2016-2017

(1)

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2016-2017

CONTR ˆOLE CONTINU

G´eom´etrie plane.

Tous les exercices sont ind´ependants. Calculatrices autoris´ees

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct R, on note D la droite d’équation D : ax + by + c = 0

a, b, c étant trois réels fixés tels que (a, b) 6= (0, 0).

On note par ailleurs ∆ l’ensemble des points du plan dont les coordonn´ees x y

R

v´erifient l’´equation

∆ : (ax + by)2− 3(bx − ay)2 = 0 1. (a) Donner sans calcul un vecteur −→n normal `a D.

(b) D´eterminer un vecteur directeur unitaire −→u de D (on pourra commencer par cher-cher un vecteur orthogonal `a −→n ).

2. Montrer que l’ensemble ∆ est constitu´e de deux droites D1 et D2 respectivement dirig´ees

par les vecteurs − → u1 = −b − a√3 a − b√3 R et −→u2 = −b + a√3 a + b√3 R

3. Montrer que les droites D, D1 et D2 sont deux `a deux concourantes.

4. Calculer cos(\−→u , −→u1) et cos(\−→u , −→u2).

5. Que dire du triangle form´e par les trois droites D, D1 et D2?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)

1. Montrer que les droites D1 et D2 sont s´ecantes.

2. Donner une ´equation cart´esienne de la droite D1.

3. Donner une repr´esentation param´etrique de D2.

4. D´eterminer les coordonn´ees dans R du point d’intersection D1∩ D2.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Dans le plan muni d’un rep`ere R orthonorm´e, on note

D1 : 5x − 12y + 4 = 0 et D2 : 4x − 3y − 10 = 0

1. D´eterminer le point d’intersection D1∩ D2 et tracer les droites D1 et D2 dans le rep`ere

ci-joint. 2. Soit M = x

y

R

un point du plan. Exprimer en fonction de x et y les distances d(M, D1)

et d(M, D2).

3. Montrer que l’ensemble des points M qui v´erifient d(M, D1) = d(M, D2) est la r´eunion

de deux droites dont on précisera des équations cartésiennes (on rappelle que |X| = |Y | si et seulement si X = Y ou X = −Y ) et les tracer dans le repère ci-joint.

4. Soit A = −5 −5

R

.

(a) D´eterminer le rayon R0 du cercle C0 de centre A, tangent `a la droite D1 et le tracer

dans le rep`ere ci-joint.

(b) Montrer C0 est aussi tangent `a D2.

? ? ?

(3)

ISA BTP 1◦année ANN ÉE UNIVERSITAIRE 2015-2016 NOM : ... Prénom : ...

-10

-5

5

10 -10

-5

5

10

(4)

CORRECTION

Exercice 1 :

1. (a) Un vecteur normal à D est donné par les coefficients de x et y dans l’une de ses équations cartésiennes. Ainsi,

−

→_{n =} a b

(b) Un vecteur directeur de D est un vecteur orthogonal `a −→n . Ses coordonn´ees x y

doivent donc v´erifier l’´equation

ax + by = 0

On peut alors fixer a et en d´eduire b. On note en particulier que le vecteur −→v = −b a

répond au critère d’orthogonalité. Pour obtenir un vecteur normé, il suffit alors de le diviser par sa note :

− →_{u =} −→v ||−→v || = 1 √ a2_{+ b}2 −b a

2. En notant l’identit´e remarquable A2− B2_{, on peut factoriser l’´}_{equation de ∆ :}

(ax + by)2− 3(bx − ay)2 _{= 0 ⇔} _{ax + by −}√_{3(bx − ay)} _{ax + by +}√_{3(bx − ay)}_{= 0}

⇔ (a − b√3)x + (b + a√3)y (a + b√3)x + (b − a√3)y= 0 ⇔    (a − b√3)x + (b + a√3)y = 0 ou (a + b√3)x + (b − a√3)y = 0

On reconnaˆıt ici deux ´equations de droites D1 et D2 dont on peut extraire des vecteurs

normaux : − →_n 1 = a − b√3 b + a√3 et −→n2 = a + b√3 b − a√3

On constate alors que les deux vecteurs −→u1 et −→u2 sont respectivement orthogonaux `a −→n1

et −→n2. Ils dirigent donc bien les droites D1 et D2.

3. Deux droites sont concourante si elles ne sont pas parallèles. Or on peut vérifier que les vecteurs directeurs des droites D, D1 et D2 ne sont pas deux à deux colinéaires. Les

(5)

4. cos(\−→u , −→u1) = h−→u , −→u1i ||−→u ||.||−→u1|| = 1 ||−→u1|| 1 √ a2_{+ b}2 −b a , −b − a √ 3 a − b√3 = √ 1 a2_{+ b}2 1 q (−b − a√3)2_{+ (a − b}√₃₎2 −b(−b − a√3) + a(a − b√3) = √ 1 a2_{+ b}2 1 √ b2₊ 2ab√3 + 3a2_{+ a}2₋ 2ab√3 + 3b2(b 2₊ ab√3 + a2− ab√3) = √ 1 a2_{+ b}2 a2+ b2 √ 4a2_{+ 4b}2 = 1 2. a2+ b2 √ a2_{+ b}22 = 1 2 De mˆeme cos(\−→u , −→u2) = h−→u , −→u2i ||−→u ||.||−→u2|| = 1 ||−→u2|| 1 √ a2_{+ b}2 −b a , −b + a √ 3 a + b√3 = √ 1 a2_{+ b}2 1 q (−b + a√3)2_{+ (a + b}√₃₎2 −b(−b + a√3) + a(a + b√3) = √ 1 a2_{+ b}2 1 √ b2₋ 2ab√3 + 3a2_{+ a}2₊ 2ab√3 + 3b2(b 2₋ ab√3 + a2+ ab√3) = √ 1 a2_{+ b}2 a2_{+ b}2 √ 4a2_{+ 4b}2 = 1 2. a2_{+ b}2 √ a2_{+ b}22 = 1 2

