Licence 3 de Sciences Économiques et de Gestion

U NIVERSITÉ L ILLE 1

F ACULTÉ DES S CIENCES É CONOMIQUES & S OCIALES

T RAVAUX D IRIGÉS

M ICROÉCONOMIE IV - I NCERTAIN & I NFORMATION

Licence 3 de Sciences Économiques et de Gestion

&

Licence 3 de Mathématiques Appliquées aux Sciences Sociales Année Universitaire 2013-2014

É

P

C

M

T

TD

T

D

F

K

P

E

R

P

2 -

Chapitre 5 - Choix de Portefeuille

Exercice 9 - M. Dupont dispose d’une richesse certaine w = 1 000 equ’il souhaite placer. Il ne peut ni emprunter ni vendre à découvert et placer sa richesse initiale soit sur un livret dont le taux d’intérêt iest certain et égal à 3;5%, soit en titres au taux de rendement aléatoire mais binaire Y = 0%;10%;¹₂;¹₂ .

Ses préférences sont représentées par la fonction E(3w+ 2).

1. Déterminez la répartition de son portefeuille en notant m le montant placé sur le livret etale montant placé en titres.

2. Écrivez sa richesse …naleW en fonction dea.

On suppose à présent que les préférences de M. Dupont sont représentées par la fonction E([u(W)] =E[ln(W)].

3. Écrivez ln(W) en fonction de a.

4. Écrivez u⁰(W).

5. Écrivez u⁰(W)(Y i).

6. Écrivez la condition d’optimalité du choix de portefeuille.

7. Déterminez le portefeuille optimal.

Exercice 10 - Un agent dispose d’une richesse initialew= 10 000 e. Il envisage de placer une fraction de sa richesse dans des placements risqués dont le taux de rendement est aléatoire. Le reste de sa richesse est laissée en dépôt sans risque et lui rapporte un taux de rentabilité certain de i= 3%.

Deux types de placements risqués Y₁ etY₂ sont disponibles sur le marché, leurs rende- ments sont résumés dans les loteries suivantes :

Y₁= 2%;4%;8%;3 5; 3

10; 1

10 et Y₂= 2%;3%;6%;2 5;2

5;1 5

L’investisseur est caractérisé par une fonction d’utilité : U[W] =E[W] 0;05:V ar[W], où E[W]est l’espérance de sa richesse …nale etV ar[W]la variance de sa richesse …nale.

1. Pouvez-vous a¢ rmer que l’individu choisira de placer une fraction positive de son revenu dans au moins l’un des actifs risqués ? Argumentez votre réponse par les calculs (simples) appropriés.

2. Supposons pour le moment que ces deux placements sont mutuellement exclusifs.

Lequel des deux placements risqués l’individu va-t-il choisir ? Justi…ez en détail votre réponse.

3. Une fois son choix d’actif risqué e¤ectué, quel montant (en e) de sa richesse va-t-il investir dans cet actif risqué ? Et dans l’actif sans risque ? Vous présenterez en détail le programme que résout l’agent en expliquant votre raisonnement.

2

4. Si sa richesse initialewaugmentait, comment évoluerait la part (en%) de sa richesse placée en actif risqué ? Justi…ez votre réponse sans faire de calculs supplémentaires.

5. Supposons à présent que l’investisseur puisse simultanément investir dans les deux actifs risqués (il peut toujours également investir dans l’actif sans risque). La corrélation entre les deux actifs risqués est _1;2 = 0;4. Quel est le portefeuille d’actifs risquésP qui sera choisi par notre agent ? Quelle est son espérance de rendementE[Y ]? Sa variance V ar[Y ]?

6. L’agent a-t-il choisi un portefeuille composé des 2 actifs risqués ? Expliquez pourquoi vous obtenez ce résultat.

7. L’investisseur aurait-il choisi le même portefeuille d’actifs risqués quelle que soit son aversion pour le risque ? Expliquez.

8. Pour conclure, comment l’investisseur va-t-il répartir sa richesse entre les actifs risqués (et donc le portefeuille risquéP) et l’actif sans risque ?

Chapitre 6 - Demande d’Assurance

Exercice 11 - Un individu achète une voiture d’une valeur v = 10 000e. Chaque année, il a une probabilité = 0;03 d’avoir un accident qui détruit complètement sa voiture. Sa fonction d’utilité face au risque est u(x) =x¹⁼².

