Corrigé Exercice 1 : ASSEMBLAGE PAR FRETTAGE (SURFACES DE FRICTION CYLINDRIQUES)

(1)

Corrigé Exercice 1 : ASSEMBLAGE PAR FRETTAGE (SURFACES DE FRICTION CYLINDRIQUES)

EFFORT AXIAL MAXIMAL TRANSMISSIBLE Question 1 : Refaire en grand les 2 schémas ci-

contre : un dans le plan (y, z) et l’autre dans le plan (x, y), en plaçant les actions élémentaires normale et tangentielle de 2 sur 1 en un point Q quelconque de la surface de contact.

Question 2 : Exprimer dF_{2 1}_ ( )Q .

2 1( ) 2 1( ) 2 1( ) dF_ Q dN _ Q dT _ Q

2 1( ) 2 1( ) . 2 1( ) . dF_ Q   dN _ Q u dT _ Q z

2 1( ) . . . . . dF_ Q  p ds u p ds z

Question 3 : Déterminer la résultante axiale maximale transmissible en fonction de p et des caractéristiques géométriques du frettage.

2 1 2 1( )

s

R _ 



dF_ Q

 

2 1 . . . . .

s

R _ 



p ds u p ds z

 

2 1 . (cos . sin . ) . .

s

R _ p



  x y  z ds

 

2 1 ,

. cos . sin . . . . .

l

R _ p x y z R d dl







      

 

2 1 . . . cos . sin . . .

l

R _ p R dl x y z d





 

      

 

^2.

2 1 . . 0^L. sin . cos . . . R _ p R l   x    y z ^

Tendance au glissement de

1/2

2

1

y

x ⁽^Q⁾

dT_2₁

u v

) ' ' Q ( dN_2₁

Q’’ Q

) ' ' Q ( dT_2₁

) Q ( dN_2₁

Car on a toujours : dN_{1 2}_ ( )Q p Q ds( ).

Et on suppose que :

- le coefficient d’adhérence est égal à celui du frottement donc _a_lim_ite    _f ,

- on se place à la limite du glissement donc

2 1( ) . 2 1( ) dT _ Q   dN _ Q , - la pression est uniforme ( )p Q p.

(2)

COUPLE MAXIMAL TRANSMISSIBLE

Question 4 : Refaire en grand les 2 schémas ci- contre : un dans le plan (y, z) et l’autre dans le plan (x, y), en plaçant les actions élémentaires normale et tangentielle de 2 sur 1 en un point Q quelconque de la surface de contact.

2 1( ) 2 1( ) 2 1( ) dF_ Q dN _ Q dT _ Q

2 1( ) 2 1( ) . 2 1( ) . dF_ Q   dN _ Q u dT _ Q v

2 1( ) . . . . . dF_ Q  p ds u p ds v

Question 6 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiques géométriques du frettage.

,2 1 2 1( )

O

s

M _ 



OQdF_ Q

,2 1 . ( . . . )

O

s

M _ 



R u p ds u p ds v

,2 1 . . . .

O

s

M _ 



Rp ds z

,2 1 . . . .

O

s

M _  R p z ds



,2 1 . . . . MO _  R p z S

,2 1 . . . .2. . . MO _  R p z R L

2 ,2 1 . .2. . . . MO _  p R L z

1/2

2

1

y

x _dT ₍_Q₎

21

u v

) ' ' Q ( dN_2₁

Q’’ ^dT^2¹⁽^Q^'^'⁾ Q ^dN21⁽^Q⁾

Et on suppose que :

2 1( ) . 2 1( ) dT _ Q   dN _ Q , - la pression est uniforme ( )p Q p

(3)

Fa

(disque 1 enlevé)

1/2

2 1

y

x ^dT^2¹⁽^Q⁾ u v

) ' ' Q ( dN_2₁

Q Q’’

) ' ' Q ( dT_2₁

) Q ( dN_2₁

Corrigé Exercice 2 : EMBRAYAGE À FRICTION MONODISQUE DE VÉHICULES AUTOMOBILES

(SURFACES DE FRICTION PLANES)

Question 1 : Refaire en grand les 2 schémas ci-dessus : un dans le plan (y, z) et l’autre dans le plan (x, y), en plaçant les actions élémentaires normale et tangentielle de 2 sur 1 en un point Q quelconque de la surface de contact.