5. D’apr`es le calcul ci-dessus, les angles entre les droites D, D1 et D2 sont de mesure ±π₃.

Le triangle ainsi formé est donc équilatéral.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. Les droites D1 et D2 sont s´ecantes si et seulement si elles ne sont pas parall`eles. Il faut

et il suffit donc que leurs vecteurs directeurs ne soient pas colin´eaires. C’est le cas si det(−→u1, −→u2) est non nul. Or

det(−→u1, −→u2) = −2 1 −1 3 = (−2).3 − 1.(−1) = −5 6= 0 (1)

(6)

2. La droite D1 rassemble l’ensemble des points M =

x y

R

tels que −−−→A1M et −→u1 soient

colin´eaires, i.e. tels que det(−−−→A1M , −→u1) = 0. Or

det(−−−→A1M , −→u1) = 0 ⇔ x + 1 2 y − 2 −1 = 0 ⇔ (−1).(x + 1) − 2.(y − 2) = 0 ⇔ x + 1 + 2y − 4 = 0 ⇔ x + 2y = 3 ´equation de D1

3. Les points de la droite D2 sont les points M =

x y

R

tels que les vecteurs −−−→A2M et −→u2

soient colin´_{eaires, i.e. les points M pour lesquels il existe t ∈ R tel que} −−−→A2M = t−→u2. Or

−−−→ A2M = t−→u2 ⇔ x − 2 y − 1 = t. 1 3 ⇔ x − 2 = t y − 1 = 3t ⇔ x = 2 + t

y = 1 + 3t repr´esentation param´etrique de D2

4. Le point M0 =

x0

y0

d’intersection de D1 et D2 doit, par d´efinition, appartenir `a la

fois à D1 et à D2. Le couple (x0, y0) doit donc vérifier

(E1) : x0+ 2y0 = 1 et (P2) : x0 = 2 + t y0 = 1 + 3t pour un t ∈ R.

En injectant dans (E1) les expressions de x0 et y0 donn´ee par (P2), on obtient

(E1) + (P2) ⇐⇒ 2 + t + 2(1 + 3t) = 1 ⇐⇒ 7t = −3 ⇐⇒ t = −

3 7

En injectant cette valeur de t dans les ´equations de (P2), on obtient les coordonn´ees de

M0 : x₀ = 2 − 3₇ = 11₇ y0 = 1 − 3.3₇ = −2₇ D’o`u M = 1 11 .

(7)

Exercice 3 :

1. Le point d’intersection de D1 et D2 est le point du plan dont les coordonn´ees dans R

vérifient le système formé par les équations respectives de D1 et D2 :

(S) : 5x − 12y + 4 = 0 4x − 3y − 10 = 0 L1←L⇐⇒1−4L2 −11x + 44 = 0 4x − 3y − 10 = 0 ⇐⇒ x = 4 y = 1₃(4x − 10) = 2 D’o`u D1∩ D2 = 4 2 R . 2. d(M, D1) = |5x − 12y + 4| p52_{+ (−12)}2 = |5x − 12y + 4| 13 et d(M, D2) = |4x − 3y − 10| p42_{+ (−3)}2 = |4x − 3y − 10| 5 3. Un point M = x y R v´erifie d(M, D1) = d(M, D2) si et seulement si |5x − 12y + 4| 13 = |4x − 3y − 10| 5 ⇐⇒ 5.|5x − 12y + 4| = 13.|4x − 3y − 10| ⇐⇒    25x − 60y + 20 = 52x − 39y − 130 ou 25x − 60y + 20 = −52x + 39y + 130 Or

25x − 60y + 20 = 52x − 39y − 130 ⇔ 27x + 21y = 150 ⇔ 9x + 7y = 50 et

25x − 60y + 20 = −52x + 39y + 130 ⇔ 77x − 99y = 110 ⇔ 7x − 9y = 10 Les points ´equidistants de D1 et D2 sont donc rassembl´es sur les deux droites

D3 : 9x + 7y = 50 et D4 : 7x − 9y = 10

4. (a) Le rayon du cercle cherché est donné par la distance de A à D1. Or

d(A, D1) = |5xA− 12yA+ 4| 13 = |5.(−5) − 12.(−5) + 4| 13 −25 + 60 + 4 39

(8)

(b) Le cercle C0 est ´egalement tangent `a D2 si et seulement si d(A, D2) = R0. Or d(A, D2) = |4xA− 3yA− 10| 5 = |4.(−5) − 3.(−5) − 10| 5 = | − 20 + 15 − 10| 5 = 15 5 = 3 = R0 Graphiquement, on obtient le dessin suivant :