Théorie des ensembles appliquée à l'informatique

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Théorie des ensembles appliquée à l’informatique

Bertrand LIAUDET

SOMMAIRE

SOMMAIRE 1

ENSEMBLES ET RELATION ENTRE LES ENSEMBLES 4

A - Théorie 4

1 – Notions sur les ensembles 4

Définition d’un ensemble 4

Notation 4

Représentation graphique 4

Appartenance d’un objet à un ensemble 5

Ensemble vide 5

Singleton 5

Pas de doublons 5

Cardinal 5

Définition en extension 5

Définition en semi-extension pour les ensembles ordonnés : avec « … » : 5

Définition en compréhension 6

Utilité de la théorie des ensembles 6

Histoire de la théorie des ensembles 7

2 – Relations entre ensembles 8

1 : Inclusion : sous-ensemble, partie, ensemble des parties, U 8

2 : Intersection 10

3 : Union 11

4 : Partition = partition disjointe 12

5 : Différence 13

6 : Complémentaire 14

3 – Logique et diagrammes de Venn et Euler 15

Présentation 15

Représentation ensemblistes des fonctions logiques 15

Exemple 16

Méthode 16

Exercices – Cardinalités et diagramme de Venn 18

B - Applications 20

1 – Théorie des ensembles et arithmétique (science des nombres) 20

Ensemble des entiers : N 20

(2)

Ensemble des entiers relatifs : Z 20

Ensemble des nombres décimaux : D 20

Ensemble des nombres rationnels : Q 20

Ensemble des nombres réels : R 20

Bilan 20

2 – Abstrait, concret – concept, genre, espèce - héritage, spécialisation 21

1 : Ensemble abstrait – Object concret 21

2 : Notion de concept 21

3 : Espèce et genre : héritage – est un 22

4 : Comprendre : un mixte d’abstraction et de concrétisation 23

Exercices – définition – extension – compréhension – relations entre ensemble 25

Exercices – série 2 26

Exercices – série 3 : logique et diagramme de Venn 28

4 – Syllogisme : diagrammes de Venn et Euler avec ajouts contemporains 29

Présentation 29

Les différentes propositions 30

Les 4 premiers syllogismes classiques 32

Exercices – série 1 – Syllogismes et diagrammes de Venn 33

5 – Logique et diagrammes de Venn et Euler 34

Représentation ensemblistes des fonctions logiques 34

Exercices – logique et diagramme de Venn 34

ENSEMBLES ET RELATIONS ENTRE LES ELEMENTS 36

A - Théorie 36

1 – Notion de tuple 36

Définition d’un couple 36

Différences entre un couple et un ensemble 36

Notion de tuple 38

Notation matricielle 38

Concaténation de 2 tuples 38

Applications en informatique 39

2 – Produit cartésien 40

Produit cartésien de deux ensembles 40

3 – Relations entre les objets de 2 ensembles 41

Relation binaire 41

Schéma sagittal 41

Sens de la relation 41

Notion de cardinalité 41

Relation et produit cartésien 42

Tableau d’objets à deux colonnes 42

Tableaux de listes 42

4 – Propriétés des relations entre 2 ensembles : de l’application à la bijection 43

Application 43

(3)

Injection 45

Surjection 46

Bijection 47

B - Applications 48

1 - Modélisation de BD et de diagramme de classes – MEA et UML 48

Présentation 48

Exemple 48

Exercices – Modélisation ensembliste 51

2 - Langage SQL des bases de données relationnelles 54

Présentation 54

Jointure 54

Relations ensemblistes 56

Exercices – SQL et théorie des ensembles 57

Dernière édition : janvier 2018

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ENSEMBLES ET RELATION ENTRE LES ENSEMBLES

A - Théorie

1 – Notions sur les ensembles Définition d’un ensemble

Nous appelons ensemble toute réunion E d’objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommons éléments de E.

Un ensemble est une collection d’objets qu’on appelle éléments.

Un ensemble est une multitude qui peut être comprise comme un tout.

➢ Exemples

L’ensemble des chats noirs, des entiers naturels, des élèves, des triplets d’entiers (a,b,c) tel que a² + b² = c² , etc.

Les objets de l’ensemble sont ceux qu’on décide de mettre dedans.

Notation

Les ensembles sont notés en majuscule : E Les objets sont notés en minuscule : x, y, z, etc.

Un ensemble se représente ainsi : E = {e1 ; e2 ; e3} ou E = {e1 , e2, e3}

L’appartenance d’un objet à un ensemble s’écrit : e1  E, La non appartenance d’un objet à une ensemble s’écrit : e4  E Représentation graphique

Un ensemble se représente graphiquement avec une ellipse ou sous la forme d’un tableau et on peut mettre ses éléments dedans. C’est pratique.

➢ A l’horizontal

F

Ellipse Tableau

x1 x2 x3 x4

F

x1 x2 x3 x4

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➢ A la verticale

F F

Appartenance d’un objet à un ensemble x1  F, x5  F

Ensemble vide

L’ensemble vide se note  Singleton

Un singleton est un ensemble constitué d’un seul élément.

Pas de doublons

Dans un ensemble, il n’y a pas de doublons :

Si E1 = {e1, e2, e3} et E2 = {e1, e1, e2, e3} alors, E1 = E2 Cardinal

Le cardinal d’un ensemble, c’est son nombre d’éléments. On le note : card(E) = 3 card(  ) = 0

Le cardinal d’un ensemble infini se note : . Par exemple : card( N ) =  Définition en extension

Définir un ensemble en extension, c’est donner la liste de tous ses éléments.

➢ Exemples :

E1 = {e1, e2, e3} e1  E1 E2={4, 8, 16, 32} 2  E2 Définition en semi-extension pour les ensembles ordonnés : avec « … » :

N = {0, 1, 2, 3, …} : c’est la série de entiers allant à l’ de 1 en 1.

Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. C’est la série des entiers allant de - à + de 1 en 1.

L’ensemble des nombres pairs : {0, 2, 4, 6, …} C’est la série des entiers pairs allant à l’infini (de 2 en 2).

L’ensemble des nombres pairs inférieurs ou égaux à 100 : {0, 2, 4, …, 96, 98, 100}

x1 x2 x3 x4 x1

x2 x3 x4

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Définition en compréhension

Définir un ensemble en compréhension (on dit aussi en intension, avec un « s »), c’est caractériser ses éléments par :

1. une définition en français 2. une formulation mathématique.

➢ Exemple 1

– définition en compréhension en français

E = l’ensemble des entiers multiples de 3. C’est une définition en compréhension en français.

– définition en compréhension en mathématiques

E = {3k / k  N }. C’est une définition mathématique en compréhension. On la lit ainsi : E égale l’ensemble des 3 fois k tel que k appartient à N (donc 3x0, 3x1, 3x2, etc.)

On peut aussi écrire : E = {x / x  N et x%3 = 0 }. On la lit ainsi : E égale l’ensemble des x tel que x appartient à N et x modulo 3 = 0.

On ne peut pas le définir en extension car le cardinal est infini.

On peut le définir en semi-extension : E = {0, 3, 6, 9, … }

➢ Exemple 2 : l’ensemble des chats : C – définition en compréhension en français

C = l’ensemble des félins domestiques de petite taille.

