THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

D.E.A. Champs, Particules, Mati`eres

–

THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

EXERCICES

La lecture de ces exercices n’est pas interdite. La recherche de leurs solutions est mˆeme rigoureusement autoris´ee ; quel qu’en soit le r´esultat et en d´epit de l’opinion d´esabus´ee que vous pourriez en avoir, elle sera toujours ´edifiante. Cela dit, il est inutile de “s´echer” sur un exercice au del`a d’un d´elai raisonnable : des erreurs involontaires peuvent subsister dans l’´enonc´e. Il est alors bien pr´ef´erable de jeter un coup d’œil sur l’´eventuel corrig´e et/ou d’aller se coucher (la nuit porte conseil), d’en d´ebattre avec son (sa, ses) partenaire(s) favori(te)(s), de consulter les bons auteurs, de me demander ce que je parviens `a en penser (donc pas apr`es trois heures et demi de magistrale, certes, mais ext´enuante, prestation) en me t´el´ephonant (il m’arrive de dormir⊂[22 h,8 h]), en venant pour le th´e, en m’invitant `a dˆıner. . . Toutes louanges, questions, suggestions, corrections, et mˆeme critiques, seront les bienvenues.

votre contact : Alain Laverne

couloir 24-14, 5^e´etage, Universit´e Paris 7 2 place Jussieu, Paris V^e 158 rue St. Jacques, Paris V^e 24 rue Lafayette, 38 Grenoble

t´el.

44 27 79 79

43 29 09 02 76 44 78 53

1

Deux op´erateurs satisfont la relation [A, B] =i. SoitA|a=a|a. 1. CalculerA(1−iBdω)|aau premier ordre endω (petit).

2. Que peut-on dire dee^−iBω|a?

2

Pour des directions et sens bien particuliers de leurs axes d’espace et de temps, les coordonn´ees utilis´ees respectivement par Ada et Van pour d´esigner les ´ev´enements sont reli´ees par

t=γ(t−vx) x=γ(x−vt) y=y

z=z,

avecγ^df= (1−v²)^−1/2, etv= vitesse (de qui/qui au fait ?).

1. Vous croyez `a l’invariance par rotation. Saurez-vous en in(/d´e)duire une ´ecriture vectorielle donnantt et r en fonction det,ret v, ind´ependamment des directions des axes d’espace ?

2. En d´eduire les valeurs des ´el´ements Λ^µ_ν de la matrice de transformation correspondante en fonctions des composantesv_i.

3. A l’aide de cette expression, v´erifier explicitement que le produit de deux transformations sp´eciales de Lorentz orthochrones est encore une transformation orthochrone.

3

Calculer chacun des coefficients Λ^−1µν de la matrice inverse d’une transformation de Lorentz dont les coefficients sont Λ^µν.

4

Soit un tenseurT_αβet les quantit´es, d´efinies dans chaque rep`ere :A=^dfT^α_α,A ^df=T^α_α,etc.Montrer queA,A,etc.sont les composantes d’un tenseur.

5

On se propose de d´emontrer une propri´et´e qui — quoique fr´equemment invoqu´ee — l’est rarement,

`

a savoir que toute transformation de Lorentz, homog`ene, propre, orthochrone, peut ˆetre consid´er´ee comme produit d’une transformation sp´eciale de Lorentz et d’une rotation.

Soit une transformation de Lorentz homog`ene,etc., de matrice Λ^µν. 1. Montrer que (Λ⁰0)²−

i(Λⁱ0)²= (Λ⁰0)²−

i(Λ⁰i)²= 1.

2. On d´efinit les trois quantit´esvi df

= Λ⁰i/Λ⁰0. (i)Montrer quev²≤1.

(ii) En d´eduire que les v_i peuvent ˆetre adopt´es comme valeurs des param`etres d’une transformation sp´eciale de Lorentz.

3. Soit un syst`eme de coordonn´eest, x, y, z et un autre syst`eme de coordonn´ees,t, x, y, zqui se d´eplace `a une vitessevpar rapport `a celui-l`a.

(i)Rappeler la forme vectorielle (cf.exercice2)

t =t_v(t,r) r =r_v(t,r) de la transformation de Lorentz entre ces syst`emes.

(ii) En d´eduire que la matrice de cette transformation est de la forme : L^µ_ν(v)

=

L⁰₀ (L⁰_j) (Lⁱ₀) (Lⁱ_j)

=



 γ (γv_j)

γv_i

δ_ij+^γ−1_v2 v_iv_j



.

4. Calculer les coefficients γ et γv_i de cette matrice en fonction des Λ^µ_ν, lorsque v a la valeur d´efinie `a la question 2.

5. Soit la matriceR^df= ΛL(−v).

(i)CalculerR⁰₀.

(ii) En d´eduire les valeurs des R⁰_i et Rⁱ₀. (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa d´efinition, la matriceRappartient au groupe des matrices Λ et satisfait donc les propri´et´es montr´ees `a la question 1.) (iii)Quelle est la nature de la transformation correspondant `aR?

6. Quel est le r´esultat du produitRL(v) ?

7. On se propose de montrer que cette d´ecomposition d’une transformation de Lorentz, en transformation sp´eciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations, R et R, et deux transformations sp´eciales de Lorentz,L(v) etL(v), telles que Λ =RL(v) =RL(v).

(i)Montrer queR⁻¹RL(v)L(−v) =I.

(ii) Montrer que l’´el´ement⁰0 de cette relation matricielle fournit une condition liantv,γ,v et γ. (iii)Quelle condition doivent satisfairevet v pour que celle-ci soit r´ealis´ee ?

(iv)En d´eduire queL(v) =L(v) etR=R.

6

Soit un tenseurT_αβγ.

