Le crit`ere est classique (Gauss, Wantzel

Enonc´e n^oD619 (Diophante) Deux sur trois

On trace trois polygones r´eguliers, respectivement un pentad´ecagone (15 cˆot´es), un heptad´ecagone (17 cˆot´es) et un octad´ecagone (18 cˆot´es). Deux sur trois peuvent ˆetre trac´es avec une r`egle et un compas. Lesquels ? Nota : on ne demande pas le trac´e des deux polygones.

On num´erote les sommets de chaque polygone de 1 `an(n= 15, 17 et 18) dans le sens trigonom´etrique et `a l’int´erieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extr´emit´es sont d´esign´es par les num´eros des sommets (a, b)

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a savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le pentad´ecagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans l’heptad´ecagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octad´ecagone.

Les trois figures ci-apr`es font croire que les trois cordes sont concourantes dans chacun des trois polygones. Dans deux figures sur trois,c’est faux.

Lesquelles ? Justifier votre r´eponse.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) Constructibilit´e par la r`egle et le compas.

Le crit`ere est classique (Gauss, Wantzel) : le nombre nde cˆot´es doit ˆetre puissance de 2 ou produit de puissances de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.

Autre forme : l’indicatrice d’Euler ϕ(n) doit ˆetre une puissance de 2, ce qui s’´ecrit encore ϕ(n) = 2ϕ(ϕ(n)).

ϕ(15) = 8 et ϕ(17) = 16 sont des puissances de 2, mais non ϕ(18) = 6.

Seul l’octad´ecagone n’est pas constructible.

2) Cordes concourantes

Soit un hexagone convexe inscrit dans un cercle,c1, c2, c3, c4, c5, c6 les lon- gueurs de ses cˆot´es (pris dans l’ordre). On a la propri´et´e (voir par exemple Tangente Hors S´erie n^o36, page 73)

Les diagonales sont concourantesssi c1c3c5−c2c4c6= 0.

Je prends pour unit´e de longueur le rayon du cercle circonscrit `a chaque polygone.

2.1) Pentad´ecagone

Les cˆot´es de l’hexagone sous-tendent des arcs qui sont respectivement 1, 1, 3, 2, 3, 5 fois 2π/15, d’o`u la condition

8 sin(π/15) sin(3π/15) sin(3π/15)−8 sin(π/15) sin(2π/15) sin(5π/15) = 0.

Or le premier membre vaut (transformant les produits en sommes) 8 sin(π/15)(1−cos(2π/5)−cos(π/5) + cos(2π/3−π/5))

et, en utilisant les valeurs connues des sinus et cosinus de π/5 etπ/3,

= (1/2) sin(π/15) q

30−6√

5 + 7−5√ 5

. Or 81>80, 9>4√

5, 144>64√

5, (7−5√

5)²= 174−70√

5>30−6√ 5, et donc le crit`ere est strictement n´egatif, les cordes ne sont pas concourantes.

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2.2) Heptad´ecagone

Les cˆot´es de l’hexagone sous-tendent des arcs qui sont respectivement 1, 1, 2, 1, 3, 9 fois 2π/17, d’o`u la condition

8 sin(π/17) sin(2π/17) sin(3π/17)−8 sin²(π/17) sin(9π/17) = 0.

Le premier membre prend la forme

8 sin²(π/17)(2 cos(π/17) sin(3π/17)−sin(9π/17)) =

= 8 sin²(π/17)(sin(2π/17) + sin(4π/17)−sin(8π/17)) =

= 8 sin²(π/17)(sin(2π/17)−2 sin(2π/17) cos(6π/17)) =

= 8 sin²(π/17) sin(2π/17)(1−2 cos(6π/17)).

Comme 6π/17>6π/18 =π/3, cos(6π/17))<cos(π/3) = 1/2 et le crit`ere est strictement positif, les cordes ne sont pas concourantes.

2.3) Octad´ecagone

Les cˆot´es de l’hexagone sous-tendent des arcs qui sont respectivement 1, 2, 6, 2, 3, 4 foisπ/9, d’o`u la condition

8 sin(π/18) sin(6π/18) sin(3π/18)−8 sin²(2π/18) sin(4π/18) = 0.

Avec 2 sin(3π/18) = 1, le premier membre prend la forme

2 cos(5π/18)−2 cos(7π/18)−4 sin(4π/18) + 4 sin(4π/18) cos(4π/18) =

=−2 cos(5π/18)−2 cos(7π/18) + 2 sin(8π/18) =

=−4 cos(π/18) cos(6π/18) + 2 cos(π/18) = 0 car cos(6π/18) = cos(π/3) = 1/2.

Le crit`ere est satisfait, les cordes sont concourantes.

Remarque 1 : Cordes non concourantes

Dominique Roux (Quadrature n^o59, janvier-mars 2006, page 36) lie ce probl`eme `a la proposition 111 du livre X d’Euclide. Ce serait int´eressant d’en savoir plus. Peut-on en conclure qu’aucun polygone r´egulier `a nombre impair de cˆot´es n’a 3 diagonales concourantes en un point int´erieur ?

Remarque 2 : Cordes non concourantes (bis)

Quand trois cordes D1, D2, D3 d’un cercle de rayon R d´eterminent un triangle int´erieur, le crit`ere utilis´e ci-dessus (cˆot´es de l’hexagone enveloppe convexe des extr´emit´es) fournit l’aire de ce triangle, qui est

(c1c3c5−c2c4c6)²

32R²sin(D1, D2) sin(D2, D3) sin(D3, D1) Remarque 3 : Constructions

Pour le pentad´ecagone r´egulier, l’arc s´eparant deux sommets cons´ecutifs est 2π/15 = 4π/5−2π/3 ; si les sommets E1 du triangle ´equilat´eral etF1

du pentagone sont confondus, 2π/15 = arc E2F3.

Pour l’heptad´ecagone r´egulier, la construction de Gauss est la suivante.

On se donne le cercle de centreO o`u est inscrit le polygone, et le sommet H1 sur ce cercle ; on construit successivement les points

A: par OA=OH1/4, angle (OH1, OA) =π/2 ; B : sur OH1 avec (AO, AB) = (AO, AH1)/4 ; C : surOH1, (AC, AB) =−π/4 ;

D: milieu de CH1; E : sur OA,DE=DH1;

F etG: sur OH1,BF =BG=BE;

H4, H6, H13, H15 : sur le cercle et sur les parall`eles men´ees par F et G `a OA.

En reportant sur le cercle des arcs ´egaux `a H4H6, on obtient tous les sommetsH_k de l’heptad´ecagone.

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