teo_ch8 ( Fonctions mathématiques ).odt Marie Pierrot – Lycée du Rempart 12/02/11
Ch 8 : FONCTIONS MATHEMATIQUES .
Dans les trois premiers paragraphes, nous allons étudier des opérateurs analogiques à deux entrées :
Les A.L.I. sont considérés parfaits.
1.
Addition
1.1. Additionneur non inverseur
Exprimer vS en fonction de v1, v2 et les éléments du montage.
Comme l' A.L.I. fonctionne en régime linéaire V+= V- Ainsi :
L'additionneur est alors pondéré. Que devient l'expression de vS lorsque R3 = R4 ? Quelle relation doivent satisfaire R1 et R2 pour que soit réalisée la somme vraie ? Si R1 = R2 alors vS = v1 + v2 …
1.2. Additionneur inverseur
Exprimer vS en fonction de v1, v2 et les éléments du montage.
Comme l' A.L.I. fonctionne en régime linéaire ε = 0 et i - = 0 vS = - R3 ( i1 + i2 )
v1 = R1 i1
v2 = R2 i2 ainsi :
Il s'agit alors d'un additionneur inverseur pondéré.
Application : Offset du G.B.F.
(voir p.94 du livre) 2.
Soustraction
Exprimer vS en fonction de v1, v2 et les éléments du montage.
Comme l' A.L.I. fonctionne en régime linéaire V+ = V- Ainsi :
Quelle relation doivent satisfaire R1 et R2 pour que soit réalisée la soustraction vraie ? Si R1 = R2 alors vS = v1 - v2 …
Application : Visualisation à l'oscilloscope d'une tension non référencée à la masse.
Page 1 sur 3
v1
vS (v1, v2) v2
R1
∞
vS R2
R3 R4 v1
v2 V+= R4
R3R4v1 R3
R3R4v2 et V= R1 R1R2vS
vS= R1R2
R1R3R4R4v1R3v2
vS=R1R2
2R1 v1v2
vS=−R3v1 R1v2
R2
i1+i2 i1
i2 R1
R2
R3
∞
v2 v1
vS
V+= R2
R1R2v1 et V= R1
R1R2vS R2 R1R2v2
R1 R1
R2
∞
v2 v1
vS R2
vS=R2
R1v1−v2
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3.
Multiplication
Symbole du multiplieur :
U0 = 1 / K est une tension caractéristique du multiplieur.
3.1. Multiplication de deux tensions.
v1=V1sinω1tφ1
v2=V2sinω2tφ2 ⇒ vS=K⨯V1⨯V2⨯sinω1tφ1⨯sinω2tφ2 Sachant que : sinasinb=1
2[cosa−b−cosab] et ±cosx=sinx±π 2 Nous pouvons écrire : vS=K⨯V1⨯V2⨯1
2[cosω1tφ1−ω2t−φ2−cosω1tφ1ω2tφ2]
Soit : vS=KV1V2
2
[
sin
ω1−ω2tφ1−φ2π2
sin
ω1ω2tφ1φ2−π2 ]
En appelant : A=KV1V2
2 φα=φ1−φ2π
2 et φβ=φ1φ2−π 2
Il vient : vS=A sin
ω1−ω2tφα
Asin
ω1ω2tφβ
Le signal résultant de la multiplication de deux signaux v1 et v2 de fréquences différentes f1 et f2 est un signal assimilable à la somme de deux composantes dont les fréquences sont respectivement la somme f1 + f2 et la différence f1 f2 . Remarque : Si f1 = f2 , le signal de sortie comporte une composante continue ( f = 0 ) et une composante alternative de fréquence 2f.
Le multiplieur n'est donc pas un composant linéaire ! 3.2. Applications.
Voir la présentation du multiplieur dans votre livre … p.100 Exercices : 6.02 6.03 6.05 6.08 (hachette)
4.
Dérivation
L'A.L.I. est idéal et fonctionne en régime linéaire.
Quelle est la relation entre i et uC ?
En déduire l'expression de uS en fonction de uE.
Ce montage délivre une tension proportionnelle à la dérivée de la tension d'entrée : Modélisation :
Exercice d'application : On applique à l'entrée du montage :
a- une tension continue de valeur UE = 2 V.
b- Une tension sinusoïdale : uE = 2 + 2 cos (1000 t )
c Une tension triangulaire symétrique d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz.
Dans chacun de ces cas, préciser la valeur, ou l'allure de la tension de sortie. On donne R = 4,7 k et C = 22 nF.Ω a- uS = 0 V
b- uS = 0,207 sin ( 1000 t )
c- uS est une tension en créneau d'amplitude 2RC / π f.
Page 2 sur 3
∞ uS R
uE
C
C
-RC (duE/dt)
uE uS
v1 vS=K⨯v1⨯v2
vS=v1⨯v2/U0 v2
q=C uC ⇒ i=dq
dt =CduC
dt
uE=uC ; uS=−R i=−RCduC
dt ⇒ uS=−RCduC
dt
uS=−RCduE
dt
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5.
Intégration
L'A.L.I. est idéal et fonctionne en régime linéaire.
Etablir l'expression de uS en fonction de uE. i=CduC
dt =−CduS
dt car uS=−uC uE=R i=−RCduS
dt ⇒ uS=− 1
RC
∫
0t uEdt uS0En choisissant comme conditions initiales t = 0 ⇒ uS (0) = 0, ce montage délivre une tension proportionnelle à l'intégration de la tension d'entrée :
Modélisation :
Exercice d'application :
Le montage intégrateur permet d'engendrer un signal triangulaire à partir d'un signal rectangulaire.
a- Justifier l'allure de uS.
b- Exprimer ÛS en fonction de T, ÛE, R et C.
a
b
Exercices : 6.06 et 6.09 6.
Retard
On appelle fonction retard, une fonction qui, à tout signal d'entrée e(t), associe un signal de sortie s(t) égal à e(t-τ) quel que soit t.
Le constructeur indique généralement deux grandeurs caractéristiques : τ et R la résistance caractéristique.
( Voir livre page 104? Ch 6 X …)
7.
Fonction Valeur Absolue
uE étant sinusoïdale,
tracer la caractéristique uS1 = f (uE).
Etudier l'ensemble du montage afin de connaître uS = f (uE) Quelle est la fonction réalisée par ce montage.
Page 3 sur 3
-(1/RC) ∫ uEdt
uE R uS
ÛE ÛS
uE uS=uE(t-τ)
∞ R
R ∞
∞ R'
R'
R'
R'
uS1 uS2
A2
A1
A3 D2
D1 uE
uS
∞ uS R
uE
C i
i
uS=− 1
RC
∫
0t uEdtquand 0 ≤ t ≤ T
2 alors uE= UE ⇒ uS=−
UE
RCtuS0=−
UE RCt US quand T
2 ≤ t ≤ T alors uE=− UE ⇒ uS= UE
RCt−2US US=
UE⨯T 4RC