1. Montrer que lesAαd´efinis dans chaque rep`ere parAα

=dfT_{α β}^β , sont composantes d’un quadri- vecteur.

2. Montrer queA_α=T_αβ^β.

7

Soient deux champs classiques quadri-vectorielsA_µ(x^ν) etj_µ(x^ν), et les champs tensoriels F^{µν df}=∂µAν−∂νAµ,

∗F^{µν df}=ε^µνρλF_ρλ. Tous ces champs sont coupl´es par les ´equations du mouvement

∂µF^µν =j^ν

∂_µ^∗F^µν = 0 .

1. Une question s´emantique pour commencer. Quels sont les statuts respectifs de chacun de ces champs : variables dynamiques, champs externes, ou champs auxiliaires ?

2. Etant donn´e un champω(x^ν),

(i). . .quelles sont les cons´equences de la transformation Aµ→A_µ^df=Aµ+∂µω ? (ii) Est-on bien justifi´es de qualifierA_µ de quadri-vecteur ? (iii)Calculer∂_µj^µ.

3. Soient les champs

E_i=^df−∂_iA⁰−∂₀Aⁱ, Bi df

=εijk∂jA^k.

(i)Pourquoi peut-on se permettre de les qualifier de (tri)vectoriels ? (ii) Sont-ils composantes de champs quadri-vectoriels ?

(iii)Ecrire les tableaux des composantes deF_µν,F^µν et ^∗F^µν en fonction des composantesE_i et B_i. 4. En d´eduire les ´equations du mouvement des champsE etB, coupl´es `aj⁰ etj.

5. Colin se d´eplace `a vitessev=v1ˆdans le rep`ere de Chlo´e qui ´etait utilis´e jusqu’`a pr´esent. Tous deux utilisent par ailleurs des “axes parall`eles”.

(i) Ecrire la matrice Λ^µ_ν qui permet de calculer les coordonn´ees x^µ attribu´ees par Colin `a un

´ev´enement qui, pour Chlo´e, a les coordonn´eesx^µ.

(ii) En d´eduire les composantes des champs E_i et B_i en fonction des E_i et B_i, ainsi que les composantes j⁰ etjⁱ en fonction desj⁰ etjⁱ.

6. Une particule ob´eit `a l’´equation du mouvement d

dτp^α= q

mF^αβp_β. Quelles ´equations en d´eduisez-vous pourdp⁰/dtet dp/dt?

8

^{Soit U(da) = 1}−iP da l’expression de l’op´erateur repr´esentant une translation infinit´esimale,da, le long d’un axe donn´e, dans l’espace des ´etats d’un syst`eme quantique. Montrer queP est hermitique, et calculer U(a) repr´esentant une translation finie.

9

Montrer qu’entre deux ´etats propres des g´en´erateurs des translationsP_µ d’un champ quantique, on a, pour l’op´erateur de champϕ, la relation :

p|ϕ(x⁰, x¹, x², x³)|p=e^i(p−p)·xp|ϕ(0,0,0,0)|p.

10

Soient les tenseursS_αβet A_αβ, tels queS_αβ=S_βα et A_αβ=−A_βα. 1. Montrer queSαβA^αβ= 0.

2. En d´eduire que, pour un tenseurT_αβ quelconque, on a, SαβT^αβ=¹₂Sαβ(T^αβ+T^βα), AαβT^αβ=¹₂Aαβ(T^αβ−T^βα).

11

Soit une transformation de Lorentz infinit´esimale de matrice Λ^µν = δ_ν^µ + ε^µν. Montrer que la transformation inverse a pour matrice : Λ^−1µν=δ^µ_ν −ε^µν.

12

On sait maintenant qu’`a une th´eorie de champ invariante par translation de temps, correspond la constante du mouvement

P0df

=

d³x(π∂0φ− L).

Il est donc tout naturel de baptiser cette grandeur´energie du champ, ce qui fixe sa dimension.

En d´eduire les dimensions de la densit´e lagrangienne L et de l’action S, dans le syst`eme d’unit´es fondamentales `a base :(i)d’´energie,(ii) de longueur.

13

Dans le monde euclidien :

1. Ecrire les lois de transformation des composantes d’une grandeur physique vectorielle g au cours d’une transformation de rep`ere en rotation infinit´esimale (dω1, dω2, dω3).

2. En d´eduire la matrice 3×3,S, correspondante, et les trois matrices Σ¹², Σ²³et Σ³¹caract´erisant le comportement de cette grandeur au cours des rotations.

3. Vous avez d´ej`a rencontr´e, en th´eorie quantique “non-relativiste”, des objets `a deux composantes

— les spineurs de Pauli — qui, au cours des rotations d’axe ˆωωω, angleω, se transforment selon la loi χ₁

χ₂

=eⁱσσσ·ωωω

2

χ1

χ2

.

R´epondez aux questions pr´ec´edentes pour ces objets (au lieu deg).

14

Dans le monde einsteinien : D´eterminer explicitement les six matrices Σ^µν caract´erisant le comporte- ment d’une grandeur quadri-vectorielle au cours des transformations de Lorentz.

15

Quelle est l’expression de l’op´erateurU = 1−₂ⁱεµνM^µν — repr´esentant les transformations de Lorentz infinit´esimales dans l’espace des ´etats d’un syst`eme quantique — dans le cas d’une rotation pure d’angledθ, autour de l’axe ˆ3.

16

Courants de Noether.

1. Rappeler l’expression de la variationδS de l’action, en fonction(nelle) des variationsdx^α des coordonn´ees etδL de la densit´e lagrangienne.

2. Les transformations envisag´ees sont continues, param´etr´ees par lesω_i. A chaque param`etreω_i correspond un courantJ_(i)^µ d´efini par :

δS=−dωi

d⁴x ∂µJ_(i)^µ.

