Révision de mécanique
1) Pont suspendu :
On considère un pont modélisé par une corde, de longueur 𝐿, de masse linéique 𝜇, suspendu entre 𝐴 et 𝐵. Quel est le profil du pont ?
On donne : ∫√1+𝑥𝑑𝑥 2= argsh(x)
2) Sonnons les mâtines :
On modélise la mise en mouvement d’une cloche notée 𝐺. La corde est allongée sur 𝐺1𝐺2 puis raccourcie sur 𝐺3𝐺4. On néglige les effets dissipatifs.
1) En considérant la conservation de certaines grandeurs, déterminer une relation entre 𝜃𝑛 et 𝜃𝑛+1 en fonction de 𝐿 et de ℎ.
2) En déduire que le balancement augmente.
3) Au bout de combien d’aller-retour atteint-on 𝜋
2? On prend 𝜃𝑜 = 20°, 𝐿 = 3 𝑚 et ℎ = 50 𝑐𝑚.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
Le point 𝑀 de masse 𝑚 est astreint à se déplacer sans frottements sur l’axe horizontal 𝑂𝑥. 𝐴 est fixe. La longueur du ressort à vide est 𝑙𝑜 .
1) Etudier l’équilibre de 𝑀 (positions, stabilité).
2) Etudier le mouvement de 𝑀 au voisinage d’une position d’équilibre stable.
3) Tracer le portrait de phase.
4) Système de deux points matériels :
Deux points matériels A et B, de masses respectives 𝑚𝐴= 𝑚 et 𝑚𝐵 = 𝑚/3 (𝑚 = 1𝑘𝑔) sont astreints à se déplacer sans frottements sur une tige formant un angle de 30° avec l'horizontale. Ils sont reliés par un ressort de longueur à vide 𝑙𝑜 et de constante de raideur k.
1) Le point A étant fixé en O, déterminer la position d'équilibre de B et la période des petites oscillations autour de celle-ci.
2) Le système étant à l'équilibre, on libère le point A sans vitesse initiale, déterminer 𝑥𝐴(𝑡) 𝑒𝑡 𝑥𝐵(𝑡).
3) Calculer l'énergie mécanique totale du système.
𝐿 + ℎ
𝑂
𝜃𝑛 𝜃𝑛+1
𝐺4
𝐺3
𝐺2
𝐺1
𝐿 − ℎ
𝐺5
M A
ℎ𝑜
y
x
𝑔Ԧ
30°
B A
o
5) Mouvement vertical d’un ressort pesant :
1) Question préliminaire : on considère deux ressorts de raideur 𝑘1 et 𝑘2, de longueur à vide 𝑙𝑜1 et 𝑙𝑜2. Les deux ressorts sont liés à une extrémité (on peut parler de ressorts en série).
On suspend verticalement l’ensemble des deux ressorts à un support et on accroche une masse 𝑀 à l’extrémité libre. Quelle est la constante de raideur du ressort équivalent et quelle est l’élongation du système à l’équilibre
2) On considère un ressort pesant de constante de raideur 𝑘, de longueur à vide ℓ𝑜, de masse linéique µ. On le suspend verticalement à un support et on accroche une masse 𝑀 à l’autre extrémité. Calculer l’élongation du ressort à l’équilibre.
6) Ressorts subissant une action :
On considère deux ressorts, de longueur à vide nulle, de même constante de raideur 𝑘, placés suivant le schéma ci-contre.
En 𝑀 on a placé une masse 𝑚. En revanche à l’extrémité du ressort il n’y a pas de masse. L’ensemble est suspendu verticalement à une extrémité et on applique à 𝑡 > 0 à l’extrémité libre une force 𝐹Ԧ = 𝛼𝑡𝑒Ԧ𝑧. Au-delà d’une longueur critique 𝑙𝑐, les ressorts se brisent (on suppose 𝑙𝑐> 𝑚𝑔
𝑘 ). Déterminer, suivant la valeur de α, lequel des deux ressorts se rompt en premier. On pose 𝜔 = √𝑘
𝑚.
7) Mobile relié par un fil à une masse en translation :
On considère un petit mobile en 𝐴, de masse 𝑚 posé sur une table. La table est percée d’un trou 𝑂 par lequel passe un fil de
longueur 𝐿, relié au mobile, l’autre extrémité étant relié à une masse 𝑀. Initialement le mobile a une vitesse 𝑣Ԧ𝑜, perpendiculaire au fil et la longueur de fil sur la table est 𝑟𝑜. Décrire le mouvement du mobile. Le mouvement peut-il être circulaire ? On note 𝑟 = 𝑂𝐴.
8) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre :
Sur un cylindre de centre O et de rayon a s'enroule un fil inextensible et sans masse, à l'extrémité duquel est suspendue une masse ponctuelle m.
A l'instant initial 𝑡 = 0, le fil est tendu et la masse m possède une vitesse perpendiculaire au fil et à l'axe du cylindre.
On considèreg =0.
Caractériser le mouvement de la masse 𝑚, et donner la valeur, à chaque instant, de la tension de la corde.
9) Etude d’un point matériel sur un boulier hélicoïdal :
On considère un point matériel 𝑀, de masse 𝑚, que l’on lâche sans vitesse initiale sur un boulier hélicoïdal d’axe 𝑂𝑧.
𝑙𝑜> 𝑎 𝑣Ԧ𝑜
y A
M x
O 𝑀
(k,ℓ0=0) m=0 M
(k,ℓ0=0) m=0
−
→F(t)
La trajectoire de 𝑀 est 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = ℎ𝜃.
1) On suppose qu’il n’y a pas de frottements. Calculez le temps mis par 𝑀 pour aller de 𝑧 = 5ℎ à 𝑧 = 0. On donne ∫ 𝑑𝑥
√5−𝑥 5
0 = 2√5.
2) Calculer la réaction 𝐹 du support sur 𝑀.
10) Orbite de transfert géostationnnaire :
Une fusée amène un satellite sur une trajectoire circulaire d’altitude ℎ1 = 200 𝑘𝑚 située dans le plan équatorial. On veut transférer le satellite sur une orbite géostationnaire.
A cet effet on donne au satellite un accroissement instantané de vitesse ∆𝑣1 qui l’amène sur une orbite elliptique de transfert. Un deuxième accroissement de vitesse ∆𝑣2 est alors nécessaire pour le caler sur son orbite géostationnaire.
1) Déterminer le rapport ∆𝑣2
∆𝑣1.
Indication : Pour une trajectoire elliptique, l’énergie mécanique est la même que celle d’une trajectoire circulaire dont le demi grand axe 𝑎 serait le rayon.
2) Faire l’application numérique avec:
𝐺 = 6,67.10−11 𝑘𝑔−1. 𝑚−3. 𝑠−2; 𝑀𝑇 = 6.00.1024 𝑘𝑔; 𝑅𝑇 = 6400 𝑘𝑚.
Commenter le résultat
Remarque : Cela est généralement assuré par un moteur-fusée à ergols solides ou liquides intégré au satellite (moteur d'apogée). Cette orbite est très encombrée de débris spatiaux, dont les derniers étages des lanceurs.
11) Etude de la mission Skylab :
La station spatiale Skylab est mise en orbite le 14 mai 1973. Sa masse est de 𝑚 = 103 𝑘𝑔 et elle décrit une orbite circulaire autour de la Terre (masse = 6.1024 𝑘𝑔 , rayon 𝑅𝑇 = 6400 𝑘𝑚).
1) L’altitude de la station est de 440 𝑘𝑚. Quelle est sa période ?
2) L’intensité inattendue de l’activité solaire dégrade plus rapidement que prévu l'orbite de la station spatiale qui se désintègre en rentrant dans l’atmosphère le 11 juillet 1979. Lors de son entrée dans l’atmosphère, les couches raréfiées de celle-ci induisent une force de frottement 𝑓Ԧ = −𝑘𝑣Ԧ où k est une constante.
Déterminer l’équation différentielle d’évolution du moment cinétique 𝐿⃗Ԧ. En déduire que la trajectoire est plane.
3) Le frottement étant faible, montrer que 𝐿⃗Ԧ = 𝐿⃗Ԧ𝑜(1 −𝑡
𝜏) en précisant la valeur de 𝜏. Le temps 𝜏 étant assez grand devant la période de la station, on admettra que la trajectoire est un cercle dont le rayon varie lentement avec le temps. En déduire 𝑟 = 𝑟𝑜(1 − 2𝑡
𝜏) où 𝑟𝑜 est le rayon de la trajectoire avant frottement.
4) Lors la mission Skylab, l’altitude de la station a diminué de 14 𝑘𝑚 par jour. En déduire l’ordre de grandeur de 𝜏. Donner la relation d’évolution de la vitesse en fonction de 𝑣𝑜 sa vitesse avant frottement, 𝜏 et 𝑡. Commenter ce résultat. Evaluer numériquement la perte d’énergie sur un tour au début de la chute.
5) En admettant que cette énergie sert à échauffer le nez de la station en surface, soit une masse de 20 𝑘𝑔, de capacité thermique massique 𝑐 = 5000 𝐽. 𝐾−1. 𝑘𝑔−1, déterminer l’augmentation de la température sur un tour. Commenter.
