Physique Statistique

Paris 7 PH 402

–

Physique Statistique

EXERCICES

Feuille 7 : Statistiques quantiques

1

On consid`ere un gaz de fermions libres et ind´ependants de massemet de spin 1/2, enferm´es dans une enceinte de volumeV `a la temp´eratureT. Aux tr`es fortes densit´es, l’´energie moyenne d’une particule peut devenir bien sup´erieure `a mc². On se propose d’´etudier les propri´et´es du gaz dans cette limite ultra-relativiste o`u l’´energieεd’une particule est li´ee `a sa quantit´e de mouvement~ppar la relation de dispersionε∼c|p|.

1. On suppose que le syst`eme se trouve en contact avec un r´eservoir de particules de potentiel chimi- queµ.

i) Donner l’expression int´egrale du nombre moyenN de particules dans le syst`eme.

ii) Donner l’expression int´egrale du grand potentielJ en fonction des variablesT,V etµ.

iii) Donner l’expression int´egrale de l’´energie moyenneE en fonction des mˆemes variables.

iv) Par une int´egration par parties, montrer que J=αE et d´eterminer la valeur deα.

2. i) Exprimer la capacit´e calorifique `a volume constantC<sub>V</sub>d’un syst`eme comme une d´eriv´ee de l’´energie en pr´ecisant bien les variables maintenues constantes.

ii) Exprimer l’entropieS d’un syst`eme comme une d´eriv´ee du grand potentielJ en pr´ecisant bien les variables maintenues constantes.

3. On suppose `a pr´esent que la temp´erature est nulle et que le syst`eme comporte un nombre de particules d´etermin´eN.

i) Calculer le potentiel chimiqueµ₀ en fonction deN etV. ii) Calculer l’´energieE₀ du gaz.

iii) Calculer la pressionp0.

4. Le syst`eme, toujours constitu´e d’un nombre d´etermin´e N de particules, est maintenant `a une temp´eratureT finie, telle quekT ¿µ0. On rappelle que

Z _∞

0

dε f(ε)n_F(ε, T, µ) = Z µ

0

dε f(ε) +π²

6 k²T²f⁰(µ) + O(T⁴) ,

o`u f(ε) est une fonction r´eguli`ere de ε, et nF(ε, T, µ) le facteur de Fermi `a la temp´erature T et au potentiel chimique µ.

i) Calculer le potentiel chimique du gaz en fonction de N, V et T sous forme d’un d´eveloppement limit´e jusqu’`a l’ordre T².

ii) Calculer l’´energie du gaz en fonction deN,V et T au mˆeme ordre.

iii) En utilisant l’expression deC_V ´etablie `a la question 2, calculer la capacit´e calorifique `a volume constant du syst`eme en fonction des variables V, T, et N (au premier ordre en T).

iv) En utilisant l’expression deS´etablie `a la question2et la relation entreEetJ, calculer l’entropie en fonction des variables V,T et µau premier ordre enT, puis, toujours `a cet ordre, en fonction des variables V,T etN.

5. La temp´erature est maintenant quelconque.

i) Montrer queJ(T,V, µ) =VT⁴f(µ/T), o`u f(x) est une fonction bien d´efinie dont on donnera une expression int´egrale.

ii) D´eduire de la relation pr´ec´edente les fonctions S(T,V, µ),N(T,V, µ) etp(T,V, µ).

iii) Montrer que dans une transformation adiabatique r´eversible du syst`eme de N particules ultra- relativistes, la pression, la temp´erature et le volume sont li´es par les relations :

pV^4/3= cte, VT³= cte, T⁴ p = cte.

2

On consid`ere un gaz parfait de N bosons de masse m enferm´es dans une enceinte de volume V en contact avec un thermostat `a la temp´eratureT.

i) D´eterminer la temp´erature critiqueT_c en dessous de laquelle se produit la condensation de Bose.

ii) On se place `aT < T<sub>c</sub>. Montrer que l’´energie interne du syst`eme est de la formeE(V, T) =αVT^5/2 o`u α est une constante. Calculer l’´energie libre, l’entropie et la pression p du gaz. Tracer le r´eseau d’isothermes dans le diagramme (p,V).

