Exercice 7

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Exercice 7 « Fonction Exponentielle »

Exercice 7

Soit f la fonction numérique définie sur IR^par : ^{f x}

 

¹ ¹ ^e^x

x

 

   et

 

^C sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O; i ; j}



^.

1- a. Déterminer les limites de f aux bornes des intervalles de IR^ b. Étudier les branches infinies de la courbe

 

^C ^.

2- a. Calculer ^f^

 

^x pour tout x deIR^. b. Dresser le tableau de variations de f .

c. Déterminer une équation de la tangente

 

^T à la courbe

 

^C au point d'abscisse 1 . 3 - a. Montrer que pour tout x deIR^, on a :

    

²



3

1 2 _x

x x

f x e

x

 

  b. Etudier la concavité de

 

^C ^.

c. Tracer la courbe

 

^C ^.

Correction Exercice 7

 

¹ ¹ ^x

f x e

x

 

  

1) a. ∎ Calculons : _x^lim_ ^{f x}

 

On a: ^lim_

 

^lim_^_¹^ ¹^_

 



x

x f x x e

x

 lim_  0

x

x e

e x ( Car lim_ 0

x

ex et lim_ 0

x

ex

x ) donc: _x^lim_ ^{f x}

 

^⁰

∎ Calculons :

 

0

lim_



x f x

On a:

 

0 0

lim lim 1

  1

 

 

 

 

x

x f x x x e

  ( Cat

0

lim 1

  

x x )

donc:

 

0

lim_

  

x f x

∎ Calculons :

 

0

lim_



x f x

On a:

 

0 0

lim lim 1

  1

 

 

 

 

x

x f x x x e

  ( Cat

0

lim 1

  

x x )

donc:

 

0

lim_

  

x f x

(2)

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∎ Calculons : _x^lim_ ^{f x}

 

On a: ^lim_

 

^lim_^_¹^ ¹^_

 



x

x f x x e

x

  ( Car lim_  

x

ex et l m 1 0

i 

x x )

donc: _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }

b. Etudions les branches infinies de(C) .

On a: ∎ _x^lim_ ^{f x}

 

^⁰ donc la courbe(C) admet une asymptote horizontale d'équation : y0 au voisinage de  .

∎

 

0

lim_

  

x f x et

 

0

lim_

  

x f x donc la courbe(C) admet une asymptote verticale d'équation: x0 au voisinage de +oo:

∎ _x^lim_ ^{f x}

 

^{ } Calculons:

 

lim_

x

f x x on a :

 

m 1

1

lim_  li_    

x

x x

f x

x x

e

x ( Car _xlim_e^x  

x et l m 1 0

i 

x x )

donc(C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de

.

2) a. Calculons ^f^

 

^x pour tout xIR^ . La fonction f est dérivable en tout point de IR Soit xIR^, on a: ^

 

^^^¹^¹^ ^^

f x ex

x

2

1 1

1

1 1

 

   

 

 

   

 

   

  

x x

x

e e

x x

x x e x x

x e

Donc :



^{ }^x ^IR^

  

² 2

 1

 

    x x x

f x e

x b. Tableau de variations de f:

On a pour tout xIR: x²  x 1 0 car le discriminant de l’équation x²  x 1 0 est négatif.

Donc : ^{f x}^

 

^⁰ pour tout xIR^

x  0 

 

f x + +

 

f x

 

0 

c. Equation de la tangente(T)

On a: ^f

 

¹ ^⁰^et ^f^

 

¹ ^^e donc une l’équation de(T) est ^y^^{e x}



^¹



3) a. La fonction f est deux fois dérivable sur IR^.

(3)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Soit xIR^, on a:

 

² 2

1 

    

     x x x

f x e

x

2 2

1  1

   

   

   

x x

x x x x

e e

x x

Et ²

 

²



²



2 4

2 1 1 2

1       

    

 

 

x x x x x

x x

2 3

 x x² 2x³ ²

4

2 2

 x  x x

₃2

 x x

 

   

2

3 2

2

3 2

3

2

3

2

3

2 1

2 2

1 2 1

2 1

    

    

  

 

  

 

  

 

  

    

  

 

 



x x

x

x x x

f x e e

x x

x x x

x x e

x x x

x e

x x x

x e

x x

x e

Donc :



^{ }^x ^IR^

 ^{  }

²

^

3

^

2 1

 

  x x ^x

f x e

x b. Etudions la concavité de(C)

On remarque le signe de ^f^

 

^x est celui de



^x^¹



x Le tableau suivant résume la concavité de (C):

x  0 1 

 

f x + - + concavité

de(C)

Le point ^{A ;}

 

^{1 0} est un point d'inflexion de (C) 4 ) La courbe de la fonction