Les transformations ne sont pas n´ecessairement des sym´etries de la th´eorie. Calculer∂µJ_(i)^µ en fonction des d´eriv´ees des coordonn´ees et de Lpar rapport `aω_i.

3. Que devient∂µJ_(i)^µ dans le cas particulier d’une transformation dont le jacobien vaut 1 ?

17

Ecrire explicitement les composantes M^0ij des courants conserv´es M^µνρ associ´es `a l’invariance par rapport aux rotations, en fonction deπ,ϕ, et des d´eriv´ees de ϕ.

18

Dans le cas d’un champϕscalaire. . . 1. Calculer la divergence des courants

M^µνρ=^dfx^νΘ^µρ−x^ρΘ^µν+ ∂L

∂(∂_µϕ)Σ^νρϕ,

o`u les Θ<sup>µρ</sup> sont les quatre quadri-courants conserv´es associ´es `a l’invariance par translations d’espace- temps,

Θ^µ_ρ^df= ∂L

∂(∂_µϕ)∂ρϕ− Lδ_ρ^µ.

2. Montrer que la conservation des courants M^µνρ implique que les courants d’impulsion-

´energie Θ^µρ constituent un tenseur sym´etrique.

3. Ce sera effectivement le cas du tenseur Θ^µρ d’un champ scalaire. Mais, de toute fa¸con, le courant d’impulsion n’est pas unique. Siχ^λµν est un champ tensoriel tel queχ^µλν =−χ^λµν, montrer que lesT^{µν df}= Θ^µν+∂_λχ^λµν sont des courants d’impulsion-´energie tout aussi aussi acceptables que Θ^µν (courants conserv´es, dont les valeurs de constantes du mouvement associ´ees sont les mˆemes) mais qui, par un choix convenable desχ^λµν, peuvent ˆetre construits sym´etriques.

19

^Soit

Θ^µ_ρ^df= ∂L

∂(∂µϕ)∂ρϕ− Lδ_ρ^µ, les courants conserv´es associ´es `a l’invariance par translations, et

M^µνρdf=J^µνρ+F^µνρ, les courants conserv´es associ´es `a l’invariance de Lorentz, avec J^µνρdf=x^νΘ^µρ−x^ρΘ^µν F^µνρdf= ∂L

∂(∂µϕ)Σ^νρϕ . 1. CalculerF^µνρ+F^µρν.

2. Soitf^{λµν df}=¹₂

F^λµν+F^µνλ+F^νµλ

. Calculerf^λµν+f^µλν. 3. SoitA^{µν df}=∂_λf^λµν. Calculer∂_µA^µν et A^µν−A^νµ.

4. SoitT^µν= Θ^{df µν}+A^µν. Calculer∂µT^µν,T^µν−T^νµ et

d³xT^0ν. R´ecapitulation ? 5. SoitM^µνρdf=x^νT^µρ−x^ρT^µν. Calculer∂µM^µνρ et M^µνρ+M^µρν.

6. Calculer

d³xM^00k et

d³xM^0jk. R´ecapitulation ? R´ef´erences :

—F.J. Belinfante,On the spin angular momentum of mesons, Physica 6() 887.

—H.C. Ohanian,What is spin ?, Am. J. Phys.54() 500.

20

Des constantes dont on ne parle gu`ere.

1. Quelle est l’expression de la pr´etendue constante Kx associ´ee `a l’invariance, d’une th´eorie de champ scalaire, par rapport aux transformations sp´eciales de Lorentz le long de l’axe ˆx?

Ecrire K_x en fonction du temps t, de la composante P^x de l’impulsion du champ, et de la densit´e d’´energie de celui-ci,E(x^µ)^df= Θ⁰⁰.

2. Une particule libre a pour impulsionP, ´energieE, et positionx(t). Montrer que la quantit´ePt−

xE est trivialement constante.

3. Dans le cas d’un champ, montrer `a l’aide de l’expression trouv´ee pour K_x (question 1), que l’on a :

d

dtK_x=P^x+

Vd³xx∂_iΘⁱ⁰. Dans quelles conditions a-t-on effectivementdKx/dt= 0 ?

21

Montrer que le choix de commutateurs isochrones

[ϕ(x^µ), π(x^µ)]⁼=iδ³(x−x),

[ϕ(x^µ), ϕ(x^µ)]⁼= [π(x^µ), π(x^µ)]⁼= 0, entraˆıne que les quatre op´erateurs

Pν df

=

d³x Θ⁰ν(x^µ) =

d³x

π(x^µ)∂νϕ(x^µ)−δ⁰_νL

. . .(x^µ) satisfont les relations de commutation suivantes :

[Pν, ϕ] =−i∂νϕ, [Pν, π] =−i∂νπ.

22

Montrer que le choix d’anticommutateurs isochrones

[ϕ(x^µ), π(x^µ)]⁼₊=iδ³(x−x),

[ϕ(x^µ), ϕ(x^µ)]⁼₊= [π(x^µ), π(x^µ)]⁼₊= 0, implique tout aussi bien, tout au moins pour les composantes spatiales :

[P_k, ϕ] =−i∂_kϕ, [Pk, π] =−i∂kπ.

23

Une v´erification.

1. Rappeler l’expression de la constante du mouvementM⁰ⁱ pour un champ scalaire.

2. En faisant choix de commutateurs canoniques aux temps ´egaux, calculer le commutateur [M⁰ⁱ, ϕ(x^µ)], et v´erifier qu’il satisfait bien la condition n´ecessaire pour queM⁰ⁱ soit un g´en´erateur de transformations sp´eciales de Lorentz.

