT, X_t est F_t^{E-mesurable.

Remarque. — Pour t ^{P T}, nous notons temporairement t^{s t}s ^{P T} : s ^¤ t^u, T la tribu de ^T et T_t la tribu induite par T sur t^s. Un processus X est mesurable si l’application

pt, ω^qPTΩ ^ÞÑXt^pω^q est T ^bA-mesurable. Un processus X est progressif si et seulement si pour tout t ^PT, l’application ^ps, ω^qPt^sΩ^ÞÑX_s^pω^qPE est T_t ^bF_t^{E-mesurable.

Lorsque ^T est une partie de ^Z, les tribus T et T_t sont des tribus discr`etes et les deux derni`eres notions n’apportent rien : tout processus est alors mesurable, et tout processus adapt´e est progressif (tout processus progressif est adapt´e). C¸ a n’est pas le cas en temps continu, ou plus de subtilit´e est n´ecessaire quant aux questions de mesurabilit´e.

Exercice. — Un processus X est F-adapt´e si et seulement si sa filtration naturelle F^X est une sous-filtration de F : F_t^{X €} F_t pour tout t^PT.

D´efinition 6. — Soit ^pΩ,A,^Pq un espace probabilis´e, X ^pX_t^q_tPT un processus `a va- leurs dans ^pE,E^q. On appelle lois finies dimensionnelles, ou lois temporelles, les lois de

pX_t1, . . . , X_tn^q:^pΩ,A,^PqÑpEⁿ,E^bnq, pour t1   t_n ^PT, n^¥1.

Deux processus d´efinis sur des espaces probabilis´es ´eventuellement diff´erents mais ayant mˆeme espace d’´etats et mˆeme ensemble des temps sont dits ´equivalents, ou versions l’un de l’autre, s’ils ont mˆemes lois finies dimensionnelles (temporelles).

Ces familles de lois de probabilit´e v´erifient une propri´et´e de consistance : si pour I ^{€ T} fini,µ_I d´esigne la loi finie dimensionnelle correspondante, alors pourJ ^€I,µ_J p_I,J^pµ_I^qo`u pI,J d´esigne la projection canonique de E^I dans E^J. En particulier, si ^T est fini, la donn´ee de µT suffit. Dans ce cas, la loi de X est sans ´equivoque possibleP_X µT.

Plus g´en´eralement, un processus X peut ˆetre vu comme une application de Ω dans E^T, auquel cas on souhaiterait d´efinir sa loi comme une mesure de probabilit´e surE^Tmuni d’une tribu convenable comme l’image de ^P par l’application ω ^P Ω ^ÞÑ X.^pω^q, application qui est mesurable d`es que chaque Xt est mesurable et E<sup>T</sup> muni de la tribu produit E<sup>bT</sup>. Cette mesure de probabilit´e est bien d´efinie et compl`etement caract´eris´ee par les distributions finies dimensionnelles. Dans Probabilit´es et Potentiel, vol. A, elle est nomm´ee loi temporelle du processus X.

Exemple. — Soit ξ ^pξ_n^q_n^¥1 une suite de variable al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees de loi µ, alors ses lois finies dimensionnelles d’ordre n sont µ^bn et sa loi est la loi produit µ^bN, et reciproquement.

Remarques. —a) Consid´erons des processus `a valeurs dans<sup>p</sup>E,E<sup>q</sup>et index´es par<sup>T</sup>. Le cadre canonique consiste `a consid´erer ΩE^T pour ensemble fondamental, X_t : Ω^ÑE, ω ^ÞÑω^pt^q, t ^{P T}, le processus canonique, ou processus des coordonn´ees, F la filtration naturelle de ce processus, F_t σ^tX_s:s ^¤t^u, t ^PT, et AF8

E^bT la tribu produit. Dans ce cadre sans probabilit´e, le processus canonique X est mesurable et adapt´e.

Etant donn´e un processus index´e par´ ^T et `a valeurs dans <sup>p</sup>E,E<sup>q</sup>, la r´ealisation canonique de ce processus consiste `a consid´erer le cadre pr´ec´edent avec pour loi de probabilit´e ^P la loi temporelle du processus consid´er´e (avec une filtration ´eventuellement compl´et´ee et rendue

continue `a droite). Changer de processus, ou consid´erer d’autres aspects du processus revient dans ce cadre `a changer de mesure de probabilit´e.

