Corrigé du TD Etude des SLCI
Exercice 1.
Etude d’un système masse ressort
Cas sans frottement
Equation de comportement du système :
( ) .( ( ) ( ))
.
22
t y t
x dt k
t y
m d
On applique la TL à l’équation (les conditions initiales sont nulles)
)) ( ) ( .(
) ( .
. p
2Y p k X p Y p
m
k p m
k p
X p p Y
H
2
. )
( ) ) (
(
Entrée impulsion :
x ( t ) ( t )
X ( p ) 1
Sortie :
k p m p k
X p H p
Y
2
) . ( ).
( )
(
Domaine temporel Domaine de Laplace On utilise le tableau des transformée
usuelles en adaptant Y(p)
sin t p
2
2
m p k
m k m
k
m p k
m k p
Y
2 2
. )
(
( ) . sin . t . u ( t )
m k m
t k
y
Courbe : Sinusoïdale non amortie.
Entrée échelon unitaire :
x ( t ) u ( t )
p p
X 1
)
(
Sortie :
) .
) .(
( ).
( )
(
2k p m p p k
X p H p
Y
On décompose en éléments simples :
k p m
p b p
a k
p m p p k
Y
22
.
. )
. ) .(
(
On trouve a et b en mettant au même dénominateur et en identifiant le numérateur
k p m
p m p
k p m p p k
Y
2 2. . 1
) .
) .(
(
Domaine temporel Domaine de Laplace On utilise le tableau des
transformée usuelles en
adaptant Y(p)
cos t
2 2p p
m p k
p p p
Y
2
) 1
(
( ) 1 cos . t . u ( t )
m t k
y
Courbe : Sinusoïdale non amortie décalée.
Cas avec frottements faibles
Equation de comportement du système :
dt t t dy
y t x dt k
t y
m d ( )
. )) ( ) ( ) .(
.
2(
2
On applique la TL à l’équation (les conditions initiales sont nulles)
) ( . . )) ( )
( .(
) ( .
. p
2Y p k X p Y p p Y p
m
k p p
m
k p
X p p Y
H
. .
) (
) ) (
(
2
On fait l’application numérique :
2 . 5
) 5
(
2
p p p
H
Entrée impulsion :
x ( t ) ( t )
X ( p ) 1
Sortie :
5 .
2 ) 5
( ).
( )
(
2
H p X p p p p
Y
Les racines du dénominateur sont imaginaires, on va mettre
Y ( p )
sous la forme p a
2
2
afin de passer dans le domaine temporel.On utilise le tableau et le théorème de l’amortissement
Domaine temporel Domaine de Laplace Domaine temporel Domaine de Laplace
t
sin
2 2p
e
a.tsin t
2 2)
(
a p
2 2 * 5 )
( p
Y
5 . sin( 2 ). ( )
)
( t e t u t
y
tCourbe : Fonction sinusoïdale amortie
Cas avec frottements importants
On fait l’application numérique :
5 . 6 ) 6
(
2
p p p
H
Entrée impulsion :
x ( t ) ( t )
X ( p ) 1
Sortie :
6 .
5 ) 6
( ).
( )
(
2
H p X p p p p
Y
Les racines du dénominateur sont réelles, on va décomposer
Y ( p )
en éléments simples :3 2
) 3 ).(
2 (
) 6
(
p b p
a p
p p Y
On trouve a et b en mettant au même dénominateur et en identifiant le numérateur
) 3 ).(
2 (
).
( . 2 . 3 )
3 ).(
2 (
) 2 .(
) 3 .(
3 ) 2
(
p p
p b a b a
p p
p b p
a p
b p
p a Y
On trouve
a 6
etb 6
3
6 2
) 6
(
p p p
Y
On utilise le tableau et le théorème de l’amortissement pour repasser dans le domaine temporel
) ( ).
.(
6 )
( t e
2.e
3.u t
y
t
t Courbe : …Exercice 2.
1. On applique la TL à l’équation
( ) 12 . ( ) 4 . ( ) .
) 7 (
2 2
t e t
dt s t ds dt
t s
d
(CI = 0)On trouve la fonction de transfert :
7 . 12 ) 4
(
2
p p p
H
L’entrée est un échelon unitaire :
E p 1 p )
(
Sortie :
.( 7 . 12 )
) 4 ( ).
( )
(
2
H p E p p p p p
S
Les racines du dénominateur sont réelles, on va décomposer
Y ( p )
en éléments simples :3 4
) 3 ).(
4 .(
) 4
(
p c p
b p
a p
p p p
S
On trouve a, b et c en mettant au même dénominateur et en identifiant le numérateur…
Puis on repasse dans le domaine temporel :
1 3 . 4 . . ( )
3 ) 1
( t e
4.e
3.u t
s
t
t2. Soit le système défini par la fonction de transfert
13 .
6 ) 5
(
2
p p
p p
H
,déterminer la réponse temporelle de ce système à une impulsion.
4 ) 3 (
2 1 3
13 . .
6 ) 5
( ).
( )
(
2 2
p
p p
p p p
E p H p
S
. cos( 2 . ) . sin( 2 . ) . ( )
)
( t e
3.t e
3.t u t
s
t
t3. Soit la fonction
2 . 6
3 . ) 2
(
2
p p
p p
S
, déterminer s(0), s(∞) et s’(0) en utilisant lesthéorèmes des valeurs initiales et finales.
2 .
6
) 3 .
2 ) .(
(
.
2
p p
p p p
S
p s ( 0 ) 2
s ( ) 0
p t
s p S p p t
s
s ' ( 0 ) lim ' ( ) lim .[ . ( ) ( 0 )]
0
2 . 6
) 4 . 9 ] .(
2 2 . 6
) 3 2 .[ .(
)]
0 ( ) ( .
.[
2 2
p p
p p p
p p p p
s p S p
p
s ' ( 0 ) 9
Exercice 3.
e
4(t) = u(t-2)
p p e
E
p . 2
4
( )
e
5(t) = 3.u(t) - 2.u(t-2)
p p e
E
p . 2
5
. 2 ) 3
(
e
6(t) = (t-3).u(t-3)
2 . 3
6
( )
p p e
E
p
e
7(t) = 2.u(t) - t.u(t) + (t-3).u(t-3)
2 . 3
7 2
1 ) 2
( p
e p p p
E
p