12) Etude d’une comète parabolique :
La Terre a une trajectoire circulaire autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique.
On donne 𝐺 la constante gravitationnelle, 𝑀 la masse du Soleil et 𝑅 le rayon de la trajectoire.
1) Déterminer 𝑣𝑇 la vitesse de la Terre.
2) On considère une comète parabolique qui, lors de sa trajectoire, passe au périhélie à la distance 𝑅/2 du Soleil à la vitesse 2𝑣𝑇. Déterminer l’énergie mécanique de la comète. On donne l’équation de la trajectoire parabolique en coordonnées polaires : 𝑟 = 𝑝
1+𝑐𝑜𝑠𝜃 . Faire un schéma avec la comète, la Terre et le Soleil et en déduire pour quels angles la trajectoire de la comète coupe-t-elle celle de la planète ?
3) Combien de temps la comète reste-t-elle dans le cercle de la trajectoire ? On donnera le résultat sous forme d’une intégrale.
13) Expérience de Rutherford :
Cette expérience est réalisée en 1909 sous vide. De la matière radioactive émettant des particules 𝛼 (noyaux d'hélium, 𝐻𝑒2+) est placée dans une boîte et le faisceau de particule α est orienté en direction d'une très fine feuille d'or (600 𝑛𝑚). Derrière cette couche d'or, un écran est placé ; il est enrichi d'une substance chimique (sulfure de zinc: 𝑍𝑛𝑆) permettant de visualiser, par un scintillement lumineux, la collision par les particules α.
Un noyau d’or, de centre 𝑂 et de rayon 𝑅, contient une charge totale 𝑄 invariable. La répartition de charges associée présente la symétrie sphérique. Les particules 𝛼, c de même masse 𝑚, charge 𝑞 et de vitesse 𝒗⃗⃗Ԧ = 𝑣Ԧ𝑜𝑢⃗Ԧ𝑧 se dirigent vers le noyau d’or. On suppose que la particule 𝛼 est soumise à l’interaction électrostatique de la part du noyau d’or 𝐹Ԧ = 𝑞𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟2𝑢⃗Ԧ𝑟 ; avec 𝑟Ԧ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗Ԧ et 𝑢⃗Ԧ𝑟 = 𝑟Ԧ
𝑟. On appelle paramètre d’impact la distance 𝑏.
Calculer la distance minimale de la particule 𝛼 au noyau. En déduire une condition sur la valeur du paramètre d’impact pour qu’une particule donnée ne rencontre pas la boule. On se place dans le cas où 𝑞𝑄 > 0 et on posera: R K
c mv
o
= 2
2 où K qQ
o
= 4
14) Stabilité d’une orbite :
On considère un référentiel de centre 𝑂, le centre de masse d’un astre sphérique homogène de masse 𝑀. On suppose que le référentiel est galiléen. Cet astre est entouré d’un nuage de poussières de masse volumique ρ présentant la symétrie sphérique. On étudie le mouvement d’une planète sphérique 𝑃 de masse 𝑚 autour de l’astre. On pose 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗Ԧ = 𝑟𝑒Ԧ𝑟. On admettra que le nuage crée sur la planète une force gravitationnelle : 𝐹Ԧ𝑛𝑢= −4𝜋𝐺𝜌𝑚𝑟
3 𝑒Ԧ𝑟. Soit 𝑟(𝑡) la distance de la planète à O. On pose 𝑟(𝑡) = 𝑟𝑜+ 𝜀(𝑡); 𝜀(𝑡) est-il borné?
15) Etude d’une fusée :
Une fusée contient un mélange combustible qui peut être éjecté par une tuyère avec une vitesse 𝑢 = 3 𝑘𝑚. 𝑠−1 (par rapport à la tuyère). Elle est disposée verticalement, la tuyère dirigée vers le bas et on la suppose guidée de manière à avoir une trajectoire verticale. On négligera la variation de la pesanteur avec l’altitude et on prendra 𝑔 = 10 𝑚. 𝑠−2.
1) Montrer que la fusée ne peut décoller que si le débit de gaz brûlés (masse par unité de temps) est supérieur à une limite que l’on indiquera.
2) La masse du mélange combustible est 𝑚𝑜 = 90 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠 au départ, et on suppose que la masse restante évolue suivant la loi : 𝑚(𝑡) = 𝑚𝑜(1 −𝑡
𝜏) avec 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏.
La masse totale du reste de la fusée est 𝑀 = 30 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠. Quelle est la valeur maximale de 𝜏 qui permet le décollage ?