3. En se pla¸cant dans les conditions effectives de constance trouv´ees `a la fin de l’exercice 20, calculer le commutateur de M⁰ⁱ avec l’hamiltonien.

24

Quelles ´equations du mouvement (sont-elles seulement dignes de ce nom ?) obtient-on pour les champsϕscalaires hermitiques des th´eories suivantes :

1. L1=aµ∂^µϕ(x⁰, x¹, x², x³), o`u{aµ} est un param`etre quadri-vectoriel ? 2. L2 = aµ(x⁰, x¹, x², x³)∂^µϕ(x⁰, x¹, x², x³)−V

ϕ(x⁰, x¹, x², x³)

, o`u a(x<sup>0</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>) est un champ externe quadri-vectoriel, etV est une fonction `a valeur scalaire r´eelle ?

3. L3= ¹₄∂µϕ∂^µϕ−V(ϕ) ?

4. L4=a∂_µϕ∂^µϕ+bϕ²+c, o`ua,bet csont des param`etres scalaires ?

25

Soit la th´eorie

L= 1

2∂_µϕ∂^µϕ−m²

2 ϕ²+aϕ, o`uaetmsont des param`etres scalaires.

1. Quelle est l’´equation du mouvement du champϕ(x⁰, x¹, x², x³) ?

2. Montrer, sur l’´equation du mouvement, aussi bien que sur la densit´e lagrangienne, que cette th´eorie est ´equivalente `a la th´eorie a= 0 lorsque ϕ(x<sup>0</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>) est additionn´e d’une constante — une “translation de champ” — `a d´eterminer.

26

Reconstituer enti`erement le raisonnement conduisant `a l’expression de la d´ecomposition modale du champ scalaire hermitiqueϕ(x⁰, x¹, x², x³) dans une caisse p´eriodique.

27

Alg`ebre des op´erateurs ak.

1. Montrer que les op´erateursa_kintervenant comme amplitudes dans les d´eveloppements en modes deϕ(x⁰, x¹, x², x³) etπ(x⁰, x¹, x², x³) sont donn´es, en g´en´eral, par

a_k=

V

d³x e^ik·x

√2ωV

ωϕ(x⁰, x¹, x², x³) +iπ(x⁰, x¹, x², x³) .

2. Calculer les commutateurs correspondants [a_k, a_k] et [a_k, a⁺_k], dans l’hypoth`ese de commuta- teurs aux temps ´egaux pour ϕet π.

28

Autre d´eveloppement en modes.

1. D´eterminer, en fonction deϕ(x^ν) etπ(x^ν), l’expression de l’op´erateur amplitudeak d´efini par le d´eveloppement en modes continus :

ϕ(x^ν) =

d³k (2π)³2ω(k)

ake^−ik·x+ak+e^ik·x . 2. Calculer les commutateurs

a_k, a_k+ et

a_k, a_k

, dans l’hypoth´ese de commutateurs canoniques aux temps ´egaux.

29

Soient les quantit´esP_µ^df=

d³xΘ⁰_µ, avec Θ^νµ df

= ∂L

∂(∂_νϕ)∂µϕ− Lδ_µ^ν,

associ´ees `a l’invariance par translation de la th´eorieL(ϕ, ∂₀ϕ, ∂₁ϕ, ∂₂ϕ, ∂₃ϕ).

1. Les Pµ d´ependent-elles explicitement du temps ? (Comparer avec les constantes M⁰ⁱ, exer- cice23, associ´ees `a l’invariance par transformations sp´eciales de Lorentz.)

2. Calculer∂νΘ^νµ, puisdPµ/dt. En d´eduire que, dans la version quantique de cette th´eorie, lesPµ

commutent avec l’hamiltonien du syst`eme.

3. Sophie s’inqui`ete de l’apparente inutilit´e d’invoquer l’invariance par translations pour v´erifier ainsi que dP<sub>µ</sub>/dt = 0, alors mˆeme que c’est cette hypoth`ese qui, alli´ee au th´eor`eme de Noether, a permis de trouver l’expression dePµpropos´ee. Pour ´etudier ce paradoxe qui, par solidarit´e, risque une extension litt´eralement philosophique, envisageons une th´eorieL(ϕ, ∂0ϕ, ∂1ϕ, ∂2ϕ, ∂3ϕ, V) en pr´esence d’un champ ext´erieurV(x⁰, x¹, x², x³).

(i) Ce syst`eme est-il invariant par translation ? Sophie, et ses amis, n’avaient-ils pas implicitement cette sorte d’invariance au cours de la d´emonstration de la question 2 ?

(ii) Les ´equations d’Euler-Lagrange sont-elles modifi´ees ?

(iii)Calculer∂νΘ^νµ dans ce cas. En d´eduire la valeur dedPµ/dt.

30

Soit la th´eorieL=a∂µϕ∂^µϕ+bϕ² de l’exercice24, question 4.

1. Calculer le moment conjugu´eπ(x^ν) et la densit´e hamiltonienneH(x^ν) correspondants.

2. Quelles conditions doivent satisfaire les param`etresaet bpour queHsoit positive ?

31

Etant donn´e le champ scalaireϕde densit´e lagrangienneL= ¹₂∂µϕ∂^µϕ−V(ϕ). . . 1. Exprimer les ´equations du mouvement du champϕ.

2. Donner l’expression du courant de Noether Θ^µ_ν associ´e aux translations, puis l’expression de la densit´e d’´energie correspondante.

3. Que peut-on dire de la solution fondamentale (d’´energie minimale) des ´equations du mouve- ment ? Que vaut sa densit´e d’´energie ?

32

Soit la th´eorieL=¹₂∂µϕ∂^µϕ+aϕ−^m₂²ϕ²−_4!^λϕ⁴.