1. Quelle est l’attitude face au risque de cet individu ? 2. Calculer l’espérance de perte et la variance de la perte.

3. Un assureur propose à l’individu de s’assurer complétement en échange d’une prime.

Si tous les assurés présentent le même risque et si les frais représentent 32% des primes, quel montant de prime par assuré l’assureur doit-il demander pour couvrir l’indemnisation totale des sinistres et ses frais ?

On se situe maintenant du côté de l’assuré.

4. Présenter les deux situations possibles du patrimoine de l’assuré dans les conditions d’indemnisation dé…nies ci-dessus par l’assureur et leur probabilité.

5. Calculer l’espérance d’utilité de l’assuré.

6. Calculer l’équivalent certain de ce contrat. Expliquer le résultat.

7. L’assureur propose un autre contrat à l’assuré avec une indemnisation à hauteur de 90%de la valeur de son véhicule. Recalculer la prime d’assurance avec le taux de frais de 32%.

8. Redé…nir les deux situations possibles de l’assuré et calculer l’espérance d’utilité de ce contrat.

9. Comparer le résultat avec celui du premier contrat. Expliquer ce résultat.

10. On s’intéresse maintenant au cas général où la couverture, i.e. le montant de l’indemnisation en cas de sinistre, est av < 10000 avec a2 [0;1] correspondant au taux de couverture. Ecrire l’équation exprimant la maximisation de l’espérance d’utilité de l’assuré.

11. Résoudre l’équation pour déterminer la couverture optimale.

3

Exercice 12 - Soit un individu disposant d’une richesse v= 100. À chaque période, il peut subir un sinistre X de probabilité = 1% qui lui occasionne une perte de revenu L= 10. L’individu est riscophobe avec une fonction d’utilité face au risque logarithmique, u(x) = lnx.

Il envisage de contracter une assurance. On lui propose une assurance selon les formules suivantes dont la prime est actuariellement neutre pour un grand nombre d’individus présentant les mêmes risques que le sien, avec un taux de chargement = 5% :

- une formule de co-assurance où la couverture est proportionnelle au montant du sinistre I =aLavec 0< a <1 ;

- une formule avec franchise où la couverture subit un abattement f représentant la franchise, soit I =L f avec 0< f < L.

1. Calculer dans chaque cas le niveau optimal de couverture.

2. Quelle formule l’individu préfère-t-il ?

Exercice 13 - À un individu dont la fonction d’utilité estu(x) =x¹⁼², on propose la loterie 0;100;¹₂;¹₂ .

1. Caractériser l’attitude de l’individu à l’égard du risque.

2. Calculer l’espérance mathématique et la variance des gains de la loterie.

3. Déterminer la valeur exacte de la prime de risque associée à cette loterie.

L’individu a la possibilité de former un pool avec quelqu’un d’autre pour acheter deux billets dont les coûts et les gains seront partagés également en 2. Il s’interroge sur l’existence d’un avantage à cette proposition.

4. Déterminer les gains possibles de l’individu et les probabilités correspondantes.

5. Calculer l’espérance mathématique et la variance des gains de cette loterie.

6. Déterminer la valeur exacte de la prime de risque associée à cette loterie.

7. Comparer avec les résultats du 3, en déduire l’intérêt du pool et expliquer le résultat.

Exercice 14 - Un salarié dépourvu de tout patrimoine estime qu’il a une probabilité de perdre son emploi qui est rémunéré au taux de salairew. S’il le perd, il touchera une indemnité de chômagec.

1. Représentez ses préférences par une fonction d’utilité espérée.

2. Écrivez l’équation qu’il faut résoudre pour savoir quelle baisse de salaire il ac- cepterait contre la suppression de tout risque de chômage.

3. Appliquez avec u(x) =lnx, = 0;1,w= 2000 etc= 1000 epar mois.

4. Quelle serait la réponse du salarié si son employeur lui proposait un salaire de1800 econtre un emploi à vie (en admettant que la proposition fût crédible) ?

5. Même question si la probabilité de devenir chômeur passe à 20%.

6. Avec une probabilité de devenir chômeur de10%, quel est le montant de l’indemnité de chômage en-dessous duquel le salarié préfèrerait le salaire de1800e ?

7. En conclusion, que pensez-vous de l’a¢ rmation selon laquelle les salariés n’ont jamais intérêt à une baisse de salaire ?

4