E597. Z´ ero oblig´ e
Si les3nombres ont un facteur commun, il revient au mˆeme de les diviser par ce facteur. On pose donc que les 3nombres sont premiers entre eux, et, par cons´equent, tous impairs ou bien compos´es de2pairs et1impair (situation obtenue apr`es le 1er coup de toutes fa¸cons).
L’op´eration effectu´ee sur x et y ne change pas la somme x+y, et on cherche `a faire apparaˆıtre 2nombres
´
egaux parmix,yetz. On peut donc esp´erer, six+yest un nombre premier plus grand quez, que l’op´eration r´ep´et´ee sur x et y fera prendre `a l’un ou `a l’autre la valeurz. En fait, cela d´epend du nombre premier : ou bien il y a un seul cycle et l’´egalit´e sera forc´ement atteinte au cours du cycle, ou alors il y a plusieurs cycles de mˆeme longueur et la valeur cherch´ee n’est atteinte que dans l’un d’eux.
Illustration avecx+y = 31: 3cycles de longueur 6
x y x y x y
2 29 6 25 10 21
4 27 12 19 20 11
8 23 24 7 9 22
16 15 17 14 18 13
1 30 3 28 5 26
2 29 6 25 10 21
Le tableau ci-dessous indique pour les nombres premiers de11`a491si le nombre g´en`ere un seul cycle (comme 11par exemple) ou plusieurs (et de quelle longueur)1.
Nombre Nombre Nombre Nombre Nombre
11 83 179 277 3*46 389
13 89 4*11 181 281 4*35 397 9*22
17 2*4 97 2*24 191 283 3*47 401 2*100
19 101 193 2*48 293 409 2*102
23 103 197 307 3*51 419
29 107 199 311 421
31 3*5 109 3*18 211 313 2*78 431 5*43
37 113 4*14 223 3*37 317 433 6*36
41 2*10 127 9*7 227 331 11*15 439 3*73
43 3*7 131 229 3*38 337 8*21 443
47 137 2*34 233 4*29 347 449 2*112
53 139 239 349 457 6*38
59 149 241 10*12 353 4*44 461
61 151 5*15 251 5*25 359 463
67 157 3*26 257 16*8 367 467
71 163 263 373 479
73 4*9 167 269 379 487
79 173 271 383 491
Une deuxi`eme possibilit´e de terminer en un nombre restreint de coups est lorsque la somme de 2des nombres est une puissance de2, par exemple x+y= 2n. Il suffit alors de r´ep´eter l’op´eration avec ces nombres autant de fois que n´ecessaire, puisque le plus petit des2doublant `a chaque op´eration au d´etriment de l’autre, on finit par avoirx=y = 2n−1.
Muni de des ´el´ements de strat´egie et d’un peu de chance, je propose une solution en 9coups pour le probl`eme pos´e :
1La probabilit´e dex+y <11est nulle six+y+z >100
1
Op´ eration x y z Remarque 47 161 197
x ←→ y 94 114 197 x ←→ y 188 20 197 y ←→ z 188 40 177 x ←→ y 148 80 177
x ←→ y 68 160 177 y + z = 337 y ←→ z 68 320 17
y ←→ z 68 303 34
y ←→ z 68 269 68 x = z x ←→ z 136 269 0
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