},! = 1,...,d, plongée dans une variété V n

13. Hypersurfaces

1. Choix des repères mobiles, courbure extrinsèque.

Soit une hyper surface H de dimension _d , munie de coordonnées internes

{ }

t^{! ,! =1, ...,d,} plongée dans une variété _Vn de dimension n . Les coordonnées de _Vn sont notées

x^!,x^",... !,",...=1, ...,n . Celles de H seront étiquetées avec les indices !,",#,$,% .

H est déterminée par les n fonctions _x^!(t^") , 1#! #n , 1#"#d . Si on se déplace dans H , on a : dx!"!

= !x^"

!t^# dt^#e!"!_"

où les e!"!_!

sont les vecteurs du repère naturel au point considéré de _Vn . On écrit :

dx!"!

=dt^!!"!f_!

, !"!f_!

= "x^#

"t^! e!"!_#

(1a) Par construction les !"!f_!

{ }

forment un ensemble de vecteurs tangents à H puisque dx!"!

est

« dans » H . En chaque point de H , on peut compléter, dans _Vn , cet ensemble de vecteurs par _n!d vecteurs n!"_i

{ }

normés, orthogonaux entre eux et aux !"!f_!

{ }

^.

L’hypersurface H est en elle-même une variété qui admet une métrique qui se déduit de celle de _Vn . Sur H : ds² =!_"#dt^"dt^# , !_"# =!"!f_"

.!"!f_#

= g_{$ %} f_"^$ f_#^% (1b)

Dans la suite nous appellerons !^$_."# la connexion sur H.

L’ensemble !"!f_!

{ }

^,

{ }

^n!"i , définit donc sur H une famille de repères mobiles. Nous nous

donnerons, dans _Vn , une famille de repères mobiles h!"!_a

{ }

^{, 1!a!n} qui coïncide avec les f_!

!"!

{ }

^,

{ }

^{n!"i sur H} . On peut faire cette construction en utilisant la technique de la section

12.2, en y remplaçant les géodésiques par des auto parallèles. Notons que les h!"!_a

{ }

^ne

constituent pas une famille orthonormée sauf pour la partie n!"_i

{ }

^.

Dans les chapitres précédents nous avons utilisé les indices latins pour étiqueter les vecteurs de la famille de repères mobiles h!"!_a

{ }

. Dans la suite pour bien signifier qu’un indice se rapporte à un vecteur du repère mobile, et bien distinguer d’un éventuel choix des

coordonnées, nous utiliserons les dernières lettres de l’alphabet pour les vecteurs _f^!" , à savoir f^r

!"!

,!"!f_s ,!"f_t

,... , mais sauf mention particulière : !"!f_r

{ }

^!

{ }

^!"!f" . Nous utiliserons les indices i, j,

k, l, etc pour étiqueter les vecteurs n!"_i

{ }

, et enfin les premières lettres de l’alphabet latins pour les vecteurs généraux h!"!_a

{ }

^.

Appliquons à la famille de repères mobiles que nous venons de définir la relation (9.9b) : ! "Dh!!!_a

=!^b_.ah!"!_b

="^b_.a#dx^#h!"!_b

(2) nous l’écrirons sous la forme :

! "Df!!_r

=!^s_.r!"!f_s

+!ⁱ_.rn!"_i Dn_i

! "!!

=!^s_.i!"!f_s

+!_.i^j n!"!_j (3a) Le transport parallèle conservant les produits scalaires par hypothèse, on a la contrainte (9.6) : d!_{a b}="_{a b}+"_{b a}

Puisque D_!V est un vecteur, on pose D_aV =h_a^! D_!V , et de même on pose !^a_{.b c} =h^"_c!^a_.b" . (3a) se re écrit :

! "D!!!!_af_r

=!^s_{.r a}!"!f_s

+!ⁱ_{.r a}n!"_i D_an_i

! "!!!

=!^s_{.i a}!"!f_s

+!_{.i a}^j n!"!_j (3b) Puisque d!_{i j} =0 , on a : !_{i j a} ="!_{j i a} (4a) On considère les déplacements dans H , et on écrit :

! "D!!!_tf_r

=!^s_{.r t}!"!f_s

"Kⁱ_{.r t}n!"_i D_tn_i

! "!!!

=L^s_.it!"!f_s

+#_.it^j n!"!_j (3c) où le signe devant Kⁱ_{.r t} est arbitraire.