Cette définition part du genre (le félin) et ajoute des distinctions par rapport au genre (domestique, de petite taille).

– définition en compréhension en français

On peut aussi considérer chaque caractéristique comme l’appartenance à un ensemble :

C={x  Félins, x  Domestiques, x  DePetiteTaille} : la virgule joue le rôle d’un opérateur

« et ».

On peut aussi considérer chaque caractéristique comme un prédicat : Chats={Fx, Dx, DPTx}

Utilité de la théorie des ensembles

➢ Pour les mathématiciens :

La théorie des ensembles permet de « fonder » les mathématiques à partir de ses primitives, c’est-à-dire les notions d’ensembles de d’appartenance.

Fonder veut dire qu’elle permet de construire tous les objets usuels des mathématiques par déduction logique. C’est le cas par exemple des nombres, des fonctions, des relations, des déductions, etc.

Hilbert, un des plus grands mathématiciens de la fin du 19^ème et du 20^ème siècle, allemand, qualifiera cette théorie de « paradis ».

Pour le commun des mortels, à partir de notions intuitives simples (ensemble et appartenance), la théorie des ensembles permet de reconstruire les objets usuels des mathématiques et ainsi de pouvoir les comprendre intuitivement.

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➢ Pour les informaticiens :

C’est un outil intuitif qui permet de comprendre plus intuitivement (parfois ! ☺ ), en tout cas, de façon plus synthétique, certaines notions :

• la modélisation des données pour les bases de données et programmation objet : MEA et

• UML le calcul relationnel pour les bases de données : produit cartésien et jointure

• les notions d’héritage et d’abstraction en programmation objet,

• la déduction en intelligence artificielle.

Histoire de la théorie des ensembles

➢ Fin XIXè, Cantor (1845-1918)

Cantor est un mathématicien allemand. Il a créé la théorie des ensembles. Cette théorie est considérée comme une théorie fondamentale des mathématiques (au sens de : elle permet de fonder les mathématiques).

C’est une théorie dont les bases sont simples et intuitives.

Plusieurs axiomatiques ont ensuite été développées : la plus connue étant celle des axiomes de ZF (Zermelo et Frankel). Notons aussi la théorie des classes de Neumann ou la théorie des types de Russell.

La théorie des ensembles est à la base de ce qu’on a appelé dans les années 60 et 70 les « maths modernes ». En France, on a pensé pouvoir baser l’enseignement des mathématiques dès le plus jeune âge à partir de cette théorie. Mais le grand public a rejeté cette approche…

➢ Plusieurs infinis…

Cantor pose l’existence de 2 infinis… et même d’une infinité d’infinis…

Ces infinis sont appelés « Aleph ».

Le plus petit des infinis est appelé Aleph-zéro : aleph0. Cantor pose que card(N) = aleph0. Il appelle cet infini « dénombrable ».

D’autres infinis sont indénombrables, comme le cardinal de R : card(R).

➢ Relation entre les infinis : la folie est proche !

Cantor pose cette hypothèse :

C’est l’hypothèse du continu. L’histoire raconte qu’il serait devenu fou à force d’essayer de la démontrer…

Des mathématiciens-logiciens démontreront plus tard que l’hypothèse du continu est indémontrable…

aleph0 card(R) = 2

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2 – Relations entre ensembles

1 : Inclusion : sous-ensemble, partie, ensemble des parties, U

➢ Définition générale

E est inclus dans F si si tout élément de E est aussi un élément de F. On dit aussi que E est un sous-ensemble ou une partie de F.

On le note E  F

➢ Définition avec des éléments E  F  ∀x

(

x  E => x  F

)

Dire E inclus dans F est équivalent à dire que pour tout x, si x appartient à E alors x appartient à F.

E= {x2, x3}

F= {x1, x2, x3, x4}

➢ Propriétés :

1. Par définition,   E et E  E 2. E  F et F  E  E = F

3. E  F et F  G => E  G (transitivité de l’inclusion)

E

F

E F G

E F

x1 x2 x3 x4

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➢ Ensemble des parties : (E)

L’ensemble des parties de E, c’est l’ensemble des sous-ensembles de E.

Il se note : (E)

Avec E = {a, b}, P(E) = {  , {a} , {b} , {a, b} } Si card(E) = n , card(P(E)) = 2ⁿ

➢ U : univers

On appelle U pour « univers » l’ensemble contenant la totalité des éléments du même type, de la même sorte que ceux des ensembles dont on traite. On représente U par un rectangle.

Par définition, tous les ensembles dont on traite sont inclus dans U.

E

F U

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2 : Intersection

L'intersection de deux ensembles E et F est l'ensemble des éléments qui sont communs à E et F.

On le note E  F

E E  F F

➢ Définition avec des éléments E  F = { x / x  E et x  F }

E inter F est égale à l’ensemble des x tels que x appartient à E et x appartient à F E E  F F

➢ Ensembles disjoints

E et F sont disjoints  E  F =  E  F =   ∀x

(

x  E => x  F

)

Dire E inter F égale vide est équivalent à dire que pour tout x, si x appartient à E alors x n’appartient pas à F.

E F

➢ Propriétés

Idempotence : E  E = E Commutativité : E  F = F  E

Associativité : ( E  F )  G = E  ( F  G )

E  F = 

x1 x2 x3 x4 x5 x6 E  F = { x3, x4 }

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3 : Union

L’union de deux ensembles E et F est l'ensemble constitués des éléments de E et de ceux de F.

On le note E  F

E F

➢ Définition avec des éléments E  F = { x / x  E ou x  F

)

E union F est égale à l’ensemble des x tel que x appartient à E ou x appartient à F E F

E  F = { x1, x2, x3, x4, x5, x6 }

➢ Propriétés

Idempotence : E  E = E Commutativité : E  F = F  E

Associativité : ( E  F )  G = E  ( F  G )

➢ Propriétés associant  et 

Loi d’absorption : E  ( E  F ) = E Loi d’absorption : E  ( E  F ) = E

Distributivité : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) Distributivité : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F ) - Card ( E  F ) E  F =  => Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F ) Démontrer graphiquement la première loi de distributivité.

<--- E  F --->

x1 x2 x3 x4 x5 x6

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4 : Partition = partition disjointe

Une partition de E est un ensemble de sous-ensembles E qui sont disjoints 2 à 2 et dont la réunion vaut E.

– Représentation classique :

– Autre représentation :

On précise que le reste de l’ensemble E est vide :

➢ Définition mathématique pour un exemple

Si E = {A  B  C, A  B = , A  C = , B  C =  } Alors A, B et C forment une partition de E.

A1, A2, …, An est une partition de E 

A1  A2  …  An = E et ∀i, j  N, Ai  Aj = 

➢ Propriété

Si A1, A2, …, Ap est une partition de E alors card (E) = card (A1) + card(A2) + … + card(Ap)

➢ Exemple

L’ensemble des entier pairs et l’ensemble des entiers impairs forment une partition de N

➢ Partition non disjointe

Tout ensemble de sous-ensembles de E dont la réunion est différente de E ou dont au moins une intersection n’est pas vide est une partition non disjointe de E.

A B C E



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5 : Différence

La différence de deux ensembles E et F est l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans E.