1. En choisissant pour grandeur de base une longueur L, quelles sont les dimensions d’une longueur, d’un temps, de la densit´e lagrangienne L, du champ ϕ, des param`etres a, m et λ, d’une impulsion, d’une ´energie, du moment conjugu´eπ, de la densit´e hamiltonienneH?

2. Mˆemes questions en choisissant pour grandeur de base une masseM.

33

Soustraction de l’´energie du vide.

1. Calculer l’expression de l’op´erateur H ^df=

Vd³x : H(x⁰, x¹, x², x³) : — associ´e au champ scalaire hermitique de la th´eorieL=¹₂(∂µϕ∂^µϕ−m²ϕ²), avec la densit´e hamiltonienne correspondante prise `a un instant quelconque et dans laquelle les produits sont dans l’ordre “normal” — pour v´erifier que l’on obtient bien :H =

kωN_k. (Ainsi,Hest bien ind´ependant du tempsx⁰, et on a pris l’´energie du vide pour origine.)

2. V´erifier, `a l’aide de cette expression, que H satisfait bien les relations n´ecessaires pour un g´en´erateur de l’´evolution

[ϕ(t,x), H] =i∂

∂tϕ(t,x), [π(t,x), H] =i∂

∂tπ(t,x).

3. Quelle expression deH obtiendrait-on pour la th´eorieL=−¹₂(∂µϕ∂^µϕ−m²ϕ²) ? Existerait-il encore un ´etat fondamental dans cette th´eorie ?

34

Impulsion du champ scalaire.

1. Montrer que l’insertion du d´eveloppement en modes de l’op´erateur de champ dans la cons- tanteP=−

d³xπ∇∇∇ϕ, conduit `a l’expressionP=

kkNk.

2. V´erifier, `a l’aide de cette derni`ere, que P satisfait bien les relations n´ecessaires pour un g´en´erateur des translations :

[ϕ(x⁰, x¹, x², x³), Pi] =i ∂

∂xⁱϕ(x⁰, x¹, x², x³), [π(x⁰, x¹, x², x³), Pi] =i ∂

∂xⁱπ(x⁰, x¹, x², x³).

35

Le but de ce probl`eme est de montrer, sur un exemple, que le courant qui conserve une charge donn´ee n’est pas unique, et qu’il existe des transformations qui ne sont pas des sym´etries du lagrangien, mais auxquelles peuvent n´eanmoins correspondre des courant et charge conserv´es (cf.Ramond, sec. I.6).

Vous avez vu, en cours, qu’`a une sym´etrie de la densit´e lagrangienne correspond une loi de conserva- tion :

∂_µ ∂L

∂(∂_µϕ)δϕ+Ldx^µ

= 0.

On n’envisage maintenant que des transformations (des coordonn´ees ou internes) qui soient param´e- tr´ees de fa¸con continue par lesωⁱ, (i= 1, . . . , N).

1. Montrez que la sym´etrie (ou invariance) du lagrangien se traduit par la conservation∂_µJ(i)µ= 0 deN quadri-courants de Noether que vous d´efinirez.

2. Retrouvez l’expression des courants de Noether conserv´es Θ^µ_ν associ´es `a l’invariance par translation spatio-temporelle de la densit´e lagrangienne,L=¹₂∂_µϕ∂^µϕ−V(ϕ), du champ scalaireϕ.

3. Soit ladilatation infinit´esimale 





dx^{µ df}= dω x^µ, δϕ^df=−dω ϕ.

(i)Est-ce une sym´etrie du lagrangien ?

(ii)Calculez le courant de Noether associ´e `a cette transformation, et exprimez ce courant (not´eJDµ

) en fonction des Θ^µν.

4. Application aux cas :

V(ϕ) = λ 4!ϕ⁴, V(ϕ) =m²

2 ϕ²+ λ 4!ϕ⁴. (i)Calculez∂_µJDµ.

(ii) Quelles sont les dimensions des param`etresλet m?

5. On d´efinit quatre nouveaux courantsT^µ_ν en fonction des courants d’impulsion : T^µ_ν^df= Θ^µ_ν+a

∂^µ∂_ν−δ_ν^µ∂_ρ∂^ρ ϕ². (i)Quelle est la dimension du param`etrea?

(ii) Calculez∂µT^µν.

(iii)Montrez que les charges conserv´ees associ´ees `a T^µν sont les mˆemes que celles qui correspondent

` a Θ^µν.

6. On d´efinit un courantJ_D^{µ df}=xρT^µρ. (i)Calculez∂µJ_D^µ.

(ii) A quelle condition ce courant est-il conserv´e ?

(iii)Calculez la valeur `a donner au param`etreacorrespondant, dans le cas V(ϕ) = _4!^λϕ⁴. 7. Montrez que l’on a, dans ce cas,

J_D^µ=JDµ

+1

6∂ρ(x^µ∂^ρ−x^ρ∂^µ)ϕ². Que peut-on dire des charges associ´ees respectivement `aJ<sub>D</sub><sup>µ</sup> et `aJDµ?

36

D´eterminez les relations de dispersion entre les param`etresωetkintervenant dans les d´eveloppements en modes plans des champs scalaires solutions des th´eories suivantes :

L1=1

2∂_µϕ∂^µϕ−m² 2 ϕ², L2=1

2∂µϕ∂^µϕ+m² 2 ϕ², L3=a ∂µϕ∂^µϕ−m²ϕ². Quelle interpr´etation pouvez-vous leur donner ?

37

SoientN champs scalaires r´eelsϕi, (i= 1, . . . , N), de lagrangienL=¹₂N

i=1∂µϕi∂^µϕi.