De (D_ah_b)^! =h^"_a(D_"h_b)^!=h_a^"(#_"h

b

! +$^!_{.% "}h

b

%) , et puisque f_r^! ="x^! /"t^r on a : !_tf_r^" = f_t^#!_#f_r^" =!²x^" / (!t^t!t^r)

et donc : D_tf_r^!"D_rf_t^! =#^!_{.$ %} f_r^$ f_t^% " #^!_{.$ %} f_t^$ f_r^% = f_r^$ f_t^%2S_{.$ %}^!

en multipliant l’équation ci dessus par f_u^!g_"! , et compte tenu de (3c) on déduit :

!_{ur t} "!_{ut r} =2 f_u^# f_r^! f_t^$S_{#! $} , !_{ur t} =!_us!^s_{.r t} (4b) De la même manière, en multipliant par g_!"n^"_j , on a :

!Kⁱ_{.r t}n!"_i .n!"!_j

+Kⁱ_{.t r}n!"_i .n!"!_j

=2S^$_{." #} f_r^" f_t^#n^%_jg_$%

On suppose les n!"_i

{ }

orthonormés, en posant K_{ir t} =!_{i j}K_{.r t}^j on a :

K_{jt r} !K_{j r t} =2f_r^" f_t^#n^$_j S_{$ " #} (4c) Enfin puisque les n!"_i

{ }

sont, par hypothèse, perpendiculaires aux !"!f_r

{ }

^{on a}

!_ir +!_{r i} =d(n!"_i .!"!f_r

)=0 , c’est à dire : L_sit = K_ist , et finalement :

! "D!!!_tf_r

=!^s_{.r t}!"!f_s

"Kⁱ_{.r t}n!"_i D_tn_i

! "!!!

=K_i.t^s !"!f_s

+#_.it^j n!"!_j (5) Kⁱ_{.r t}est appelé « courbure extrinsèque » bien qu’il s’agisse d’une partie de la connexion.

On peut donner aux relations (5) une interprétation cinématique. Rappelons d’abord que la dérivation absolue d’un champ de vecteurs représente sa variation par rapport au transport parallèle. Le vecteur f_r^! ="x^! /"t^r représente la « vitesse » par rapport au paramètre t^r , donc Df_r^! représente la variation de f^r

!"!

pour aller d’un point M à un point infiniment voisin M' , et représente donc une accélération. Kⁱ_{.r t} est donc une accélération hors de H , c’est à dire représente une force centrifuge.

Exercice 1.

Vérifier que les équations (5) conservent l’orthogonalité entre les n!"_i

{ }

^{et les}

{ }

^{!"!fr .}

2. Re paramétrisation de H.

Si on fait un changement de variables s^x !t^r on aura de nouveaux vecteurs pour définir la famille de repères mobiles au voisinage de H :

h'^!_x= "x^!

"t^r

"t^r

"s^x =h^!_r A^r_x , A^r_x = "t^r

"s^x (6a) Plus généralement on écrit le nouveau repère mobile : h'^!_a=A^c_a h^!_c (6b)

Insistons sur le fait qu’il ne s’agit pas d’une transformation au sens d’un déplacement (non rigide), mais d’une re définition des coordonnées internes de H .

Rappelons la transformation des connexions sous forme matricielle (9.8) : !'= A^"1! A+ A^"1dA

Pour une re définition des coordonnées de H , il n’y a pas de re définition des n!"_i

{ }

^{, donc :}

A_cⁱ =!ⁱ_c et (A^!1)_cⁱ ="ⁱ_c d’où : !'^t_.r" =(A^#1)^t_x!^x_.y" A_r^y+(A^#1)^t_x$_"A_r^x , et !^t_.r! ="^t_.r! se transforme comme une connexion. Avec !'^t_{.r s} = f '_s^"!'^t_.r" = A_s^z f_z^"!'^t_.r" on a :

!'^t_{.r s} = A_s^z $%(A^"1)_x^t !^x_{.y z} A_r^y+(A^"1)^t_x#_zA_r^x&' (7a) Considérons maintenant Kⁱ_{.r s} =!ⁱ_{.r s} = f_s^"!ⁱ_.r" : !'ⁱ_.r" =(A^#1)_dⁱ !^d_.b" A^b_r +(A^#1)_bⁱ $_"A^b_r

d’où : !'ⁱ_.r" =!ⁱ_.b" A^b_r et : !'ⁱ_.j" =!ⁱ_.j" (7b) donc : K'ⁱ_{.r s} = A_r^x A_s^yKⁱ_{.x y} et : !'ⁱ_{.j x} =!ⁱ_{.j s}A^s_x (7c)

De la même manière, les n!"_i

{ }

sont définis à une rotation près, et on peut envisager une redéfinition de ceux ci. Dans ces conditions on a A_r^d =!^d_r . !ⁱ_.j" se transforme comme une connexion. D’autre part : !'ⁱ_.r" =(A^#1)_cⁱ !^c_.d" A^d_r +(A^#1)_cⁱ $_"A_r^c

donc : !'ⁱ_.r" =(A^#1)ⁱ_j!_.r"^j (8)

!ⁱ_.r se transforme donc comme un vecteur.