On le note E - F

E E - F F

➢ Définition avec des éléments E - F = { x / x  E et x  F }

E moins F est égale à l’ensemble des x tels que x appartient à E et x n’appartient pas à F E F

E - F = { x1, x2 }

<- E - F -->

x1 x2 x3 x4 x5 x6

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6 : Complémentaire

Si E est inclus dans F, le complémentaire de E dans F est l’ensemble des éléments de F qui ne sont pas élément de E.

On le note CFE = EF

On peut aussi le noterE . L’ensemble incluant est alors celui par défaut ou U.

➢ Définition avec des éléments CFE = E = { x / x  F et x  E }

Le complémentaire de E dans F est égale à l’ensemble des x tels que x appartient à F et x n’appartient pas à E

CFE = EF = {x1, x2, x5, x6}

➢ Propriétés E = E

E E =  E E = U

Loi de Morgan : E  F = E  F Loi de Morgan : E  F = E  F

E – F – G = ( E - F )  ( E - G ) = E – ( F  G ) Démontrez graphiquement la première loi de Morgan.

F E

<---- CFE ----> <---- CFE ---->

F E

x1 x2 x3 x4 x5 x6

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3 – Logique et diagrammes de Venn et Euler Présentation

John Venn, mathématicien anglais du 19^ème siècle, utilise les relations ensemblistes pour résoudre des petits problèmes de cardinalités.

Euler, mathématicien suisse du 18^ème siècle (1707-1783) et Venn, mathématicien anglais du 19^ème siècle (1834-1923), utilisent des représentations schématiques d’ensembles pour traiter certains problèmes mathématiques et logiques.

Représentation ensemblistes des fonctions logiques

Les fonctions logiques peuvent se représenter de façon ensembliste.

Une proposition (phrase qui est vraie ou fausse) est notée « p » en logique.

On la note comme un ensemble : A.

A

non A = A

A et B = A  B

A ou B = A  B

A et nonB = A - B

A

U U

A

U B

A

U B

A

U B

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A ou-exclusif B = (A  B) – (A  B)

Exemple

200 élèves participent à une journée de sport. 3 sports sont au programme : le foot, la natation et la course à pieds. Chaque élève peut participer à 1, 2 ou 3 sports.

Avec les indices ci-dessous, dire combien d’élèves participent à un sport et un seul et lequel, à 2 sports et lesquels, à trois sports.

1. 10 élèves sont blessés et ne participent pas 2. 18 participent au 3 sports

3. 103 ne font que 2 sports

4. 79 font du foot et de la natation 5. 19 ne font que le la course

6. 139 font de la natation dont 40 que de ça . Méthode

➢ 1 : On commence par représenter les choses sous forme ensembliste : U = les élèves

Foot : les élèves qui font du foot Nat : les élèves qui font de la natation Course : les élèves qui font de la course

A

U B

U = les élèves

Foot Nat

Course

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➢ 2 : La représentation définit une partition avec 8 sous-ensembles

U = Se1  Se2  Se3  Se4  Se5  Se6  Se7  Se8 Se1 = E – Foot – Nat - Course

Se2 = Foot – Nat – Course Se3 = Nat – Foot – Course Se4 = Course – Foot – Nat Se5 = (Foot  Nat) – Course Se6 = (Foot  Course) – Nat Se7 = (Nat  Course) – Foot Se8 = Foot  Nat  Course

➢ 3 : On place les cardinalités les plus immédiates

Se5

U = E = Elèves

Foot Nat

Course Se1

Se2 Se3

Se4 Se5

Se6 Se7

Se8

U = les élèves = 200

Foot Nat

Course Se1=10

Se2 Se3 = 40

Se4=19

Se6 Se7

Se8=18

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➢ 4 : On place les cardinalités suivantes avec les autres indices

Finissez l’exercice !

Exercices – Cardinalités et diagramme de Venn

➢ 1

Un contrôleur de fabrication a cherché, dans un lot de 100 pièces, le nombre de pièces présentant un défaut de solidité, un défaut de finition ou un défaut de dimension.

Ses résultats sont les suivants : – Défaut de finition : 30 pièces – Défaut de solidité : 23 pièces – Défaut de dimension : 50 pièces

– Défaut de finition et de solidité : 10 pièces – Défaut de solidité et de dimension : 20 pièces.

– Défaut de dimension et de finition : 8 pièces

– Défaut de finition, de solidité et de dimension : 5 pièces.

La direction de l'entreprise met en doute les compétences de ce contrôleur : ses doutes sont-ils justifiés ? Pourquoi ?

Pour résoudre le problème, on part de l’ensemble des pièces puis on définit graphiquement une partition. On définit ensuite le cardinal de chaque partie en commençant par les plus évidentes.

➢ 4’

Sachant que :

A  B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 8}

B  C = {3 ; 4 ; 5 } A  B  C = {3 } A  B = {3 ; 8 } A  C = {2 ; 3 }

B  C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}

Déterminez A, B et C en extension et représentez-les avec un diagramme de Venn.

➢ 2

Dans un avion se trouvent : — 9 enfants de sexe masculin, — 5 enfants français,

— 9 hommes adultes,

— 7 enfants non français de sexe masculin, — 11 français dont 6 de sexe masculin, — 12 enfants non français,

— 2 femmes adultes non françaises.

Combien y a-t-il de passagers dans l'avion ?

(19)

Pour résoudre le problème, on part de l’ensemble des personnes puis on définit graphiquement une partition. On définit ensuite le cardinal de chaque partie en commençant par les plus évidentes.

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B - Applications

1 – Théorie des ensembles et arithmétique (science des nombres) Ensemble des entiers : N

N = {0, 1, 2, …}

Ensemble des nombres ordonnés partant de 0 telle qu’on ajoute 1 au suivant jusqu’à l’infini (+

en l’occurrence).

7  N -7  N 7, 5  N 1/3  N PI  N Ensemble des entiers relatifs : Z

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2. … }

Z = N  Ensemble des nombres ordonnés partant de 0 telle qu’on retire 1 au suivant jusqu’à l’infini ( - en l’occurrence)

N  Z

7  Z -7  Z 7, 5  Z 1/3  Z PI  Z Ensemble des nombres décimaux : D

D = Z  Ensemble des nombres avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule.

Z  D

7  D -7  D 7, 5  D 1/3  D PI  D Ensemble des nombres rationnels : Q

Q = D  Ensemble des nombres qui s’expriment sous la forme d’un quotient de 2 nombres décimaux.

D  Q

7  Q -7  Q 7, 5  Q 1,1 / 3,3  Q 1/3  Q PI  Q 2  Q Ensemble des nombres réels : R

R = Q  Ensemble des nombres avec un nombre fini ou infini de chiffres derrière la virgule.

Q  R

7  R -7  R 7, 5  R 1/3  R PI  R 2  R Bilan

N  Z  D  Q  R

7 -7 7, 5 1/3 PI

N Z D Q R

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2 – Abstrait, concret – concept, genre, espèce - héritage, spécialisation 1 : Ensemble abstrait – Object concret

➢ Présentation

Un ensemble est définie comme réunion E d’objets de notre conception.

Par définition, c’est donc une abstraction. Les objets son concrets. L’ensemble qui les contient est abstrait, est une abstraction.