Deux processus ayant mˆeme r´ealisation canonique sont donc versions l’un de l’autre (ou

´equivalents) et r´eciproquement.

b) La notion de r´ealisation canonique d’un processus est sans ambig¨uit´e en temps discret.

En temps continu, c’est plus d´elicat, car les ´el´ements ω ^P Ω sont naturellement vus comme les trajectoires possibles du processus. Si les trajectoires peuvent ˆetre suppos´ees continues (resp. c`adl`ag), on prendra ΩC^pT, E^q(resp.D^pT, E^q) l’ensemble des applications continues (resp. c`adl`ag) de ^T dans E, etc.

c) Deux processus X et Y d´efinis sur un mˆeme espace probabilis´e sont dits ˆetre des modifications l’un de l’autre si et seulement si, pour tout t ^PT, X_t Y_t presque sˆurement, ou encore

t^PT, ^DA_t ^PA,^PpA_t^q1, X_t^pω^qY_t^pω^q pour tout ω ^PA_t.

Deux processus X et Y sont dits indistinguables si presque sˆurement, X_t Y_t pour tout t^PT, ou encore

DA ^PA, ^PpA^q1, X_t^pω^qY_t^pω^q pour tout ω ^PA et tout t ^PT.

La notion d’indistinguabilit´e est plus forte que celle de modification qui est elle-mˆeme plus forte que celle de version.

En temps discret, l’ensemble ^T est d´enombrable, et indistinguabilit´e et modification sont alors deux notions identiques.

Citons pour finir cette section un r´esultat de mesurabilit´e tr`es pratique en temps continu.

Th´eor`eme 1 (temps continu). — Soit E un espace m´etrisable, X un processus `a valeurs dans E, adapt´e `a la filtration F. Si X est `a trajectoires continues `a droite (resp. continues

`

a gauche), alors le processus X est progressif par rapport `a la filtration F.

D´emonstration (facultative). — Pour tout n ^PN, posons X_tⁿ Xpk 1q{2ⁿ si t ^{P r}k^{2ⁿ,^pk 1^q{2^nr. Ce processus est progressif par rapport `a la filtration <sup>p</sup>F<sub>t ε</sub><sup>q</sup><sub>t</sub>PT d`es queε ^¡1^{2ⁿ. Par continuit´e `a droite, pour tous t <sup>P T</sup>, ω <sup>P</sup> Ω, Xt<sup>p</sup>ω<sup>q</sup> limn<sup>Ñ8</sup>X<sub>t</sub><sup>n</sup>, et donc X est progressif par rapport `a F_{t ε}. Puisque c’est vrai pour toutε ^¡0 et queX est adapt´e, on constate que

X est progressif. ^l

2. Temps d’arrˆet

Nous noterons ^Ts l’ensemble ^T ferm´e `a droite par ⁸si n´ecessaire.

D´efinition 7. — Soit ^pΩ,A,^P,F^qun espace probabilis´e filtr´e. Une application T : Ω ^{Ñ Ts} est un temps d’arrˆet, ouF-temps d’arrˆet, si et seulement si

pour tout t ^PT, ^tT ^¤t^utω ^PΩ :T^pω^q¤t^uPF_t. NotonsF

8

š

t^PTF_t la tribu engendr´ee par la filtrationF, encore appel´eetribu terminale de la filtration F. On a bien entendu F8

€A.

Th´eor`eme 2. — Un F-temps d’arrˆet T : Ω ^ÑTs est une variable al´eatoire F

8-mesurable.

Si de plus T est major´e par t^PT, alors T est F_t-mesurable.

D´emonstration.— On constate que les intervalles t^sts ^PT:s ^¤t^u engendrent la tribu sur

s

T, que le temps soit discret ou continu. Ainsi, pour que T : Ω ^{Ñ Ts} soit mesurable, il suffit

6 ^{G´en´eralit´es} Chap. I que les images r´eciproques de ces intervalles soient mesurables pour la tribu consid´er´ee sur Ω.