Enfin !^r_.s" reste inchangé. (9)

3. Déformation de H .

Dans cette section on va considérer les déformations infinitésimales de H que l’on écrira sous la forme : !! "!x

="^r(x)!"!f_r

+"ⁱ(x) n!"_i

, "^r , "ⁱ #1 (10) A chaque point _A de coordonnées x de H correspond un point B de coordonnées

x^! +"x^!

{ }

ce qui définit une hyper surface _H' infiniment voisine de H . La partie !^r est un déplacement dans H qui peut être considéré comme une re paramétrisation de cette surface. Nous ne traiterons donc que les déformations perpendiculaires du genre : !! "!x

="ⁱ(x)n!"_i .

La métrique de _Vn induit la métrique (1b) dans H . On peut définir sur _H' des coordonnées naturellement déduites de celles de H en attribuant au point B de _H' les coordonnées internes

{ }

t^{r de A dans H .}

Reprenons les résultats obtenus à la section 12.1. On appelle !x^" le vecteur BD! "!!

et !y^" le

vecteur AC! "!!

( _Ctrès voisin de _A).

H

A C

B D

v v'

On a d’après (12. 3) : D!x

dv =!y^#(D_#k)^" +2S^"_.#!k^!!y^#

où la dérivée absolue du membre de gauche est prise le long de la géodésique tangente à k

! =!ⁱ(x) n"!_i

en _A . D’où :

k^! D_!"x^# $"y^!(D_!k)^# =2S^#_.!"k^""y^! qui, avec !y^" = f_r^"dt^r , se traduit en :

!ⁱ(h_i^"D_"f_r^# $ f_r^"D_"h_i^#)$ f_r^"%_"!ⁱh^#_i =2!ⁱS#."&h_i^& f_r^"

Avec !^b_.a" =h_#^b(D_"h_a)^# on a : !^a_{.r i} =h_i^"h_#^a(D_"h_r)^#et !^a_.ir =h_r^"h_#^a(D_"h_i)^# . Soit : !^a_{.r i} =h_"^ah_i^#D_#f_r^" et !^a_.ir =h_"^a f_r^#D_#h_i^"

donc : !_{.r i}^a "!_.ir^a =h_#^a(h^$_i D_$f_r^#" f_r^$ D_$h_i^#)

d’où : !_{.r i}^s "!^s_.ir =2h^s_#n^$_i f_r^% S^#_{.% $} (11) Et pareillement on a :

!ⁱ"_{.r i}^j #!ⁱ"_.ir^j = f_r^$ %_$!^j+2h_&^j!ⁱn^$_i f_r^'S^&_{.' $} (12) De la même façon que nous avons défini : ! "D!!!_aV

=h_a^!! "D!!!_!V

, nous poserons : D_!!"!f_r

="ⁱn^#_i D_#!"!f_r

="ⁱn^#_i $^c_.r#h!"!_c

="ⁱn^#_i ($^s_.r#!"!f_s

+$_.r#^j n!"!_j

)="ⁱ$^s_{.r i}!"!f_s

+"ⁱ$_{.r i}^j n!"!_j

maintenant !^s_{.r i}=!^s_.ir+2S^s_{.r i} , or !_sir ="!_isr = K_isr car d!_ir =0 , donc : D_!!"!f_r

="ⁱK_i.r^s !"!f_s

+"ⁱ#_{.r i}^j n!"!_j

+2"ⁱS^s_{.r i}!"!f_s Dans cette équation le coefficient de n!"!_j

est : !ⁱ"_{.r i}^j =!ⁱ"_.ir^j + f_r^# $_#!^j+2!ⁱS_{.r i}^j

= f_r^# ($_#!^j +"_.i#^j !ⁱ)+2!ⁱS_{.r i}^j = f_r^# D#!^j+2!ⁱS_{.r i}^j où : D!"^j =#_!"^j +$_.i!^j "ⁱ

d’où : D_!!"!f_r

=("ⁱK_i.r^s )!"!f_s

+ f_r^#D#"^jn!"!_j

+2"ⁱS^s_{.r i}!"!f_s

+2"ⁱS_{.r i}^j n!"!_j

(13) Maintenant considérons : D_!n!"_i

="^kn_k^#D_#n!"_i

="^kn_k^#$^c_.i#h!"!_c

="^k($^r_{.i k}!"!f_r

+$_{.i k}^j n!"!_j ) On imposera que les vecteurs nⁱ

!"