𝑧 𝑣Ԧ𝑜
b
3) Etudier l’évolution de la vitesse de la fusée ainsi que les variations de l’altitude avec le temps
3) Calculer, dans le cas où 𝜏 = 200 𝑠, la vitesse et l’altitude atteintes à la fin de la combustion, c’est-à-dire au temps 𝑡 = 𝜏.
16) Machine d’Atwood :
Atwood réalisa au XIX siècle un système pédagogique pour illustrer les lois de la mécanique. On considère une poulie, de rayon 𝑅, de masse 𝑀, de
moment d’inertie par rapport à un axe passant par son centre 𝐽 qui tourne sans frottements par rapport à son axe. Sur cette poulie deux masse 𝑚 et 𝑚’ sont reliées par un fil sans masse. Quand on laisse le système évoluer, quelle est l’accélération des deux masses ?
La chute libre est difficile à étudier quantitativement, car les temps de parcours sont très courts. Galilée est le premier à chercher comment la ralentir, sans la « dénaturer » : il pensa au plan incliné d'angle α, puis à la succession de plans inclinés. La difficulté pour
Galilée restait la mesure du temps…Atwood proposa « sa » machine pour diminuer l'accélération des masses, au mieux.
17) Mesure des variations de l’intensité de la pesanteur :
Pour mesure les variations de 𝑔, on utilise le dispositif suivant : une tige mince,
homogène, verticale 𝐶𝐷 de longueur ℎ = 10 𝑐𝑚 , de masse 𝑚 = 20 𝑔, de moment d’inertie 𝐽 =𝑚ℎ2
3 par rapport à un axe 𝐶𝑦, est fixée rigidement au milieu d’un fil de torsion 𝐴𝐵 de longueur 𝐿 = 50 𝑐𝑚 horizontal. Sur la tige peut coulisser une masselotte 𝐸 de masse 𝑀 = 50 𝑔.
Le fil 𝐴𝐵 est un fil de torsion en acier, de constante de torsion 𝐾 = 4.10−2𝑁. 𝑚2. 𝑟𝑎𝑑−1. Il introduit un couple de torsion : 𝐶Ԧ = −𝐾𝜃𝑒Ԧ𝑦.
1) Calculer en fonction de 𝑥 = 𝐶𝐸 la période des petites oscillations de la tige autour de la position verticale ascendante. Quelle est la limite 𝑥𝑜 à ne pas dépasser ? Que se passe-t-il si 𝑥 > 𝑥𝑜 ? On suppose que l’intensité de la pesanteur est 𝑔𝑜= 9,8 𝑚. 𝑠−2.
2) On fixe la masselotte dans une position 𝑥1, telle que la période soit 𝑇1 = 10𝑠 pour 𝑔 = 𝑔𝑜. Calculer 𝑥1. On suppose maintenant que l’appareil est transporté en un autre lieu, quelle variation relative ∆𝑔
𝑔𝑜 correspond à une variation de période ∆𝑇
𝑇1 = 10−3 ?
18) Le projet MOSE :
Le Projet MOSE (acronyme de MOdulo Sperimentale Elettromeccanico, « module expérimental électromécanique ») est un ouvrage en cours de réalisation qui prévoit un système intégré de défense formé de rangées de vannes mobiles escamotables permettant d’isoler la lagune de Venise de la mer Adriatique durant les phénomènes de hautes marées. On se propose de modéliser la vanne par un cylindre creux, initialement vertical. Il est maintenu au sol en 𝑂
m’
m
z O
E D
C
y B
A
𝑔Ԧ 𝜃
E z D
Cy
par une liaison parfaite qui assure une rotation sans frottement. A tout instant 𝑡 une partie du cylindre est émergée.
Y a-t-il des positions d’équilibre du cylindre et si oui sont-elles stables ?
On donne : 𝑚, la masse du cylindre, 𝑅 son rayon et 𝐿 sa longueur. La masse volumique du fluide est µ et on négligera la poussée d’Archimède de l’atmosphère.
19) Chute d’un arbre :
On considère un arbre, modélisé par une tige indéformable 𝐵𝑆, de masse 𝑚, de longueur 𝐿. On le scie à la base et l’arbre bascule en
tournant autour de son point d’appui au sol 𝐵. On suppose que le point d’appui reste fixe et ne glisse pas. A 𝑡 = 0, l’arbre fait un angle 𝜃𝑜 = 5° avec la verticale et est immobile. On donne le moment d’inertie de l’arbre par rapport à un axe 𝐵𝑦 : 𝐼 =𝑚𝐿2
3 .