D’apr`es la d´efinition, il est clair que celles-ci sont toutes dansF8

€A, d’o`u la premi`ere partie du th´eor`eme. Supposons de plus que T est major´e par t ^{P T} : pour tout ω ^P Ω, T^pω^{q ¤} t.

Dans ce cas, pour s ^¤ t, ^tT ^¤ s^{u P} F_s ^€ F_t, et, pour s ^¥ t, ^tT ^¤ s^{u t}T ^¤ t^u Ω ^P F_t.

D’o`u la deuxi`eme partie de l’´enonc´e. ^l

Exemple. — Consid´erons un jeu infini de pile ou face (sch´ema de Bernoulli infini), c’est-

`

a-dire une suite de variables al´eatoires ξn : ^pΩ,A,^{Pq Ñ t}0,1^u, n ^¥ 1, ind´ependantes et identiquement distribu´ees de loiB^p1, p^q, avec p^Pr0,1^s. Posons T inf^tn^¥1 :ξ_n 1^u, avec inf^{H 8}. Alors, T est un temps d’arrˆet dans la filtration naturelle F^ξ du processus ξ. En effet, pour n^¥1,

tT ^¤n^util existe 1^¤k ^¤n:ξk 1^u

n

¤

k1

tξk 1^uPF_n^ξ. Notons que

si p0, alors T ⁸presque sˆurement (^PtT ^8u1) ;

si 0 p 1, alors la loi deT est la loi g´eom´etrique de param`etrep(^PtT n^up^p1p^qn1 pour tout n^¥1) ;

si p1, alors T 1 presque sˆurement (^PtT 1^u1).

Proposition 1 (temps discret).— Supposons ^T€Z. Pour qu’une application T : Ω^ÑTs soit un temps d’arrˆet, il faut et il suffit que

pour tout t^PT, ^tT t^uPF_t.

D´emonstration. — Si pour tout t ^PT, on a ^tT t^{u P}F_t, alors ^tT t^uP A, et par r´eunion au plus d´enombrable ^tT ^{P Tu P} A, donc par passage au compl´ementaire ^tT ^{8u P} A si un point `a l’infini a ´et´e adjoint. Ce qui montre que T est une variable al´eatoire discr`ete (^Ts est au plus d´enombrable muni de sa tribu discr`ete). Ensuite, pour tout t ^{P T}, l’ensemble

ts ^PT : s ^¤t^u est au plus d´enombrable et on a ^tT ^¤ t^{u ”}_s

¤t^tT s^{u P}F_t puisque, pour s^¤t, ^tT s^uPF_s ^€F_t.

R´eciproquement, siT est un temps d’arrˆet, pour t^PT, on a ^tT ^¤t^uPF_t et ^tT ^¤t1^uP F_t1 ^€F_t, et ainsi^tT t^utT ^¤t^uztT ^¤t1^uPF_t. ^l Remarques. —a) Cette propri´et´e cesse d’ˆetre vraie lorsque ^T est un sous-intervalle de ^R.

b) Dans le cas du jeu de pile ou face infini, on a ^tT n^{u t}ξ1 0, . . . , ξn1 0, ξn

1^uPF_n^ξ pour tout n^¥1, ce qui montre queT est un temps d’arrˆet et permet de d´eterminer imm´ediatement sa loi.

Th´eor`eme 3. — (i) Toute variable al´eatoire T : ^pΩ,A,^{Pq Ñ Ts} constante est un temps d’arrˆet.

(ii) Si ^pTk^qkest une famille non vide au plus d´enombrable de temps d’arrˆet, alors sup_k^pTk^q

est un temps d’arrˆet. De mˆeme, si ^pT_k^q_k est une suite croissante de temps d’arrˆet, sa limite T est un temps d’arrˆet.