2 1( ) 2 1( ) 2 1( ) dF_ Q dN _ Q dT _ Q

2 1( ) 2 1( ) . 2 1( ) . dF_ Q  dN _ Q z dT _ Q v

2 1( ) . . . . . dF_ Q p ds z p ds v

Question 3 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

,2 1 2 1( )

O

s

M _ 



OQdF_ Q

,2 1 . ( . . . )

O

s

M _ 



r u p ds z p ds v

,2 1 . . . .

O

s

M _  



r p ds v r p ds z

 

,2 1 ,

. .(cos . sin . ) . . . .

O r

M _ r p y x r p z r d dr







      

 

2

,2 1 . . . cos . sin . . .

O

r

M _ p r dr y x z d





 

      

3 max 2.

. . sin . cos . . .

R

M pr  y x z ^

 

         

Et on suppose que :

2 1( ) . 2 1( ) dT _ Q   dN _ Q , - la pression est uniforme ( )p Q p

(4)

Question 4 : Déterminer l’action axiale Fa (qui crée les dN ) en fonction de p et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

2 1( )

s

Fa



dN _ Q . .

s

Fa



p ds z . .

s

Fap z ds



. . Fap z S



^max² ^min²



. . . .

Fa p z R  R

Question 5 : En déduire le couple maximal transmissible en fonction de Fa (et non en fonction de p) et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

2 2

max min

.( )

Fa p

R R

  

3 3

max min

,2 1 2 2

max min

. . .2. .

.( ) 3

O

Fa R R

M z

R R



    

   

  

    

 

3 3

max min

,2 1 2 2

max min

2. . . .

O 3

R R

M Fa z

R R



  

 

 

  

 

(5)

1

2 Fa

(cône 1 enlevé)

Tendance au glissement

de 1/2

y

x ^dT^2¹⁽^Q⁾ u v

) ' ' Q ( dN_2₁

Q Q’’

) ' ' Q ( dT_2₁

) Q ( dN_2₁

Attention, il est incliné dans cette vue)

Corrigé Exercice 3 : EMBRAYAGE CONIQUE DES SYNCHRONISEURS DE BOÎTE DE VITESSES

(SURFACES DE FRICTION CONIQUES)

Question 1 : Refaire en grand les 2 schémas ci- dessus : un dans le plan (y, z) et l’autre dans le plan (x, y), en plaçant les actions

élémentaires

normale et

tangentielle de 2 sur 1 en un point Q quelconque de la surface de contact.

2 1( ) 2 1( ) 2 1( ) dF_ Q dN _ Q dT _ Q

2 1( ) 2 1( ) .cos . 2 1( ) .sin . 2 1( ) . dF_ Q  dN _ Q  u dN _ Q  z dT _ Q v

2 1( ) . .cos . . .sin . . . . dF_ Q p ds  u p ds   z p ds v

Question 3 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

,2 1 2 1( )

O

s

M _ 



OQdF_ Q

,2 1 . ( . .cos . . . sin . . . . )

O

s

M _ 



r u p ds  u p ds   z p ds v

,2 1 ( . . . sin . . . ) MO _ 



r p ds   v r p ds z

Et on suppose que :

- le coefficient d’adhérence est égal à celui du frottement donc

lim

a ite f

    ,

- on se place à la limite du glissement donc dT_{2 1}_ ( )Q  . dN_{2 1}_ ( )Q , - la pression est uniforme ( )p Q p

) ' ' Q ( dN_2₁



(6)

On aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dF_{2 1}_ suivant z, créaient des moments, mais qui se compensaient par symétrie.

Ainsi les calculs auraient été plus simples :

max

 

min

3 3

3 2. max min

,2 1 0

,

. .

. ( . .cos . . . . ) . . . .. .2.

sin sin 3 sin 3

R O

s s r R

R R

p p

dr r

M _ r u p ds u p ds v r p ds z p z r r d z ^ z



 

  

   

               

      

  

Question 4 : Déterminer l’action axiale Fa (qui crée les dN ) en fonction de p et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

2 1( )

s

Fa



dN _ Q

. .cos . . . sin .

s

Fa



p ds  u p ds z

 

,

. cos .(cos . sin . ) sin . . . . r sin

Fa p x y z r d dr



       





 

. . . cos .cos . cos . sin . sin . . sin _r

Fa p r dr x y z d



        



 

max

min

2 2.

