E622 La nouvelle gouvernance [**** à la main ]
Solution
La représentation des 15 membres du conseil d’administration peut se faire dans un cube.
Les 15 membres sont numérotés de A à O. Les huit premiers de A à H figurent aux sommets du cube, puis six autres I à N sont localisés aux centres des 6 faces du cube. Enfin le
quinzième est au centre O du cube.
La participation à un comité peut être représentée soit par une ligne droite joignant trois points alignés soit par un triangle passant par trois points non alignés.
De chacun des sommets A, B, C, D, E, F, G, H on peut tracer trois diagonales sur les faces qui s’appuient sur chacun d’eux ainsi qu’une quatrième diagonale qui traverse le cube pour
rejoindre le sommet opposé. Par exemple, du sommet A on a les quatre diagonales AIC, AJG, AME et AOH. Par le centre O du cube passent ainsi les quatre diagonales qui joignent les sommets opposés 2 à 2 à savoir AOH, BOE, COF et DOG.
Il en résulte 16 comités pour lesquels les neuf sommets A,B,C,D,E,F,G,H et O apparaissent quatre fois et quatre seulement tandis que les centres des six faces I,J,K,L,M et N apparaissent seulement deux fois avec les deux diagonales qui traversent les faces où ils se trouvent.
Les quatre autres comités sont obtenus en considérant l’octaèdre IJKLMN comme le montre le graphe ci-après :
De chacun des sommets de l’octaèdre, partent 4 faces. Il suffit de retenir deux faces
triangulaires ayant le sommet considéré comme seul point commun. Par exemple du sommet, on retient les deux triangles colorés en jaune IJK et ILM.
On obtient bien au total 20 comités répondant aux critères fixés par le Président du conseil d’administration d’Aristokratia : AIC, BID, AJG, BJF, BKH, CKG, CLE, DLH, AME, DMF, ENG, FNH, AOH, BOE, COF, DOG, IML,IJK, NKL et NJM. Chaque sommet apparaît quatre fois et quatre fois seulement et il n’y a jamais de couple XY qui apparaît plus d’une fois.