(iii) Si ^pT_k^q_k est une famille non vide au plus d´enombrable de temps d’arrˆet, born´ee inf´erieurement ou telle que infk^pTk^q est `a valeurs dans ^Ts. Alors, en temps discret, infk^pTk^q

est un temps d’arrˆet, et, en temps continu, infk^pT_k^qest un temps d’arrˆet de la filtration F . De mˆeme, si ^pT_k^q_k est une suite d´ecroissante de temps d’arrˆet, born´ee inf´erieurement ou de limite une variable al´eatoire `a valeurs dans ^Ts, sa limite est un F-temps d’arrˆet en temps discret, F -temps d’arrˆet en temps continu ; si la suite est de plus stationnaire, c’est un F-temps d’arrˆet.

(iv) Supposons T ^Nou ^TR par exemple. Si T :^pΩ,A,^PqÑTs est un temps d’arrˆet et t ^¥0, alors T t :^pΩ,A,^PqÑTs est un temps d’arrˆet.

D´emonstration. — (i) Si T est une constante, pour tout t ^PT, on a ^tT ^¤t^uPtH,Ω^uPF_t. (ii) Pour tout t ^PT, on a

!

sup

k

pTk^q¤t

)

£

k

tTk ^¤t^uPF_t. Pour une suite croissante, remplacer sup_k^pTk^q par T.

(iii) En temps discret, l’infimum, lorsqu’il est fini est n´ecessairement atteint ; on a alors pour t ^PT,

!

infk

pTk^q¤t

)

¤

k

tTk ^¤t^uPF_t,

et ainsi l’infimum d’une suite de temps d’arrˆet est toujours un temps d’arrˆet. C’est en revanche plus subtil en temps continu puisque l’infimum n’est pas n´ecessairement atteint. Mais pour ε^¡0, nous avons

!

infk

pTk^q t ε

)

¤

k

tTk  t ε^uPF_{t ε}. Or, pour η ^¡0,

!

infk

pT_k^q¤t

)

£

0 ε η

!

infk

pT_k^q t ε

)

PF_{t η},

et donc ^!

infk

pT_k^q¤t

)

P

£

η^¡0

F_{t η} F_t .

Le cas d’une suite d´ecroissante est similaire. L’hypoth`ese additionnelle ´eventuelle de statio- narit´e garantit alors que le minimum est atteint.

(iv) Pour s ^PT, ^tT t ^¤s^utT ^¤st^u qui peut ˆetre vide si st minore strictement

T ou ˆetre dans F_s

t ^€F_s sinon, et donc est dans les deux cas dans F_s. ^l Exercice. — Supposons que l’ensemble des temps soit ^{T N}. Si S et T sont deux temps d’arrˆet, montrer que S T est un temps d’arrˆet.

Remarque. — Cette propri´et´e tr`es sp´ecifique au temps discret n’a rien de vraiment naturel.

On peut donc sereinement l’oublier.

Soient ^pΩ,A,^P,F^q un espace probabilis´e filtr´e et X ^pX_t^q_t^PT un processus d´efini sur cet espace, `a valeurs dans un espace mesurable ^pE,E^q. Supposons le temps ^T pourvu d’une origine t0.

D´efinition 8. — Soit B ^€E. Le temps d’atteinte de B par X est T^B inf^tt^¥0 :X_t ^PB^u, o`u inf^{H 8}. Le temps d’entr´ee de B par X est

Te^B inf^tt^¡0 :X_t ^PB^u, o`u inf^{H 8}.

Th´eor`eme 4 (temps discret). — Si le processus X est adapt´e et le sous-ensemble B de E est mesurable, alors les temps d’atteinte et d’entr´ee de B par X sont des temps d’arrˆet.

D´emonstration. — Soit t^PT, on a T^{B ¤}t

(

¤

0¤s^¤t

tX_s ^PB^uPF_t et Te^{B ¤}t

(

¤

0 s^¤t

tX_s ^PB^uPF_t

8 ^{G´en´eralit´es} Chap. I puisque ces deux ensembles sont des r´eunions au plus d´enombrables d’´el´ements de F_t. ^l

Le cas discret laisse envisager les difficult´es qu’on doit rencontrer en temps continu.

Th´eor`eme 5 (temps continu).— Supposons que l’espaceE est un espace topologique muni de sa tribu bor´elienne, et le processus X adapt´e `a trajectoires continues `a droite.