2 Paris 7, Phy. Stat. 7 : statistiques quantiques.

3

On consid`ere un gaz constitu´e de N bosons ind´ependants de masse m et de spin nul, libres mais astreints `a se d´eplacer sur une surface d’aireA.

1. Ecrire la relation qui d´etermine le potentiel chimique´ µen fonction de N,Aet de la temp´erature.

i) Montrer que l’int´egrale qui figure dans cette relation diverge lorsqueµ tend vers z´ero. En d´eduire qu’il existe, pour toutes valeurs de N/A et de T, une valeur deµ n´egative v´erifiant la relation. En conclure qu’`a deux dimensions il ne peut y avoir de ph´enom`ene de condensation de Bose.

ii) Calculer le potentiel chimique µ en fonction de T et de N/A. Tracer la courbe repr´esentant le potentiel chimique en fonction de T, et comparer avec la courbe correspondante pour un gaz de bosons libres `a trois dimensions.

iii) On pose :

T0= 2π¯h² mk

N A. Montrer, en comparant la longueur d’onde thermique

Λ = µ2π¯h²

mkT

¶1/2

`

a la distance moyenne entre particules voisines, que des effets quantiques sont `a attendre pourT ≤T₀. iv) ´Evaluer num´eriquement T0 dans le cas de l’h´elium 4 :ρ = 0,146 g cm⁻³ et m= 6,65×10⁻²⁷kg (on peut estimer A/N en prenant la puissance 2/3 du volume par atome dans l’h´elium 4 liquide).

Calculer le nombre moyen d’occupation de l’´etat fondamental individuel pourT = 1 K ; est-il d’ordre macroscopique comme dans le cas `a trois dimensions ?

2. Montrer que l’on aJ =−E, o`uJ est le grand potentiel etE l’´energie du gaz, ainsi que C_A=2E

T −N kT₀ T

1 e^T0/T −1

o`uC<sub>A</sub>est la capacit´e calorifique `a surface et nombre de particules constants.

3. Donner des expressions approch´ees pour l’´energie et la capacit´e calorifique dans chacun des deux domainesT ÀT₀ etT ¿T₀.

4

Les N partiqules de spin 1/2 et de masse m d’un gaz contenu dans un r´ecipient de volume V `a la temp´eratureT peuvent se lier deux `a deux pour former de nouvelles partiqules : des “paires” de spin nul. Soitε_`l’´energie de liaison d’une paire. On n´eglige toute structure interne (autre que le spin) et on suppose que les partiqules et les paires forment deux gaz parfaits sans interactions.

1. Quelle relation existe-t-il, `a l’´equilibre, entre les potentiels chimiques des particules ´el´ementaires et des paires ?

2. Montrer que les paires sont susceptibles de se condenser dans l’´etat fondamental (condensation de Bose) et calculer la temp´erature de condensationTc (en supposantkTc ¿ε`).

5

Dans un r´ecipient de volumeV est contenu un gaz parfait deN bosons libres poss´edant des degr´es de libert´e internes. Pour simplifier, on admet que chaque particule a un seul ´etat d’excitation, d’´energieε₁ positive (l’´energie de l’´etat fondamental ´etant choisie ´egale `a z´ero).

1. Donner, en fonction de la temp´erature et du potentiel chimique, les expressions des nombres de particules qui se trouvent dans l’´etat interne fondamental et dans l’´etat excit´e. ´Ecrire la condition d´eterminant la temp´erature critique TB de la condensation de Bose.

2. En supposant ε1>> kTB, montrer queTB est donn´ee par l’expression T_B =T_B⁰¡

1−0,255e^−ε1/kTB0¢ ,

o`uT_B⁰ est la temp´erature critique calcul´ee sans tenir compte des degr´es de libert´e internes.

On rappelle que Z _∞

0

dx

√x

e^x−1 ≈2,612

√π 2 .