➢ Exemple

L’ensemble des chats, qu’on peut représenter aussi comme un tableau de chats, est une abstraction.

Les éléments de l’ensemble, ici félix, tom, et gros minet, sont des objets concrets.

Chats Chats

2 : Notion de concept

Un ensemble définit un concept, c’est-à-dire la définition d’un objet en général.

Les éléments de l’ensemble sont les objets qui « tombent sous le concept », c’est-à-dire correspondent au concept.

C : ensemble des chats. Il correspond au concept de chat. On peut aussi dire à la collection de

« Les Chats » au pluriel.

c1, c2, tom, félix sont des chats. Ce sont des objets de l’ensemble des chats qui tombent sous le concept de Chat.

On écrit : C = {c1, c2, tom, félix } et aussi : c1, félix  C

On peut aussi écrire : Cc1, Cfélix, pour dire que c1 et félix « tombent sous le concept C », autrement dit que c1 « est un » C.

félix tom gros minet félix

tom gros minet

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3 : Espèce et genre : héritage – est un

La relation d’inclusion peut être interprétée comme une relation d’espèce à genre.

E  G

E est l’espèce, G est le genre

C’est une relation « est un » : ∀x

(

x  E => x est un G

)

Pour tout x, si x appartient à E alors x est un G.

➢ Exemple 1

Chats  Animaux

Félix est un chat. Les chats sont des animaux. Les chats forment une espèce d’animal. Animal est un genre de chat. Attention, le mot « genre » a ici son sens « logique » et pas son sens commun (on dirait pluôt qu’un chat est un genre d’animal comme on dirait que c’est une sorte d’animal).

➢ Exemple 2

Chats, Chiens  Animaux

Les chats et les chiens sont des espèces d’animaux. Chats et chiens sont du genre animal.

E

G

Chats Animaux

félix tom gros minet

Chats Chiens Animaux

(23)

➢ Héritage

La relation d’espèce à genre est une relation d’héritage : l’espèce hérite des caractéristiques du genre.

Chats, Chiens  Animaux : Chats hérite de Animaux, Chiens hérite de Animaux On représente l’héritage avec une flèche à triangle :

Chats Animaux Vivants

4 : Comprendre : un mixte d’abstraction et de concrétisation

➢ Définir : un genre et une différence

Pour définir quelque chose, il faut trouver un genre d’appartenance et une caractéristique particulière qui permet de distinguer une partie dans le genre (on appelle cela une distinction).

Par exemple : un chat c’est un animal qui fait « miaou ». Genre : animal. Distinction : « miaou », son cri.

➢ Abstraire, abstraction, généralisation

Généraliser : c’est trouver un genre, c’est-à-dire un ensemble incluant ce dont on parle.

Généraliser = abstraire

Une généralisation : c’est une « montée en genre ».

Généralisation = abstraction

Plus c’est général, plus c’est abstrait et plus le cardinal de l’ensemble est élevé.

Abstraction => Cardinal : il y a plus d’objets dans l’ensemble des animaux que dans l’ensemble des chats.

Abstraction => Caractéristiques : il y a moins de caractéristiques dans l’ensemble des animaux que dans l’ensemble de chats. En effet, les chats ont toutes les caractéristiques des animaux plus celles des chats en particulier.

Chats Chiens Animaux

Relation d’héritage Animaux

(24)

➢ Spécialisation, concrétisation, concret

Spécialiser : c’est trouver une espèce, c’est-à-dire un sous-ensemble de ce dont on parle.

Une spécialisation : c’est une « descente dans les espèces ».

Spécialisation => Cardinal : Plus c’est spécialisé et moins il y a d’éléments dans l’ensemble.

Etre plus concret c’est être plus spécialisé. La situation la plus concrète correspond aux éléments directement, indépendamment des ensembles qui peuvent les contenir.

Spécialisation => Caractéristiques : il y a plus de caractéristiques dans l’ensemble des chats que dans l’ensemble des animaux. En effet, les chats ont toutes les caractéristiques des animaux plus celles des chats en particulier.

➢ Comprendre

Un ensemble correspond à un concept.

Pour comprendre le concept, le faut le définir (trouver un genre et une différence) et être capable de donner un exemple concret c’est-à-dire un élément de l’ensemble.

L’exemple ne suffit pas à savoir de quoi on parle : « une intuition sans concept est aveugle » (ici intuition veut dire objet concret qu’on peut voir ou toucher).

Le concept ne suffit pas non plus à savoir de quoi on parle : « un concept sans intuition est creux ».

Par exemple, quand je définis le chat comme étant un animal qui fait miaou, si je n’en ai jamais vu, ça ne m’éclaire pas vraiment sur ce qu’est un chat ! Je peux même m’en faire une idée tout à fait fausse.

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Exercices – définition – extension – compréhension – relations entre ensemble

➢ 1

Soit E l’ensemble des entiers multiples de 3 plus petit que 40.

Donnez une définition de E en semi-extension.

Donnez une définition mathématique de E en compréhension (proposez 2 versions).

Quel est le cardinal de E ?

➢ 2

Définir en compréhension E = {10, 15, 20, …, 440, 445, 450 }

Donnez une définition en français de E.

➢ 3

A est l’ensemble des employés de l’entreprise. Ils ont tous un numéro d’employé, différent pour chacun d’eux, un nom et un salaire et une date d’embauche

Définir en compréhension B l’ensemble des employés dont le salaire est supérieur à 2000.

Définir en compréhension C l’ensemble des employés dont le salaire est supérieur à 1500 et qui ont été embauché en 2016.

Faites un schéma de ces trois ensembles et de leurs relations.

➢ 4

Soit E={1 ; 2 ; … ; 6, 7}, A = {1 ; 3 ; 5 ; 7} B = {2 ; 4 ; 6} et C={1 ;3 ; 6}

1. Dessiner les 4 ensembles et leurs relations 2. Déterminer graphiquement et en extension

A  B A  C B  C A  B A  C B  C 3. Déterminer A , B , C

➢ 5

Soit un ensemble de personnes P = {p1, p2, …, p9, p10}

p1, p3, p5, p6 et p7 sont adhérents à la bibliothèque de la ville.

p1, p2, p3, p7, p10 travaillent à la bibliothèque de la ville.

1. Quels sont les ensembles dont on parle ?

2. Représentez graphiquement les ensembles et leurs éléments 3. Quelles relations existe-t-il entre ces ensembles ?

4. Y a-t-il une ou plusieurs relations d’héritage, si oui, lesquelles

➢ 6

Construire les relations d’espèces à genre des concepts suivants : hêtre, homme, diamant, substance immatérielle, feuille, daim, minéral, arbre, substance, végétal, animal, athée, marxiste, argile, substance matérielle

(26)

➢ 7

Construire les relations d’espèces à genre des concepts suivants : polygone, carré, triangle équilatéral (3 côtés de longueurs identiques), parallélogramme, triangle isocèle (2 côtés de longueurs identiques), quadrilatère, figure plane, losange, triangle, figure, rectangle, triangle scalène (3 côtés de longueurs différentes), trapèze

Exercices – série 2

➢ 1

Soit E l’ensemble des entiers impairs entre 11 à 20.

Donnez une définition de E en extension.