1. Montrez que cette densit´e est invariante par rapport aux transformations internes infinit´esima- les

δϕi

=df

N j=1

εijϕj, εij=−εji.

Montrez que ces transformations sont les transformations infinit´esimales du groupe SO(N) des matrices Sp´eciales (d´eterminant=+1) Orthogonales (donc r´eelles) de rangN.

2. Donnez l’expression des courants de Noether conserv´esJijµ correspondant aux param`etresε_ij. Combien y en a-t-il d’ind´ependants ?

3. Dans une th´eorie

L= 1 2

i

∂µϕi∂^µϕi−V(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN),

quelle doit-ˆetre la forme de la fonctionV pour que Lait encore la sym´etrie interne SO(N) ?

38

Soit le champ scalaireϕ(x), non-hermitique.

1. Calculez (∂_µϕ)⁺ en fonction de∂_µϕ.

2. Calculez (∂µϕ⁺∂^µϕ)⁺.

39

Soient deux champs libres, scalaires, hermitiques, de massesm₁ etm₂, de lagrangien L= 1

2(∂µϕ1∂^µϕ1−m²₁ϕ²₁) +1

2(∂µϕ2∂^µϕ2−m²₂ϕ²₂).

1. Exprimer la densit´eLen fonction du champϕ^df= (ϕ₁+iϕ₂)/√

2 et de son conjugu´eϕ⁺. 2. A quelle condition la th´eorieL est-elle invariante par rapport aux transformations continues de param`etre α ( dites du groupe U(1), pour matrices Unitaires de rang 1, si on veut faire bien) : ϕ(x^ν)→ϕ(x^ν)^df=e^iqαϕ(x^ν) ?

40

Essayez d’´evaluer les commutateurs [ak, ak+] et [ak+, ak+] des op´erateurs amplitudes du champ hermitique, dans l’hypoth`ese d’anticommutateurs canoniques aux temps ´egaux

[ϕ(x), π(y)]⁼₊=iδ³(x−y), [ϕ(x), ϕ(y)]⁼₊= [π(x), π(y)]⁼₊= 0.

(Vous pouvez utiliser l’identit´e [A, B] = [A, B]+−2BA, mais le probl`eme reste quand mˆeme sans issue satisfaisante : On ne trouve pas d’interpr´etation particuli`ere pour ces op´erateursak.)

41

Evaluer les anticommutateurs [ak, ak+]+ et [ak, ak] des op´erateurs amplitudes, dans l’hypoth`ese d’anticommutateurs canoniques aux temps ´egaux. Les ak admettent-ils, dans ces conditions, une interpr´etation du genre “op´erateurs de cr´eation ou de destruction de particules” ?

42

Deux champs scalaires en interaction.

1. D´eterminer les ´equations du mouvement des champsϕ₁ etϕ₂ de densit´e lagrangienne L= 1

2(∂µϕ1∂^µϕ1−m²₁ϕ²₁) +1

2(∂µϕ2∂^µϕ2−m²₂ϕ²₂)−V(ϕ1, ϕ2).

2. Calculer les moments conjugu´esπϕ1,πϕ2 et la densit´e hamiltonienne.

43

Une th´eorie de champs en interaction peut en cacher une autre. . . Soit la densit´e L= 1

2(∂µϕ1∂^µϕ1−m²ϕ²₁) +1

2(∂µϕ2∂^µϕ2−m²ϕ²₂) +λϕ1ϕ2. 1. Exprimer cette densit´e en fonction des champsϕ_± ^df= (ϕ₁±ϕ₂)/√

2.

2. Quelle interpr´etation pouvez-vous en donner ? 3. Que se passe-t-il pourλ=m², et pourλ > m²?

44

Soit le champ scalaire, hermitique, de densit´e lagrangienneL=¹₂∂µϕ∂^µϕ−V(ϕ).

1. Exprimer les ´equations du mouvement du champϕ.

2. Exprimer le courant de Noether Θ^µν associ´e aux translations, puis la densit´e d’´energie correspondante.

3. Que peut-on dire de la solution fondamentale (ou d’´energie minimale) des ´equations du mouvement ?

Quelle est sa densit´e d’´energie ?

45

Assurez vous que vous ˆetes capable de refaire le calcul complet des ´equations du mouvement et des moments conjugu´es du champ de Proca, `a partir de la densit´e lagrangienneL=−¹₄FµνF^µν+^m₂²AµA^µ.

46

Soit une th´eorie de champ de Proca en interaction :L=−¹₄FµνF^µν+^m₂²AµA^µ−jµA^µ. (Le champ externe quadri-vectorieljµ(x) est appel´ecourant source.)

1. Quelles sont les dimensions deFµν,Aet j? 2. D´eterminer les ´equations du mouvement.

3. Calculer ∂_αj^α. A quelle condition cette th´eorie implique-t-elle la conservation du courant source ?

4. Soient les champs

E^df=−∇∇∇A⁰−∂A/∂t, B^df=∇∇∇ ∧A.

Calculer∇∇ ∧∇ E,∇∇∇ ·B,∇∇ ·∇ Eet∇∇ ∧∇ B.

5. Ecrire les ´equations du mouvement dans le cas d’un courant source conserv´e.

6. Dans le cas d’une source ponctuelle immobile j⁰=qδ³(r)

j= 0 .

(i)Ecrire les ´equations du mouvement pour des solutionsA⁰(r) etA(r) statiques.

(ii)En d´eterminer les solutions qui tendent vers z´ero `a l’infini. (Vous pouvez, par exemple, utiliser la transformation du plus illustre des pr´efets de l’Is`ere.)

(iii) Exprimer ces solutions dans le syst`eme d’unit´es l´egal, dans le cadre de la r`eglementation en vigueur pour l’´electrodynamique.

