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Factorisation de polynômes
Définitions
Un polynôme (ou fonction polynôme) est une expression (ou une fonction) de la variable x, défini sur ℝ, de la forme :
P(x) = anxn an – 1xn – 1 … a1x a0, où : n est un entier naturel, et
an, an – 1, … ,a1, a0 sont des réels donnés tels que an 0, appelés coefficients du polynôme.
n s’appelle le degré du polynôme P(x) (ou P), an s’appelle le coefficient dominant,
a0 s’appelle le terme constant.
Une racine de P est un réel tel que P() = 0.
Exemple
P(x) = x3 6x2 7x – 2 est un polynôme de degré 3, de coefficient dominant 1, et de terme constant –2. Le réel = 1 en est une racine, mais ce n’est peut-être pas la seule.
Il est utile de factoriser un polynôme en vue de chercher ses racines, ou d’étudier son signe.
1 La méthode
La méthode exposée ici s’appuie sur le théorème suivant, qui sera démontré plus loin : Théorème
Soit P(x) = anxn an – 1xn – 1 … a1x a0, un polynôme de degré n.
est une racine de P si et seulement si
il existe un polynôme Q(x), de degré n – 1, tel que pour tout x de ℝ, P(x) = (x – )Q(x).
Autrement dit :
P(x) peut se factoriser par x – , l’autre facteur étant un polynôme de degré n – 1.
Méthode
La méthode pour factoriser un polynôme consiste alors à : 1) chercher une « racine évidente » , puis à
2) déterminer le polynôme Q(x) par identification des coefficients,
3) si nécessaire, recommencer avec Q(x), ou conclure en utilisant les résultats sur le second degré.
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2 Étude d’un exemple
Soit à factoriser le polynôme P défini par P(x) = x3 6x2 7x – 2.
1) P(1) = 1 – 6 7 – 2 = 0 : = 1est « racine évidente de P ».
2) Il existe donc un polynôme Q, de degré 2, tel que pour tout x de ℝ, P(x) = (x – 1)Q(x).
Q(x) est de la forme ax2 bx c, où a, b et c sont les coefficients à déterminer.
(x – 1)(ax2 bx c) = ax3 bx2 cx – ax2 – bx – c = ax3 (b – a)x2 (c – b)x – c.
Ce polynôme doit être égal à P(x), donc par identification des coefficients :
2 7 6 1
c b c
a b
a
2 5 1 c b a
.
D’où P(x) = (x – 1)(x2 5x 2).
3) Recherche des racines et d’une factorisation de Q(x) = x2 5x 2.
= 52 – 4 1 2 = 17 > 0.
Donc Q a deux racines, qui sont 2
17 5
et 2
17 5
.
D’où la factorisation de Q(x) = (x – 2
17 5
)(x –
2 17 5
), puis celle de P(x) :
P(x) = (x – 1)(x – 2
17 5
)(x –
2 17 5
).
Il est alors facile de résoudre l’équation P(x) = 0, ou d’étudier le signe de P(x) grâce à un tableau de signes.
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3 Cas du degré 3
Lemme
Quels que soient les réels a et b, a3 – b3 = (a – b)(a2 ab b2).
Démonstration En développant :
(a – b)(a2 ab b2) = a3 a2b a b2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3. Théorème
Soit P(x) = ax3 bx2 cx d, un polynôme de degré 3.
est une racine de P si et seulement si
il existe un polynôme Q(x), de degré 2, tel que pour tout x de ℝ, P(x) = (x – )Q(x).
Démonstration
1) Si P(x) peut s’écrire sous la forme P(x) = (x – )Q(x), alors P() = P(x) = ( – )Q() = 0.
Donc est une racine de P.
2) Réciproquement, si est une racine de P, alors P() = 0, d’où :
Pour tout x de ℝ : P(x) = ax3 bx2 cx d
Pour x = : 0 = a3 b2 c d
En soustrayant ces égalités membre à membre :
Pour tout x de ℝ : P(x) = a(x3 – 3) b(x2 – 2) c(x – ) Or :
x3 – 3 = (x – )(x2 x 2), d’après le lemme précédent, et x2 – 2 = (x – )(x ).
Dans la dernière expression de P(x), il est donc possible de mettre (x – ) en facteur, le second facteur étant Q(x) = a(x2 x 2) b(x ) c.
Sans qu’il soit nécessaire de réduire et d’ordonner cette expression, il apparaît qu’il s’agit d’un polynôme de degré 2, de coefficient dominant a, et de terme constant c.
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4 Démonstration du théorème dans le cas général
La démarche utilisée dans le cas du degré 3 se généralise à un degré n quelconque non nul.
Lemme
Soit n un entier naturel non nul.
Quels que soient les réels a et b, an – bn = (a – b)(an – 1 an – 2b an – 3b2 … abn – 2 bn – 1).
Démonstration En développant :
(a – b)(an – 1 an – 2b an – 3b2 … abn – 2 bn – 1) =
an an – 1b an – 2b2 … a2bn – 2 abn – 1 an – 1b – an – 2b2 – … – a2bn – 2 – abn – 1 – bn = an – bn.
Théorème
Soit P(x) = anxn an – 1xn – 1 … a1x a0, un polynôme de degré n.
est une racine de P si et seulement si
il existe un polynôme Q(x), de degré n – 1, tel que pour tout x de ℝ, P(x) = (x – )Q(x).
Démonstration
1) Si P(x) peut s’écrire sous la forme P(x) = (x – )Q(x), alors P() = P(x) = ( – )Q() = 0.
Donc est une racine de P.
2) Réciproquement, si est une racine de P, alors P() = 0, d’où :
Pour tout x de ℝ : P(x) = anxn an – 1xn – 1 … a1x a0
Pour x = : 0 = ann an – 1n – 1 … a1 a0
En soustrayant ces égalités membre à membre :
Pour tout x de ℝ : P(x) = an(xn – n) an – 1(xn – 1 – n – 1) … a1(x – ) Or :
xn – n = (x – )(xn – 1 xn – 2 2xn – 3 … n – 2x n – 1), d’après le lemme précédent, xn – 1 – n – 1 = (x – )(xn – 2 xn – 3 2xn – 4 … n – 3x n – 2),
…,
x2 – 2 = (x – )(x ).
Dans la dernière expression de P(x), il est donc possible de mettre (x – ) en facteur, le second facteur étant de la forme Q(x) = anxn – 1 … a1.
Sans qu’il soit nécessaire d’expliciter, de réduire et d’ordonner cette expression, il apparaît qu’il s’agit d’un polynôme de degré n – 1, de coefficient dominant an, et de terme constant a1.