(i) Si ^pE, d^q est un espace m´etrique et F ^€ E est un ferm´e, alors T^F et Te^F sont des F-temps d’arrˆet.

(ii) Si U ^€E est un ouvert, alors T^U et Te^U sont des F -temps d’arrˆet.

(iii) Si B^€E est un bor´elien, alors T^B et Te^B sont des F^P-temps d’arrˆet.

D´emonstration.— On se contente d’´ecrire sommairement les relations conduisant `a la conclu- sion pour les temps d’atteinte. L’hypoth`ese de continuit´e `a droite permet de se limiter `a des instants rationnels.

(i) Pourt ^PT, on a ^tT^{F ¤}t^utω ^PΩ : infs^PQ,s^¤td^pXs^pω^q, F^q0^uPF_t. (ii) Pourt ^PT et ε ^¡0, ^tT^U  t ε^u

”

s^PQ,s t ε^tXs ^PU^uPF_{t ε}.

(iii) L’argument est ici plus complexe : on utilise le fait qu’un processus adapt´e `a trajec- toires continues `a droite est progressif, puis on utilise un r´esultat non trivial de mesurabilit´e du d´ebut d’un ensemble progressif. Le r´esultat est donc admis. ^l Remarque. — Le dernier temps de retour L^B sup^tt ^¥0 :Xt ^PB^u(L vient de l’anglais last exit time ou plus exactement last sejourn time) n’est g´en´eralement pas un temps d’arrˆet de la filtration naturelle de X, compl´et´ee, rendue continue `a droite, ou non.

D´efinition 9. — Soient X ^pXt^qt^PT un processus `a valeurs dans un espace d’´etats ^pE,E^q et T :^pΩ,A,^PqÑT un temps al´eatoire. On d´efinit l’application

X_T : Ω^ÝÑE

ω ^ÞÝÑX_Tpω^qpω^q

qui est le processus X observ´e au temps T. Lorsque le temps al´eatoire T peut prendre une valeur infinie n’appartenant pas `a <sup>T</sup>, T : <sup>p</sup>Ω,A,<sup>Pq Ñ Ts</sup>, on adjoint `a E un point isol´e δ

— souvent appel´e cimeti`ere ou point `a l’infini — et on pose alors XT : Ω^ÝÑE^s E^Ytδ^u

ω ^ÞÝÑX_T^pω^q

"

X_Tpω^qpω^q si T^pω^qPT

δ sinon,

l’espace E^sE^Ytδ^u´etant muni de la tribu E^sE ^YtB^Ytδ^u:B^PE^u.

Si le processusX est mesurable, et T est une variable al´eatoire, alors X_T est une variable al´eatoire.

L’affirmation qui termine cette d´efinition se justifie par composition d’applications mesu- rables

pΩ,A^{qÝÑ Ts}Ω,T^{s b}A

ÝÑ

E,s E^s

ω ^ÞÝÑ T^pω^q, ω

ÞÝÑXT^pω^q

dont la v´erification est simplement ennuyeuse compte tenu de l’ajout d’eventuels infinis, mais imm´ediate sans eux.

Lorsque le temps est discret, ce r´esultat est presque une ´evidence.

Exercice. — Montrer que E^s est la plus petite tribu sur E^s contenant E et le singleton ^tδ^u, c’est-`a-dire E ^_tδ^u.

D´efinition 10. — SoitT un temps d’arrˆet. La tribu des ´ev´enements ant´erieurs `aT est not´ee F_T et d´efinie par

A ^PF_T ^ðñ A^PA et pour tout t ^PT, A^XtT ^¤t^uPF_t. Th´eor`eme 6. — (i) La famille F_T est une sous-tribu de A.

(ii) Si T t est un temps constant, on a F_T F_t. Si T est un temps d’arrˆet major´e par t^PT, alors F_T ^€F_t.

(iii) Soient S et T deux temps d’arrˆet. Alors

pour tout A^PF_S, A^XtS ^¤T^uPF_T,

en particulier ^tS ^¤ T^u, ^tS T^u, ^tS   T^u appartiennent `a F_S et F_T. Si de plus S ^¤ T, alors F_S ^€F_T.

