A151 Factorisation de [**** à la main]

A151 Factorisation de xⁿ 1[**** à la main]

Solution

On rappelle que la propriété énoncée était la suivante : « quand xⁿ 1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou –1 n’apparaît comme coefficient dans l’un quelconque des facteurs ».

Elle est vraie pour tout n 104. Ainsi par exemple 1) x x x 1).(x 1).(x

1).(x (x 1

x¹⁰⁰    ² ⁴ ³ ²  .(x⁴-x³x²x1).(x⁸-x⁶x⁴x²1) . (x²⁰x¹⁵x¹⁰x⁵1).(x²⁰x¹⁵x¹⁰x⁵1).(x⁴⁰x³⁰x²⁰x¹⁰1).

Elle cesse d’être vraie pour x¹⁰⁵1 car l’un des facteurs irréductibles de x¹⁰⁵1 est :

35 36 39 40 41 42 43 46 47

48 x x x x 2x x x x x

x          +

17 20 22 24 26 28 31 32 33

34 x x x x x x x x x

x          +

1 x x x x x 2 x x x x x x

x¹⁶ ¹⁵ ¹⁴ ¹³ ¹² ⁹ ⁸ ⁷ ⁶ ⁵ ² 

La raison pour laquelle il faut attendre la valeur n=105 pour avoir un contre-exemple est lié au fait que 105 est le plus petit entier qui est divisible par deux nombres premiers impairs

distincts.