Sup PCSI2 — Contrˆole 2001/03
Exercice 1 : quelques calculs !
◮Les questions de cet exercice sont totalement ind´ependantes. Elles doivent n´eanmoins ˆetre r´edig´ees sur une copie s´epar´ee (plusieurs, au besoin).
Q1 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral un = sin¡
arctan√
n3+ 2002!¢ . Q2 ⋆ Pour x>0, prouvez l’encadrement x−x2
2 6ln(1 +x)6x. D´eterminez alors un ´equivalent simple de Sn= X
n6k62n
ln³ 1 + k
n3
´
lorsquentend vers l’infini.
Q3 ⋆ CalculezJ = Z π/2
0
sin38(t) cos3(t)dt. Vous pr´esenterez le r´esultat sous forme d’une fraction irr´eductible.
Q4 ⋆⋆ D´eterminez l’ensemble de d´efinition def : x7→tan¡
arctan(x−1) + arctan(x) + arctan(x+ 1)¢ . Q5 ⋆ Calculez K =
Z e2 1
t3ln(t)dt. Remarque : si le r´esultat contient des fractions, celles-ci devront ˆetre irr´eductibles !
Exercice 2 : les traditionnelles questions de bon sens sur les suites
. . .◮(un) est une suite de r´eels. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, preuve(s)
`a l’appui ! ´Eventuellement, vous pouvez apporter un commentaire intelligent, susceptible d’am´eliorer votre note. . .
Q1 Si (un) converge, alorsun+1n→∞g un.
Q2 Si (un) est major´ee et converge, alors elle est croissante APCR.
Q3 La suite de terme g´en´eralvn= un
1 + (un)4 est born´ee.
Q4 Siun=O(1) alors exp(un) =O(1).
Q5 Si exp(un) =O(1) alorsun =O(1).
Q6 Siun=O(1) alors sin(un) =O(1).
Q7 Si sin(un) =O(1) alorsun=O(1).
Q8 Siun=O(1) alors arctan(un) =O(1).
Q9 Si arctan(un) =O(1) alorsun=O(1).
Tournez S.V.P.
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Exercice 3 : ` a propos de moyennes
◮NotonsI l’intervalle ]0,+∞[. Nous dirons qu’une fonctionµ: I × I 7→ I est unemoyenne si elle v´erifie les propri´et´es suivantes :
(i) µ(x, y) =µ(y, x) quels que soient x, y∈ I; (ii) µ(x, x) =xquel que soitx∈ I;
(iii) µ(kx, ky) =kµ(x, y) quels que soientx, y, k∈ I; (iv) x < y⇒x < µ(x, y)< yquels que soientx, y∈ I.
A titre d’exemple, vous v´erifierez (sans le r´ediger sur votre copie !) que` a: (x, y)7→ x+y
2 est une moyenne (ditearithm´etique).
Q1 V´erifiez queg: (x, y)7→√xyet q: (x, y)7→
rx2+y2
2 sont des moyennes.
Q2 Soient x et y deux ´el´ements de I v´erifiant x < y. Classez par ordre croissant les cinq r´eels x, y, a(x, y), g(x, y) etq(x, y).
Q3 Quelles sont les valeurs que peut prendre le cardinal de l’ensemble ©
x, y, a(x, y), g(x, y), q(x, y)ª
? Q4 Montrez que si ϕ,ψ et ρsont trois moyennes, alors l’application ξ: (x, y)7→ρ¡
ϕ(x, y), ψ(x, y)¢
est encore une moyenne.
◮Soient xet y deux ´el´ements de I. Nous nous int´eressons aux deux suites (xn)n∈N et (yn)n∈N d´efinies par x0=x,y0=y et les relations de r´ecurrencexn+1=a(xn, yn) etyn+1=q(xn, yn).
Q5 Que se passe-t-il six=y?
◮On suppose d´esormaisx6=y.
Q6 Montrez que les suites (xn)n>1 et (yn)n>1 sont strictement monotones.
Q7 Montrez que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent.
◮Nous nous proposons de montrer que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nont mˆeme limite.
Q8 ⋆⋆ Etudiez rapidement les variations de´ h: t∈[0,1[7→ q(1, t)−a(1, t) 1−t . Q9 Notonsk=
√2−1
2 . Soienttetudeux ´el´ements deI. Justifiez la majoration¯¯q(t, u)−a(t, u)¯¯6k|t−u|. Q10 Donnez alors une majoration de|xn−yn|faisant intervenirx,y,netk.
Q11 Et maintenant, concluez !
◮Notonsµ(x, y) la limite commune aux deux suites (xn)n∈Net (yn)n∈N. Q12 Prouvez la relationµ(x, y) =µ¡
a(x, y), q(x, y)¢ . Q13 Montrez queµest une moyenne.
◮Nous nous int´eressons `a la fonctionµb: x∈ I 7→µ(1, x).
Q14 ´Etablissez une relation simple entrebµ(x) etµ(1/x).b Q15 ⋆ Montrez queµbest croissante.
Q16 Montrez queµ(x) poss`ede une limiteb ℓlorsquextend vers 0.
Q17 Justifiez l’encadrement 1 2 6ℓ6
√2 2 .
Q18 La fonctionµbest-elle major´ee ? Quelle est la limite de bµ(x) lorsquextend vers +∞?
[Contr^ole 2001/03] Compos´e le 11 juin 2008
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