D´emonstration. — (i) V´erifions que F_T est une tribu. On a ^HPF_T de mani`ere ´evidente. Si A<sup>P</sup>F<sub>T</sub>, alors pour t<sup>PT</sup>, on a<sup>t</sup>T <sup>¤</sup>t<sup>up</sup>A<sup>Y</sup>A<sup>cqXt</sup>T <sup>¤</sup>t<sup>up</sup>A<sup>Xt</sup>T <sup>¤</sup>t<sup>uqYp</sup>A<sup>cXt</sup>T <sup>¤</sup>t<sup>uq</sup> r´eunion disjointe, et ainsi A<sup>c Xt</sup>T <sup>¤</sup> t<sup>u t</sup>T <sup>¤</sup> t<sup>uzp</sup>A<sup>Xt</sup>T <sup>¤</sup> t<sup>uq P</sup> F<sub>t</sub> par hypoth`ese, ainsi A^{c P} F_T. Si A1, . . . , A_n, . . . ^P F_T, alors, pour t ^{P T}, ^”_nA_n

XtT ^¤ t^{u ”}_n A_n ^XtT ^¤ t^u

PF_t, et donc ^”_nAn ^PF_T.

(ii) SoitT tun temps d’arrˆet constant. SoitA ^PF_t. Pours ^PT, sis t, on a^tT ^¤s^u

H, donc A^XtT ^¤s^uHPF_s, et si s^¥t, ^tT ^¤s^uΩ, doncA^XtT ^¤s^uA ^PF_t ^€F_s. Ainsi A ^PF_T. Si A ^PF_T,^tT ^¤t^uΩ etA^XtT ^¤t^uA^PF_t. On a donc F_T F_t.

Soit T un temps d’arrˆet major´e part ^PT. Si A^PF_T, on a ^tT ^¤t^uΩ et A^XtT ^¤t^u A^PF_t. On a donc bien F_T ^€F_t.

(iii) Pourt ^PT, on a l’identit´e suivante :

A^XtS ^¤T^uXtT ^¤t^u A^XtS ^¤t^u

XtT ^¤t^uXtS^{^}t ^¤T ^{^}t^u.

Si A appartient `a F<sub>S</sub>, les trois ´ev´enements `a droite sont dans F_t : A^XtS ^¤ t^{u P} F_t car A ^PF_S; ^tT ^¤ t^{u P} F_t car T est un temps d’arrˆet ; et enfin S ^{^}t et T ^{^}t sont deux temps d’arrˆets born´es par t, donc ce sont deux variables al´eatoires F_t-mesurables ; il en est de mˆeme de^pS^{^}t, T ^{^}t^q: Ω^ÑTT l’image ´etant munie de la tribu produit qui est, aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu, la tribu `a laquelle on s’attend sur <sup>T2</sup> (ou bien discr`ete ou bien bor´elienne) et pour laquelle le cadran sup´erieur ^tps, s^1qPT2 :s ^¤s^1u est mesurable, et ainsi son image r´eciproque ^tS^{^}t ^¤T ^{^}t^u par ^pS^{^}t, T ^{^}t^q est F_t-mesurable.

En prenant AΩ^PF_S, on a imm´ediatement ^tS ^¤T^{u P}F_T. Montrer que ^tS  T^uPF_T est un peu plus technique :

tS  T^utDε^PQ, S ε ^¤T^u

¤

ε^PQ

tS ε^¤T^u.

Pourε^PQ donn´e, nous savons queS εest un temps d’arrˆet. D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent, nous avons alors <sup>t</sup>S ε <sup>¤</sup> T<sup>u P</sup> F<sub>T</sub>. La r´eunion d´enombrable de tels ´ev´enements demeure dans F<sub>T</sub>, aussi <sup>t</sup>S  T<sup>uP</sup>F<sub>T</sub>. En fait, cet ´ev´enement appartient `a une sous-tribu de F_T qui estF_T

la tribu des ´ev´enements strictement an´erieurs `aT. Ne d´eveloppant pas cette notions, nous renvoyons `a [1] pour plus de pr´ecisions.

Finalement, ^tS T^utS^¤ T^uztS  T^uPF_T. ^l