Déterminer le temps de chute d’un arbre de 30𝑚.
On donne ∫ √cos 𝜃𝑑𝜃
𝑜−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋
𝜃2𝑜 = 5,1.
Indications :
1) Pont suspendu :
Il faut choisir des axes qui tiennent compte des symétries du problème. On prend comme système un petit morceau de corde entre l’abscisse 𝑥 (𝑥 > 0) et l’abscisse 𝑥 + 𝑑𝑥 et on applique la loi de la quantité de mouvement. La tension de la corde en un point 𝑥 est une fonction de x de même que l’angle de la tangente. La masse du système est 𝜇𝑑𝐿 = 𝜇√𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦2. Puis projeter sur les axes et trouver une équation différentielle en 𝑦(𝑥).
2) Sonnons les matines :
1) Attention, il n’y a pas conservation de l’énergie mécanique de 𝐺2 à 𝐺3 et de 𝐺4 à 𝐺5 car il y a un travail de forces intérieures. En revanche, la vitesse se conserve entre 𝐺2 et 𝐺3 ; 2) montrer que cos(𝜃𝑛+1) − cos (𝜃𝑛) est négatif ; 3) évaluer le nombre d’aller-retour ; faire un programme python si nécessaire.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
1) Projeter la force de rappel sur l’axe des 𝑥 ; pour la recherche de la stabilité des positions d’équilibre, étudier le signe de 𝑑𝐹𝑥
𝑑𝑥 ; 2) Poser 𝑥 = 𝑥𝑒𝑞+ 𝑢 et faire un D.L. d’ordre 1 de 𝐹𝑥.
4) Système de deux points matériels :
1) Exprimer la condition d’équilibre, puis appliquer la loi de la quantité de mouvement projeté sur l’axe du ressort ; 2) Appliquer la loi de la quantité de mouvement à chacun des points matériels et résoudre en posant 𝑋 = 𝑥𝐴+𝑥𝐵
3 et 𝑌 = 𝑥𝐴− 𝑥𝐵 ; 3) Il y a l’énergie potentielle du
cylindre z
O sol
H
mer
𝜃 S
B z
x
ressort et l’énergie potentielle de pesanteur ; l’énergie totale doit être une constante puisque le système est conservatif.
5) Mouvement vertical d’un ressort pesant :
1) Appliquer le PFD au point sans masse liant les deux ressorts ; 2) Prendre comme système un petit ressort initialement entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥 ; calculer sa constante de raideur en vous aidant du 1) ; sous l’action de son poids il a un allongement 𝑑𝑙(𝑥) ; le système est en équilibre sous l’action de la tension à son extrémité d’une part et du poids de ressort entre 𝑥 et 𝑙𝑜 et de la masse 𝑀 d’autre part.
6) Ressorts subissant une action :
Prendre comme système la masse 𝑀, puis le point sans masse à l’extrémité libre des ressorts ; trouver les lois 𝑙1(𝑡) et 𝑙2(𝑡) et en déduire quel ressort atteint 𝑙𝑐 en premier.
7) Mobile relié par un fil à une masse en translation :
Pour le mobile sur la table, le mouvement est à force centrale ; de plus le moment de la tension est nul; exprimer la conservation du moment cinétique ; faire une étude énergétique pour le système mobile + masse verticale et éliminer 𝜃̇ en introduisant le moment cinétique initial du mobile ; il faut alors faire une étude énergétique en introduisant un potentiel effectif et discuter du signe de 𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓. Le mouvement circulaire correspond au minimum de 𝑈𝑒𝑓𝑓
8) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre :
En dérivant le vecteur 𝑂𝑀, trouver l’expression de la vitesse du point 𝑀 en fonction de 𝑙𝑜, 𝑎 et 𝜃, puis appliquer le théorème de l’énergie cinétique, le mouvement étant sans frottements ; pour passer de 2 à , ne pas oublier de faire une analyse du signe de ; appliquer la loi de la quantité de mouvement pour en déduire la tension.
9) Etude d’un point matériel sur un boulier hélicoïdal :
1) Exprimer la conservation de l’énergie mécanique et l’exprimer en fonction de 𝜃(𝑡) et de 𝜃̇(𝑡) ne pas oublier d’étudier le signe de 𝜃̇(𝑡) avant d’intégrer ; 2) La réaction est suivant 𝑢⃗Ԧ𝑟 en absence de frottements ; projeter sur cette direction la loi de la quantité de mouvement.
