Chapitre 2 : suites numériques Page 1
Chapitre 2 : Suites numériques
Objectifs :
*Connaitre et savoir utiliser les notions de première d’une suite géométrique et arithmétique.
*Connaitre la limite d’une suite géométrique
*Connaitre la somme des termes d’une suite géométrique
*Savoir étudier des suites arithmético-géométriques
I Suites arithmétiques et géométriques (rappel) :
suite arithmétique suite géométrique
Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout entier n,
on a : . r est appelé raison de la suite.
Une suite (un) est géométrique s'il existe un nombre réel q tel que pour tout entier n,
on a : n+1 n.
q est appelé raison de la suite.
Propriété du terme
général
(un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme alorspour tous
entiers naturels n et p, on a :
et
(un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme alors pour tous
entiers naturels n et p, on a :
et
Variation
(un) est une suite arithmétique de raison r.
Si alors la suite (un) est croissante si alors la suite (un) est décroissante.
(un) est une suite géométrique de raison q positive et de premier terme positif.
(les résultats sont inversés si négatif) Si alors la suite (un) est croissante.
Si alors la suite (un) est décroissante.
Evolution L’évolution de la suite est linéaire. L’évolution de la suite est exponentielle.
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 35,36,37p24+3p17+9,10,11,14,15,16,17p22+40p26
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette p13+1,2p17+18p22+38,39,41,42p26
II) Limites des suites géométriques
Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0, on a :
. . . .
Chapitre 2 : suites numériques Page 2 Exemples : Déterminer les limites des suites géométriques (un) suivantes :
1)
2)
3)
4)
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 6p19+25,27p23+28,29,30p24+43,44,45p27
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 4,5p19+26p23
III) Sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique
Etude de la somme : soit (un) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u0. Soit S la somme de k termes de la suite. On a donc :
Propriété : soit (un) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u0:
Exemple:
Calculer la somme S suivante : S1332...313
raison : nombre de termes : premier terme : donc
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 12p22+19,21,22,23,24p23+48,49p28
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 13p22+20p23+46,47p27+50p28
Chapitre 2 : suites numériques Page 3 IV Suites arithmético-géométriques :
Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n, on a : n+1 .
Exemple: Dans le restaurant « chez Zaza » , il y avait en 2012 ; 30 mille clients . Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 80% des clients reviennent et 10 mille nouvelles personnes s’y rendent. On note an le nombre d’adhérents pour l’année 2012+n ; on a donc pour tout entier naturel n, a0=30 et an+1=0,8an+10.
1.On considère l’algorithme suivant :
Compléter les pointillés dans l’algorithme pour que ce dernier calcul le terme de rang N de la suite précédemment définie.
2. Calculer a1 et a2. A quoi correspondent ces valeurs ?
3. Soit (un) la suite définie par un=an-50pour tout n
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, .
Variables : N et I sont des entiers naturels et A est un réel
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de N Initialisation : Affecter à A la valeur …..
Traitement : Pour I allant de 1 à N Affecter à A la valeur ….
Fin tant que Sortie : Afficher A
Chapitre 2 : suites numériques Page 4 d. Montrer que la suite (an) est strictement croissante.
e. Selon ce modèle, Zaza peut-elle envisager avoir un jour plus de 50 mille clients ?
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
8p20+31,32,34p24+55p29+59,62,63p31+66p32+1,2p150
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
7p20+33p24+p25+51,52,53,54,56,57,58p29+60,61p30+64,65,67,68,69,70p33+3p150