. . cos . sin . cos .cos . sin . . 0

sin 2

R

p r

Fa   x y z ^

 

              

2 2

max min

. . sin .2. .

sin 2

R R

Fa p    z

 

  

  

2 2

max min

. . .

Fa p R R z

On aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dN_{2 1}_ suivant u, se compensaient par symétrie.

Ainsi les calculs auraient été plus simples :

max min max min 2 2

max min

. .sin . .sin . . .sin . . .sin . .2 . . .sin . .2 . . . .. .( )

2 sin

moy

s s

R R R R

Fa p ds z p z ds p z S p z R l p z       p z R R





  



              

Question 5 : En déduire le couple maximal transmissible en fonction de Fa (et non en fonction de p) et des caractéristiques géométriques de l’embrayage.

2 2

max min

.( )

Fa p

R R

  

3 3

max min

,2 1 2 2

max min

. . .2. .

.( ). sin 3

O

Fa R R

M z

R R



    

   

      

3 3

max min

,2 1 2 2

max min

2. . . .

3 sin

O

R R

M Fa z

R R



  

  

    

(7)

Corrigé Exercice 4 : BARRAGE POIDS.

Question 1 : Exprimer dF_eau__barrage( )Q .

( ) ( ) ( )

eau barrage eau barrage eau barrage

dF _ Q dN _ Q dT _ Q

( ) ( )

eau barrage eau barrage

dF _ Q dN _ Q car adhérence/frottement négligé.

( ) ( ). .

eau barrage

dF _ Q p Q ds x

Question 2 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par l’eau sur le barrage.

eau barrage eau barrage( )

s

R _ 



dF _ Q

,

. .( ). . .

eau barrage y z

R _ 



g hz dz dy x

. . . ( ). .

eau barrage

y z

R _  g dy

 

hz dz x

 

² ²

2 0

( )

. . . .

2

h l

eau barrage l

h z

R g y x



 

  

   

 

 

2 . . . . eau barrage 2

R _  g l h x

, ( )

O eau barrage eau barrage

s

M _ 



OQdF _ Q

,

( . . ) . .( ). . .

O eau barrage y z

M _ 



y yz z  g hz dz dy x

,

. . ( . . ).( ). .

O eau barrage

y z

M _  g



y zz y hz dz dy

2 2

,

2

. . ( . . . ).( ) .

2

l O eau barrage

z l

M g y z y z y h z dz







 

      

 

 



, . . ( . . ).( ).

O eau barrage

M _  g



l z y hz dz Comme O milieu du barrage, il était

(8)

Donc

 

,

eau barrage eau barrage

O eau barrage O

R M

 



 

 

  

 

 

T



 

2

3

. . . . 2 . . . .

6

eau barrage

O

g l h x

g l h y



 

 

 

  

 

 

 

T

Question 3 : En déduire la position du centre de poussée A : point où l’action globale de l'eau sur le barrage ne crée pas de moment (pour cela lire avant, les notions sur l’axe central et torseur glisseur dans l’annexe 6 sur les torseurs).

On remarque que R M 0.

Donc l’action de l’eau sur le barrage est un torseur glisseur. Ainsi, il existe un point A où le moment est nul.

, 0 ,

A eau barrage O eau barrage eau barrage

M _  M _ AOR _

3 2

0 . . . . ( . . ) . . . .

6 ^A ^A 2

h h

g l y y y z z g l x

      

3 2 2

0 ( . . . ). . . .

6 ^A 2 ^A 2

h h h

g l z g l y y g l z

     

0 3

A A

y et z h

   L’axe central est une droite de direction R passant par A.

RAPPEL pour l'action de pesanteur :

On sait que l'action de la pesanteur se modélise par un torseur glisseur car il existe le point G où le moment est nul. Ainsi, nous devrons toujours avoir pour cette action R M 0.

Son axe central sera la droite de direction R passant par G.

A est appelé centre de poussée : point où l’action globale de l'eau sur le barrage ne crée pas de moment.

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène pour la 1^ère expression à une résultante (N), pour la 2^ème expression à un moment (N.m).

A