Donnez une définition mathématique de E en compréhension.

➢ 2

E = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256}

Définir en compréhension l’ensemble A

Donnez une définition en français de E.

➢ 3

Définir en extension A l’ensemble des multiples de 7 compris entre 100 et 500.

Définir en compréhension l’ensemble A Quel est le cardinal de A ?

➢ 4

A = {-3 ;-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3}

Définir en compréhension B, ensemble des carrés des éléments de A.

Quel est le cardinal de B ?

➢ 5

A = ensemble des valeurs affichées par l’algo 1 Définir A en extension

Algo 1 =

Pour i de 1 à 4 Pour j de 0 à 2

Afficher 5i+j

➢ 6

A = ensemble des couples affichés par l’algo 2 Définir A en extension

Algo 2 =

(27)

Pour i de 1 à 4 Pour j de i à 4

Afficher ‘(‘+ i +’,’+ j +‘)’

➢ 7

Soit E={ 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 }, B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9} C = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 10}

– Dessiner les 3 ensembles et leurs relations.

– Déterminer graphiquement et en extension : B  C puis A  (B  C )

– Déterminer graphiquement et en extension : A  B, A  C puis (A  B)  (A  C) Que constatez-vous ?

➢ 8

Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 }

Déterminer P(E), l’ensemble de toutes les parties de E.

Exercices – série 4

Soit N l’ensemble des entiers = {0, 1, 2, …}.

On peut aussi définir N ainsi : Z = l’ensemble des nombres ordonnés partant de 0 telle qu’on ajoute 1 au suivant jusqu’à l’infini (+ en l’occurrence).

7  N -7  N 7, 5  N 1/3  N PI  N Soit Z l’ensemble des entiers relatifs = {…, -2, -1, 0, 1, 2. … }

On peut aussi définir Z ainsi : Z = N  Ensemble des nombres ordonnés partant de 0 telle qu’on retire 1 au suivant jusqu’à l’infini ( - en l’occurrence)

7  Z -7  Z 7, 5  Z 1/3  Z PI  Z Soit D l’ensemble des nombres décimaux.

D = Z  Ensemble des nombres avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule.

7  D -7  D 7, 5  D 1/3  D PI  D Soit Q l’ensemble des nombres rationnels.

Q = D  Ensemble des nombres qui s’expriment sous la forme d’un quotient de 2 nombres décimaux.

7  Q -7  Q 7, 5  Q 1,1 / 3,3  Q 1/3  Q PI  Q 2  Q Soit R l’ensemble des nombres réels.

R = Q  Ensemble des nombres avec un nombre fini ou infini de chiffres derrière la virgule.

7  R -7  R 7, 5  R 1/3  R PI  R 2  R 1. Quelles sont les relations entre les ensembles N, Z, D, Q, R ?

(28)

2. Faites un diagramme de Venn en plaçant tous les éléments présentés.

Exercices – série 3 : logique et diagramme de Venn

➢ 1

Démontrez graphiquement les propriétés ci-dessous.

3. Loi d’absorption : E  ( E  F ) = E 4. Loi d’absorption : E  ( E  F ) = E

5. Distributivité : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) 6. Distributivité : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) 7. Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F ) - Card ( E  F ) 8. E  F =  => Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F )

➢ 2

Sachant que p => q  non(p) ou q traduire la formule « je pense donc je suis » en diagramme de Venn.

Dire quel est l’Univers concerné.

Interpréter la signification d’un élément dans chaque partie de l’espace concerné.

➢ 3

Démontrez graphiquement les propriétés ci-dessous : E = E

E E =  E E = U

Loi de Morgan : E  F = E  F Loi de Morgan : E  F = E  F

E – F – G = ( E - F )  ( E - G ) = E – ( F  G )

(29)

4 – Syllogisme : diagrammes de Venn et Euler avec ajouts contemporains Présentation

➢ Définition d’un syllogisme

Le syllogisme classique permet à partir de deux propositions d’en déduire une troisième.

➢ Exemple

Tous les humains sont mortels.

Les Grecs sont humains.

Donc les Grecs sont mortels.

➢ Représentation ensembliste de l’exemple

On a 3 ensembles : M (les mortels), H (les humains) et G (les Grecs).

Chaque proposition peut se traduire de façon ensembliste.

Tous les humains sont mortels : On le note H  M

Les Grecs sont humains : On le note G  H

C’est pareil que tous les Grecs sont humains

Tous les Grecs sont mortels : On le note G  M

➢ Bilan

Le syllogisme correspond à la situation suivante : G  H  M donc G  M

➢ Classification

La théorie met en évidence 256 syllogismes possibles et une bonne maîtrise des syllogismes suppose que l’on soit capable d’en isoler 19 qui sont concluants. On va présenter les 4 premiers à titre d’exemple.

La théorie des syllogismes se base sur une théorie de la proposition. On va donc commencer par présenter cette théorie en rapport directement avec la théorie des ensembles.

Humains Mortels

Grecs Humains

Grecs Mortels

Humains Mortels

Grecs

(30)

Les différentes propositions

Il existe 3 sortes de propositions : universelles, singulières ou particulières. Chacune d’elle peut être affirmative ou négative, ce qui fait 6 sortes de propositions en tout.

➢ Proposition universelle affirmative

Tous les humains sont mortels est une proposition dite « universelle ».

On peut la noter H  M

On sait que H  M  ∀x

(

x  H => x  M

)

: cf. § Relations entre ensemble, inclusion Traduction ensembliste :

➢ Proposition universelle négative

« Aucun homme n’est immortel » est une proposition universelle (valable pour tous les hommes) et négative : c’est un « n’être pas ».

On peut la noter H  I = 

On sait que H  I =   ∀x

(

x  H => x  I

)

: cf. § Relations entre ensemble, intersection, ensembles disjoints.

Traduction ensembliste :

➢ Proposition singulière affirmative

Cantor est un humain est une proposition dite « singulière » et affirmative.

On peut la noter : Cantor  H Traduction ensembliste :

➢ Proposition singulière négative

Cantor n’est pas un enfant est une proposition dite « singulière » et négative.

On peut la noter : Cantor  E Traduction ensembliste :

Humains Immortels

Humains Mortels

Humains

cantor

Enfants cantor

(31)

➢ Proposition particulière affirmative

« Certains francophones sont français » est une proposition particulière (valable pour certains francophones, mais pas tous) et affirmative.

On peut la noter FP  F

On sait que FP  F = { x / x  FP et x  F } : cf. § Relations entre ensemble, intersection.

Les francophones français sont à l’intersection des deux ensembles.

On ne sait pas s’il y a des Francophones non Français. Certains le sont, peut-être tous, ou pas.

On peut aussi proposer le schéma suivant :

Il existe un objet francophone qui est Français.

On met la caractéristique « francophone » en italique pour la distinguer du nom d’un objet.

➢ Proposition particulière négative

« Certains francophones ne sont pas français » est une proposition particulière (valable pour certains francophones, mais pas tous) et négative (« ne sont pas »).

On peut la noter FP - F

On sait que FP - F = { x / x  FP et x  F } : cf. § Relations entre ensemble, différence.

Les francophones non français sont à l’intersection des deux ensembles.