10) Orbite de transfert géostationnnaire :
Pour transférer un satellite d’une orbite circulaire à une autre orbite circulaire, il faut que le satellite emprunte une trajectoire elliptique, de périgée le point P commun à cette trajectoire et à la trajectoire circulaire de petit rayon et d’apogée le point A commun à cette trajectoire et à la trajectoire circulaire de plus rayon ; utiliser la conservation de l’énergie mécanique sur une trajectoire.
11) Etude de la mission Skylab :
2) Dériver le moment cinétique par rapport au temps pour obtenir une équation différentielle.
3) Intégrer cette équation et faire une DL. Exprimer le moment cinétique en fonction de 𝑟(𝑡), 𝑚, 𝑀 et 𝐺 uniquement.
4) Il faut remarquer que la vitesse de la station augmente et lever ce paradoxe. Exprimer l’énergie du satellite en fonction de 𝑟(𝑡) , 𝐺, 𝑚 et 𝑀 uniquement.
12) Etude d’une comète parabolique :
1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement ; 2) Pour trouver l’énergie mécanique de la comète, il suffit de sommer au périhélie l’énergie cinétique et l’énergie potentielle ; la trajectoire de la comète est 𝑟 =1+cos (𝜃)𝑝 , il faut trouver la valeur de p ; 3) utiliser la conservation du moment cinétique et l’équation de la trajectoire.
13) Expérience de Rutherford :
Pour que la particule 𝛼 ne rencontre pas le noyau d’or il faut que sa vitesse soit positive pour 𝑟 = 𝑅. Puis exprimer la conservation de l’énergie mécanique et celle du moment cinétique. La distance minimale d’approche correspond à 𝑟̇ = 0.
14) Stabilité d’une orbite :
Commencer par appliquer le PFD pour trouver la valeur de 𝑟𝑜 qui donne un mouvemnt circulaire à la planète. Le mouvement étant à force centrale, ne pas oublier d’introduire 𝐶 la constante des aires. Puis en appliquant le PFD et en linéarisant les expressions, trouver une équation différentielle en 𝜀(𝑡). Trouver alors une condition sur 𝑟𝑜 pour que la solution de l’équation différentielle reste bornée.
15) Etude d’une fusée :
1) Il faut travailler avec le système : la fusée à l’instant 𝑡 ; à l’instant t+dt le système se sépare en deux parties, la fusée et la masse de gaz éjectée ; écrire 𝑑𝑝Ԧ
𝑑𝑡 = 𝑝Ԧ(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝑝Ԧ(𝑡) ; on se limite aux termes d’ordre 1 ; 2) Appliquer la relation précédente en calculant le débit massique ;3) la primitive de 𝐿𝑛(𝑥) est 𝐿𝑛(𝑥) − 𝑥.
16) Machine d’Atwood :
Le fil s’enroule sans glisser sur la poulie ; il faut relier les vitesses de chacune des masses à la vitesse angulaire de la poulie ; appliquer la conservation de l’énergie mécanique à tout l’ensemble.
17) Mesure des variations de l’intensité de la pesanteur :
1) Il faut appliquer le théorème du moment cinétique en C ; pour avoir des oscillations, la solutions doit être du type 𝜃̈(𝑡) + 𝜔2𝜃(𝑡) = 0 ; 2) Pout trouver ∆𝑔
𝑔 en fonction de ∆𝑇
𝑇, exprimer 𝑇 en fonction de g, puis 𝐿𝑛(𝑇) et dériver l’expression.
18) Le projet MOSE :
Il faut trouver l’énergie potentielle de la poussée d’Archimède. Pour cela calculer le travail de la poussée d’Archimède en se plaçant au point O. Pour la stabilité il faut que la dérivée première de l’énergie potentielle soit nulle et la dérivée seconde positive. On distinguera deux cas :
√𝜇𝑆𝐻2
𝑚𝐿 > 1 et √𝜇𝑆𝐻2
𝑚𝐿 < 1.
19) Chute d’un arbre :
Appliquer la conservation de l’énergie mécanique en réfléchissant au signe de 𝜃̇.