7. Th`emes de r´eflexion : On peut faire de l’´electrodynamique (classique) sans photon. On ne peut parler de photon de masse nulle sans faire de th´eorie quantique (souvenez-vous qu’Einstein avait besoin de ¯hpour expliquer les fluctuations du rayonnement ou l’effet photo-´electrique).

(i)Peut-on parler de photon massif sans th´eorie quantique ?

(ii) Quelle nouvelle constante “fondamentale” apparaˆıt dans la th´eorie classique correspondant `a la th´eorie quantique avec photon massif ?

47

A propos du champ quadri-vectoriel.

1. Enum´erez les scalaires que l’on peut construire avec le champ vectorielAµ, ses d´eriv´ees ∂µAν, et les tenseurs invariants invariants en g´eom`etrie de Minkowski,ηµν etε^µνρλ.

2. On peut ´ecrire les mˆemes choses autrement, en utilisant la d´ecomposition

∂µAν = 1

2(∂µAν−∂νAµ) +1

2(∂µAν+∂νAµ)

= 1

2Fµν+1 2Sµν. (i)Calculez le dual deSµν :^∗S^{µν df}= ¹₂ε^µνρλSρλ.

(ii) Soit^∗F^µν, le dual deFµν. Quels scalaires pouvez-vous construire avecFµν,^∗Fµν etSµν? (iii)Montrez queFµν∗F^µν est une divergence.

3. Soit la densit´e lagrangienne — bilin´eaire par rapport au champ et `a ses d´eriv´ees — la plus g´en´erale :

L=aFµνF^µν+bSµνS^µν+cAµA^µ. Quelles sont les ´equations du mouvement des composantes du champ ?

4. Montrez que la divergence du champ satisfait une ´equation de Klein-Gordon.

5. Dans le casb= 0, que se passe-t-il ?

6. Dans le cas b = 0, on va chercher, comme d’habitude, des solutions de base du type εe^ik·x, pour kdonn´e.

(i)Quelle condition doivent satisfaireεetk? (ii) Calculez la divergence d’une de ces solutions.

(iii)Quelle condition doit satisfairek² pour une solution dont la polarisationεest selonk?

(iv)Pour une solution dont la polarisationεn’est pas proportionnelle `ak, quelles conditions obtenez- vous pour k² et pourε·k?

(v)Etudiez les casa=bet a= 0.

48

Le point sur les rotations et leur repr´esentation de rang 2.

1. Tout le monde ( ?) sait qu’`a une rotation (param´etr´ee pour ce faire par trois angles d’Euler, ou par un axe et un angle) on peut associer une matrice r´eelle orthogonale de rang 3 et d´eterminant 1 (pas de r´eflexion). La r´eciproque est moins ´evidente. Soit une matriceR r´eelle, de rang 3, d´eterminant 1, orthogonale, c’est-`a-dire conservant la norme (au sens de|u|^{2 df}=u_iu_i) :|Ru|²=|u|², quel que soitu.

(i) Calculer|Ru|², et montrer que l’on a RR =I. En d´eduire la relationRR=I, et les propri´et´es des vecteurs colonnes deR.

(ii) D´eterminer l’inverse deR.

(iii) Montrer que les matrices R sont les ´el´ements d’un groupe, baptis´e SO(3) pour Sp´eciales (d´eterminant 1), Orthogonales, de rang 3.

(iv)Soit une matriceR∈SO(3), etuun vecteur propre correspondant `a l’´eventuelle valeur propreλ.

Calculer|Ru|², et en d´eduire que toute valeur propre de Rsatisfait la condition n´ecessaireλ²= 1.

(v) Etant donn´e une matriceA quelconque (r´eelle), comparer (AA) et AA. En d´eduire que AA est sym´etrique quelle que soit A. En d´eduire queR d´epend finalement de 3 param`etres ind´ependants.

(vi) Montrer que R−I = (I−R)R. En d´eduire que Det(R−I) = Det(I−R), et qu’en nombre impair de dimensions (3 ici) il existe (au moins) une valeur propre unit´e. Soit ωˆ la direction propre correspondante. Quelle est sa signification g´eom´etrique ? Combien de param`etres ind´ependants sont attach´es `a la sp´ecification deˆω?

(vii) Pour ´etudier plus compl`etement une matrice R ∈SO(3), on choisit comme rep`ere orthonorm´e l’ensemble des vecteursˆ3^df=ω,ˆ ˆ1etˆ2. Quelle est, dans ce rep`ere, la forme g´en´erale de cette matriceR en fonction des cosinus et sinus d’un param`etreω? Quelle est la signification g´eom´etrique deRˆ1et deRˆ2? Calculer la trace TrR.

(viii) R´ecapitulation. Quelle rotationR(ωωω) peut-on associer `a une matrice R ∈SO(3) ? A propos : une matricer∈SO(2) admet-elle une valeur propre unit´e ? Quelle est la signification g´eom´etrique de la r´eponse ?

2. Soit une matrice R(ωωω) donn´ee, correspondant `a une rotation ωωω dans l’espace `a 3 dimensions.

Calculer, dans le rep`ere orthonorm´e (ˆ3<sup>df</sup>=ˆω,ˆ1,ˆ2), les composantes du vecteurx =R(ωωω)xen fonction des composantes de x. Montrer que le r´esultat peut s’´ecrire sous forme vectorielle et que l’on a, ind´ependamment de tout rep`ere,

R(ωωω)x= cosωx+ (1−cosω)(ˆω·x)ωˆ+ sinωˆω∧x.