restent perpendiculaires aux vecteurs !"!f_r

{ }

lors d’une déformation selon !ⁱn!"_i

, donc d!_ir =0 " #^r_{.i k} =$#_i.k^r et d’après l’expression de !ⁱ"_{.r i}^j plus haut :

!^k"^r_{.i k} =#$_il$^{r s}!^k"^l_.sk =#$_il$^{r s}(f_s^% D%!^l +2!^kS^l_.sk) et finalement :

D_!n!"_i

"#^k$_{.i k}^j n!"!_j

="%_il%^{r s} f_s^& D&#^l !"!f_r

"2#^kS_i.k^r !"!f_r

(14) Considérons le produit scalaire de deux vecteurs quelconques u!

et v!

de _Vn . On a :

!_"(u! .v!

)=u! .D_"v!

+D_"u!

.v!

, qui appliquée aux vecteurs !"!f_r

{ }

fournit : !_"#_{r s}=$ⁱn^%_i !_%(!"!f_r

.!"!f_s )=!"!f_r

.D_"!"!f_s

+D_"!"!f_r .!"!f_s Soit, compte tenu de (13) :

!_"#_{r s} =$ⁱ(K_isr +K_{ir s})+2$ⁱ(S_{sr i} +S_{r si}) (15)

4. Evolution de Kⁱ_{.r t} et de !_.it^j lors d’une déformation de H . On peut définir K_{j r t} à partir des équations (5) par : D! "!!!_tf_r

.n!"!_j

=!Kⁱ_{.r t}n!"_i .n!"!_j

=!K_{j r t}, et donc :

!"_#K_{ir s} =! "D!!!_#n_i .! "D!!!_sf_r

+n!"_i

.D!!!!!!!_#D_sf"_r et la variation de K_{ir s} le long de !!

est : !"_#K_{ir s}=! "D!!!_#n_i

.D! "!!!_sf_r +n!"_i

.D!!!!!!!_#D_sf"_r où : D_! ="^ln_l^# D_# .

Le premier terme est directement calculable avec les équations (5), et (14). Le second terme sera évaluer en permutant les deux dérivées absolues et en utilisant les formules (10,10) et (10,11) :

D_!D_sf_r^" =#ⁱn_i^$ D_$D_sf_r^" =#ⁱD_iD_sf_r^" =#ⁱ%&D_i,D_s'( f_r^" +#ⁱD_sD_if_r^"

=#ⁱ%%&n_i,f_s'(⁾ D₎f_r^" +R^"_.)is f_r⁾

&* '

(++D_sD_! f_r^", -_s#ⁱD_if_r^"

où le troisième terme du membre de droite vient du fait que les !ⁱ ne sont que des paramètres, donc des fonctions ordinaires.

D_!D_sf_r^" =#ⁱn_i^$ R^"_{.%$ &} f_s^& f_r^%+D_sD_!f_r^" ' (_s#ⁱD_if_r^" +#ⁱ()^c_.si')^c_.is+2S^c_.is)D_cf_r^"

Le dernier terme, qui est une conséquence directe de (9.9a), s’exprime à l’aide des équations (11) et (12) et donc :

D_!D_sf_r^" =#^kR^"_{.$% &}n_k^% f_s^& f_r^$ +D_sD_! f_r^"

d’où : !"_#K_{ir s} =! "D!!!_#n_i .! "D!!!_sf_r

+$^kR_{ir k s}+n!"_i

.!D!!!!!!_sD_# f"_r soit encore : !"_#K_{ir s} =! "D!!!_#n_i

.! "D!!!_sf_r

+$^kR_{ir k s}+D_s(n!"_i .! "D!!!!_#f_r

)!! "D!!!_sn_i .! "D!!!!_# f_r Maintenant il suffit d’utiliser les équations (5), (13) et (14) pour arriver à :

!"_#K_{ir s}=$^kR_{ir k s}+"_s(%_{i j}D_r$^j+2$^lS_{ir l})!$^kK_k.r^t K_{it s}!&_{l is}(D_r$^l +2$^mS^l_{.r m})

!'^t_{.r s}%_ilD_t$^l !$^k&_{j i k}K_{.r s}^j !2$^kS_i.k^t '_{t r s}!2$^kS_{t r k}K_i.s^t (16)

Pour calculer l’évolution de !_{i j r} on procède de la même façon, à savoir, les équations (5) donnent : ! "D!!!_rn_i

