Exercice n °2 sur les suites

(1)

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Exercice n °2 sur les suites

Exercice 2 :(avec solution)

Soit la suite (Un) définie par :

 

0

1

3 2

2

n 3

n

U

U n IN

 U

 



   

 

1/ Calculer U1 et U2.

2/ Montrer par récurrence que : 3/ Vérifier que :

Puis déduire la monotonie de (Un) Correction Exercice 2 :

1-

 

0

1

3 2

2

n 3

n

U

U n IN

 U

 



   

 

2/ On a : donc la proposition est vraie pour .

Supposons que pour et montrons que

On a :

Donc la proposition est vraie pour .

Conclusion : On a montré par récurrence que .

( n IN) (1U_n 2)

1

( 1)( 2)

( )

3

n n

n

U U

n IN U U

 U

 

   



1

2 3 2

3 3 2

2x2 4

3 3

n

U U

 







 

2

1

2 3 = 2

3 4 3

3x2 6

=

5 5

U U

 





0

3

U 2 ₀ 3

1 2

U 2

  

 

 n IN



¹Un²



n0

 



 n IN ¹Un ²



1U_n_₁ 2

1

1 2 2 1

1 3 2

1 1

1

2 3

1 2 2

3

1 2

n n

n

n n

U U

U U U U _

       

   

  



  



  



¹Un ²

 

ⁿ^¹





 n IN



¹Un²

(2)

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On a : Donc :

On a :

D’où



 n IN



U_n_1U_n<0

Donc : est une suite strictement décroissante.

 

1

2

2 3

2 2

3

2 2

3

n n n

n

n n

n

n n

n

n IN U U U

U

U U

U

U U

U

     



 

 

 

 

     

2

1

1 2

2 2 1 2

3

n n

n n n n n n

n

U U

U U U U U U

 U

 

       



    

1

1 2

3

n n

n

U U

n IN U U

 U

 

   



 

1 0

1 2 2 0

3 0

n

n n

n

U

n IN U U

U

  

        

  



  U

n