On ne sait pas s’il y a des francophones français. Certains ne le sont pas, peut-être tous, ou pas.

On peut aussi proposer le schéma suivant :

Il existe un objet francophone qui n’est Français.

On met la caractéristique « francophone » en italique pour la distinguer du nom d’un objet.

Francophones Français

Français francophone

(32)

Les 4 premiers syllogismes classiques

➢ BARBARA

On a 3 propositions universelles affirmatives, codées A, d’où le code latin BARBARA Tous les humains sont mortels (A)

Les Grecs sont humains (A)

Donc tous les Grecs sont mortels (A)

➢ CELARENT

On a 2 propositions universelles négatives, codées E, d’où le code latin CELARENT Aucun Européen n’est Américain (E)

Les Français sont Européens (A)

Donc aucun Français n’est Américain (E)

➢ DARII

On a 2 propositions particulières affirmatives, codées I, d’où le code latin DARII Les Français sont Européens (A)

Certains francophones sont Français (I)

Donc certains francophones sont Européens (I)

➢ FERIO

On a 1 universel négative (E), 1 particulière affirmative (I) et une particulière négative (O), d’où le code latin FERIO.

Aucun Français n’est Américain (E) Certains étudiants sont français (I)

Donc certains étudiants ne sont pas Américains (O)

➢ Synthèse

Humains Mortels

Grecs

Américains Européens

Français

Français Européens

francophone

Américains Français

étudiant

BARBARA CELARENT

DARII FERIO

(33)

Exercices – série 1 – Syllogismes et diagrammes de Venn

Pour chacun des couples de proposition ci-dessous, faites le diagramme de Venn correspondant, dites ce que vous pouvez en déduire et de quel syllogisme il s’agit.

Aucun animal à branchies n’est une baleine.

Tous les poissons ont des branchies.

Tous les actes explicitement interdits par la loi sont répréhensibles Certains commerces sont explicitement interdits par la loi

Tous les aliénés sont déments Tous les fous sont aliénés Aucun poisson n’a de jambes

Quelques animaux sont des poissons Exercices – série 2

Même exercice que le 1

Tous les chats comprennent le français Certains poulets sont des chats.

Tous les dieux sont immortels Certains personnages sont des dieux Aucune baleine n’est un poisson

Certains animaux avec des nageoires sont des baleines Aucun animal respirant avec des poumons n’est un poisson Toutes les baleines sont des animaux respirant avec des poumons

(34)

5 – Logique et diagrammes de Venn et Euler Représentation ensemblistes des fonctions logiques

Les fonctions logiques peuvent se représenter de façon ensembliste.

Une proposition (phrase qui est vraie ou fausse) est notée « p » en logique. On peut la considérer comme un ensemble.

p

non p = p

p et q = p  q

p ou q = p  q

p et non q = p - q

p ou-exclusif q = (p  q) – (p  q)

Exercices – logique et diagramme de Venn

1) Sachant que p => q  non(p) ou q traduire la formule « je pense donc je suis » en diagramme de Venn.

Dire quel est l’espace concerné.

Interpréter la signification d’un élément dans chaque partie de l’espace concerné.

p

U U

U

p q

U

p q

U

p q

U

p q

(35)

(36)

ENSEMBLES ET RELATIONS ENTRE LES ELEMENTS

A - Théorie

1 – Notion de tuple Définition d’un couple

En mathématiques, un couple de deux objets est un nouvel objet constitué par ces deux objets dans un ordre déterminé.

Un couple se représente ainsi : C = (e1, e2). Exemple : (3, 4)

Par définition, un couple est ordonné et donc : (e1, e2) != (e2, e1). Exemple : (3,4) != (4, 3).

Chaque objet du couple est appelé « composant ».

Différences entre un couple et un ensemble

➢ Formalisme

Un couple se représente avec des parenthèses : C = (e1, e2) Un ensemble se représente avec des accolades : E = {e1, e2 }

On peut mettre des « , » ou des « ; » entre deux objets. Toutefois, on privilégie les virgules pour séparer les objets d’un couple et les points-virgules pour séparer les éléments d’un ensemble.

➢ Sémantique de l’ensemble

Un ensemble est une réunion d’objets. Les éléments d’un ensemble sont des objets de même nature. Autrement dit : ∀x  E, on peut dire x « est un » E

.

➢ Sémantique du couple

Un couple est un objet constitué par 2 autres objets qui sont des composants du couple.

Les composant d’un couple peuvent appartenir à des ensembles distincts. Par exemple, dans le couple (« toto », 18). « toto » est un prénom. « toto »  Ensemble des prénoms. 18 est un âge.

18  [0, 120].

On peut définir les objets élèves comme étant des couples dont la première composante est un prénom et la deuxième un âge.

On peut alors définir un ensemble d’élèves. Par exemple : E = { (toto, 18), (titi, 19), (tutu, 18) }.

➢ Ordre

Un ensemble n’a pas d’ordre : {e1, e2 } = {e2, e1}

Un couple est ordonné : (e1, e2) != (e2, e1)

➢ Doublon

Un couple peut être constitué de doublons : (e1, e1) est un couple conforme.

Un ensemble ne contient pas de doublon : {e1, e1} est un ensemble non conforme. Il s’agit en

(37)

(38)

Notion de tuple

Un n-uplet ou « tuple » est une généralisation de la notion de couple.

Un n-uplet ou « tuple » de n objets est un nouvel objet constitué par ces n objets dans un ordre déterminé.

Chaque partie du tuple est appelée « composant » du tuple. On peut aussi parler d’attribut.

Un n-uplet ou « tuple » se représente ainsi : T = (e1, e2, …, en)

Un tuple à 2 composants est un couple, à 3 composants un triplet, à 4 un quadruplet, etc.

Un ensemble à 2 éléments est une paire, à 3 éléments un trio, à 4 un quartet, etc.

➢ Exemple

Un client avec son numéro, son nom et son adresse mail constitue un tuple à 3 caractéristiques, c’est-à-dire un triplet : (1, toto, toto@ gmail.com )

Notation matricielle

Un ensemble E = {e1, e2, e3} peut se représenter de façon matricielle comme un vecteur colonne (une matrice à une colonne) :

E3,1 = (e1 e2 e3

)

Un ensemble F = { (1 ; 2 ; 0) ; (2 ; 0 ; -2) ; (3 ; 1 ; 4)} dont les éléments sont des tuples, ici des triplets, peut se représenter de façon matricielle :

F3,3 = (1 2 0 2 0 −2 3 1 4

)

On peut aussi le représenter comme un vecteur colonne constitué de triplets : G3,1 = (

(1, 2, 0) (2, 0, −2)

(3, 1, 5) )

Concaténation de 2 tuples

La concaténation de 2 tuples est un tuple constitué de tous les composants des 2 tuples, dans l’ordre.

La concaténation du triplet (1, 2 , 3) et du couple (4, 5) c’est le quintuplet (1, 2, 3, 4, 5).

Etant donné que (1,2,3,4,5) != (4,5,1,2,3), la concaténation n’est pas commutative.

(39)

Applications en informatique

➢ Base de données

Une base de données contient des tables du type de tableau excel.

Chaque tableau est un ensemble et chaque ligne du tableau est un élément de l’ensemble.

L’ordre des lignes n’a pas d’importances.