.n!"!_j

=!_{j ir} " #_$!_{i j r} =! "D!!!_$n_i .! "D!!!_rn_j

+n!"_i

.D!!!!!!!_$D_rn"_j et en utilisant les relations (10.10), (10.11), (11) et (14) on arrive à : D_!D_rn^"_j =#^kR^"_{.$% &}n_k^% f_r^&n^$_j +D_rD_!n^"_j

et donc : !_"#_{i j r} =$^kR_{i j k r}+! "D!!!_"n_i .! "D!!!_rn_j

+!_r(n!"_i .! "D!!!!_"n_j

)%! "D!!!_rn_i .! "D!!!!_"n_j Enfin, on utilise les relations (5) et (14) pour obtenir :

!_"#_{i j r} =$^kR_{i j k r}+(%_{j l}K_i.r^t &%_ilK_j.r^t )D_t$^l +$^k(#^m_{.i k}#_{m j r} &#^m_{.j k}#_mir)

+2$^k(S_{it k} K_j^t_.r &S_{jt k} K_i^t_.r)+!_r($^k#_{i j k}) (17)

5. Le tenseur de courbure.

Nous allons exprimer le tenseur de courbure en fonction des éléments de la connexion ramenés à la famille de repères mobiles que nous avons choisi pour décrire Het son voisinage. La courbure est donnée par : !^a_.b =d"^a_.b +"^a_.c#"^c_.b

On écrira aussi : R^a_{.b c d} =h^!_ch^"_d R^a_{.b! "} =h^!_ch^"_d (#_!$^a_.b" % #_"$^a_.b! +$^a_.c!$^c_.b" %$^a_.c"$^c_.b!)

!^a_.b représente une rotation. On va s’intéresser à !^a_.b lorsqu’on effectue un circuit fermé infinitésimal dans H , et on va considérer R^a_{.b r t} =h^!_rh^"_t R^a_{.b! "} .

Commençons par Rⁱ_{.j r s} , en utilisant les définitions du début de ce chapitre on a : ^{R.j r s}

i = R_Hⁱ_{.j r s} !Kⁱ_{.t r} K_j.s^t +Kⁱ_{.t s}K_j.r^t

R_Hⁱ_{.j r s} =h^"_r h^#_s ($_"%ⁱ_.j# ! $_#%ⁱ_.j"⁾+%ⁱ_{.k r}%^k_{.j s} !%ⁱ_{.k s}%^k_{.j r} (18) Cette relation porte le nom d’équation de Ricci.

On fait la même chose avec R^x_{.y r s} où les indices _x,y sont des indices des coordonnées internes de H comme _r,s,t :

^{R.y r s}

x =R_H^x_{.y r s}!K_i.r^x Kⁱ_{.y s}+K_i.s^x Kⁱ_{.y r}

R_H^x_{.y r s} =h^"_rh^#_s ($_"%^x_.y# ! $_#%^x_.y"⁾+"^x_{.t r}"^t_{.y s}!"^x_{.t s}"^t_{.y r} (19) qui s’appelle équation de Gauss-Codazzi.

Enfin la dernière relation est :

R_{.i r s}^x =h^!_r h^"_s (#_!$^x_.i" % #_"$^x_.i!)+!^x_{.t r} K_i.s^t %!^x_{.t s}K_i.r^t +$_.is^j K_j.r^x %$_.ir^j K_j.s^x (20) qui s’appelle équation de Codazzi-Mainardi.

Les équations (5) constituent un système d’équations différentielles du premier degré pour les f^r

!"!

et les nⁱ

!"

. Pour des fonctions ordinaires de plusieurs variables satisfaisant un système d’équations différentielles du premier degré, les conditions d’intégration s’exprime par

!_{" #}f =!_#"f . Compte tenu des équations (10.10), (10.11), (4b) et (4c), les équations (18), (19) et (20) apparaissent comme les conditions d’intégration des équations (5).

Si H est une hyper surface de !ⁿ , alors, dans l’équation (19), R^x_{.y r s} est nul et la courbure intrinsèque de H s’exprime en fonction de la courbure extrinsèque.

Réponse à l’exercice 1.

On a :

!_t(n!"_i .!"!f_r

)=D_t(n!"_i .!"!f_r

)=n!"_i .D_t!"!f_r

+D_tn!"_i .!"!f_r

=("^s_{.r t}!"!f_s .n!"_i

#K_{.r t}^j n!"!_j .n!"_i

)+(K_i^s_.t!"!f_s .!"!f_r

+$_.it^j n!"!_j .!"!f_r

)

=#K_{ir t} +K_{ir t} =0 car nⁱ

!"

.!"!f_r

=0 .