Solutions :
1) Pont suspendu : 𝑦(𝑥) = 𝑌1𝑐ℎ (𝜇𝑔𝑥
𝑇𝑥𝑜) + 𝑌2 2) Sonnons les matines : 1) cos(𝜃𝑛+1) =𝐿+ℎ
𝐿−ℎcos(𝜃𝑛) − 2ℎ
𝐿+ℎ ; 2) cos(𝜃𝑛+1) − cos(𝜃𝑛) = 2ℎ
𝐿−ℎ(cos(𝜃𝑛) − 1) < 0 ; 3) il faut 4 aller –retour et un aller.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
1) On a trois positions d’équilibre : 𝑥 = 0, position d’équilibre instable et 𝑥 = ±√𝑙𝑜2− ℎ𝑜2, positions d’équilibre stables ; 2) On trouve comme équation du mouvement : 𝑚𝑢̈ + 𝑘(𝑙𝑜2−ℎ𝑜2)
𝑙𝑜2 = 0, soit une solution harmonique de période : 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚𝑙𝑜2
𝑘(𝑙𝑜2−ℎ𝑜2)
4) Système de deux points matériels : 1) 𝑥𝐵é𝑞 = 𝑙𝑜+𝑚
3 𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 ; on trouve un mouvement harmonique, la période des petites oscillations est 𝑇 = 2𝜋√𝑘3𝑚 ; 2) 𝑥𝐴(𝑡) =𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
2 𝑡2−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
12𝑘 𝑐𝑜𝑠 [(2√𝑘
𝑚) 𝑡] +𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
12𝑘 ; 𝑥𝐵(𝑡) =
𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
2 𝑡2+𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
4𝑘 𝑐𝑜𝑠 [(2√𝑘
𝑚) 𝑡] +𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
12𝑘 + 𝑙𝑜 ;
3) 𝐸𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 =𝑚2𝑔2𝑠𝑖𝑛2𝛼
18𝑘 𝑐𝑜𝑠2[(2√𝑘
𝑚) 𝑡] ; 𝐸𝑝𝑝𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑟 = −2
3𝑚𝑔2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑡2−𝑚2𝑔2𝑠𝑖𝑛2𝛼
9𝑘 −
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
9 𝑙𝑜 ; 𝐸𝑐 =2
3𝑚𝑔2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑡2+𝑚2𝑔2𝑠𝑖𝑛2𝛼
18𝑘 . 5) Mouvement vertical d’un ressort pesant : 1) 1
𝑘= 1
𝑘1+ 1
𝑘2 ; 𝑙é𝑞 = 𝑙𝑜+𝑀𝑔
𝑘 ; 2) 𝑙é𝑞 = 𝑙𝑜+𝑀𝑔
𝑘 +𝜇𝑙𝑜𝑔
2𝑘
6) Ressorts subissant une action :
La longueur du ressort du bas est 𝑙𝐵(𝑡) =𝛼
𝑘𝑡 et celle du ressort du haut est 𝑙𝐻(𝑡) =𝛼
𝑘𝑡 +𝑚𝑔
𝑘 (𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 1). Il faut étudier les intersections de ces deux courbes avec 𝑙 = 𝑙𝑐.
7) Mobile relié par un fil à une masse en translation : La conservation de l’énergie donne : 1
2(𝑚 + 𝑀)𝑟̇2+1
2 𝑚𝑟𝑜2𝑣𝑜2
𝑟2 + 𝑀𝑔𝑟 =1
2𝑚𝑣𝑜2+ 𝑀𝑔𝑟𝑜 ; il y a un mouvement circulaire pour 𝑟𝑜= 𝑚𝑣𝑜2
𝑀𝑔
8) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre:
1) 𝑣Ԧ(𝑀) = −(𝑙𝑜− 𝑎𝜃)𝜃̇𝑢⃗Ԧ𝑟 ; en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, ‖𝑣Ԧ(𝑀)‖ = 𝑣𝑜 d’où 𝜃(𝑡) =𝑙𝑜−√𝑙𝑜
2−2𝑣𝑜𝑎𝑡
𝑎 ; on applique la loi de la quantité de mouvement 𝑇⃗Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ = 𝑚𝜃̇2(𝑙𝑜− 𝑎𝜃)𝑢⃗Ԧ𝜃 ; 𝑇 = 𝑚𝑣𝑜2
(𝑙𝑜−𝑎𝜃) ; 2) si on ajoute le poids et on calcule la tension T ; 𝑇 =
𝑚𝑣𝑜2/𝑙𝑜−2𝑚𝑔+𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃/𝜋+2(1−𝜃/2𝜋)𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃
1−𝜃/2𝜋 ; pour que le fil reste tendu il faut que 𝑇 > 0.
9) Etude d’un point matériel sur un boulier hélicoïdal : 1) 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = √10(𝑅2+ℎ2)
𝑔ℎ ; 2) 𝐹𝑟 = −𝑚𝑟𝜃̇2.
10) Orbite de transfert géostationnnaire :
𝛥𝑣2
𝛥𝑣1 = √𝑅𝑅1
2(√𝑅1+𝑅2−√2𝑅1
√2𝑅2−√𝑅1+𝑅2) = 0,6.