Chaque ligne est une tuple.

Une table contient donc un ensemble de tuples.

Chaque colonne correspond à un composant du tuple.

Dans un tuple, l’ordre des attributs est significatif.

Par exemple, si e1 = (1, « toto », « ingénieur »), chaque composant à une signification particulière.

On donne un nom à chaque composant du tuple, qu’on appelle « attribut ».

Le 1, c’est l’id. « toto » c’est le nom. « ingénieur » c’est le métier).

On accède à un composant en passant par l’élément et en suffixant le composant : tuple1.nom.

➢ Programmation objet

Une classe définit un concept. On la note avec une majuscule en premier : Chat

Un objet est une instance d’une classe : un objet « tombe sous le concept » de sa classe.

Un objet est noté avec une minuscule en premier : chat.

On peut se doter d’une collection d’objets : un tableau, une liste, un arbre, etc.

Une collection, c’est un ensemble.

(40)

2 – Produit cartésien

Produit cartésien de deux ensembles

Soit E et F deux ensembles de tuples.

E  F = c’est l’ensemble des tuples constitués par la concaténation de chaque tuple de E avec chaque tuple de F.

E  F = { (e, f) / e  E et f  F }

➢ Cardinal d’un produit cartésien card ( E  F ) = card ( E )  card ( F )

➢ Exemple 1

Soit deux ensembles d’éléments simples E et F.

E = {1 ; 2} F = {1 ; 2 ; 3} E X F = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3) } E X F est un ensemble de couples. Card (E X F) = 2  3 = 6

– Représentation avec des tableaux

E F G = E  F

1 X 1 = 1 1

2 2 1 2

3 1 3

2 1

2 2

2 3

➢ Exemple 2

Soit E un ensemble de couples et F un ensemble de triplets.

E = { (1,2) ; (3,4) } F = { (1,2,3) ; (4,5,6) ; (7,8,9) }

E X F = { (1,2,1,2,3), (1,2, 4,5,6), (1,2,7,8,9), (3,4,1,2,3), (3,4, 4,5,6), (3,4, 7,8,9)}

E X F est un ensemble de quintuplets. Card (E X F) = 2  3 = 6 – Représentation avec des tableaux

E F G= E F

1 2 X 1 2 3 = 1 2 1 2 3

3 4 4 5 6 1 2 4 5 6

7 8 9 1 2 7 8 9

3 4 1 2 3

3 4 4 5 6

3 4 7 8 9

(41)

3 – Relations entre les objets de 2 ensembles Relation binaire

On appelle relation binaire la relation entre les objets de 2 ensembles.

Schéma sagittal

Soit L un ensemble de lions. L = {l1, l2, l3, l4}

Soit G un ensemble de gazelles. G = {g1, g2, g3}

On s’intéresse à la relation : « manger ». Les lions mangent les gazelles.

On peut décrire la situation par un « schéma sagittal » (sagitta veut dire flèche en latin)

Lions manger Gazelles

0.* 0.*

Sens de la relation

La relation a un sens : il y a une flèche. La flèche permet de lire le schéma : Les lions mangent les gazelles (et non pas le contraire).

Lions est l’ensemble de départ. Gazelles est l’ensemble d’arrivée.

Notion de cardinalité

0.* représente la « cardinalité » de la relation.

La première cardinalité nous dit combien de relations partent chaque lion vers les gazelles. 0 veut dire qu’il peut y avoir 0 relation pour un élément (l5 n’a pas de relation). « * » veut dire qu’il peut y avoir plus de 1 relation pour un élément (l2 et l4 ont deux relations).

La deuxième cardinalité nous dit combien de relations partent chaque gazelle vers les lions. 0 veut dire qu’il peut y avoir 0 relation pour un élément (g4 n’a pas de relation). « * » veut dire qu’il peut y avoir plus de 1 relation pour un élément (g2 a 3 relations et g1 en a 2).

On dit : minimum 0, maximum plusieurs (ou N).

l1 l2 l3 l4 l5

g1 g2 g3 g4

(42)

Relation et produit cartésien

On peut décrire l’ensemble des relations comme un ensemble de couples M = { (l1, g1), (l2, g1), (l2, g2), (l3, g2) , (l4, g2) , (l4, g3) }

M (manger) est un sous-ensemble de L X G Tableau d’objets à deux colonnes

On peut décrire la situation comme un tableau d’objets à deux colonnes Ce tableau décrit les couples de la représentation précédente.

Lions Gazelles

l1 g1

l2 g1

l2 g2

l3 g2

l4 g2

l4 g3

Tableaux de listes

On peut aussi décrire la situation par des tableaux de listes

➢ Un tableau de lions

Les lions Les gazelles mangées

l1 g1

l2 g1, g2

l3 g2

l4 g2, g3

➢ Un tableau de gazelles

Les gazelles Les lions mangeurs

g1 l1, l2

g2 l2, l3, l4

g3 l4

(43)

4 – Propriétés des relations entre 2 ensembles : de l’application à la bijection Application

Une application de E vers F est une relation binaire de E vers F qui à tout élément de E associe un unique élément de F.

Par convention, on appelle cette application « f ».

On note l’application f : E → F ; x → y ; f(x) = y

On dit que y est l’image de x et que x est l’antécédent de y.

➢ Exemple 1

Soit la fonction f(x)=4x+3 définie dans N⁺. C’est une application de N⁺ vers N⁺

On note l’application f : N⁺ → N⁺ ; x → y ; f(x) = y = 4x+3

N⁺ f(x)=4x+3 N⁺

1.1 0.1

Les cardinalités de l’application s’analysent ainsi : chaque entier a 1 image au minimum et une image au maximum : 1.1. Chaque image a un antécédent ou aucun : 0.1.

0 1 2 3 etc.

etc.

1, 2 3 4, 5, 6 7 8, 9, 10 11

12, 13, 14 15

16, 7, etc.

(44)

➢ Exemple 2

Soit l’ensemble des employés E = {e1, e2, e3, e4, e5 } Soit l’ensemble des départements D = {d1, d2, d3 } Les employés travaillent dans un département et un seul.

La relation « travailler dans » est une application de E vers D

On note l’application « travailler dans » : E → F ; e → d ; f(x) = y tel que x « travaille dans » y.

E travailler dans D

1.1 0.*

Les cardinalités de l’application s’analysent ainsi : chaque employé a 1 image au minimum et une image au maximum par la relation « travailler dans » autrement dit : chaque employé travaille au minimum dans 1 département et au maximum dans 1 département (donc dans 1 et 1 seul).

Un département peut être « vide » : aucun employé n’y est affecté (on peut imaginer que c’est une situation temporaire). Il peut contenir plusieurs employés.

➢ Propriété des cardinalités

La cardinalité de l’ensemble de départ d’une application est 1.1 e1

e2 e3 e4 e5

d1 d2 d3 d4

(45)

Injection

➢ Définition en français

Une application de E dans F est une injection (ou une application injective) si et seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent, autrement dit, deux éléments distincts de E ont deux images distinctes.

➢ Formulation mathématique

∀(x1,x2) E X E, f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Pour tout couple x1, x2 appartenant au produit cartésien de E avec E, si f de x1 égal f de x2, alors x1 égale x2.

