Octobre 2012

PanaMaths

[1 - 4]

Octobre 2012

On considère, dans un repère orthonormé l’ensemble de droites :

(

²

)

: 1 2 4 2,

D

_λ

λ x λ y λ λ

⎧ ⎫

⎨ ⎬

⎩

− + = + ∈\

⎭

Montrer qu’il existe un point équidistant de toutes les droites D

_λ

.

Analyse

On se donne un point M du plan et, le repère étant orthonormé, on écrit facilement la distance de ce point à une droite D_λ quelconque. Cette distance (ou, pour simplifier les calculs, son carré) s’exprime comme une fonction dérivable de λ. Elle est constante si on peut choisir les coordonnées du point de telle sorte que sa dérivée soit nulle …

Résolution

Soit M x

(

0;y0

)

un point donné du plan.

Le repère considéré étant orthonormé, la distance ^{d M D}

(

^, λ

)

du point M à la droite D_λ s’écrit :

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

2

0 0

2 2

2

1 2 4 2

,

1 2

x y

d M D_λ λ λ λ

λ λ

− + − +

=

− +

En tenant compte de

(

^1−λ2

)

²⁺

^{( )}

^{2λ 2= −1 2λ2+λ4+4λ2= +1 2λ2+λ4 = +}

(

^{1 λ2}

)

², il vient :

( ) ( ) ^{( )}

( )

( ) ^{( )}

2 2

0 0 0 0

2 2 2

1 2 4 2 1 2 4 2

, 1 1

x y x y

d M D_λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

− + − + − + − +

= =

+ +

Puis :

( ) ( ) ^{( )}

( )

²

( ) ^{( )}

²

2 2

0 0 0 0

2

2 2

2

1 2 4 2 1 2 4 2

, 1 1

x y x y

d M D_λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

⎡ − + − + ⎤ ⎡ − + − + ⎤

⎣ ⎦ ⎢ ⎥

= =

⎢ + ⎥

+ ⎣ ⎦

Posons alors :

( ) (

²

)

^{0 0}

^{( )}

0 ²

(

0

) (

0

)

2 2

1 2 4 2 2 4 2

1 1

x y x y x

λ λ λ λ λ

ϕ λ λ λ

− + − + − + − + −

= =

+ + .

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[2 - 4]

Octobre 2012

ATTENTION ! Ne pas procéder ici à des simplifications abusives : on a ^{d M D}

(

^, λ

)

= ϕ λ

( )

. On a :

( )

( )

( )

( ) ^{( )}

2 2

2

, , constante

, , constante

, constante

, ' 0

d M D d M D

λ λ

λ λ

λ ϕ λ

λ ϕ λ

∀ ∈

⇔ ∀ ∈

⇔ ∀ ∈

⇔ ∀ ∈ =

\

\

\

\

Or :

( )

^{ϕ2 '=2 'ϕ ϕ}. Ainsi, on a : ^{∀ ∈λ \,}

( )

^{ϕ2 '}

( )

^{λ = ⇔ ∀ ∈0 λ \, 2 'ϕ λ ϕ λ}

( ) ( )

^=0.

Peut-on avoir ^{∀ ∈λ \,ϕ λ}

( )

^{=0 ?}

Notons qu’on cherche ainsi si les droites D_λ sont concourantes. Cette recherche n’est pas à proprement parler obligatoire puisque cette situation serait fournie par ^{∀ ∈λ \,ϕ λ'}

( )

^=0.

On a :

( )

( ) ( )

2

0 0 0

0 0 0

, 0

, 2 4 2 0

0

2 4 0

2 0

x y x

x y x λ ϕ λ

λ λ λ

∀ ∈ =

⇔ ∀ ∈ − + − + − =

⎧ − =

⇔⎪⎨ − =

⎪ − =

⎩

\

\

La première et la troisième équation sont incompatibles et on conclut immédiatement que les droites D_λ ne sont pas concourantes.

On a maintenant :

( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

( )

2 2

0 0 0 0 0

2 2

3 0

, ' 0

2 2 4 1 2 4 2 2

, 0

1 , 2

x y x y x

x

λ ϕ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ

∀ ∈ =

⎡ ⎤

− + − + − − + − + − ×

⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇔ ∀ ∈ =

+

⇔ ∀ ∈ −

\

\

\ +

(

2y0−4

)

λ²−2x0λ+

(

2y0−4

)

+2x0λ³

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2

0 0

2

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

2 2 4 2 2 0

, 2 2 4 1 2 2 0

2 2 0

4 1 0

2 2 0

2 0

1 0 1

2

y x

y x y

y x y y

x x y

λ λ

λ λ λ

− − − − =

⇔ ∀ ∈ − − − − + − =

− − =

⎧⎪

⇔ −⎨ − =

⎪ − =

⎩

⎧ − =

⇔ ⎨⎩ − =

⎧ =

⇔ ⎨⎩ =

\

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[3 - 4]

Octobre 2012

On a ainsi obtenu le point ^Ω

( )

^{1; 2} et il vient :

( ) (

²

) ^{( )}

²

2

1 1 2 2 4 2 1 4

, 1

d D_λ λ λ λ λ λ

λ

− × + × − + − +

Ω = =

+

4λ

− ²

2 2

2 1

1 1 1

λ

λ λ

− − −

= =

+ +

Résultat final

Dans un repère orthonormé, le point ^Ω

( )

^{1 ; 2} est équidistant des droites D_λ d’équation :

(

^1−λ2

)

^x+2λy−

(

^4λ+2

)

⁼⁰

Complément

Puisque le point ^Ω

( )

^{1 ; 2} est équidistant des droites D_λ et que la distance commune vaut 1, on en déduit que les projetés orthogonaux de Ω sur les droites D_λ appartiennent à un même cercle : il s’agit du cercle

C

de centre Ω et de rayon 1.

On a représenté ci-dessous le cercle

C

et les droites D_λ pour 1 1 2 ; 1 ; ; 0 ; ;1 ; 3

2 2

λ∈ − − −^⎧⎨ ^⎫⎬

⎩ ⎭.

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[4 - 4]

Octobre 2012

Les droites D_λ sont toutes tangentes au cercle

C

de centre Ω et de rayon 1. On peut alors légitimement se demander si, par un point donné du cercle

C

, il passe une droite D_λ.

Pour λ réel donné, des calculs classiques nous permettent d’écrire les coordonnées

(

^{x y;}

)

^du

projeté orthogonal du point Ω sur la droite D_λ. On obtient, en faisant apparaître les coordonnées du point Ω :

2 2

2

1 1 1 2 2

1 x y

λ λ λ λ

⎧ = + −

⎪⎪ +

⎨⎪ = +

⎪ +

⎩ Si on pose tan

2

λ= θ avec ^{θ∈ −}

]

^{π π;}

[

, c'est-à-dire θ =2 arctanλ (le changement de variable est bijectif), il vient :

1 cos 2 sin x

y

θ θ

⎧ = +

⎨ = +

⎩

Lorsque θ varie dans l’intervalle

]

^{−π π;}

[

, on obtient tous les points du cercle

C

^{sauf le}

point correspondant à θ π= (ou −π) c'est-à-dire le points de coordonnées

(

^{0 ; 2 .}

)

En définitive, par tout point du cercle

C

, hormis le point de coordonnées

(

^{0 ; 2}

)

, il passe une droite D_λ et une seule.