11) Etude de la mission Skylab : 1) 𝑇 = 2𝜋√(𝑅+ℎ)3
𝐺𝑀 = 1ℎ 34 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠 ; 2) 𝑑𝐿⃗Ԧ
𝑑𝑡= −𝑘
𝑚𝐿⃗Ԧ ; mouvement plan car 𝑑𝐿⃗Ԧ
𝑑𝑡 est parallèle à 𝐿⃗Ԧ ; 3) 𝜏 = 𝑚
𝑘 ; 4) 𝜏 = 2𝑟𝑜𝑇′
∆𝑟 = 23.451 ℎ ; 𝑣 = 𝑣𝑜(1 +𝑡
𝜏) ; la vitesse augmente alors que la station est freinée mais ceci est dû au fait que 2𝐸𝑐 = −𝐸𝑝 et 𝐸𝑐= −𝐸. ; ∆𝐸 = −𝐺𝑀𝑚∆𝑟
2𝑟𝑜2 =
−4260 𝑘𝐽; 5) ∆𝜃 = ∆𝐸
𝑚𝑐= 40°𝐶.
12) Etude d’une comète parabolique : 1) 𝑣𝑇 = √𝐺𝑀
𝑅 ; 2) 𝐸 = 0 ; 𝜃 = ±𝜋
2 ; 3) 𝜏 = 𝑅√𝑅
√𝐺𝑀∫ (1+cos (𝜃))𝑑𝜃 2 +𝜋/2
−𝜋/2
13) Expérience de Rutherford :
Pour que la particule ne rencontre pas le noyau d’or il faut 𝑅 < 𝑅𝑐. La distance minimale d’approche est 𝑟𝑚𝑖𝑛 =𝑅𝑐+√𝑅𝑐
2+4𝑏2 2 . 14) Stabilité d’une orbite :
Le rayon de la trajectoire circulaire est donné par l’expression 𝐶2
𝑟𝑜3 =4𝜋𝐺𝜌𝑟𝑜
3 +𝐺𝑀
𝑟𝑜2 ; la trajectoire reste bornée si 𝑟𝑜< 4𝐶2
3𝐺𝑀
15) Etude d’une fusée : 1) 𝐷𝑚 >𝑚𝑔
𝑢 ; 2) 𝜏 < 𝑢𝑚𝑜
𝑔(𝑀+𝑚𝑜 ; 3) 𝑣(𝑡) = 𝑢𝐿𝑛 (𝑀+𝑚𝑜−𝑚𝑜
𝑡 𝜏
𝑀+𝑚𝑜 ) − 𝑔𝑡 ; 𝑧(𝑡) = 𝑢𝑡 + 𝑢 (𝑀+𝑚𝑜−𝑚𝑜
𝑡 𝜏
𝑀+𝑚𝑜 ) 𝐿𝑛 (𝑀+𝑚𝑜−𝑚𝑜
𝑡 𝜏
𝑀+𝑚𝑜 ) −𝑔𝑡2
2 ; 4) 𝑣(𝑡 = 200𝑠) = 2158 𝑚. 𝑠−1 ; 𝑧(𝑡 = 200𝑠) = 122,8 𝑘𝑚.
16) Machine d’Atwood : 𝑧̈𝑚= 𝑔 𝑚−𝑚′
𝑚+𝑚′+𝐽 𝑅2
; 𝑧̈𝑚′= −𝑔 𝑚−𝑚′
𝑚+𝑚′+𝐽 𝑅2
; l’axe des 𝑧 étant choisi vers le bas.
17) Mesure des variations de l’intensité de la pesanteur : 1) 𝑇 = 2𝜋√
𝑚ℎ2 3 +𝑀𝑥2 𝐾−𝑔(𝑀𝑥+𝑚ℎ
2 ) ; 𝑥𝑜 = 𝐾
𝑀𝑔−𝑚ℎ
2𝑀 ; 2) 𝑥1 = 0,06142 𝑚 ; ∆𝑇
𝑇 =∆𝑔
𝑔
𝑀𝑥1+𝑚ℎ/2 𝑀(𝑥𝑜−𝑥1) ; ∆𝑔
𝑔 = 5. 10−6.
18) Le projet MOSE : 𝐸𝑝 =𝜇𝑆𝑔𝐻2
2 𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝑚𝑔𝐿
2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ; les positions d’équilibre stables sont : 𝛼 = 0 si √𝜇𝑆𝐻2
𝑚𝐿 > 1et 𝛼 =
±𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠 √𝜇𝑆𝐻2
𝑚𝐿 si √𝜇𝑆𝐻2
𝑚𝐿 < 1.
19) Chute d’un arbre:
𝑡 = √3𝑔𝐿 ∫ √𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑜−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋/2
𝜃𝑜 = 5,1 𝑠.