La cardinalité de l’ensemble de départ d’une application est 1.1 La cardinalité de l’ensemble d’arrivée d’une application est 0.1

➢ Représentation schématique

E F

1.1 0.1

Il existe dans F des éléments qui n’on pas d’antécédent.

➢ Exemple

Soit la fonction f(x)=4x+3 définie dans N⁺. C’est une application de N⁺ vers N⁺

On note l’application f : N⁺ → N⁺ ; x → y ; f(x) = y = 4x+3

Les couples de l’application pour x <=5 sont : (0, 3) , (1, 7) , (2, 11) , (3, 15) , (4, 19) , (5, 23) Les entiers 1 et 2, par exemples n’ont pas d’antécédents.

e5

. . .

(46)

Surjection

Une application de E dans F est une surjection (ou une application surjective) si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent.

∀y F, ∃x  E / y = f(x)

Pour tout y appartenant à F, il existe un x appartenant à E tel que y égale f de x.

La cardinalité de l’ensemble de départ d’une application est 1.1 La cardinalité de l’ensemble d’arrivée d’une application est 1.*

E F

1.1 1.*

Tout élément de F à au moins un antécédent.

➢ Exemple 1

Soit la fonction f(x)=x² définie dans R C’est une application de R vers R

On note l’application f : R → R ; x → y ; f(x) = y = x²

Les couples de l’application pour des entiers compris entre -2 et 2 : (-2, 4) , (-1, 1) , (0, 0) , (1, 1) , (2, 4)

Les entiers 1 et 2, par exemples ont 2 antécédents.

➢ Exemple 2

La relation entre un pointeur et une adresse est une surjection : 1 pointeur a 1 image adresse et une seule : c’est une application.

Une adresse peut avoir plusieurs antécédents : plusieurs pointeurs peuvent faire référence à la même adresse.

Les langages qui gère un « ramasse miette » ou « garbage collector » font en sorte qu’il n’y ait pas d’adresse allouée qui ne soit pas référencée par un pointeur.

e5

. .

(47)

Bijection

Une application de E dans F est une bijection (ou une application bijective) si et seulement si elle est injective et surjective. Autrement dit si tout élément de F possède un antécédent et un seul.

∀y F, ∃! x  E / y = f(x)

Pour tout y appartenant à F, il existe un x est un seul (le !) appartenant à E tel que y égale f de x.

La cardinalité de l’ensemble de départ d’une application est 1.1 La cardinalité de l’ensemble d’arrivée d’une application est 1.1

E F

1.1 1.1

Tout élément de F possède un antécédent et un seul.

➢ Exemple

Quand un hôtel est plein, la relation entre les clients et les chambres est une bijection : à un client correspond une chambre.

➢ Subtilité : Ensembles équipotents, infini dénombrable et infini indénombrables

Deux ensembles sont dit équipotents s’il existe une bijection entre ces ensembles. Ils ont alors le même cardinal.

Soit l’ensemble A. S’il existe un entier n tel qu’il existe une bijection entre A et {1, 2, …, n}, alors A est dit dénombrable. Son cardinal est « fini » et vaut « n » : card (A) = n

Dans le cas contraire, le card(A) = 

Un ensemble infini est dit « dénombrable » s’il existe une bijection avec l’ensemble des entiers N.

C’est le cas pour D, Z, Q. Ce n’est pas le cas pour R dont le cardinal est indénombrable.

e5

. .

(48)

B - Applications

1 - Modélisation de BD et de diagramme de classes – MEA et UML Présentation

En bases de données comme en programmation objet, on est amené à réfléchir aux ensembles qui regroupent les données qu’on manipule et aux relations entre ces ensembles. C’est ce qu’on appelle la « modélisation des données » dans le cas de la BD (sous la forme par exemple de MEA, modèle entité-association) et le « diagramme des classes » dans le cas de la programmation objet.

Ces modélisations utilisent leur propre langage graphique pour représenter les ensembles et leurs relations.

Le principe consiste à mettre au jour :

• les ensembles

• les caractéristiques des tuples qu’ils contiennent

• les relations entre les ensembles

• les cardinalités de ces relations Exemple

➢ On reprend l’exemple des lions qui mangent les gazelles.

Soit L un ensemble de lions. L = {l1, l2, l3, l4}

Soit G un ensemble de gazelles. G = {g1, g2, g3}

On s’intéresse à la relation : « manger ». Les lions mangent les gazelles.

On peut décrire la situation par un « schéma sagittal » (sagitta veut dire flèche en latin)

0.* 0.*

l1 l2 l3 l4 l5

g1 g2 g3 g4

(49)

➢ Ajout du genre animal

Les lions et les gazelles sont des animaux. On a donc L  A et G  A.

On peut représenter cela avec des flèches à triangle :

On peut représenter le tout par une inclusion d’ensembles :

Tous les animaux ont une date de naissance, un poids et un nom.

Les gazelles et les lions héritent des attributs du genre : ils ont tous une date de naissance, un poids et un nom.

Les gazelles one une longueur de cornes spécifique. Les lions ont une couleur de crinière spécifique.

l1 l2 l3 l4 l5

g1 g2 g3 g4

0.* 0.*

Animaux

Lions Gazelles Animaux

(50)

➢ Formalisme MEA

Le MEA est une façon graphique de représenter les ensembles et leurs relations qu’on utilise en base de données.

➢ Formalisme UML

L’UML est une façon graphique de représenter les ensembles et leurs relations qu’on utilise en base de données et en programmation objet.

(51)

Exercices – Modélisation ensembliste

➢ 1

Soit les deux ensembles suivants : E1 = {a, b, c, d, e}, E2 = {A, B, C, D, E}

Soit l’ensemble de couples suivant : {(a,A), (b,A), (c,C), (d,D), (e,D) } Représenter ces couples sous la forme :

1. d’un schéma sagittal en précisant les cardinalités 2. de 2 tableaux de listes

3. d’un MEA et d’un modèle UML.

La relation de E1 vers E2 est-elle une application, une injection, une surjection, une bijection ? La relation de E2 vers E1 est-elle une application, une injection, une surjection, une bijection ?

➢ 2

On reprend l’exemple du cours des employés et des départements.

On a un ensemble d’employés E = {e1, e2, e3, e4, e5 } et un ensemble des départements D = {d1, d2, d3 }

Les employés travaillent dans un département et un seul. L’ensemble des relations est le suivant : {(e1, d1), (e2, d1), (e3, d2), (e4, d3), (e5, d3)}

Représenter ces couples sous la forme :

3. d’un MEA et d’un modèle UML

La relation de E vers D est-elle une application, une injection, une surjection, une bijection ? La relation de D vers E est-elle une application, une injection, une surjection, une bijection ?

➢ 3

Soit l’ensemble de couples suivant : {(a,a), (a,b), (a,c), (b,c), (b,d), (d,d) } Représenter ces couples sous la forme :

3. d’un MEA et d’un modèle UML

4. Les relations dans un sens et dans l’autre sont-elles des applications, des injections, des surjections, des bijections ?

➢ 4 4.1 :

Soit une bibliothèque municipale. Elle gère des adhérents et des livres. Les adhérents empruntent des livres.

1. Quels ensembles peuvent représenter la situation ?