3. A toute direction ˆv — sp´ecifi´ee par ses cosinus directeurs dans un rep`ere donn´e — et `a tout r´eel ϕ, on associe la matrice complexe 2×2

U ^df=eⁱσσσ·ˆvϕ,

o`uσ1,σ2 etσ3sont les trois matrices conventionnelles dites de Pauli.

(i)Montrer que l’on aU = cosϕ I+isinϕ σσσ·ˆv.

(ii) Calculer les coefficients de la matriceU et son d´eterminant.

(iii) Etant donn´e une matrice A quelconque, calculer e^Ae^−A. En d´eduire que U est unitaire et, finalement, queU ∈SU(2), le groupe des matrices Sp´eciales, Unitaires, de rang 2.

4. La r´eciproque de cette propri´et´e — `a savoir qu’`a toute matrice de SU(2) on peut associer une directiondˆet un r´eelαqui permettent d’´ecrire ladite matrice sous la formeeⁱσσσ·ˆdα — esta priori un peu moins ´evidente. . .

(i)V´erifiez que toute matriceM complexe, 2×2, peut se d´ecomposer en M = (a+ib)I+ (c+id)·σσ,σ

avec a,b, cet dr´eels. (Pour cela il suffit de trouver des expressions explicites, uniques, des a, b, ci

et di en fonctions des coefficients deM.)

(ii) Avec la matrice M ainsi d´ecompos´ee, calculer M M⁺ et M⁺M et en d´eduire trois conditions ind´ependantes que doivent satisfaire les param`etresa,b,cetdlorsque la matriceM est unitaire.

(iii) Calculer, de la mˆeme fa¸con, le d´eterminant de M et en d´eduire deux conditions que doivent satisfaire les mˆemes param`etres lorsque la matriceM est sp´eciale.

(iv)En d´eduire que toute matriceM ∈SU(2) peut se mettre sous la forme

M = cosα I+isinαdˆ·σσσ=eⁱσσσ_·dˆα.

5. On sait maintenant. . .

— qu’`a toute rotation R(ωω), de matriceω R(ωωω) ∈ SO(3), on peut associer une (fa¸con de parler) matriceU =eⁱσσσ·ˆωϕ(ω)∈SU(2),

— que toute matriceM ∈SU(2) peut se mettre sous la formeeⁱσσσ_·^ˆdα, et qu’on peut donc lui associer une (toujours fa¸con de parler) matriceR

ωωω^df=dfˆ (α)

∈SO(3), et une rotationR(ωωω).

Reste `a montrer que ces ´el´ements de SU(2) constituent une repr´esentation (lin´eaire, forc´ement lin´eaire) de SO(3), c’est-`a-dire qu’`a toute R(ωωω) =R(ωωω₂)R(ωωω₁) correspondU =U2U1.

(i)Etant donn´e uneR(ωω) et un vecteurω xquelconques, calculer la matriceU(σσσ·x)U⁺correspondante.

(Un conseil : utiliserU sous la forme cosϕ+isinϕ σσσ·ω.)ˆ

(ii)Montrer (en se rem´emorant le r´esultat de la question 2.) que l’on peut choisirϕ(ω) en sorte que l’on aitU(σσσ·x)U⁺=σσσ·R(ωωω)x. Donner l’expression de la matrice, dor´enavant not´eeU(ωωω), correspondant

`

a ce choix.

(iii) Tant qu’on y est, on peut se demander si la donn´ee de la matriceσσσ·x permet de retrouver x.

Calculer Tr

σi(σσσ·x)

, et en d´eduire une expression de la composantexi. (iv)Montrer queU(ωωω₂)U(ωωω₁)(σσσ·x)

U(ωωω₂)U(ωωω₁) ⁺=σσσ·R(ωωω₂)R(ωωω₁)x.

(v)Soit deux rotations successivesR(ωωω₁) etR(ωωω₂), etωωωle param`etre de la rotation r´esultanteR(ωωω) = R(ωωω₂)R(ωωω₁). Montrer que l’on aU(ωωω)(σσσ·x)U⁺(ωωω) =σσσ·R(ωωω₂)R(ωωω₁)x

(vi)Reste `a montrer queU(ωωω) =U(ωωω<sub>2</sub>)U(ωωω<sub>1</sub>). C’est peut-ˆetre ´evident ( ?), mais il faut quand mˆeme le faire ! Montrer que le r´esultat pr´ec´edent impliqueσσσ·R<sup>−1</sup>(ωωω)x=U<sup>+</sup>(ωω)(σω σσ·x)U(ωωω), et que l’on peut en d´eduire (`a l’aide du r´esultativ)

σσσ·x=U(ωωω₂)U(ωωω₁)U⁺(ωω)(σω σσ·x)U(ωωω)U(ωωω₁)⁺U(ωωω₂)⁺, ou encore

U(ωωω₂)U(ωωω₁)U⁺(ωωω), σσσ·x

= 0 ∀x.

(vii) Quelle est la forme d’une matrice complexe 2×2 (qui, nul(le) ne l’a oubli´e, peut toujours se d´ecomposer sous la forme indiqu´ee `a la question 4.i) qui commute avecσσσ·xquel que soitx? (viii)Les trois matricesU(ωωω<sub>1</sub>),U(ωωω<sub>2</sub>) etU(ωω) ´etant, ne l’oublions pas, unitaires et sp´ω eciales, montrer queU(ωωω) est n´ecessairement ´egale `aU(ωωω₂)U(ωωω₁).

6. En mani`ere d’´epilogue. Vous devriez maintenant ˆetre `a peu pr`es convaincu(e) que les matri- ces e⁻ⁱ²σσσ·ωωω∈SU(2) constituent une repr´esentation lin´eaire des matrices R(ωωω)∈SO(3). Les doublets complexes qui, au cours des rotations, se transforment selon ces matrices 2×2 sont appel´esspineurs.