Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 UE de calcul diff´erentiel et analyse complexe
Feuille d’exercices no12: Application des residus, fonctions biholomorphes
Exercice 1. En utilisant la formule des r´esidus et en choisissant soigneusement le contour, montrer que :
(a) Z +∞
−∞
dx
1 +x2 =π, (b) Z +∞
−∞
dx
1 +x4 = π
√2, (c) Z +∞
0
dx
1 +xn = π nsin(πn),
Exercice 2. En passant par une int´egration dans le domaine complexe, montrer que : Z ∞
0
sin(x)
x dx= π 2.
Exercice 3. Soit f une fonction holomorphe sur le disque ferm´e D(0, R) avec R >0. Montrer que la s´erie enti`ere def a un rayon de convergence > R. En d´eduire qu’une fonction holomorphe dont la s´erie enti`ere a un rayon de convergence 1 admet une singularit´e sur le cercle unit´e.
Exercice 4. Soient f, g holomorphes sur une domaine Ω. Soit γ un lacet simple orient´e dans le sens direct et U l’int´erieur deγ. On suppose que|f|>|g|surγ. Montrer quef etf+gont le mˆeme nombre de z´eros dansU.
Exercice 5. Soient a∈Ctel que |a| ≥ 1 etn∈N r{0,1}. Montrer que l’´equation 1 +z+azn = 0 a toutes ses racines dans le disque ouvertD(0,2).
Exercice 6. Etant donn´´ es deux entiersn > m >1, montrer que les z´eros du polynˆome 1 + 3zm+ 5zn sont situ´es dans la couronne{z∈C, 1/3<|z|<1}.
Indication : On utilisera les fonctions f etg donn´ees par f(z) = 1 + 3zm, g(z) = 5zn.
———————————————
Exercice 7. 1. En consid´erant l’application Γ : z 7→ 2
πarctan(|z|) z
|z|, montrer que C est hom´eo- morphe au disque unit´e (ouvert) D.
2. Montrer cependant queC n’est pas biholomorphe `aD. On pensera au th´eor`eme de Liouville.
Exercice 8. On noteD le disque unit´e ouvert etS le cercle unit´e.
Etant donn´´ ea∈D, on consid`ere l’application ϕa:z7→ z−a 1−¯az. Montrer que :
1. ϕa est holomorphe surD.
2. ϕ(S)⊂S puis queϕ(D)⊂D.
3. ϕa est un biholomorphisme deDsur Dd’inverse ϕ−a.
Exercice 9. On note toujours Dle disque unit´e ouvert.
Appliquer le lemme de Schwarz (exercice 1, fiche 9) et montrer que tout biholomorphisme ψ de D sur D est de la formeψ=eiθϕa avec θ∈Reta∈D.
Indication : si ψ est un biholomorphisme de D sur D, on consid`erea=ψ−1(0) et f =ψ◦ϕ−a.
1
